第4讲 差倍问题 专题讲义-苏教版数学四年级上册奥数培优

第4讲 差倍问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 差倍问题定义 已知两个数量的差，以及两个数量之间的倍数关系，求这两个数量分别是多少的应用题，叫做差倍问题。 核心本质：找到数量差对应的倍数差，用除法求出 1 倍量（标准量），再根据倍数关系求出多倍量。 2. 核心计算：两、三位数除以两位数 差倍问题的核心算式是1 倍量 = 数量差 ÷（倍数－1），其中数量差多为两位数或三位数，倍数差为两位数，计算时需遵循除数是两位数的除法法则： 先看被除数的前两位，前两位不够除就看前三位； 除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面； 每次除得的余数必须比除数小； 灵活运用四舍五入法试商、调商。 3. 基础公式 小数（1 倍量） 大数 或 4. 常见进阶题型 （1）几倍多几 / 几倍少几型 几倍多几：大数比小数的几倍还多几，先从差里减去多的部分，剩下的差对应整倍数差，再用除法求 1 倍量。 几倍少几：大数比小数的几倍还少几，先给差补上少的部分，补后的差对应整倍数差，再用除法求 1 倍量。 （2）暗差型 题目不直接给出数量差，需要先计算隐藏的差： 给完相等型：甲给乙个后两人相等，原来甲比乙多。 同增同减型：两个量同时增加或减少相同的数，差不变（典型：年龄问题、同修同剪问题）。 一增一减型：一个增加一个减少，差为两个变化量的和。 （3）多量差倍型 三个及以上数量存在差倍关系，先统一以同一个量为 1 倍量，找到差对应的份数，用除法求出 1 倍量。 5. 解题通用步骤 ① 找 1 倍量：“是”“比” 后面的量通常为 1 倍量； ② 算差：直接给出或通过条件计算隐藏的数量差； ③ 算倍数差：； ④ 求 1 倍量：（两、三位数除以两位数计算）； ⑤ 求大数：根据倍数关系求出多倍量； ⑥ 验证：代入题目条件检验是否符合。 6. 易错警示 差倍问题除以倍数－1，不是直接除以倍数，不要和和倍问题混淆； 给完相等的暗差，差是给的数量的 2 倍，不是 1 倍； 几倍多几 / 少几题型，先把差调整为整倍数对应的差，多减少加； 除法计算时，余数必须小于除数，试商偏大或偏小要及时调商。 例题讲解 【典型例题 1】基础差倍（三位数除以两位数） 甲工厂的产量是乙工厂的 13 倍，甲工厂比乙工厂多生产 156 件产品。甲、乙两工厂各生产多少件产品？ 【跟踪训练 1】 一个书架上层书的本数是下层的 14 倍，上层比下层多 156 本。上下层各有多少本书？ 【典型例题 2】几倍多几型 果园里苹果树的棵数比梨树的 12 倍多 18 棵，苹果树比梨树多 238 棵。苹果树和梨树各有多少棵？ 【跟踪训练 2】 超市运来的大米重量比面粉的 11 倍多 12 千克，大米比面粉重 232 千克。大米和面粉各运来多少千克？ 【典型例题 3】暗差型（给完相等） 甲仓库存粮的重量是乙仓库的 15 倍，如果从甲仓库运 112 吨粮食到乙仓库，两个仓库存粮正好相等。甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？ 【跟踪训练 3】 小明的邮票张数是小红的 12 倍，小明给小红 77 张后两人邮票数相等。两人原来各有多少张邮票？ 【典型例题 4】同增同减差不变 两根绳子，长绳长 230 米，短绳长 50 米。两根剪去同样长的一段后，长绳剩下的长度是短绳的 13 倍。剪去了多少米？ 【跟踪训练 4】 两堆煤，第一堆重 260 吨，第二堆重 80 吨。每天各运走 10 吨，几天后第一堆剩下的重量是第二堆的 13 倍？ 巩固练习 1. 两个数的差是 168，大数是小数的 13 倍。这两个数分别是多少？ 2. 一件皮衣的价格是一件毛衣的 15 倍，皮衣比毛衣贵 420 元。皮衣和毛衣的单价各是多少元？ 3. 养殖场里奶牛的数量比山羊的 12 倍多 14 头，奶牛比山羊多 234 头。奶牛和山羊各有多少头？ 4. 工厂生产的零件个数比成品的 13 倍少 6 个，零件比成品多 234 个。