第3讲 商不变规律进阶 专题讲义-苏教版数学四年级上册奥数培优

第3讲 商不变规律进阶 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 商不变规律基础回顾 被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。 字母公式：（） 核心本质：被除数和除数扩大或缩小相同倍数，商的大小保持不变。 2. 核心进阶：余数的变化规律 利用商不变规律计算有余数的除法时，商不变，但余数会跟着乘或除以相同的数。 同时乘：余数也乘 同时除以：余数也除以 示例：，同时除以 10 得，余数 1 对应原式余数 10。 3. 商不变凑整巧算 通过商不变规律，把除数凑成整十、整百、整千数，实现口算简化。 除数是 5：被除数、除数同时 ×2，除数凑 10 除数是 25：被除数、除数同时 ×4，除数凑 100 除数是 125：被除数、除数同时 ×8，除数凑 1000 除数是 50：被除数、除数同时 ×2，除数凑 100 4. 同除数合并计算技巧 多个数分别除以同一个除数，再把商相加 / 减，可以先把这些被除数相加 / 减，再除以同一个除数，结果不变。 公式： 本质：逆用除法分配律，仅适用于除数相同的情况。 5. 商不变的推理应用 被除数和除数同时扩大相同倍数，商不变，对应和、差也扩大相同倍数； 错中求解：除数或被除数看错后商不变，利用倍数关系还原正确值。 6. 解题通用步骤 ① 判题型：判断是凑整计算、余数问题、合并计算还是推理题； ② 定方法：选择对应的商不变变形方式； ③ 巧计算：按规律转化算式，注意余数的同步变化； ④ 验结果：有余数的题目要还原余数，验证是否正确。 7. 易错警示 商不变，余数一定会变，不能认为余数也不变； 去零法计算有余数除法时，去掉几个 0，余数就要添回几个 0； 只有除数相同时，才能把被除数合并后再除，除数不同不能合并； 商不变规律只适用于乘除相同数，加减相同数商一定会变。 例题讲解 【典型例题 1】商不变与余数变化 用简便方法计算：，写出商和余数。 【跟踪训练 1】 两个数相除，商是 7，余数是 8。如果被除数和除数同时乘 10，商和余数分别是多少？ 【典型例题 2】商不变凑整巧算 用简便方法计算： 【跟踪训练 2】 用简便方法计算： 【典型例题 3】同除数合并巧算 计算： 【跟踪训练 3】 计算： 【典型例题 4】商不变差倍推理 两个数相除，商是 5，没有余数。被除数、除数、商的和是 59。被除数和除数分别是多少？ 【跟踪训练 4】 两个数相除，商是 6，余数是 2。被除数、除数、商、余数的和是 59。被除数和除数分别是多少？ 巩固练习 1. 用简便方法计算，写出商和余数。 2. 用商不变规律简便计算： 3. 计算： 4. 两个数相除商是 8，余数是 5。如果被除数和除数同时扩大 3 倍，商和余数分别是多少？ 5. 用简便方法计算： 6. 计算： 7. 小明计算除法时，把被除数和除数末尾的 0 都去掉了 1 个，得到商是 7，余数是 4。正确的商和余数分别是多少？ 8. 水果店运来 525 千克苹果，每 25 千克装一箱，可以装多少箱？ 9. 两个数相除，商是 7，没有余数。被除数比除数大 36。被除数和除数分别是多少？ 10. 用简便方法计算： 11. 计算： 12. 一道除法算式，商是 5，余数是 3。被除数和除数都扩大 10 倍后，被除数、除数、商、余数的和是 723。原来的被除数和除数分别是多少？ 真题训练 1.（苏教版四年级期末真题）计算的商和余数。 2.（希望杯四年级试题）用简便方法计算： 3.（小升初衔接题）两个数相除商是 12，余数是 7。被除数和除数同时乘 5，商和余数各是多少？ 4.（华杯赛初赛）计算： 5.（苏教版培优题）食堂运来 900 千克大米，每天吃 50 千克，一共可以吃多少天？ 6.（重点中学分班考）两个数相除，商是 9，没有余数。被除数、除数、商的和是 109。被除数是多少？ 7.（走美杯真题）用简便方法计算： 8.（四年级期末真题）学校买来 480 本故事书，每班分 60 本，可以分给几个班？ 9.（希望杯模拟题）计算： 10.（小升初真题）两个数相除，商是 6，余数是 2。被除数比除数大 37。被除数和除数分别是多少？ 11.（华杯赛模拟题）判断：被除数和除数同时加 10，商不变。这句话对吗？请举例说明理由。 12.（思维训练题）小刚在计算除法时，把被除数和除数都扩大到原来的 3 倍后，得到商是 8，余数是 18。原来的商和余数分别是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 商不变规律进阶 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 商不变规律基础回顾 被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。 字母公式：（） 核心本质：被除数和除数扩大或缩小相同倍数，商的大小保持不变。 2. 核心进阶：余数的变化规律 利用商不变规律计算有余数的除法时，商不变，但余数会跟着乘或除以相同的数。 同时乘：余数也乘 同时除以：余数也除以 示例：，同时除以 10 得，余数 1 对应原式余数 10。 3. 商不变凑整巧算 通过商不变规律，把除数凑成整十、整百、整千数，实现口算简化。 除数是 5：被除数、除数同时 ×2，除数凑 10 除数是 25：被除数、除数同时 ×4，除数凑 100 除数是 125：被除数、除数同时 ×8，除数凑 1000 除数是 50：被除数、除数同时 ×2，除数凑 100 4. 同除数合并计算技巧 多个数分别除以同一个除数，再把商相加 / 减，可以先把这些被除数相加 / 减，再除以同一个除数，结果不变。 公式： 本质：逆用除法分配律，仅适用于除数相同的情况。 5. 商不变的推理应用 被除数和除数同时扩大相同倍数，商不变，对应和、差也扩大相同倍数； 错中求解：除数或被除数看错后商不变，利用倍数关系还原正确值。 6. 解题通用步骤 ① 判题型：判断是凑整计算、余数问题、合并计算还是推理题； ② 定方法：选择对应的商不变变形方式； ③ 巧计算：按规律转化算式，注意余数的同步变化； ④ 验结果：有余数的题目要还原余数，验证是否正确。 7. 易错警示 商不变，余数一定会变，不能认为余数也不变； 去零法计算有余数除法时，去掉几个 0，余数就要添回几个 0； 只有除数相同时，才能把被除数合并后再除，除数不同不能合并； 商不变规律只适用于乘除相同数，加减相同数商一定会变。 例题讲解 【典型例题 1】商不变与余数变化 用简便方法计算：，写出商和余数。 【分析】被除数和除数末尾都有 1 个 0，根据商不变规律同时除以 10，商不变，但余数会除以 10，算出结果后余数要乘 10 还原。 【详解】 余数还原： 验证：，计算正确。 【答案】商，余数 【跟踪训练 1】 两个数相除，商是 7，余数是 8。如果被除数和除数同时乘 10，商和余数分别是多少？ 【分析】根据商不变规律，商不变；余数会跟着乘 10。 【详解】 商不变，还是 7； 余数： 【答案】商，余数 【典型例题 2】商不变凑整巧算 用简便方法计算： 【分析】除数是 25，根据商不变规律，被除数和除数同时乘 4，把除数凑成 100，简化计算。 【详解】 300 ÷ 25 = (300 × 4) ÷ (25 × 4) = 1200 ÷ 100 = 12 【答案】 【跟踪训练 2】 用简便方法计算： 【分析】除数是 50，被除数和除数同时乘 2，除数凑成 100。 【详解】 450 ÷ 50 = (450 × 2) ÷ (50 × 2) = 900 ÷ 100 = 9 【答案】 【典型例题 3】同除数合并巧算 计算： 【分析】两个算式除数都是 8，可以先把被除数相加，再除以 8，结果不变，计算更简便。 【详解】 320 ÷ 8 + 480 ÷ 8 = (320 + 480) ÷ 8 = 800 ÷ 8 = 100 【答案】 【跟踪训练 3】 计算： 【分析】除数相同都是 7，先把被除数相减，再除以 7。 【详解】 560 ÷ 7 - 210 ÷ 7 = (560 - 210) ÷ 7 = 350 ÷ 7 = 50 【答案】 【典型例题 4】商不变差倍推理 两个数相除，商是 5，没有余数。被除数、除数、商的和是 59。被除数和除数分别是多少？ 【分析】商是 5，说明被除数是除数的 5 倍。总和减去商，得到被除数与除数的和，转化为和倍问题求解。 【详解】 被除数 + 除数： 除数： 被除数： 验证：，符合条件。 【答案】被除数，除数 【跟踪训练 4】 两个数相除，商是 6，余数是 2。被除数、除数、商、余数的和是 59。被除数和除数分别是多少？ 【分析】先减去商和余数，得到被除数与除数的和；被除数 = 除数 ×6+2，转化为和倍进阶问题。 【详解】 被除数 + 除数： 除数： 被除数： 【答案】被除数，除数 巩固练习 1. 用简便方法计算，写出商和余数。 【分析】同时除以 10 简化计算，余数乘 10 还原。 【详解】 余数： 【答案】商，余数 2. 用商不变规律简便计算： 【分析】除数 25，被除数除数同时乘 4，凑成 100。 【详解】 700 ÷ 25 = (700×4) ÷ (25×4) = 2800 ÷ 100 = 28 【答案】 3. 计算： 【分析】除数相同，合并被除数再除。 【详解】 360 ÷ 12 + 240 ÷ 12 = (360 + 240) ÷ 12 = 600 ÷ 12 = 50 【答案】 4. 两个数相除商是 8，余数是 5。如果被除数和除数同时扩大 3 倍，商和余数分别是多少？ 【分析】商不变，余数扩大 3 倍。 【详解】 商不变，还是 8； 余数： 【答案】商，余数 5. 用简便方法计算： 【分析】除数 125，被除数除数同时乘 8，凑成 1000。 【详解】 1000 ÷ 125 = (1000×8) ÷ (125×8) = 8000 ÷ 1000 = 8 【答案】 6. 计算： 【分析】除数相同，被除数相减再除。 【详解】 630 ÷ 9 - 270 ÷ 9 = (630 - 270) ÷ 9 = 360 ÷ 9 = 40 【答案】 7. 小明计算除法时，把被除数和除数末尾的 0 都去掉了 1 个，得到商是 7，余数是 4。正确的商和余数分别是多少？ 【分析】同时去掉 1 个 0，相当于同时除以 10，商不变，余数也除以了 10，正确余数要乘 10。 【详解】 商不变，还是 7； 正确余数： 【答案】商，余数 8. 水果店运来 525 千克苹果，每 25 千克装一箱，可以装多少箱？ 【分析】求箱数用除法，用商不变凑整法简便计算。 【详解】 525 ÷ 25 = (525×4) ÷ (25×4) = 2100 ÷ 100 = 21 答：可以装 21 箱。 【答案】箱 9. 两个数相除，商是 7，没有余数。被除数比除数大 36。被除数和除数分别是多少？ 【分析】商是 7，被除数是除数的 7 倍，差 36 对应 6 倍，差倍问题。 【详解】 除数： 被除数： 【答案】被除数，除数 10. 用简便方法计算： 【分析】除数 25，同时乘 4 凑整。 【详解】 375 ÷ 25 = (375×4) ÷ (25×4) = 1500 ÷ 100 = 15 【答案】 11. 计算： 【分析】三个数的和除以 9，等于分别除以 9 再相加。 【详解】 (180 + 270 + 360) ÷ 9 = 180÷9 + 270÷9 + 360÷9 = 20 + 30 + 40 = 90 【答案】 12. 一道除法算式，商是 5，余数是 3。被除数和除数都扩大 10 倍后，被除数、除数、商、余数的和是 723。原来的被除数和除数分别是多少？ 【详解】 设原来除数为，则被除数为。 扩大 10 倍后：除数，被除数，商 5，余数 30。 原来被除数： 【答案】原来被除数，除数。 真题训练 1.（苏教版四年级期末真题）计算的商和余数。 【分析】同时除以 10 简化，余数乘 10 还原。 【详解】 余数： 【答案】商，余数 2.（希望杯四年级试题）用简便方法计算： 【分析】除数 25，同时乘 4 凑整百。 【详解】 625 ÷ 25 = (625×4) ÷ (25×4) = 2500 ÷ 100 = 25 【答案】 3.（小升初衔接题）两个数相除商是 12，余数是 7。被除数和除数同时乘 5，商和余数各是多少？ 【分析】商不变，余数乘 5。 【详解】 商不变，还是 12； 余数： 【答案】商，余数 4.（华杯赛初赛）计算： 【分析】除数相同，合并被除数再除。 【详解】 72 ÷ 5 + 28 ÷ 5 = (72 + 28) ÷ 5 = 100 ÷ 5 = 20 【答案】 5.（苏教版培优题）食堂运来 900 千克大米，每天吃 50 千克，一共可以吃多少天？ 【分析】总重量 ÷ 每天吃的重量，用商不变凑整计算。 【详解】 900 ÷ 50 = (900×2) ÷ (50×2) = 1800 ÷ 100 = 18 答：一共可以吃 18 天。 【答案】天 6.（重点中学分班考）两个数相除，商是 9，没有余数。被除数、除数、商的和是 109。被除数是多少？ 【分析】商 9，被除数是除数的 9 倍，总和减商得到和，和倍问题。 【详解】 被除数 + 除数： 除数： 被除数： 【答案】 7.（走美杯真题）用简便方法计算： 【分析】除数 125，同时乘 8 凑整千。 【详解】 2000 ÷ 125 = (2000×8) ÷ (125×8) = 16000 ÷ 1000 = 16 【答案】 8.（四年级期末真题）学校买来 480 本故事书，每班分 60 本，可以分给几个班？ 【分析】总本数 ÷ 每班本数，去零法简便计算。 【详解】 （个） 答：可以分给 8 个班。 【答案】个 9.（希望杯模拟题）计算： 【分析】除数相同，被除数相减再除。 【详解】 153 ÷ 4 - 53 ÷ 4 = (153 - 53) ÷ 4 = 100 ÷ 4 = 25 【答案】 10.（小升初真题）两个数相除，商是 6，余数是 2。被除数比除数大 37。被除数和除数分别是多少？ 【分析】商 6 余 2，说明被除数 = 除数 ×6+2，被除数比除数大 5 倍多 2，差倍进阶。 【详解】 除数： 被除数： 【答案】被除数，除数 11.（华杯赛模拟题）判断：被除数和除数同时加 10，商不变。这句话对吗？请举例说明理由。 【分析】商不变规律只适用于乘除相同数，加减不适用，举反例说明。 【详解】 这句话不对。 举例：，被除数和除数同时加 10 得，商发生了变化。 理由：商不变规律是被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变，不包括加法。 【答案】不对，理由见详解。 12.（思维训练题）小刚在计算除法时，把被除数和除数都扩大到原来的 3 倍后，得到商是 8，余数是 18。原来的商和余数分别是多少？ 【分析】扩大 3 倍后商不变，余数也扩大了 3 倍，原来的余数除以 3 即可。 【详解】 商不变，原来的商还是 8； 原来的余数： 【答案】商，余数 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $