第16讲 归总问题与最值应用 专题讲义-苏教版数学三年级上册奥数培优

第16讲 归总问题与最值应用 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 归总问题核心概念 归总问题的本质特点：总量（总数量、总价钱、总路程、总工作量等）保持不变，先根据已知的单一量和对应份数求出总量，再利用总量求解新的单一量或新的份数。 核心思想：先求总，再求分，总量是解题的中间桥梁。 与归一问题的区别：归一是 “单一量不变”，归总是 “总量不变”。 2. 基本数量关系式 三个核心公式，知二求一： 总量 = 单一量 × 对应份数（基础公式，先求总量） 新单一量 = 总量 ÷ 新份数（已知新份数，求每份多少） 新份数 = 总量 ÷ 新单一量（已知新单一量，求能分多少份） 3. 常见归总题型 归总求份数：已知总量和新的每份数量，求能分成多少份 例：一笔钱买 4 元的笔能买 10 支，买 5 元的能买几支？ 归总求单一量：已知总量和新的份数，求每份是多少 例：一堆书分给 6 人每人 8 本，分给 12 人每人几本？ 归总最值问题：结合实际生活场景，求 “最多”“至少” 的结果，需要对计算结果合理取整。 4. 最值应用的两种取整规则 有余数时不能直接用四舍五入，要根据实际场景判断取整方式： （1）去尾法 剩下的量不够完成 1 份，直接舍去余数，取整数部分。 适用场景：买东西最多买几件、做手工最多做几个等。 例：总钱数 30 元，每本书 7 元，最多买 4 本（余下 2 元不够买 1 本）。 （2）进一法 剩下的量还需要额外 1 份，在商的基础上加 1。 适用场景：租船、租车、装东西需要几个容器等。 例：总人数 26 人，每条船坐 6 人，至少租 5 条（余下 2 人也需要 1 条船）。 5. 解题通用步骤 ① 找不变量：通读题目，确定固定不变的总量（总钱数、总人数、总工作量等）； ② 算总量：根据已知的单一量和份数，计算出总量； ③ 求新量：用总量除以新的条件，得到新的单一量或份数； ④ 判最值：如果是最值问题，根据场景选择去尾法或进一法取整； ⑤ 验结果：把结果代入原题，验证总量是否前后一致。 6. 易错警示 忘记先求总量，直接用原来的单一量和新份数计算，比如 “每支 6 元买 4 支的钱，买 8 元的能买几支”，错算成； 最值取整错误，该去尾的用进一，该进一的用去尾，比如租船问题舍去余数，导致人坐不下； 单位不统一，总量是千米、新速度是米 / 分，直接计算导致结果错误； 混淆 “多多少” 和 “是多少”，求 “多烧几天”“少运几次” 时，直接算出新的数量，忘记做差。 例题讲解 【典型例题 1】基础归总・求份数 超市采购一批饮料，如果每箱装 8 瓶，可以装 30 箱。如果每箱装 12 瓶，可以装多少箱？ 【分析】这是基础归总问题，饮料的总瓶数是不变的总量。先根据每箱 8 瓶、30 箱算出总瓶数，再用总瓶数除以每箱 12 瓶，得到新的箱数。 【详解】 第一步：计算饮料总瓶数 （瓶） 第二步：计算每箱 12 瓶时的箱数 （箱） 答：可以装 20 箱。 【答案】箱 【跟踪训练 1】 小明读一本书，每天读 12 页，10 天可以读完。如果每天读 15 页，多少天可以读完？ 【分析】书的总页数不变，先算总页数，再除以每天读 15 页，得到读完的天数。 【详解】 总页数：（页） 天数：（天） 答：8 天可以读完。 【答案】天 【典型例题 2】基础归总・求单一量 工厂生产一批零件，每天生产 25 个，6 天可以完成任务。如果要 5 天完成任务，平均每天要生产多少个零件？ 【分析】零件总个数是不变的总量，先算总个数，再除以新的天数 5 天，得到每天需要生产的数量。 【详解】 零件总数：（个） 每天生产：（个） 答：平均每天要生产 30 个零件。 【答案】个 【跟踪训练 2】 把一批水果分给幼儿园的小朋友，每班分 16 千克，正好分给 3 个班。如果分给 4 个班，平均每班分多少千克？ 【分析】水果总重量不变，先算总重量，再除以 4 个班，得到每班分的重量。 【详解】 总重量：（千克） 每班分：（千克） 答：平均每班分 12 千克。 【答案】千克 【典型例题 3】归总与最值应用 王老师带了一笔钱买奖品，买每本 6 元的笔记本，正好可以买 14 本。如果买每支 8 元的钢笔，最多能买多少支？ 【分析】总钱数不变，先算出王老师带的总钱数，再除以钢笔的单价，得到能买的支数。因为余下的钱不够买 1 支钢笔，所以用去尾法取整数。 【详解】 总钱数：（元） 能买钢笔数：（支）……（元） 余下 4 元不够买 1 支钢笔，所以最多买 10 支。 答：最多能买 10 支。 【答案】支 【跟踪训练 3】 同学们去春游，总人数不变。如果租每辆坐 12 人的小车，需要租 4 辆。如果租每辆坐 9 人的面包车，至少需要租多少辆？ 【分析】先算总人数，再除以每辆面包车坐的人数，余下的人也需要 1 辆车，用进一法取整。 【详解】 总人数：（人） （辆）……（人） 余下 3 人也需要 1 辆面包车，至少需要：（辆） 答：至少需要租 6 辆。 【答案】辆 巩固练习 1. 工地运来一批沙子，每车运 15 吨，需要运 8 车。如果每车运 20 吨，需要运多少车？ 【分析】沙子总吨数不变，先算总量，再除以每车 20 吨得到车数。 【详解】 总吨数：（吨） 车数：（车） 答：需要运 6 车。 【答案】车 2. 服装厂做一批校服，每套校服用布 3 米，可以做 40 套。如果每套用布 4 米，可以做多少套？ 【分析】布的总米数不变，先算总布长，再除以每套 4 米得到套数。 【详解】 总布长：（米） 套数：（套） 答：可以做 30 套。 【答案】套 3. 小华从家走到学校，每分钟走 60 米，12 分钟走到。如果要 9 分钟走到，每分钟要走多少米？ 【分析】家到学校的总路程不变，先算总路程，再除以时间 9 分钟得到速度。 【详解】 总路程：（米） 速度：（米 / 分钟） 答：每分钟要走 80 米。 【答案】米 4. 有一堆苹果，每筐装 20 千克，正好装 15 筐。如果装成 10 筐，平均每筐装多少千克？ 【分析】苹果总重量不变，先算总重量，再除以 10 筐得到每筐重量。 【详解】 总重量：（千克） 每筐装：（千克） 答：平均每筐装 30 千克。 【答案】千克 5. 李老师带的钱买每支 5 元的钢笔，正好可以买 12 支。如果买每本 7 元的笔记本，最多能买多少本？ 【分析】总钱数不变，先算总钱数，除以笔记本单价，用去尾法取整。 【详解】 总钱数：（元） （本）……（元） 余下 4 元不够买 1 本，最多买 8 本。 答：最多能买 8 本。 【答案】本 6. 三年级同学去秋游，每辆车坐 20 人，需要租 6 辆车。如果每辆车坐 25 人，至少需要租几辆车？ 【分析】先算总人数，除以每车 25 人，有余数用进一法。 【详解】 总人数：（人） （辆）……（人） 余下 20 人也需要 1 辆车，至少需要：（辆） 答：至少需要租 5 辆车。 【答案】辆 7. 工人修一条路，每天修 80 米，9 天可以修完。如果每天修 90 米，8 天能修完吗？ 【分析】先算路的总长度，再算 8 天能修的长度，比较大小判断能否修完。 【详解】 路的总长：（米） 8 天能修：（米） ，正好能修完。 答：8 天能修完。 【答案】能 8. 一批货物，用载重 4 吨的卡车运，需要运 10 次。如果改用载重 5 吨的卡车运，能少运几次？ 【分析】先算货物总吨数，再算载重 5 吨需要的次数，求两次的次数差。 【详解】 总吨数：（吨） 载重 5 吨需要次数：（次） 少运次数：（次） 答：能少运 2 次。 【答案】次 9. 做一批手工，每人做 15 个，8 个人正好做完。如果每人做 20 个，需要几个人？ 【分析】手工总个数不变，先算总数，再除以每人做 20 个得到人数。 【详解】 总个数：（个） 需要人数：（个） 答：需要 6 个人。 【答案】个 10. 一根绳子可以做 12 根每根长 2 米的跳绳。如果改做每根长 3 米的长跳绳，最多能做多少根？ 【分析】绳子总长度不变，先算总长，除以 3 米，正好整除无余数。 【详解】 总长：（米） （根） 答：最多能做 8 根。 【答案】根 11. 有一堆砖，每次搬 12 块，15 次可以搬完。如果每次多搬 3 块，多少次可以搬完？ 【分析】先算砖的总块数，新的每次搬 15 块，再算搬的次数。 【详解】 总块数：（块） 每次搬：（块） 次数：（次） 答：12 次可以搬完。 【答案】次 12. 同学们排队做操，每行站 15 人，正好站 8 行。如果每行站 9 人，至少要站多少行？ 【分析】总人数不变，先算总人数，除以每行 9 人，有余数用进一法。 【详解】 总人数：（人） （行）……（人） 余下 3 人也需要站 1 行，至少：（行） 答：至少要站 14 行。 【答案】行 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）超市运来一批橘子，每箱装 15 千克，正好装 20 箱。如果每箱装 25 千克，可以装多少箱？ 【分析】橘子总重量不变，先算总量，再求新的箱数。 【详解】 总重量：（千克） 箱数：（箱） 答：可以装 12 箱。 【答案】箱 2.（苏教版期末真题）修路队修一条路，每天修 60 米，8 天修完。如果要 6 天修完，每天修多少米？ 【分析】路的总长度不变，先算总长，再求每天修的长度。 【详解】 总长：（米） 每天修：（米） 答：每天修 80 米。 【答案】米 3.（希望杯三年级试题）张老师带的钱买每本 4 元的笔记本，正好可以买 18 本。如果买每支 9 元的钢笔，最多能买多少支？ 【分析】总钱数不变，先算总钱数，除以钢笔单价得到数量。 【详解】 总钱数：（元） （支） 答：最多能买 8 支。 【答案】支 4.（华杯赛低年级组）一批货物，用载重 3 吨的货车运，需要运 8 次。如果改用载重 4 吨的货车运，能少运几次？ 【分析】先算货物总吨数，再算新的运输次数，求次数差。 【详解】 总吨数：（吨） 载重 4 吨需要：（次） 少运：（次） 答：能少运 2 次。 【答案】次 5.（苏教版培优题）同学们去划船，租每条坐 8 人的船，需要租 6 条。如果租每条坐 6 人的船，至少要租多少条？ 【分析】总人数不变，先算总人数，再求需要的船数。 【详解】 总人数：（人） （条） 答：至少要租 8 条。 【答案】条 6.（重点中学分班考）一本书，每天读 10 页，18 天可以读完。如果每天多读 5 页，多少天可以读完？ 【分析】先算总页数，新的每天读 15 页，再算读完的天数。 【详解】 总页数：（页） 每天读：（页） 天数：（天） 答：12 天可以读完。 【答案】天 7.（走美杯真题）工厂做一批零件，每人做 8 个，15 个人可以做完。如果每人多做 2 个，几个人可以做完？ 【分析】先算零件总个数，新的每人做 10 个，再算需要的人数。 【详解】 总个数：（个） 每人做：（个） 人数：（个） 答：12 个人可以做完。 【答案】个 8.（三年级期末真题）食堂运来一批大米，每天吃 12 千克，可以吃 20 天。如果每天吃 15 千克，可以吃多少天？ 【分析】大米总重量不变，先算总量，再求可以吃的天数。 【详解】 总重量：（千克） 天数：（天） 答：可以吃 16 天。 【答案】天 9.（希望杯模拟题）一根绳子剪成长 2 米的短绳，可以剪 18 根。如果剪成长 4 米的长绳，最多能剪多少根？ 【分析】绳子总长度不变，先算总长，再求长绳数量。 【详解】 总长：（米） （根） 答：最多能剪 9 根。 【答案】根 10.（小升初衔接题）有一堆煤，每天烧 5 吨，可以烧 12 天。如果每天节约 1 吨，这堆煤可以多烧多少天？ 【分析】先算煤的总吨数，新的每天烧 4 吨，算出总天数，再求多烧的天数。 【详解】 总吨数：（吨） 每天烧：（吨） 可以烧：（天） 多烧：（天） 答：可以多烧 3 天。 【答案】天 11.（华杯赛模拟题）王老师买奖品，买每支 5 元的钢笔，正好买 12 支。如果用这些钱买 2 本笔记本，还剩 14 元。每本笔记本多少元？ 【分析】先算总钱数，减去剩下的钱得到 2 本笔记本的总价，再除以 2 得到单价。 【详解】 总钱数：（元） 2 本笔记本总价：（元） 每本：（元） 答：每本笔记本 23 元。 【答案】元 12.（思维训练题）小明从家到学校，每分钟走 50 米，12 分钟到达。如果要提前 2 分钟到达，每分钟要多走多少米？ 【分析】先算家到学校的总路程，新的时间是 10 分钟，算出新速度，再求多走的米数。 【详解】 总路程：（米） 时间：（分钟） 新速度：（米 / 分钟） 多走：（米） 答：每分钟要多走 10 米。 【答案】米 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 归总问题与最值应用 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 归总问题核心概念 归总问题的本质特点：总量（总数量、总价钱、总路程、总工作量等）保持不变，先根据已知的单一量和对应份数求出总量，再利用总量求解新的单一量或新的份数。 核心思想：先求总，再求分，总量是解题的中间桥梁。 与归一问题的区别：归一是 “单一量不变”，归总是 “总量不变”。 2. 基本数量关系式 三个核心公式，知二求一： 总量 = 单一量 × 对应份数（基础公式，先求总量） 新单一量 = 总量 ÷ 新份数（已知新份数，求每份多少） 新份数 = 总量 ÷ 新单一量（已知新单一量，求能分多少份） 3. 常见归总题型 归总求份数：已知总量和新的每份数量，求能分成多少份 例：一笔钱买 4 元的笔能买 10 支，买 5 元的能买几支？ 归总求单一量：已知总量和新的份数，求每份是多少 例：一堆书分给 6 人每人 8 本，分给 12 人每人几本？ 归总最值问题：结合实际生活场景，求 “最多”“至少” 的结果，需要对计算结果合理取整。 4. 最值应用的两种取整规则 有余数时不能直接用四舍五入，要根据实际场景判断取整方式： （1）去尾法 剩下的量不够完成 1 份，直接舍去余数，取整数部分。 适用场景：买东西最多买几件、做手工最多做几个等。 例：总钱数 30 元，每本书 7 元，最多买 4 本（余下 2 元不够买 1 本）。 （2）进一法 剩下的量还需要额外 1 份，在商的基础上加 1。 适用场景：租船、租车、装东西需要几个容器等。 例：总人数 26 人，每条船坐 6 人，至少租 5 条（余下 2 人也需要 1 条船）。 5. 解题通用步骤 ① 找不变量：通读题目，确定固定不变的总量（总钱数、总人数、总工作量等）； ② 算总量：根据已知的单一量和份数，计算出总量； ③ 求新量：用总量除以新的条件，得到新的单一量或份数； ④ 判最值：如果是最值问题，根据场景选择去尾法或进一法取整； ⑤ 验结果：把结果代入原题，验证总量是否前后一致。 6. 易错警示 忘记先求总量，直接用原来的单一量和新份数计算，比如 “每支 6 元买 4 支的钱，买 8 元的能买几支”，错算成； 最值取整错误，该去尾的用进一，该进一的用去尾，比如租船问题舍去余数，导致人坐不下； 单位不统一，总量是千米、新速度是米 / 分，直接计算导致结果错误； 混淆 “多多少” 和 “是多少”，求 “多烧几天”“少运几次” 时，直接算出新的数量，忘记做差。 例题讲解 【典型例题 1】基础归总・求份数 超市采购一批饮料，如果每箱装 8 瓶，可以装 30 箱。如果每箱装 12 瓶，可以装多少箱？ 【跟踪训练 1】 小明读一本书，每天读 12 页，10 天可以读完。如果每天读 15 页，多少天可以读完？ 【典型例题 2】基础归总・求单一量 工厂生产一批零件，每天生产 25 个，6 天可以完成任务。如果要 5 天完成任务，平均每天要生产多少个零件？ 【跟踪训练 2】 把一批水果分给幼儿园的小朋友，每班分 16 千克，正好分给 3 个班。如果分给 4 个班，平均每班分多少千克？ 【典型例题 3】归总与最值应用 王老师带了一笔钱买奖品，买每本 6 元的笔记本，正好可以买 14 本。如果买每支 8 元的钢笔，最多能买多少支？ 【跟踪训练 3】 同学们去春游，总人数不变。如果租每辆坐 12 人的小车，需要租 4 辆。如果租每辆坐 9 人的面包车，至少需要租多少辆？ 巩固练习 1. 工地运来一批沙子，每车运 15 吨，需要运 8 车。如果每车运 20 吨，需要运多少车？ 2. 服装厂做一批校服，每套校服用布 3 米，可以做 40 套。如果每套用布 4 米，可以做多少套？ 3. 小华从家走到学校，每分钟走 60 米，12 分钟走到。如果要 9 分钟走到，每分钟要走多少米？ 4. 有一堆苹果，每筐装 20 千克，正好装 15 筐。如果装成 10 筐，平均每筐装多少千克？ 5. 李老师带的钱买每支 5 元的钢笔，正好可以买 12 支。如果买每本 7 元的笔记本，最多能买多少本？ 6. 三年级同学去秋游，每辆车坐 20 人，需要租 6 辆车。如果每辆车坐 25 人，至少需要租几辆车？ 7. 工人修一条路，每天修 80 米，9 天可以修完。如果每天修 90 米，8 天能修完吗？ 8. 一批货物，用载重 4 吨的卡车运，需要运 10 次。如果改用载重 5 吨的卡车运，能少运几次？ 9. 做一批手工，每人做 15 个，8 个人正好做完。如果每人做 20 个，需要几个人？ 10. 一根绳子可以做 12 根每根长 2 米的跳绳。如果改做每根长 3 米的长跳绳，最多能做多少根？ 11. 有一堆砖，每次搬 12 块，15 次可以搬完。如果每次多搬 3 块，多少次可以搬完？ 12. 同学们排队做操，每行站 15 人，正好站 8 行。如果每行站 9 人，至少要站多少行？ 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）超市运来一批橘子，每箱装 15 千克，正好装 20 箱。如果每箱装 25 千克，可以装多少箱？ 2.（苏教版期末真题）修路队修一条路，每天修 60 米，8 天修完。如果要 6 天修完，每天修多少米？ 3.（希望杯三年级试题）张老师带的钱买每本 4 元的笔记本，正好可以买 18 本。如果买每支 9 元的钢笔，最多能买多少支？ 4.（华杯赛低年级组）一批货物，用载重 3 吨的货车运，需要运 8 次。如果改用载重 4 吨的货车运，能少运几次？ 5.（苏教版培优题）同学们去划船，租每条坐 8 人的船，需要租 6 条。如果租每条坐 6 人的船，至少要租多少条？ 6.（重点中学分班考）一本书，每天读 10 页，18 天可以读完。如果每天多读 5 页，多少天可以读完？ 7.（走美杯真题）工厂做一批零件，每人做 8 个，15 个人可以做完。如果每人多做 2 个，几个人可以做完？ 8.（三年级期末真题）食堂运来一批大米，每天吃 12 千克，可以吃 20 天。如果每天吃 15 千克，可以吃多少天？ 9.（希望杯模拟题）一根绳子剪成长 2 米的短绳，可以剪 18 根。如果剪成长 4 米的长绳，最多能剪多少根？ 10.（小升初衔接题）有一堆煤，每天烧 5 吨，可以烧 12 天。如果每天节约 1 吨，这堆煤可以多烧多少天？ 11.（华杯赛模拟题）王老师买奖品，买每支 5 元的钢笔，正好买 12 支。如果用这些钱买 2 本笔记本，还剩 14 元。每本笔记本多少元？ 12.（思维训练题）小明从家到学校，每分钟走 50 米，12 分钟到达。如果要提前 2 分钟到达，每分钟要多走多少米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $