第7讲 价格模型进阶与方案优化 专题讲义-苏教版数学四年级上册奥数培优

第7讲 价格模型进阶与方案优化 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础价格模型回顾 单价、数量、总价是价格问题的三个基本量，核心数量关系： 单价 × 数量 = 总价 总价 ÷ 单价 = 数量 总价 ÷ 数量 = 单价 所有进阶价格问题都建立在这三个公式基础上，优惠规则仅改变实际总价或实际数量。 2. 核心进阶题型 （1）买几送几型 商家常用促销方式，花指定数量的钱，可额外获得赠送商品。 核心思路：把 “购买数量 + 赠送数量” 看成一组，先算每组的总数量和每组的实际花费；再计算总需求里包含几组，不够一组的剩余部分按原价单独购买。 关键：算总价只算购买的数量，算总数量要加上赠送的数量。 （2）满减优惠型 消费满固定金额，减免部分钱数，可叠加享受多次满减。 核心思路：先算出不优惠的总价格；再看总价里包含几个满减额度，算出总减免金额；原价减去总减免就是实际花费。 注意：只有满额的部分才能减免，不满额的部分不参与优惠。 （3）方案优化型 同一种商品有多种购买方式（如大包装 / 小包装、买赠 / 原价、会员 / 非会员），需要计算不同方案的总花费，选择最省钱的方案；或给定总钱数，选择能买到最多商品的方案。 核心原则：优先选择单位价格更低的购买方式，尽量凑整享受优惠，最后对比总花费或总数量。 3. 解题通用步骤 ① 审题意：明确商品单价、优惠规则、购买需求或总钱数； ② 定题型：判断是买赠、满减还是多方案对比问题； ③ 列算式：按对应方法计算总价或可购买数量； ④ 做对比：多方案时分别计算结果，选择最优； ⑤ 验结果：代入题目条件验证是否正确。 4. 易错警示 买几送几问题，计算总价时只能算购买的数量，赠送的商品不算钱；计算总数量时必须加上赠送的； 满减问题要算清完整的满减次数，不满额的部分不能减免，不要直接用总价乘比例； 方案优化要考虑所有可能的购买组合，不能只算整组情况，剩余部分也要单独计算； 求 “最多买多少” 时，除整组赠送的商品外，剩余的钱如果够买单个商品，也要加上。 例题讲解 【典型例题 1】买赠基础问题 每本笔记本 8 元，商店搞 “买 3 送 1” 的活动。买 12 本笔记本需要花多少钱？ 【跟踪训练 1】 每支钢笔 12 元，文具店 “买 4 送 1”。买 15 支钢笔需要花多少钱？ 【典型例题 2】满减优惠问题 一件上衣 86 元，一条裤子 64 元。服装店 “满 100 元减 10 元”，买一套衣服实际要花多少钱？ 【跟踪训练 2】 一个书包 75 元，一个文具盒 25 元。文具店 “满 80 减 12 元”，买一个书包和一个文具盒实际花多少钱？ 【典型例题 3】方案对比优化 超市卖同一种饮料，大瓶每瓶 10 元（1000 毫升），小瓶每瓶 3 元（200 毫升）。买 2000 毫升饮料，怎么买更划算？ 【跟踪训练 3】 同一种抽纸，大包每包 8 元（内含 6 包抽纸），小包每包 3 元（内含 2 包抽纸）。买 20 包抽纸，怎么买最省钱？ 【典型例题 4】最多购买问题 李老师带 180 元买图书，每本图书 20 元，书店 “买 4 本送 1 本”。李老师最多可以买多少本图书？ 【跟踪训练 4】 王老师带 160 元买钢笔，每支钢笔 15 元，“买 5 支送 1 支”。最多可以买多少支？ 巩固练习 1. 每盒彩笔 12 元，商店搞 “买 2 送 1” 活动。买 9 盒彩笔需要花多少钱？ 2. 一种袜子每双 5 元，“买 4 双送 1 双”。买 10 双袜子，实际每双便宜多少钱？ 3. 一件外套 120 元，一条围巾 35 元。商场 “满 100 减 15 元”，买一件外套和一条围巾实际花多少钱？ 4. 超市卖牛奶，大箱每箱 48 元（12 盒），小箱每箱 18 元（4 盒）。买 20 盒牛奶，怎么买最省钱？ 5. 张老师带 200 元买笔记本，每本 10 元，“买 5 本送 1 本”。最多可以买多少本？ 6. 水果店苹果每千克 8 元，“买 3 千克送 1 千克”。妈妈买 16 千克苹果，要付多少钱？ 7. 商店搞促销，每个玩具 25 元，“满 50 减 8 元”。买 3 个玩具实际花多少钱？ 8. 两种包装的巧克力，大盒每盒 30 元（15 块），小盒每盒 12 元（5 块）。买 35 块巧克力，最少花多少钱？ 9. 一本书定价 15 元，书店 “买 4 本送 1 本”。学校买 30 本，一共便宜了多少钱？ 10. 商场衣服 “满 200 减 30 元”，一件上衣 135 元，一条裤子 85 元。买这套衣服实际花多少钱？ 11. 小朋友去公园，门票每人 8 元，“买 5 张送 1 张”。24 个小朋友去玩，至少要花多少钱？ 12. 超市饮料促销，每瓶 6 元，“买 4 瓶送 1 瓶”。28 名同学每人一瓶，至少要花多少钱？ 真题训练 1.（苏教版四年级期末真题）每本笔记本 5 元，文具店 “买 3 送 1”。买 12 本笔记本需要多少钱？ 2.（希望杯四年级试题）一双鞋子 80 元，一双袜子 15 元。商店 “满 100 减 12 元”，买一双鞋子和两双袜子实际花多少钱？ 3.（小升初衔接题）大袋洗衣粉每袋 12 元（800 克），小袋每袋 4 元（200 克）。买 2 千克洗衣粉，怎么买最划算？ 4.（华杯赛初赛）李老师带 100 元买钢笔，每支 8 元，“买 5 支送 1 支”。最多可以买多少支？ 5.（苏教版培优题）每千克苹果 10 元，“买 4 千克送 1 千克”。买 15 千克苹果，实际每千克多少钱？ 6.（重点中学分班考）商店 “满 80 减 10 元”，一件上衣 55 元，一条短裤 28 元。买这两件衣服实际花多少钱？ 7.（走美杯真题）矿泉水每瓶 3 元，“买 5 瓶送 1 瓶”。36 名同学每人一瓶，最少要花多少钱？ 8.（四年级期末真题）一种纸巾原价每包 6 元，现在 “买 2 包送 1 包”。买 15 包纸巾需要多少钱？ 9.（希望杯模拟题）书店促销，每本故事书 12 元，“满 50 减 8 元”。买 5 本故事书实际花多少钱？ 10.（小升初真题）大包装糖果每袋 20 元（500 克），小包装每袋 9 元（200 克）。买 1200 克糖果，最少花多少钱？ 11.（华杯赛模拟题）王老师带 220 元买奖品，每个文具盒 15 元，“买 4 个送 1 个”。最多可以买多少个文具盒？ 12.（思维训练题）超市饮料有两种促销：方案一 “买 3 瓶送 1 瓶，每瓶 5 元”；方案二 “每瓶 4 元”。买 12 瓶饮料，选哪种方案更便宜？便宜多少钱？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 价格模型进阶与方案优化 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础价格模型回顾 单价、数量、总价是价格问题的三个基本量，核心数量关系： 单价 × 数量 = 总价 总价 ÷ 单价 = 数量 总价 ÷ 数量 = 单价 所有进阶价格问题都建立在这三个公式基础上，优惠规则仅改变实际总价或实际数量。 2. 核心进阶题型 （1）买几送几型 商家常用促销方式，花指定数量的钱，可额外获得赠送商品。 核心思路：把 “购买数量 + 赠送数量” 看成一组，先算每组的总数量和每组的实际花费；再计算总需求里包含几组，不够一组的剩余部分按原价单独购买。 关键：算总价只算购买的数量，算总数量要加上赠送的数量。 （2）满减优惠型 消费满固定金额，减免部分钱数，可叠加享受多次满减。 核心思路：先算出不优惠的总价格；再看总价里包含几个满减额度，算出总减免金额；原价减去总减免就是实际花费。 注意：只有满额的部分才能减免，不满额的部分不参与优惠。 （3）方案优化型 同一种商品有多种购买方式（如大包装 / 小包装、买赠 / 原价、会员 / 非会员），需要计算不同方案的总花费，选择最省钱的方案；或给定总钱数，选择能买到最多商品的方案。 核心原则：优先选择单位价格更低的购买方式，尽量凑整享受优惠，最后对比总花费或总数量。 3. 解题通用步骤 ① 审题意：明确商品单价、优惠规则、购买需求或总钱数； ② 定题型：判断是买赠、满减还是多方案对比问题； ③ 列算式：按对应方法计算总价或可购买数量； ④ 做对比：多方案时分别计算结果，选择最优； ⑤ 验结果：代入题目条件验证是否正确。 4. 易错警示 买几送几问题，计算总价时只能算购买的数量，赠送的商品不算钱；计算总数量时必须加上赠送的； 满减问题要算清完整的满减次数，不满额的部分不能减免，不要直接用总价乘比例； 方案优化要考虑所有可能的购买组合，不能只算整组情况，剩余部分也要单独计算； 求 “最多买多少” 时，除整组赠送的商品外，剩余的钱如果够买单个商品，也要加上。 例题讲解 【典型例题 1】买赠基础问题 每本笔记本 8 元，商店搞 “买 3 送 1” 的活动。买 12 本笔记本需要花多少钱？ 【分析】“买 3 送 1” 即付 3 本的钱可以得到 4 本，把 4 本看作一组。先算 12 本里包含几组，再算每组的价格，最后乘组数得到总花费。 【详解】 每组数量：（本） 组数：（组） 每组花费：（元） 总花费：（元） 答：买 12 本笔记本需要花 72 元。 【答案】元 【跟踪训练 1】 每支钢笔 12 元，文具店 “买 4 送 1”。买 15 支钢笔需要花多少钱？ 【分析】买 4 送 1，每组 5 支，付 4 支的钱。先算 15 支有几组，再算总花费。 【详解】 每组数量：（支） 组数：（组） 每组花费：（元） 总花费：（元） 答：买 15 支钢笔需要花 144 元。 【答案】元 【典型例题 2】满减优惠问题 一件上衣 86 元，一条裤子 64 元。服装店 “满 100 元减 10 元”，买一套衣服实际要花多少钱？ 【分析】先算出一套衣服的原价总和，再看总价里有几个 100 元，算出减免的钱数，用原价减去减免的钱得到实际花费。 【详解】 一套原价：（元） 满减次数：150 元里包含 1 个 100 元，可减免 10 元 实际花费：（元） 答：买一套衣服实际要花 140 元。 【答案】元 【跟踪训练 2】 一个书包 75 元，一个文具盒 25 元。文具店 “满 80 减 12 元”，买一个书包和一个文具盒实际花多少钱？ 【分析】先算两件商品总价，判断是否满足满减条件，再计算减免后的价格。 【详解】 总价：（元） 100 元满足满 80 减 12 的条件 实际花费：（元） 答：实际花 88 元。 【答案】元 【典型例题 3】方案对比优化 超市卖同一种饮料，大瓶每瓶 10 元（1000 毫升），小瓶每瓶 3 元（200 毫升）。买 2000 毫升饮料，怎么买更划算？ 【分析】分别计算全买大瓶和全买小瓶的总花费，花费少的方案更划算。 【详解】 方案一：全买大瓶 需要大瓶：（瓶） 花费：（元） 方案二：全买小瓶 需要小瓶：（瓶） 花费：（元） ，买大瓶更划算。 答：买 2 瓶大瓶更划算。 【答案】买 2 瓶大瓶更划算 【跟踪训练 3】 同一种抽纸，大包每包 8 元（内含 6 包抽纸），小包每包 3 元（内含 2 包抽纸）。买 20 包抽纸，怎么买最省钱？ 【分析】先算单包抽纸的单价，大包单价更低，优先买大包，剩余不够大包的部分买小包，再和全买小包对比。 【详解】 大包单包抽纸单价：元，小包单包：元，大包更划算，优先买大包。 （大包）……（包） 3 大包花费：（元） 剩下 2 包买 1 小包：（元） 总花费：（元） 全买小包：（元） ，买 3 大包 1 小包最省钱。 答：买 3 大包和 1 小包最省钱。 【答案】买 3 大包和 1 小包最省钱 【典型例题 4】最多购买问题 李老师带 180 元买图书，每本图书 20 元，书店 “买 4 本送 1 本”。李老师最多可以买多少本图书？ 【分析】先算一组（买 4 送 1）的价格，再算 180 元能买几组，剩下的钱再单独按原价购买，最后相加得总数量。 【详解】 每组花费：（元） （组）……（元） 2 组共得图书：（本） 剩下 20 元还能买：（本） 一共：（本） 答：最多可以买 11 本图书。 【答案】本 【跟踪训练 4】 王老师带 160 元买钢笔，每支钢笔 15 元，“买 5 支送 1 支”。最多可以买多少支？ 【分析】先算一组的价格，再算能买几组，剩下的钱不够单买就舍去。 【详解】 每组花费：（元） （组）……（元） 2 组共得：（支） 剩下 10 元不够买 1 支钢笔 一共可以买 12 支。 答：最多可以买 12 支。 【答案】支 巩固练习 1. 每盒彩笔 12 元，商店搞 “买 2 送 1” 活动。买 9 盒彩笔需要花多少钱？ 【分析】买 2 送 1，每组 3 盒，付 2 盒的钱。先算 9 盒有几组，再算总花费。 【详解】 每组数量：（盒） 组数：（组） 每组花费：（元） 总花费：（元） 答：需要花 72 元。 【答案】元 2. 一种袜子每双 5 元，“买 4 双送 1 双”。买 10 双袜子，实际每双便宜多少钱？ 【分析】先算买 10 双实际花的总钱数，算出实际单价，再用原价减去实际单价。 【详解】 每组 5 双，10 双有组 实际花费：（元） 实际单价：（元） 每双便宜：（元） 答：实际每双便宜 1 元。 【答案】元 3. 一件外套 120 元，一条围巾 35 元。商场 “满 100 减 15 元”，买一件外套和一条围巾实际花多少钱？ 【分析】先算两件商品总价，看有几个满 100，减去相应的减免金额。 【详解】 总价：（元） 155 元里有 1 个 100 元，减 15 元 实际花费：（元） 答：实际花 140 元。 【答案】元 4. 超市卖牛奶，大箱每箱 48 元（12 盒），小箱每箱 18 元（4 盒）。买 20 盒牛奶，怎么买最省钱？ 【分析】先算单盒单价，大箱更便宜，优先买大箱，剩下的买小箱，再对比全买小箱的价格。 【详解】 大箱单盒：（元），小箱单盒：（元），优先买大箱。 （大箱）……8（盒） 8 盒刚好买 2 小箱 总花费：（元） 全买小箱：（元） ，买 1 大箱 2 小箱最省钱。 答：买 1 大箱和 2 小箱最省钱。 【答案】买 1 大箱和 2 小箱最省钱 5. 张老师带 200 元买笔记本，每本 10 元，“买 5 本送 1 本”。最多可以买多少本？ 【分析】先算一组的价格，再算 200 元能买几组，刚好花完没有剩余。 【详解】 每组花费：（元） （组） 每组得 6 本，一共：（本） 答：最多可以买 24 本。 【答案】本 6. 水果店苹果每千克 8 元，“买 3 千克送 1 千克”。妈妈买 16 千克苹果，要付多少钱？ 【分析】买 3 送 1，每组 4 千克，付 3 千克的钱。算 16 千克有几组，再算总价。 【详解】 每组重量：（千克） 组数：（组） 每组付钱：（元） 总钱数：（元） 答：要付 96 元。 【答案】元 7. 商店搞促销，每个玩具 25 元，“满 50 减 8 元”。买 3 个玩具实际花多少钱？ 【分析】先算 3 个玩具的原价，看满几个 50，减去相应的钱数。 【详解】 原价：（元） 75 元里有 1 个 50 元，减 8 元 实际花费：（元） 答：实际花 67 元。 【答案】元 8. 两种包装的巧克力，大盒每盒 30 元（15 块），小盒每盒 12 元（5 块）。买 35 块巧克力，最少花多少钱？ 【分析】优先买单价更低的大盒，剩下的买小盒，计算总花费。 【详解】 大盒单块：（元），小盒单块：（元），优先买大盒。 （大盒）……5（块） 剩下 5 块刚好买 1 小盒 总花费：（元） 答：最少花 72 元。 【答案】元 9. 一本书定价 15 元，书店 “买 4 本送 1 本”。学校买 30 本，一共便宜了多少钱？ 【分析】先算送了多少本，送的本数乘单价就是总共便宜的钱数。 【详解】 每组 5 本，送 1 本 组数：（组） 送的本数：（本） 便宜总钱数：（元） 答：一共便宜了 90 元。 【答案】元 10. 商场衣服 “满 200 减 30 元”，一件上衣 135 元，一条裤子 85 元。买这套衣服实际花多少钱？ 【分析】先算一套衣服总价，判断满减次数，计算实际花费。 【详解】 总价：（元） 220 元满 200，减 30 元 实际花费：（元） 答：实际花 190 元。 【答案】元 11. 小朋友去公园，门票每人 8 元，“买 5 张送 1 张”。24 个小朋友去玩，至少要花多少钱？ 【分析】买 5 送 1，每组 6 张票，算 24 里有几组，再算总钱数。 【详解】 每组票数：（张） 组数：（组） 每组花钱：（元） 总钱数：（元） 答：至少要花 160 元。 【答案】元 12. 超市饮料促销，每瓶 6 元，“买 4 瓶送 1 瓶”。28 名同学每人一瓶，至少要花多少钱？ 【分析】先算 28 瓶能分几组，剩下不够一组的单独买，算总花费。 【详解】 每组 5 瓶，（组）……3（瓶） 5 组花费：（元） 剩下 3 瓶：（元） 总花费：（元） 答：至少要花 138 元。 【答案】元 真题训练 1.（苏教版四年级期末真题）每本笔记本 5 元，文具店 “买 3 送 1”。买 12 本笔记本需要多少钱？ 【分析】买 3 送 1，每组 4 本，算 12 本有几组，再算总价。 【详解】 每组：（本） 组数：（组） 每组花费：（元） 总钱数：（元） 答：需要 45 元。 【答案】元 2.（希望杯四年级试题）一双鞋子 80 元，一双袜子 15 元。商店 “满 100 减 12 元”，买一双鞋子和两双袜子实际花多少钱？ 【分析】先算所有商品总价，再算满减后的价格。 【详解】 总价：（元） 110 元满 100，减 12 元 实际花费：（元） 答：实际花 98 元。 【答案】元 3.（小升初衔接题）大袋洗衣粉每袋 12 元（800 克），小袋每袋 4 元（200 克）。买 2 千克洗衣粉，怎么买最划算？ 【分析】统一单位，分别计算不同购买方案的花费，对比选出最便宜的。 【详解】 2 千克 = 2000 克 方案一：全买大袋 （袋）……400（克），需买 3 袋：（元） 方案二：2 大袋 + 2 小袋 2 大袋共 1600 克，剩下 400 克买 2 小袋 花费：（元） 方案三：全买小袋 （元） ，买 2 大袋 2 小袋最划算。 答：买 2 大袋和 2 小袋最划算。 【答案】买 2 大袋和 2 小袋最划算 4.（华杯赛初赛）李老师带 100 元买钢笔，每支 8 元，“买 5 支送 1 支”。最多可以买多少支？ 【分析】先算一组的价格，算能买几组，剩下的钱再单买。 【详解】 每组花费：（元） （组）……20（元） 2 组共得：（支） 剩下 20 元：（支）……4 元 一共：（支） 答：最多可以买 14 支。 【答案】支 5.（苏教版培优题）每千克苹果 10 元，“买 4 千克送 1 千克”。买 15 千克苹果，实际每千克多少钱？ 【分析】先算实际花的总钱数，再除以总重量得到实际单价。 【详解】 每组 5 千克，组 实际花费：（元） 实际单价：（元） 答：实际每千克 8 元。 【答案】元 6.（重点中学分班考）商店 “满 80 减 10 元”，一件上衣 55 元，一条短裤 28 元。买这两件衣服实际花多少钱？ 【分析】先算总价，判断是否满足满减条件，计算实际价格。 【详解】 总价：（元） 83 元满 80，减 10 元 实际花费：（元） 答：实际花 73 元。 【答案】元 7.（走美杯真题）矿泉水每瓶 3 元，“买 5 瓶送 1 瓶”。36 名同学每人一瓶，最少要花多少钱？ 【分析】先算组数，刚好分完没有剩余，计算总花费。 【详解】 每组 6 瓶，（组） 每组花钱：（元） 总钱数：（元） 答：最少要花 90 元。 【答案】元 8.（四年级期末真题）一种纸巾原价每包 6 元，现在 “买 2 包送 1 包”。买 15 包纸巾需要多少钱？ 【分析】买 2 送 1，每组 3 包，算组数和总价。 【详解】 每组：（包） 组数：（组） 每组花费：（元） 总钱数：（元） 答：需要 60 元。 【答案】元 9.（希望杯模拟题）书店促销，每本故事书 12 元，“满 50 减 8 元”。买 5 本故事书实际花多少钱？ 【分析】先算 5 本原价，看满几个 50，减多少钱。 【详解】 原价：（元） 60 元满 50，减 8 元 实际花费：（元） 答：实际花 52 元。 【答案】元 10.（小升初真题）大包装糖果每袋 20 元（500 克），小包装每袋 9 元（200 克）。买 1200 克糖果，最少花多少钱？ 【分析】优先买大包装，剩下的买小包装，计算最少花费。 【详解】 大包装单价更低，优先买大袋。 （袋）……200（克） 2 大袋花费：（元） 剩下 200 克买 1 小袋：9 元 总花费：（元） 答：最少花 49 元。 【答案】元 11.（华杯赛模拟题）王老师带 220 元买奖品，每个文具盒 15 元，“买 4 个送 1 个”。最多可以买多少个文具盒？ 【分析】先算一组的价格，算能买几组，剩下的钱再单买。 【详解】 每组花费：（元） （组）……40（元） 3 组共得：（个） 剩下 40 元：（个）……10 元 一共：（个） 答：最多可以买 17 个。 【答案】个 12.（思维训练题）超市饮料有两种促销：方案一 “买 3 瓶送 1 瓶，每瓶 5 元”；方案二 “每瓶 4 元”。买 12 瓶饮料，选哪种方案更便宜？便宜多少钱？ 【分析】分别计算两种方案的花费，再对比差价。 【详解】 方案一：买 3 送 1，每组 4 瓶 组数：（组） 花费：（元） 方案二：（元） ，方案一更便宜 便宜：（元） 答：选方案一更便宜，便宜 3 元。 【答案】方案一更便宜，便宜元 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $