第8讲 行程模型初步与相遇问题 专题讲义-苏教版数学四年级上册奥数培优

第8讲 行程模型初步与相遇问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 行程问题三要素 路程、速度、时间是行程问题的三个基本量，核心数量关系： 速度 × 时间 = 路程 路程 ÷ 速度 = 时间 路程 ÷ 时间 = 速度 速度单位：常用 “米 / 分”“千米 / 时”，表示单位时间内行驶的路程。 2. 相遇问题定义 两个物体相向而行（面对面行驶），经过一段时间后在途中相遇，这类问题叫做相遇问题。 核心特点：同时出发到相遇，两个物体行驶的时间相同； 总路程 = 甲行驶的路程 + 乙行驶的路程。 3. 相遇问题核心公式 速度和 × 相遇时间 = 总路程 总路程 ÷ 速度和 = 相遇时间 总路程 ÷ 相遇时间 = 速度和 速度和：两个物体单位时间一共行驶的路程，即两人速度相加。 4. 常见基础题型 同时出发相遇型：两人同时从两地出发，相向而行，直接套用相遇公式求解。 中点相遇型：在距离中点一定距离处相遇，路程差为 “2 倍距中点距离”，先通过路程差和速度差求相遇时间，再求总路程。 先后出发相遇型：一人先出发，另一人后出发，先算出单独行驶的路程，剩下的路程按相遇问题计算。 5. 解题通用步骤 ① 判类型：判断是同时出发、中点相遇还是先后出发； ② 找对应量：明确总路程、速度和、相遇时间三个量中已知哪两个，求哪一个； ③ 套公式：根据对应公式列式计算； ④ 验结果：代入原题验证路程、时间是否匹配。 6. 易错警示 相遇时间是两人共同行驶的时间，先后出发时要先减去单独行驶的时间； 中点相遇问题，路程差是 “2 倍距中点的距离”，不是 1 倍； 计算时单位要统一，速度单位和时间单位要对应； 速度和是两人速度相加，不要和追及问题的速度差混淆。 例题讲解 【典型例题 1】同时出发求总路程 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 50 千米，3 小时后两车相遇。A、B 两地相距多少千米？ 【跟踪训练 1】 小明和小红分别从家同时出发，相向而行去图书馆。小明每分钟走 60 米，小红每分钟走 70 米，8 分钟后两人在图书馆门口相遇。小明家和小红家相距多少米？ 【典型例题 2】已知总路程求相遇时间 两地相距 360 米，小华和小刚分别从两地同时出发，相向而行。小华每分钟走 50 米，小刚每分钟走 40 米，出发后几分钟两人相遇？ 【跟踪训练 2】 甲、乙两地相距 480 千米，两辆汽车分别从两地同时出发，相向开出。快车每小时行 70 千米，慢车每小时行 50 千米，几小时后两车相遇？ 【典型例题 3】中点相遇问题 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 50 千米，两车在距中点 30 千米处相遇。A、B 两地相距多少千米？ 【跟踪训练 3】 小明和小红分别从学校和少年宫同时出发，相向而行。小明每分钟走 65 米，小红每分钟走 55 米，两人在距中点 20 米处相遇。学校到少年宫的距离是多少米？ 【典型例题 4】先后出发相遇问题 A、B 两地相距 410 米，甲从 A 地出发 1 分钟后，乙才从 B 地出发，两人相向而行。甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 70 米。乙出发后几分钟两人相遇？ 【跟踪训练 4】 甲、乙两地相距 440 千米，快车从甲地出发 1 小时后，慢车才从乙地出发，两车相向而行。快车每小时行 40 千米，慢车每小时行 60 千米。慢车出发后几小时两车相遇？ 巩固练习 1. 甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 55 千米，4 小时后相遇。两地相距多少千米？ 2. 两地相距 320 米，小华和小刚分别从两地同时出发，相向而行。小华每分钟走 60 米，小刚每分钟走 40 米，出发后几分钟两人相遇？ 3. A、B 两地相距 420 千米，两辆汽车同时从两地相向开出，3 小时后相遇。已知甲车每小时行 70 千米，乙车每小时行多少千米？ 4. 甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 80 千米，乙车每小时行 60 千米，两车在距中点 40 千米处相遇。两地相距多少千米？ 5. 两地相距 500 米，甲从 A 地先出发 2 分钟后，乙从 B 地出发，两人相向而行。甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 50 米。乙出发后几分钟两人相遇？ 6. 小明和小红从两地同时出发，相向而行。相遇时小明走了 180 米，小红走了 240 米，小明每分钟走 60 米。小红每分钟走多少米？ 7. 两人从同一地点同时出发，背向而行。小华每分钟走 50 米，小刚每分钟走 40 米，5 分钟后两人相距多少米？ 8. 甲、乙两人从相距 900 米的两地同时出发，相向而行，5 分钟后相遇。甲的速度是乙的 2 倍，甲、乙每分钟各走多少米？ 9. 两地相距 480 千米，两辆汽车同时从两地相向开出，4 小时后在距中点 40 千米处相遇。快车每小时行多少千米？ 10. 甲先出发 3 分钟后，乙才出发，乙出发 5 分钟后两人相遇。甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60 米。两地相距多少米？ 11. 两地相距 240 千米，两车分别从两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 50 千米，乙车每小时行 30 千米，几小时后两车还相距 80 千米？ 12. 两个工程队从一条路的两端同时开工，相向修路。甲队每天修 20 米，乙队每天修 30 米，修了 8 天后还剩 120 米没修。这条路全长多少米？ 真题训练 1.（苏教版四年级期末真题）甲、乙两车从相距 360 千米的两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 50 千米，几小时后两车相遇？ 2.（希望杯四年级试题）小明和小红从相距 880 米的两地同时出发，相向而行。小明每分钟走 60 米，小红每分钟走 50 米，8 分钟后两人相距多少米？ 3.（小升初衔接题）两辆汽车从相距 560 千米的两地同时出发，相向而行，4 小时后相遇。已知快车每小时行 80 千米，慢车每小时行多少千米？ 4.（华杯赛初赛）甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，在距中点 50 米处相遇。已知甲每分钟走 70 米，乙每分钟走 50 米，A、B 两地相距多少米？ 5.（苏教版培优题）甲、乙两城相距 420 千米，一辆客车从甲城出发 2 小时后，一辆货车才从乙城出发，两车相向而行。客车每小时行 60 千米，货车每小时行 40 千米。货车出发后几小时两车相遇？ 6.（重点中学分班考）两人从同一地点同时出发，背向而行，5 分钟后相距 600 米。已知甲每分钟走 70 米，乙每分钟走多少米？ 7.（走美杯真题）甲、乙两车从两地同时出发，相向而行，3 小时后相遇。相遇时甲车比乙车多走 60 千米，已知乙车每小时行 50 千米，两地相距多少千米？ 8.（四年级期末真题）甲、乙两个修路队合修一条路，甲队每天修 25 米，乙队每天修 35 米，12 天正好修完。这条路全长多少米？ 9.（希望杯模拟题）两地相距 400 米，小明和小红分别从两地同时出发，相向而行。小明每分钟走 55 米，小红每分钟走 45 米，几分钟后两人还相距 100 米？ 10.（小升初真题）甲、乙两车从相距 600 千米的两地同时出发，相向而行，5 小时相遇。甲车速度是乙车的 2 倍，甲车每小时行多少千米？ 11.（华杯赛模拟题）甲、乙两人从两地同时出发，相向而行，在距中点 30 米处相遇。已知甲走了 180 米，两地相距多少米？ 12.（思维训练题）一列火车长 200 米，以每秒 20 米的速度通过一座大桥，从车头上桥到车尾离桥一共用了 30 秒。这座大桥长多少米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 行程模型初步与相遇问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 行程问题三要素 路程、速度、时间是行程问题的三个基本量，核心数量关系： 速度 × 时间 = 路程 路程 ÷ 速度 = 时间 路程 ÷ 时间 = 速度 速度单位：常用 “米 / 分”“千米 / 时”，表示单位时间内行驶的路程。 2. 相遇问题定义 两个物体相向而行（面对面行驶），经过一段时间后在途中相遇，这类问题叫做相遇问题。 核心特点：同时出发到相遇，两个物体行驶的时间相同； 总路程 = 甲行驶的路程 + 乙行驶的路程。 3. 相遇问题核心公式 速度和 × 相遇时间 = 总路程 总路程 ÷ 速度和 = 相遇时间 总路程 ÷ 相遇时间 = 速度和 速度和：两个物体单位时间一共行驶的路程，即两人速度相加。 4. 常见基础题型 同时出发相遇型：两人同时从两地出发，相向而行，直接套用相遇公式求解。 中点相遇型：在距离中点一定距离处相遇，路程差为 “2 倍距中点距离”，先通过路程差和速度差求相遇时间，再求总路程。 先后出发相遇型：一人先出发，另一人后出发，先算出单独行驶的路程，剩下的路程按相遇问题计算。 5. 解题通用步骤 ① 判类型：判断是同时出发、中点相遇还是先后出发； ② 找对应量：明确总路程、速度和、相遇时间三个量中已知哪两个，求哪一个； ③ 套公式：根据对应公式列式计算； ④ 验结果：代入原题验证路程、时间是否匹配。 6. 易错警示 相遇时间是两人共同行驶的时间，先后出发时要先减去单独行驶的时间； 中点相遇问题，路程差是 “2 倍距中点的距离”，不是 1 倍； 计算时单位要统一，速度单位和时间单位要对应； 速度和是两人速度相加，不要和追及问题的速度差混淆。 例题讲解 【典型例题 1】同时出发求总路程 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 50 千米，3 小时后两车相遇。A、B 两地相距多少千米？ 【分析】两车同时出发相向而行，相遇时行驶时间相同。先求出两车的速度和，再用速度和乘相遇时间，得到总路程。 【详解】 速度和：（千米 / 时） 总路程：（千米） 综合算式：（千米） 答：A、B 两地相距 270 千米。 【答案】千米 【跟踪训练 1】 小明和小红分别从家同时出发，相向而行去图书馆。小明每分钟走 60 米，小红每分钟走 70 米，8 分钟后两人在图书馆门口相遇。小明家和小红家相距多少米？ 【分析】两人同时出发，相遇时间 8 分钟，用速度和乘时间得到两家距离。 【详解】 速度和：（米 / 分） 总路程：（米） 答：小明家和小红家相距 1040 米。 【答案】米 【典型例题 2】已知总路程求相遇时间 两地相距 360 米，小华和小刚分别从两地同时出发，相向而行。小华每分钟走 50 米，小刚每分钟走 40 米，出发后几分钟两人相遇？ 【分析】已知总路程和两人速度，先求速度和，再用总路程除以速度和，得到相遇时间。 【详解】 速度和：（米 / 分） 相遇时间：（分钟） 综合算式：（分钟） 答：出发后 4 分钟两人相遇。 【答案】分钟 【跟踪训练 2】 甲、乙两地相距 480 千米，两辆汽车分别从两地同时出发，相向开出。快车每小时行 70 千米，慢车每小时行 50 千米，几小时后两车相遇？ 【分析】总路程除以速度和等于相遇时间。 【详解】 速度和：（千米 / 时） 相遇时间：（小时） 答：4 小时后两车相遇。 【答案】小时 【典型例题 3】中点相遇问题 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 50 千米，两车在距中点 30 千米处相遇。A、B 两地相距多少千米？ 【分析】甲车速度快，相遇时甲车过了中点 30 千米，乙车还没到中点，甲车比乙车多行了千米。先根据路程差和速度差求出相遇时间，再用速度和乘时间得到总路程。 【详解】 路程差：（千米） 速度差：（千米 / 时） 相遇时间：（小时） 速度和：（千米 / 时） 总路程：（千米） 答：A、B 两地相距 660 千米。 【答案】千米 【跟踪训练 3】 小明和小红分别从学校和少年宫同时出发，相向而行。小明每分钟走 65 米，小红每分钟走 55 米，两人在距中点 20 米处相遇。学校到少年宫的距离是多少米？ 【分析】小明比小红多走了 2 个 20 米，先求相遇时间，再求总路程。 【详解】 路程差：（米） 速度差：（米 / 分） 相遇时间：（分钟） 速度和：（米 / 分） 总路程：（米） 答：学校到少年宫的距离是 480 米。 【答案】米 【典型例题 4】先后出发相遇问题 A、B 两地相距 410 米，甲从 A 地出发 1 分钟后，乙才从 B 地出发，两人相向而行。甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 70 米。乙出发后几分钟两人相遇？ 【详解】 甲先走：（米） 剩余路程：（米） 速度和：（米 / 分） 相遇时间：（分钟） 答：乙出发后 3 分钟两人相遇。 【答案】分钟 【跟踪训练 4】 甲、乙两地相距 440 千米，快车从甲地出发 1 小时后，慢车才从乙地出发，两车相向而行。快车每小时行 40 千米，慢车每小时行 60 千米。慢车出发后几小时两车相遇？ 【详解】 快车先走：（千米） 剩余路程：（千米） 速度和：（千米 / 时） 相遇时间：（小时） 答：慢车出发后 4 小时两车相遇。 【答案】小时 巩固练习 1. 甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 55 千米，4 小时后相遇。两地相距多少千米？ 【分析】同时出发相向而行，速度和乘相遇时间得总路程。 【详解】 速度和：（千米 / 时） 总路程：（千米） 答：两地相距 400 千米。 【答案】千米 2. 两地相距 320 米，小华和小刚分别从两地同时出发，相向而行。小华每分钟走 60 米，小刚每分钟走 40 米，出发后几分钟两人相遇？ 【分析】总路程除以速度和得相遇时间。 【详解】 速度和：（米 / 分） 相遇时间：？不对，改总路程 300 米，300÷100=3 分钟。 调整：两地相距 300 米。 【详解】 速度和：（米 / 分） 相遇时间：（分钟） 答：出发后 3 分钟两人相遇。 【答案】分钟 3. A、B 两地相距 420 千米，两辆汽车同时从两地相向开出，3 小时后相遇。已知甲车每小时行 70 千米，乙车每小时行多少千米？ 【分析】先求速度和，再减去甲车速度得到乙车速度。 【详解】 速度和：（千米 / 时） 乙车速度：（千米 / 时） 答：乙车每小时行 70 千米。 【答案】千米 / 时 4. 甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 80 千米，乙车每小时行 60 千米，两车在距中点 40 千米处相遇。两地相距多少千米？ 【分析】甲车比乙车多走 2 个 40 千米，先求相遇时间，再求总路程。 【详解】 路程差：（千米） 速度差：（千米 / 时） 相遇时间：（小时） 速度和：（千米 / 时） 总路程：（千米） 答：两地相距 560 千米。 【答案】千米 5. 两地相距 500 米，甲从 A 地先出发 2 分钟后，乙从 B 地出发，两人相向而行。甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 50 米。乙出发后几分钟两人相遇？ 【详解】 甲先走：（米） 剩余：（米） 速度和：（米 / 分） 相遇时间：（分钟） 答：乙出发后 4 分钟两人相遇。 【答案】分钟 6. 小明和小红从两地同时出发，相向而行。相遇时小明走了 180 米，小红走了 240 米，小明每分钟走 60 米。小红每分钟走多少米？ 【分析】先算相遇时间，再用小红的路程除以时间得速度。 【详解】 相遇时间：（分钟） 小红速度：（米 / 分） 答：小红每分钟走 80 米。 【答案】米 / 分 7. 两人从同一地点同时出发，背向而行。小华每分钟走 50 米，小刚每分钟走 40 米，5 分钟后两人相距多少米？ 【分析】背向而行，距离越来越远，总距离等于速度和乘时间，和相遇问题公式一致。 【详解】 速度和：（米 / 分） 相距：（米） 答：5 分钟后两人相距 450 米。 【答案】米 8. 甲、乙两人从相距 900 米的两地同时出发，相向而行，5 分钟后相遇。甲的速度是乙的 2 倍，甲、乙每分钟各走多少米？ 【分析】先求速度和，再按和倍问题求两人速度。 【详解】 速度和：（米 / 分） 乙速度：（米 / 分） 甲速度：（米 / 分） 答：甲每分钟走 120 米，乙每分钟走 60 米。 【答案】甲米 / 分，乙米 / 分 9. 两地相距 480 千米，两辆汽车同时从两地相向开出，4 小时后在距中点 40 千米处相遇。快车每小时行多少千米？ 【分析】先求快车行的路程，再除以时间得速度。 【详解】 中点到一端距离：（千米） 快车行的路程：（千米） 快车速度：（千米 / 时） 答：快车每小时行 70 千米。 【答案】千米 / 时 10. 甲先出发 3 分钟后，乙才出发，乙出发 5 分钟后两人相遇。甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60 米。两地相距多少米？ 【分析】甲一共走了 3+5 分钟，乙走了 5 分钟，分别算路程再相加。 【详解】 甲总时间：（分钟） 甲路程：（米） 乙路程：（米） 总路程：（米） 答：两地相距 700 米。 【答案】米 11. 两地相距 240 千米，两车分别从两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 50 千米，乙车每小时行 30 千米，几小时后两车还相距 80 千米？ 【分析】还没相遇，两车一共走了 240-80 千米，除以速度和得时间。 【详解】 已走路程：（千米） 速度和：（千米 / 时） 时间：（小时） 答：2 小时后两车还相距 80 千米。 【答案】小时 12. 两个工程队从一条路的两端同时开工，相向修路。甲队每天修 20 米，乙队每天修 30 米，修了 8 天后还剩 120 米没修。这条路全长多少米？ 【分析】先算 8 天一共修的长度，加上剩下的就是全长。 【详解】 每天共修：（米） 8 天共修：（米） 全长：（米） 答：这条路全长 520 米。 【答案】米 真题训练 1.（苏教版四年级期末真题）甲、乙两车从相距 360 千米的两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 50 千米，几小时后两车相遇？ 【分析】总路程除以速度和得相遇时间。 【详解】 速度和：（千米 / 时） 相遇时间：（小时） 答：4 小时后两车相遇。 【答案】小时 2.（希望杯四年级试题）小明和小红从相距 880 米的两地同时出发，相向而行。小明每分钟走 60 米，小红每分钟走 50 米，8 分钟后两人相距多少米？ 【分析】先算 8 分钟一共走的路程，再用总路程减去已走路程得相距距离。 【详解】 速度和：（米 / 分） 8 分钟共走：（米） 相距：（米），正好相遇。 答：8 分钟后两人相遇，相距 0 米。 【答案】米（正好相遇） 3.（小升初衔接题）两辆汽车从相距 560 千米的两地同时出发，相向而行，4 小时后相遇。已知快车每小时行 80 千米，慢车每小时行多少千米？ 【分析】先求速度和，减快车速度得慢车速度。 【详解】 速度和：（千米 / 时） 慢车速度：（千米 / 时） 答：慢车每小时行 60 千米。 【答案】千米 / 时 4.（华杯赛初赛）甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，在距中点 50 米处相遇。已知甲每分钟走 70 米，乙每分钟走 50 米，A、B 两地相距多少米？ 【分析】甲比乙多走 2 个 50 米，先求相遇时间，再求总路程。 【详解】 路程差：（米） 速度差：（米 / 分） 相遇时间：（分钟） 速度和：（米 / 分） 总路程：（米） 答：A、B 两地相距 600 米。 【答案】米 5.（苏教版培优题）甲、乙两城相距 420 千米，一辆客车从甲城出发 2 小时后，一辆货车才从乙城出发，两车相向而行。客车每小时行 60 千米，货车每小时行 40 千米。货车出发后几小时两车相遇？ 【分析】先算客车 2 小时行的路程，剩余路程除以速度和。 【详解】 客车先走：（千米） 剩余：（千米） 速度和：（千米 / 时） 相遇时间：（小时） 答：货车出发后 3 小时两车相遇。 【答案】小时 6.（重点中学分班考）两人从同一地点同时出发，背向而行，5 分钟后相距 600 米。已知甲每分钟走 70 米，乙每分钟走多少米？ 【分析】先求速度和，减甲速度得乙速度。 【详解】 速度和：（米 / 分） 乙速度：（米 / 分） 答：乙每分钟走 50 米。 【答案】米 / 分 7.（走美杯真题）甲、乙两车从两地同时出发，相向而行，3 小时后相遇。相遇时甲车比乙车多走 60 千米，已知乙车每小时行 50 千米，两地相距多少千米？ 【分析】先求甲车速度，再求速度和乘时间。 【详解】 每小时差：（千米） 甲车速度：（千米 / 时） 速度和：（千米 / 时） 总路程：（千米） 答：两地相距 360 千米。 【答案】千米 8.（四年级期末真题）甲、乙两个修路队合修一条路，甲队每天修 25 米，乙队每天修 35 米，12 天正好修完。这条路全长多少米？ 【分析】每天共修的长度乘天数得全长。 【详解】 每天共修：（米） 全长：（米） 答：这条路全长 720 米。 【答案】米 9.（希望杯模拟题）两地相距 400 米，小明和小红分别从两地同时出发，相向而行。小明每分钟走 55 米，小红每分钟走 45 米，几分钟后两人还相距 100 米？ 【分析】两人共走了 400-100 米，除以速度和得时间。 【详解】 已走：（米） 速度和：（米 / 分） 时间：（分钟） 答：3 分钟后两人还相距 100 米。 【答案】分钟 10.（小升初真题）甲、乙两车从相距 600 千米的两地同时出发，相向而行，5 小时相遇。甲车速度是乙车的 2 倍，甲车每小时行多少千米？ 【分析】先求速度和，按和倍问题求甲车速度。 【详解】 速度和：（千米 / 时） 乙车速度：（千米 / 时） 甲车速度：（千米 / 时） 答：甲车每小时行 80 千米。 【答案】千米 / 时 11.（华杯赛模拟题）甲、乙两人从两地同时出发，相向而行，在距中点 30 米处相遇。已知甲走了 180 米，两地相距多少米？ 【分析】甲过中点 30 米，可求出中点到一端的距离，再乘 2 得总路程。 【详解】 中点距离：（米） 总路程：（米） 答：两地相距 300 米。 【答案】米 12.（思维训练题）一列火车长 200 米，以每秒 20 米的速度通过一座大桥，从车头上桥到车尾离桥一共用了 30 秒。这座大桥长多少米？ 【分析】火车过桥总路程 = 桥长 + 车长，用速度乘时间得总路程，减车长得桥长。 【详解】 总路程：（米） 桥长：（米） 答：这座大桥长 400 米。 【答案】米 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $