专题4：乘法竖式谜与错中求解（思维拓展）-苏教版数学三年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题四 乘法竖式谜与错中求解 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 1 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 2 考点一：乘法竖式谜（基础推理） 2 考点二：乘法竖式谜（进阶推理） 3 考点三：错中求解（看错乘数） 4 考点四：错中求解（看错被乘数） 5 考点五：枚举与排除策略 6 第三部分 易错避坑指南 8 第四部分 分层进阶专题精练 9 一、能力进阶篇（8题） 9 二、思维跃迁篇（5题） 10 第五部分 精准解析 11 一、能力进阶篇解析 11 二、思维跃迁篇解析 13 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是苏教版三年级上册第二单元"两、三位数乘一位数"的奥数培优内容，核心是"乘法竖式谜与错中求解"，依托竖式谜基础推理、进阶推理、看错乘数、看错被乘数、枚举排除五大考点，训练逆向推理能力和对乘法算理的深度理解。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 竖式谜基础 根据竖式中已知数字推未知数字 从积的个位、进位入手 每一位都要满足进位规则 竖式谜进阶 已知部分积反推整个算式，积 ÷ 已知因数 = 另一个因数，逆向枚举。 积÷乘数=被乘数，逆向枚举 答案可能不唯一，要找全 看错乘数 乘数看错导致积错，求正确积 错误积÷看错的数=被乘数 除法还原时除数不能找错 看错被乘数 被乘数看错导致积错 先还原看错的数再改回 分清"谁看错、谁没错" 枚举排除 候选数字逐一尝试、排除 列出可能→逐个验证→排除 枚举要有序，不重不漏 二、解题方法图表记忆法 把竖式谜与错中求解的常用推理方法整理成表格，解题时按步骤有序推理。 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 个位突破法 积的个位已知的竖式谜 看乘数个位与积个位→定未知数 个位定乾坤 逆推法 积完整给出的竖式谜 积÷已知乘数=被乘数→验证 除法是乘法的逆 还原法 错中求解 错误积÷看错的因数→还原→正确计算 将错就错再还原 差量法 两积相差已知 积差÷因数差=不变的因数 差几倍差多少 枚举法 候选有限时 按序尝试→验证条件→排除错误 有序枚举不遗漏 三、奥数思维提升 1. 逆向思维：从结果推条件 核心要点：竖式谜给出了部分结果（积的某一位），从结果出发逆向推算未知数字，往往比顺推更高效。 示例：□7×3的积个位是1，由7×3=21立即确认个位与进位，问题只剩十位。 2. 口诀定位思想：个位是钥匙 核心要点：两个因数个位相乘，积的个位唯一确定。用"积个位反查乘法口诀"可把未知数的候选压缩到一两个。 示例：积个位是6、乘数是4，则另一因数个位只能是4（4×4=16）或9（9×4=36）。 3. 将错就错思想：错误也是信息 核心要点：错中求解中，错误的算式同样成立（按看错的数算出了那个积），用错误积÷看错的数，就能还原出没看错的因数。 示例：把乘数6错看成9，积成了495，则原数=495÷9=55，正确积=55×6=330。 4. 有序枚举思想：不重不漏地尝试 核心要点：候选数字有限（0~9）时，按从小到大逐个尝试、验证、排除，直到找全所有答案。 示例：□□×6=4□2，把402、412、422……492逐个除以6，能整除的就是解。 5. 验证思想：每个答案都要过安检 核心要点：推出答案后，必须代回原竖式逐位验证；错中求解要用正确算式验算积。 示例：推出□=6后，把6代入竖式重新乘一遍，每一位都吻合才算完成。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：乘法竖式谜（基础推理） 典型例题 1（提高型）—— 个位定乾坤 题目：在□里填上合适的数字：□7×3=□□1 解题步骤： ① 从个位看：7×3=21，积的个位是1，与题目条件吻合，同时向十位进2； ② 十位：□×3+2；只要积的个位保持1，□可取多个值； ③ 尝试□=4：47×3=141，形如"□□1"（141）✓； ④ 尝试□=7：77×3=231，也形如"□□1"（231）✓； ⑤ 继续尝试□=1：17×3=51，是两位数"51"✓；可见答案不唯一。 【答案】答案不唯一，如 47×3=141、77×3=231、17×3=51 【知识点睛】本题考查竖式谜的个位突破法：先由已知个位（7×3=21）确认积的个位与进位2，再尝试十位数字使整个算式成立。竖式谜常常多解，找到一个解后应继续检验其他可能，并逐一代回验证。 典型例题 2（奥数型）—— 由积的个位与范围交叉锁定 题目：□□×4=2□6，求这个两位数。 解题步骤： ① 由积的个位是6：被乘数个位×4的个位是6，只有 4×4=16 和 9×4=36，个位候选为4或9； ② 由积是 2□6（200~299）：被乘数范围 200÷4=50 至 299÷4≈74，即 50~74； ③ 个位4：54×4=216 ✓（积是216，形如2□6）；64×4=256 ✓；74×4=296 ✓； ④ 个位9：59×4=236 ✓；69×4=276 ✓； ⑤ 所有解：54、59、64、69、74。 【答案】54（216）、59（236）、64（256）、69（276）、74（296） 【知识点睛】本题考查双条件交叉锁定：积个位6锁定被乘数个位（4或9），积二百多锁定被乘数范围（50~74），两组条件交叉得5个解。竖式谜推理的要诀是"每个已知条件都用来缩小范围"，交叉后逐一代回验证。 考点二：乘法竖式谜（进阶推理） 典型例题 1（提高型）—— 逆向枚举法 题目：□□×6=4□2，写出所有满足条件的算式。 解题步骤： ① 积形如4□2，在402~492之间且个位是2； ② 逐个除以6检验：402÷6=67 ✓、412÷6除不尽、422÷6除不尽、432÷6=72 ✓、442÷6除不尽、452÷6除不尽、462÷6=77 ✓、472÷6除不尽、482÷6除不尽、492÷6=82 ✓； ③ 所以满足条件的算式：67×6=402、72×6=432、77×6=462、82×6=492； ④ 逐个验证：67×6=402✓、72×6=432✓、77×6=462✓、82×6=492✓。 【答案】67×6=402、72×6=432、77×6=462、82×6=492 【知识点睛】本题考查逆向枚举法：积的大部分数字已知时，把积的所有可能（402~492中个位是2的）逐个除以乘数6，能整除且商是两位数的就是解。正向逐位推理分支太多时，"积÷乘数"的逆向枚举又快又全。 典型例题 2（奥数型）—— 竖式谜的唯一解 题目：一个两位数乘4，积是三百多，且积的十位数字是5。这个两位数是多少？ 解题步骤： ① 积是三百多（300~399）：被乘数范围 300÷4=75 至 399÷4≈99，即 75~99； ② 逐个验证积的十位是否为5：75×4=300（十位0✗）、78×4=312（1✗）、83×4=332（3✗）、88×4=352（5✓！）、93×4=372（7✗）、98×4=392（9✗）； ③ 全面排查：个位是3或8的才能使积个位是2或0？本题不限积个位，只需十位是5——在75~99中逐一算积：只有88×4=352的十位是5； ④ 验证：88×4=352，三百多✓、十位5✓。 【答案】88（88×4=352） 【知识点睛】本题考查范围锁定与逐位排查：先由"积三百多"锁定被乘数75~99，再逐个计算检查积的十位，唯一命中88×4=352。当条件只涉及积的中间数位时，"先定范围、再查数位"是最直接的路径，排查务必完整才能确认唯一。 考点三：错中求解（看错乘数） 典型例题 1（提高型）—— 看错乘数求正确积 题目：小马虎计算一个数乘6时，把6错看成9，结果得495。正确的积是多少？ 解题步骤： ① 将错就错：看错的算式是"原数×9=495"； ② 还原原数：495÷9=55； ③ 正确计算：55×6=330； ④ 验证：55×9=495✓，55×6=330✓。 【答案】330 【知识点睛】本题考查错中求解的还原法：错误的算式按看错的数依然成立，用错误积÷看错的乘数=原数（495÷9=55），再用正确的乘数计算（55×6=330）。口诀"将错就错先还原，还原之后正确算"。 典型例题 2（奥数型）—— 差量分析求原数 题目：一个数乘7，小马虎把7错写成2，得到的积比正确的积少275。这个数是多少？正确的积是多少？ 解题步骤： ① 不变的是这个被乘数，错误的算式是这个数乘 2，正确的算式是这个数乘 7； ② 乘 7 比乘 2 多算了 5 个这样的数，对应的积相差 275； ③ 这个数 = 275÷5=55； ④ 正确的积：55×7=385； ⑤ 验证：55×2=110，55×7=385，385-110=275✓。 【答案】这个数是55，正确的积是385 【知识点睛】本题考查错中求解的差量法：乘数相差 5（7-2），积就相差 5 个不变的被乘数，用 “积的差 ÷ 乘数的差” 直接求出不变的数。差量法的原理：一个因数不变时，另一个因数变化多少，积就跟着变化几个不变的因数。 考点四：错中求解（看错被乘数） 典型例题 1（提高型）—— 看错十位求正确积 题目：计算一个两位数乘5时，小马虎把这个两位数的十位数字7错看成1，得到积95。正确的积是多少？ 解题步骤： ① 将错就错：看错的算式是"看错的数×5=95"； ② 还原看错的数：95÷5=19（十位恰是1✓）； ③ 改回十位：原数是79； ④ 正确计算：79×5=395； ⑤ 验证：19×5=95✓，79×5=395✓。 【答案】395 【知识点睛】本题考查看错被乘数的还原：先用错误积÷没看错的乘数还原出看错的数（95÷5=19），再"改回"错误（十位1改回7得79），最后正确计算。看错被乘数与看错乘数的还原路径一致：错误积÷没看错的因数=看错的因数。 典型例题 2（奥数型）—— 个位看错的推理 题目：一个两位数乘8，小马虎把个位数字看错了，得到积328。已知正确的积比328大48。原来的两位数是多少？ 解题步骤： ① 正确的积：328+48=376； ② 乘数8没看错：原两位数=376÷8=47； ③ 还原看错的数：328÷8=41（原数47的个位7被看成1）； ④ 验证：47×8=376✓，41×8=328✓，376-328=48✓。 【答案】原来的两位数是47 【知识点睛】本题考查双重还原：由"错误积+差=正确积"（328+48=376），再用"正确积÷正确乘数"一步求出原数（376÷8=47），最后用"错误积÷8=41"验证个位确实是7看成1。错中求解的所有信息都通过"÷没看错的因数"这条通道还原。 考点五：枚举与排除策略 典型例题 1（提高型）—— 有序枚举计数 题目：一个两位数乘4的积是三位数，且积的个位是8。这样的两位数有几个？ 解题步骤： ① 积是三位数：两位数≥25（25×4=100，24×4=96是两位数）； ② 积个位是8：两位数个位是2或7（2×4=8，7×4=28）； ③ 个位2的（32~92）：32、42、52、62、72、82、92，共7个，逐个验证积均为三位数✓； ④ 个位7的（27~97）：27、37、47、57、67、77、87、97，共8个，积依次是108、148、188、228、268、308、348、388，均为三位数✓； ⑤ 合计：7+8=15个。 【答案】15个 【知识点睛】本题考查有序枚举与计数：先由"积是三位数"定下界（≥25），再由"积个位8"锁定个位（2或7），按个位分两组有序枚举并计数（7+8=15）。枚举时按顺序列表、逐个验证，才能不重不漏。 典型例题 2（奥数型）—— 排除法找唯一解 题目：□4×6的积是三位数，且积的十位数字是8。求□中的数字。 解题步骤： ① 积是三位数：□4×6≥100，即□4≥17，□≥2； ② 个位：4×6=24，积个位是4，向十位进2； ③ 十位：□×6+2 的个位必须是8，即□×6的个位是6，□=1或□=6；结合□≥2，取□=6； ④ 验证：64×6=384，是三位数✓、十位是8✓； ⑤ 排除□=1：14×6=84是两位数，不符合"积是三位数"。 【答案】□=6（64×6=384） 【知识点睛】本题考查进位分析与排除法：由积十位是8反推□×6的个位是6，候选□=1或6；再用"积是三位数"排除□=1（14×6=84是两位数），唯一解□=6。竖式谜中"进位"是隐藏条件——十位的积要加上个位的进位2，这一步最容易被忽略。 第三部分 易错避坑指南 易错点1：错中求解时除数找错 错误示例：把乘数6看成9得积495，求原数时算 495÷6（错误） 正确分析：错误的算式是"原数×9=495"，应该用495÷9=55还原原数；6是正确的乘数，不能用来除错误积。 修正方法：口诀"错误积除以看错的数"。正确：495÷9=55，55×6=330。 易错点2：竖式谜只找一个解就收工 错误示例：□7×3=□□1 只写47×3=141，漏掉77×3=231等（答案不全） 正确分析：竖式谜常常有多解，找到一个后要继续检验其他可能，把所有解找全。 修正方法：养成习惯：找到一解后问"还有吗"，按顺序把候选数字检验完。 易错点3：枚举无序导致重复或遗漏 错误示例：枚举"积个位是8的两位数×4"时随意跳着数，数出14个（错误） 正确分析：枚举要按顺序（从小到大、按个位分组），每验证一个做一个记号，才能不重不漏。 修正方法：先分组（个位2一组、个位7一组），再逐个按序验证计数。 易错点4：还原后忘记用正确的数重新计算 错误示例：看错乘数求出原数55后，直接把55×9=495当作正确积（错误） 正确分析：495是错误积；求出原数后必须用正确的乘数6重新计算：55×6=330。 修正方法：口诀"还原之后正确算"，最后一步永远是"原数×正确的因数"。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（8题） 1. □□×3=1□8，写出两个满足条件的算式。 2. 一个数乘7，把7错看成4，得积228。正确的积是多少？ 3. 一个数乘9，把9错看成6，积比正确的积少141。这个数是多少？ 4. 两位数□6×5的积是三位数，□最小是几？ 5. 3□×4=152，□是几？ 6. 小马虎算一个两位数乘8，把这个数的十位5错写成9，得积752。正确的积是多少？ 7. □□×6=4□□，积的个位是2，写出两个满足条件的算式。 8. 一个两位数乘3，积在40到50之间，且积的个位是8。这个两位数是多少？ 二、思维跃迁篇（5题） 9. 3□□×8=2□□□，积的个位是0，写出两个满足条件的算式。 10. 一个数乘6，把6错看成9后积多了105。这个数是多少？正确的积是多少？ 11. 小马虎计算45×□，把□看错后得到积360，正确计算时积是315。他把□看成了几？正确的乘数是几？ 12. 三位数乘2的积是四位数，这样的三位数有多少个？ 13. 在 2□×□=156 中，两个□各是几？（各填一个数字） 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】36×3=108、46×3=138（答案不唯一） 解题步骤： ① 积形如1□8，在108~198之间且个位是8； ② 逐个除以3：108÷3=36✓、118÷3除不尽、128÷3除不尽、138÷3=46✓、148÷3除不尽、158÷3除不尽、168÷3=56✓、178÷3除不尽、188÷3除不尽、198÷3=66✓； ③ 满足条件的有：36×3=108、46×3=138、56×3=168、66×3=198。 【知识点睛】本题考查逆向枚举法：把积的所有候选（108~198中个位是8的）逐个除以乘数3，能整除的就是解。共4解，任写两个即可。"积÷乘数"的逆向思路比逐位推理快且不易漏。 2. 【答案】399 解题步骤： ① 错误算式：原数×4=228； ② 原数=228÷4=57； ③ 正确积：57×7=399； ④ 验证：57×4=228✓。 【知识点睛】本题考查错中求解还原法：将错就错，错误积228÷看错的乘数4=原数57，再用正确的乘数7计算得399。"错误积÷看错的数→原数→原数×正确的数"是标准三步。 3. 【答案】47 解题步骤： ① 积差：9a-6a=3a=141； ② a=141÷3=47； ③ 验证：47×9=423，47×6=282，423-282=141✓。 【知识点睛】本题考查差量法：乘数 9 与 6 相差 3，积就相差 3 个不变的数，用 “积差 ÷ 乘数差” 直接求出这个数是 47。差量法绕开 “先求原积” 的弯路，是错中求解的核心思路。 4. 【答案】2 解题步骤： ① □6×5≥100； ② □6≥20，即□≥2； ③ 验证边界：26×5=130是三位数✓，16×5=80是两位数✗； ④ 所以□最小是2。 【知识点睛】本题考查积的位数分析：积是三位数需被乘数≥100÷5=20，□6≥20即□≥2。用"位数下界=最小三位数÷乘数"定位，再取边界值（16与26）验证即可。 5. 【答案】8 解题步骤： ① 152÷4=38； ② 所以3□中的□=8； ③ 验证：38×4=152✓。 【知识点睛】本题考查逆推法：积完整给出时，直接用积÷乘数=被乘数（152÷4=38），一步到位。竖式谜中"积完整已知"的题型，除法逆推是首选方法。 6. 【答案】432 解题步骤： ① 还原看错的数：752÷8=94（十位恰是9✓）； ② 十位9改回5：原数是54； ③ 正确积：54×8=432； ④ 验证：94×8=752✓，54×8=432✓。 【知识点睛】本题考查看错被乘数的还原：错误积752÷没看错的乘数8=看错的数94，十位改回5得原数54，正确积54×8=432。注意用"94的十位是9"与题干互相印证，确认还原无误。 7. 【答案】如 67×6=402、72×6=432（答案不唯一） 解题步骤： ① 积4□□即在400~499之间：被乘数范围 400÷6≈67 至 499÷6≈83； ② 积个位是2：被乘数个位是2或7（2×6=12，7×6=42）； ③ 个位7：67×6=402✓、77×6=462✓；个位2：72×6=432✓、82×6=492✓； ④ 任写两个即可。 【知识点睛】本题考查条件交叉：积400多定被乘数范围（67~83），积个位2定个位（2或7），交叉得67、72、77、82四个解。题目"写出两个"暗示多解，按交叉条件批量筛选即可。 8. 【答案】16 解题步骤： ① 积在40~50之间且个位是8：积只能是48； ② 被乘数=48÷3=16； ③ 验证：16×3=48✓，在40~50之间、个位8✓。 【知识点睛】本题考查由积的特征定积再逆推："40到50之间且个位是8"的数只有48，用48÷3=16一步求出被乘数。先确定积再除，比枚举被乘数更直接。 二、思维跃迁篇解析 9. 【答案】如 340×8=2720、350×8=2800（答案不唯一） 解题步骤： ① 积个位是0：被乘数个位×8的个位是0，被乘数个位是0或5（0×8=0，5×8=40）； ② 积是四位数：被乘数≥125（125×8=1000），3□□范围天然满足； ③ 如 340×8=2720✓、350×8=2800✓、360×8=2880✓、390×8=3120✓、395×8=3160✓； ④ 任写两个即可。 【知识点睛】本题考查开放型竖式谜：条件"积个位0+积四位数"筛出的解很多（个位0或5的3□□乘8基本都满足），写出任意两个并验证即可。开放题重在条件核对与验证，不追求穷举。 10. 【答案】35，正确的积210 解题步骤： ① 积多了105：9a-6a=3a=105； ② a=105÷3=35； ③ 正确积：35×6=210； ④ 验证：35×9=315，315-210=105✓。 【知识点睛】本题考查差量法：乘数 9 比 6 大 3，多出的积 105 正好是原数的 3 倍，用 105÷3 即可求出原数是 35。积的变化量 = 原数 × 乘数的变化量，“积差 ÷ 因数差” 直接得到不变的原数。 11. 【答案】看成了8，正确的乘数是7 解题步骤： ① 正确的乘数：315÷45=7； ② 看错的乘数：360÷45=8； ③ 验证：45×7=315✓，45×8=360✓，两个积都对应同一被乘数45✓。 【知识点睛】本题考查双重还原：被乘数45没看错，用两个积分别除以45（315÷45=7、360÷45=8），同时还原出正确乘数与看错的乘数。被乘数不变时，"积÷被乘数"就是乘数，两积一除，真相大白。 12. 【答案】500个 解题步骤： ① 积是四位数：三位数×2≥1000，即三位数≥500； ② 三位数范围500~999：个数=999-500+1=500； ③ 验证边界：499×2=998（三位数✗）、500×2=1000（四位数✓）、999×2=1998（四位数✓）。 【知识点睛】本题考查位数边界计数：积是四位数需被乘数≥1000÷2=500，三位数中500~999共500个。用"最小积1000÷乘数2"找到下界，再数个数，边界值（499与500）验证后就放心作答。 13. 【答案】被乘数是26，乘数是6 解题步骤： ① 把156分解成"两位数×一位数"：156=4×39=6×26=12×13（12×13是两位数×两位数，不符合）； ② 对照"2□"形式：26×6=156，被乘数26形如"2□"✓、乘数6✓； ③ 验证：26×6=156✓； ④ 所以两个□分别填6和6。 【知识点睛】本题考查因数分解解竖式谜：把积156的所有"两位数×一位数"分解罗列（4×39、6×26），再按"2□"形式筛选出26×6。分解法把竖式谜转化为因数配对问题，思路直接、不易出错。 学科网（北京）股份有限公司 $