零件和成品各有多少个？ 5. 两袋大米，甲袋重量是乙袋的 12 倍。如果从甲袋倒 66 千克给乙袋，两袋大米重量相等。两袋原来各有多少千克？ 6. 一个整数的末尾添上两个 0 后，比原数大 198。原数是多少？ 7. 甲、乙、丙三个数，甲数是乙数的 2 倍，丙数是乙数的 14 倍，丙数比甲数多 132。三个数分别是多少？ 8. 学校买来的足球比篮球多 105 个，足球的个数比篮球的 12 倍少 5 个。足球和篮球各有多少个？ 9. 书架上下两层，上层书的本数是下层的 15 倍。如果从上层拿 98 本放到下层，上层还比下层多 28 本。原来上下层各有多少本书？ 10. 甲、乙、丙三人加工零件，甲加工的个数是乙的 3 倍，丙加工的个数是乙的 14 倍，丙比甲多加工 132 个。三人各加工多少个？ 11. 两箱同样重的水果，第一箱卖出 42 千克，第二箱卖出 6 千克后，第二箱剩下的重量是第一箱的 13 倍。原来每箱水果重多少千克？ 12. 叔叔今年的年龄是小刚的 16 倍，叔叔比小刚大 45 岁。今年叔叔和小刚各多少岁？ 真题训练 1.（苏教版四年级期末真题）果园里桃树比梨树多 192 棵，桃树的棵数是梨树的 13 倍。桃树有多少棵？ 2.（希望杯四年级试题）两个数相除商是 14，差是 169。这两个数分别是多少？ 3.（小升初衔接题）甲仓存粮是乙仓的 15 倍，如果从甲仓运出 112 吨放入乙仓，两仓存粮正好相等。甲、乙两仓原来各存粮多少吨？ 4.（华杯赛初赛）两根同样长的铁丝，第一根剪去 48 厘米，第二根剪去 6 厘米后，第二根剩下的长度是第一根的 15 倍。原来铁丝长多少厘米？ 5.（苏教版培优题）超市运来的牛奶箱数比酸奶的 12 倍多 8 箱，牛奶比酸奶多 228 箱。牛奶和酸奶各有多少箱？ 6.（重点中学分班考）一个整数末尾添上两个 0 后，比原数大 297。原数是多少？ 7.（走美杯真题）养殖场里肉牛的头数比奶牛的 11 倍多 14 头，肉牛比奶牛多 214 头。肉牛和奶牛各有多少头？ 8.（四年级期末真题）学校买了足球和篮球，足球个数是篮球的 13 倍，足球比篮球多 144 个。足球和篮球各买了多少个？ 9.（希望杯模拟题）两筐重量相同的橘子，甲筐卖出 38 千克，乙筐卖出 2 千克后，乙筐剩下的重量是甲筐的 13 倍。原来每筐橘子重多少千克？ 10.（小升初真题）甲、乙、丙三个数，乙数是甲数的 3 倍，丙数是乙数的 12 倍，丙数比甲数多 420。三个数分别是多少？ 11.（华杯赛模拟题）小明的邮票比小红的 14 倍多 3 张，小明比小红多 146 张。两人各有多少张邮票？ 12.（思维训练题）有两袋大米，甲袋有 150 千克，乙袋有 30 千克。每次从甲袋倒 6 千克放入乙袋，倒几次后，甲袋大米的重量是乙袋的 2 倍？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 差倍问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 差倍问题定义 已知两个数量的差，以及两个数量之间的倍数关系，求这两个数量分别是多少的应用题，叫做差倍问题。 核心本质：找到数量差对应的倍数差，用除法求出 1 倍量（标准量），再根据倍数关系求出多倍量。 2. 核心计算：两、三位数除以两位数 差倍问题的核心算式是1 倍量 = 数量差 ÷（倍数－1），其中数量差多为两位数或三位数，倍数差为两位数，计算时需遵循除数是两位数的除法法则： 先看被除数的前两位，前两位不够除就看前三位； 除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面； 每次除得的余数必须比除数小； 灵活运用四舍五入法试商、调商。 3. 基础公式 小数（1 倍量） 大数 或 4. 常见进阶题型 （1）几倍多几 / 几倍少几型 几倍多几：大数比小数的几倍还多几，先从差里减去多的部分，剩下的差对应整倍数差，再用除法求 1 倍量。 几倍少几：大数比小数的几倍还少几，先给差补上少的部分，补后的差对应整倍数差，再用除法求 1 倍量。 （2）暗差型 题目不直接给出数量差，需要先计算隐藏的差： 给完相等型：甲给乙个后两人相等，原来甲比乙多。 同增同减型：两个量同时增加或减少相同的数，差不变（典型：年龄问题、同修同剪问题）。 一增一减型：一个增加一个减少，差为两个变化量的和。 （3）多量差倍型 三个及以上数量存在差倍关系，先统一以同一个量为 1 倍量，找到差对应的份数，用除法求出 1 倍量。 5. 解题通用步骤 ① 找 1 倍量：“是”“比” 后面的量通常为 1 倍量； ② 算差：直接给出或通过条件计算隐藏的数量差； ③ 算倍数差：； ④ 求 1 倍量：（两、三位数除以两位数计算）； ⑤ 求大数：根据倍数关系求出多倍量； ⑥ 验证：代入题目条件检验是否符合。 6. 易错警示 差倍问题除以倍数－1，不是直接除以倍数，不要和和倍问题混淆； 给完相等的暗差，差是给的数量的 2 倍，不是 1 倍； 几倍多几 / 少几题型，先把差调整为整倍数对应的差，多减少加； 除法计算时，余数必须小于除数，试商偏大或偏小要及时调商。 例题讲解 【典型例题 1】基础差倍（三位数除以两位数） 甲工厂的产量是乙工厂的 13 倍，甲工厂比乙工厂多生产 156 件产品。甲、乙两工厂各生产多少件产品？ 【分析】乙工厂的产量是 1 倍量，甲工厂是 13 倍量，倍数差为，对应产量差 156 件。用即可求出 1 倍量（乙工厂产量），属于三位数除以两位数的基础计算。 【详解】 倍数差： 乙工厂：（件） 甲工厂：（件） 验证：（件），符合题意。 【答案】甲工厂生产件，乙工厂生产件。 【跟踪训练 1】 一个书架上层书的本数是下层的 14 倍，上层比下层多 156 本。上下层各有多少本书？ 【分析】下层书的本数是 1 倍量，倍数差为，本数差 156 本对应 13 倍，用求出下层本数。 【详解】 倍数差： 下层：（本） 上层：（本） 【答案】上层有本，下层有本。 【典型例题 2】几倍多几型 果园里苹果树的棵数比梨树的 12 倍多 18 棵，苹果树比梨树多 238 棵。苹果树和梨树各有多少棵？ 【分析】苹果树减少 18 棵，就正好是梨树的 12 倍，此时棵数差变为棵，对应倍。用求出梨树棵数，属于三位数除以两位数计算。 【详解】 调整后的差：（棵） 倍数差： 梨树：（棵） 苹果树：（棵） 验证：（棵），符合题意。 【答案】苹果树棵，梨树棵。 【跟踪训练 2】 超市运来的大米重量比面粉的 11 倍多 12 千克，大米比面粉重 232 千克。大米和面粉各运来多少千克？ 【分析】大米减去 12 千克正好是面粉的 11 倍，重量差变为千克，对应倍，用求出面粉重量。 【详解】 调整后的差：（千克） 倍数差： 面粉：（千克） 大米：（千克） 【答案】大米千克，面粉千克。 【典型例题 3】暗差型（给完相等） 甲仓库存粮的重量是乙仓库的 15 倍，如果从甲仓库运 112 吨粮食到乙仓库，两个仓库存粮正好相等。甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？ 【分析】从甲仓库运 112 吨到乙仓库后相等，说明原来甲仓库比乙仓库多吨。已知倍数是 15 倍，转化为基础差倍问题，用求出乙仓库存粮。 【详解】 原来重量差：（吨） 倍数差： 乙仓库：（吨） 甲仓库：（吨） 【答案】甲仓库原来存粮吨，乙仓库原来存粮吨。 【跟踪训练 3】 小明的邮票张数是小红的 12 倍，小明给小红 77 张后两人邮票数相等。两人原来各有多少张邮票？ 【分析】原来小明比小红多张，倍数差为，用求出小红的邮票张数。 【详解】 原来张数差：（张） 倍数差： 小红：（张） 小明：（张） 【答案】小明原来有张，小红原来有张。 【典型例题 4】同增同减差不变 两根绳子，长绳长 230 米，短绳长 50 米。两根剪去同样长的一段后，长绳剩下的长度是短绳的 13 倍。剪去了多少米？ 【分析】两根绳子剪去同样长的一段，长度差保持不变，仍为米。此时长绳是短绳的 13 倍，倍数差为 12，用求出短绳剩下的长度，再计算剪去的长度。 【详解】 长度差：（米） 倍数差： 短绳剩下：（米） 剪去长度：（米） 【答案】剪去了米。 【跟踪训练 4】 两堆煤，第一堆重 260 吨，第二堆重 80 吨。每天各运走 10 吨，几天后第一堆剩下的重量是第二堆的 13 倍？ 【分析】每天运走同样多，剩下的重量差不变，为吨。倍数差 12，求出第二堆剩下的重量，再计算运走的重量和天数。 【详解】 重量差：（吨） 第二堆剩下：（吨） 运走重量：（吨） 天数：（天） 【答案】天后。 巩固练习 1. 两个数的差是 168，大数是小数的 13 倍。这两个数分别是多少？ 【分析】小数是 1 倍量，大数 13 倍，倍数差 12，用差除以倍数差得小数。 【详解】 小数： 大数： 【答案】大数是，小数是。 2. 一件皮衣的价格是一件毛衣的 15 倍，皮衣比毛衣贵 420 元。皮衣和毛衣的单价各是多少元？ 【分析】毛衣单价是 1 倍量，倍数差 14，差价 420 元对应 14 倍。 【详解】 毛衣：（元） 皮衣：（元） 【答案】皮衣单价元，毛衣单价元。 3. 养殖场里奶牛的数量比山羊的 12 倍多 14 头，奶牛比山羊多 234 头。奶牛和山羊各有多少头？ 【分析】奶牛减去 14 头正好是山羊的 12 倍，差变为 220 头，对应 11 倍。 【详解】 调整后的差：（头） 山羊：（头） 奶牛：（头） 【答案】奶牛头，山羊头。 4. 工厂生产的零件个数比成品的 13 倍少 6 个，零件比成品多 234 个。零件和成品各有多少个？ 【分析】零件补上 6 个正好是成品的 13 倍，差变为 240 个，对应 12 倍。 【详解】 调整后的差：（个） 成品：（个） 零件：（个） 【答案】零件个，成品个。 5. 两袋大米，甲袋重量是乙袋的 12 倍。如果从甲袋倒 66 千克给乙袋，两袋大米重量相等。两袋原来各有多少千克？ 【分析】原来甲袋比乙袋多千克，倍数差 11，求乙袋重量。 【详解】 重量差：（千克） 乙袋：（千克） 甲袋：（千克） 【答案】甲袋原来有千克，乙袋原来有千克。 6. 一个整数的末尾添上两个 0 后，比原数大 198。原数是多少？ 【分析】末尾添两个 0，新数是原数的 100 倍，倍数差 99，对应差 198。 【详解】 原数： 【答案】原数是。 7. 甲、乙、丙三个数，甲数是乙数的 2 倍，丙数是乙数的 14 倍，丙数比甲数多 132。三个数分别是多少？ 【分析】乙数是 1 倍量，丙数比甲数多 12 倍，对应 132，先求乙数。 【详解】 乙数： 甲数： 丙数： 【答案】甲数是，乙数是，丙数是。 8. 学校买来的足球比篮球多 105 个，足球的个数比篮球的 12 倍少 5 个。足球和篮球各有多少个？ 【分析】足球补上 5 个正好是篮球的 12 倍，差变为 110 个，对应 11 倍。 【详解】 调整后的差：（个） 篮球：（个） 足球：（个） 【答案】足球个，篮球个。 9. 书架上下两层，上层书的本数是下层的 15 倍。如果从上层拿 98 本放到下层，上层还比下层多 28 本。原来上下层各有多少本书？ 【分析】原来上层比下层多本，倍数差 14，求下层本数。 【详解】 原来本数差：（本） 下层：（本） 上层：（本） 【答案】上层原来有本，下层原来有本。 10. 甲、乙、丙三人加工零件，甲加工的个数是乙的 3 倍，丙加工的个数是乙的 14 倍，丙比甲多加工 132 个。三人各加工多少个？ 【分析】乙加工的个数是 1 倍量，丙比甲多 11 倍，对应 132 个。 【详解】 乙：（个） 甲：（个） 丙：（个） 【答案】甲加工个，乙加工个，丙加工个。 11. 两箱同样重的水果，第一箱卖出 42 千克，第二箱卖出 6 千克后，第二箱剩下的重量是第一箱的 13 倍。原来每箱水果重多少千克？ 【分析】剩下的重量差等于卖出的重量差，对应 12 倍，先求第一箱剩下的重量。 【详解】 卖出重量差：（千克） 第一箱剩下：（千克） 原来每箱重：（千克） 【答案】原来每箱水果重千克。 12. 叔叔今年的年龄是小刚的 16 倍，叔叔比小刚大 45 岁。今年叔叔和小刚各多少岁？ 【分析】年龄差不变，45 岁对应 15 倍，先求小刚的年龄。 【详解】 小刚：（岁） 叔叔：（岁） 【答案】叔叔今年岁，小刚今年岁。 真题训练 1.（苏教版四年级期末真题）果园里桃树比梨树多 192 棵，桃树的棵数是梨树的 13 倍。桃树有多少棵？ 【分析】梨树是 1 倍量，倍数差 12，用差除以 12 求出梨树，再乘 13 得桃树。 【详解】 梨树：（棵） 桃树：（棵） 【答案】桃树有棵。 2.（希望杯四年级试题）两个数相除商是 14，差是 169。这两个数分别是多少？ 【分析】商是 14 说明大数是小数的 14 倍，差 169 对应 13 倍。 【详解】 小数： 大数： 【答案】大数是，小数是。 3.（小升初衔接题）甲仓存粮是乙仓的 15 倍，如果从甲仓运出 112 吨放入乙仓，两仓存粮正好相等。甲、乙两仓原来各存粮多少吨？ 【分析】原来甲仓比乙仓多吨，倍数差 14，求乙仓存粮。 【详解】 重量差：（吨） 乙仓：（吨） 甲仓：（吨） 【答案】甲仓原来存粮吨，乙仓原来存粮吨。 4.（华杯赛初赛）两根同样长的铁丝，第一根剪去 48 厘米，第二根剪去 6 厘米后，第二根剩下的长度是第一根的 15 倍。原来铁丝长多少厘米？ 【分析】剩下的长度差等于剪去的长度差，对应 14 倍，先求第一根剩下的长度。 【详解】 剪去长度差：（厘米） 第一根剩下：（厘米） 原长：（厘米） 【答案】原来铁丝长厘米。 5.（苏教版培优题）超市运来的牛奶箱数比酸奶的 12 倍多 8 箱，牛奶比酸奶多 228 箱。牛奶和酸奶各有多少箱？ 【分析】牛奶减去 8 箱正好是酸奶的 12 倍，差变为 220 箱，对应 11 倍。 【详解】 调整后的差：（箱） 酸奶：（箱） 牛奶：（箱） 【答案】牛奶箱，酸奶箱。 6.（重点中学分班考）一个整数末尾添上两个 0 后，比原数大 297。原数是多少？ 【分析】新数是原数的 100 倍，倍数差 99，对应差 297。 【详解】 原数： 【答案】原数是。 7.（走美杯真题）养殖场里肉牛的头数比奶牛的 11 倍多 14 头，肉牛比奶牛多 214 头。肉牛和奶牛各有多少头？ 【分析】肉牛减去 14 头正好是奶牛的 11 倍，差变为 200 头，对应 10 倍。 【详解】 调整后的差：（头） 奶牛：（头） 肉牛：（头） 【答案】肉牛头，奶牛头。 8.（四年级期末真题）学校买了足球和篮球，足球个数是篮球的 13 倍，足球比篮球多 144 个。足球和篮球各买了多少个？ 【分析】篮球是 1 倍量，倍数差 12，144 除以 12 得篮球个数。 【详解】 篮球：（个） 足球：（个） 【答案】足球买了个，篮球买了个。 9.（希望杯模拟题）两筐重量相同的橘子，甲筐卖出 38 千克，乙筐卖出 2 千克后，乙筐剩下的重量是甲筐的 13 倍。原来每筐橘子重多少千克？ 【分析】剩下的重量差等于卖出的重量差，对应 12 倍，求甲筐剩下的重量。 【详解】 卖出重量差：（千克） 甲筐剩下：（千克） 原重：（千克） 【答案】原来每筐橘子重千克。 10.（小升初真题）甲、乙、丙三个数，乙数是甲数的 3 倍，丙数是乙数的 12 倍，丙数比甲数多 420。三个数分别是多少？ 【分析】甲数是 1 倍量，丙数是甲数的 36 倍，倍数差 35，对应 420。 【详解】 甲数： 乙数： 丙数： 【答案】甲数是，乙数是，丙数是。 11.（华杯赛模拟题）小明的邮票比小红的 14 倍多 3 张，小明比小红多 146 张。两人各有多少张邮票？ 【分析】小明减去 3 张正好是小红的 14 倍，差变为 143 张，对应 13 倍。 【详解】 调整后的差：（张） 小红：（张） 小明：（张） 【答案】小明有张，小红有张。 12.（思维训练题）有两袋大米，甲袋有 150 千克，乙袋有 30 千克。每次从甲袋倒 6 千克放入乙袋，倒几次后，甲袋大米的重量是乙袋的 2 倍？ 【分析】总重量不变，甲是乙 2 倍时，总重量对应 3 倍，求出此时乙袋重量，再计算倒入重量和次数。 【详解】 总重量：（千克） 乙袋后来：（千克） 倒入重量：（千克） 次数：（次） 【答案】倒次。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $