第13讲 数的改写与近似数进阶 专题讲义-苏教版数学四年级上册奥数培优

第13讲 数的改写与近似数进阶 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 数的改写 （1）改写的意义 为了读写方便，把整万、整亿的大数改写成用 “万” 或 “亿” 作单位的数，改写后数的大小不变，是准确值，用 “=” 连接。 （2）整万数的改写 方法：去掉个级的 4 个 0，在后面添上 “万” 字。 公式：整万数 ÷ 10000 = 多少万 例：250000 = 25 万 （3）整亿数的改写 方法：去掉万级和个级的 8 个 0，在后面添上 “亿” 字。 公式：整亿数 ÷ 100000000 = 多少亿 例：1200000000 = 12 亿 （4）非整万 / 整亿数的改写 可以在万位或亿位的右下角点上小数点，去掉末尾的 0，再添上 “万” 或 “亿” 字（四年级初步了解，核心以整万整亿改写为主）。 2. 近似数 （1）准确数与近似数 准确数：与实际完全符合的数，比如班级人数、书本数量； 近似数：与实际接近的数，比如城市人口、国土面积，通常用 “约”“大约” 表述。 （2）四舍五入法（求近似数的核心方法） 尾数最高位上的数字小于 5，就把尾数舍去（四舍）；尾数最高位上的数字大于或等于 5，就向前一位进 1，再把尾数舍去（五入）。 （3）省略万位后面的尾数求近似数 方法：看千位（尾数的最高位）上的数字： 千位＜5：千位及后面的数全舍去，添 “万” 字（四舍）； 千位≥5：向万位进 1，后面的数全舍去，添 “万” 字（五入）。 结果用 “≈” 连接，例：43680 ≈ 4 万 （4）省略亿位后面的尾数求近似数 方法：看千万位（尾数的最高位）上的数字： 千万位＜5：舍去尾数，添 “亿” 字； 千万位≥5：向亿位进 1，舍去尾数，添 “亿” 字。 例：1285000000 ≈ 13 亿 3. 进阶核心题型 （1）根据近似数求原数的范围 最大原数：“四舍” 得到近似数时，原数最大。尾数最高位是 4，后面其余数位都是 9。 最小原数：“五入” 得到近似数时，原数最小。尾数最高位是 5，后面其余数位都是 0。 口诀：最大数，四舍法，尾数顶 4 后面全是 9；最小数，五入法，尾数顶 5 后面全是 0。 （2）改写与近似数的对比 类型 方法 结果 符号 大小变化 数的改写 去掉 0 加单位 准确数 = 不变 求近似数 四舍五入 近似值 ≈ 可能变大也可能变小 （3）按要求组数的近似问题 结合数字组数，求最接近某数的多位数，分别计算 “四舍” 和 “五入” 两种情况的差值，比较后确定最接近的数。 4. 解题通用步骤 ① 判类型：判断是数的改写还是求近似数； ② 定方法：改写找对应级去掉 0 加单位；求近似数找尾数最高位判断四舍五入； ③ 算结果：按规则计算，注意符号使用； ④ 验范围：求原数范围时，代入验证四舍五入后是否符合近似数。 5. 易错警示 改写时漏写 “万”“亿” 单位，只去掉 0 不写单位，导致数值缩小 10000 倍或 100000000 倍； 求近似数时，对错数位，比如省略万位尾数看百位，应该看千位； 混淆 “=” 和 “≈”，改写用等号，求近似数用约等号，不能混用； 求原数最大最小值时，“四舍” 对应最大数，“五入” 对应最小数，记反会出错； 连续进位时忘记加进位，比如 996000 省略万位尾数，千位 6 进 1，99+1=100，结果是 100 万，不是 99 万。 例题讲解 【典型例题 1】数的基础改写 把下面各数改写成用 “万” 或 “亿” 作单位的数。 360000 =（ ）万 20800000000 =（ ）亿 【跟踪训练 1】 把下面各数改写成用 “万” 或 “亿” 作单位的数。 1050000 =（ ）万 6000000000 =（ ）亿 【典型例题 2】省略尾数求近似数 省略万位后面的尾数，求下面各数的近似数。 48620 ≈（ ）万 995600 ≈（ ）万 【跟踪训练 2】 省略亿位后面的尾数，求近似数。 365000000 ≈（ ）亿 9870000000 ≈（ ）亿 【典型例题 3】根据近似数求原数范围 一个数四舍五入到万位约是 6 万，这个数最大是多少？最小是多少？ 【跟踪训练 3】 一个数省略亿位后面的尾数约是 10 亿，这个数最大是多少？最小是多少？ 【典型例题 4】组数中的近似问题 用 0、1、2、3、5、8、9 七个数字，组成最接近 300 万的七位数。 【跟踪训练 4】 用 0、2、4、5、6、7、8 七个数字，组成最接近 500 万的七位数。 巩固练习 1. 把下面各数改写成用 “万” 作单位的数：720000、3060000 2. 把下面各数改写成用 “亿” 作单位的数：900000000、14000000000 3. 省略万位后面的尾数，求近似数：83950、709600 4. 省略亿位后面的尾数，求近似数：284000000、10620000000 5. 一个数四舍五入到万位约是 12 万，这个数最大是多少？最小是多少？ 6. 一个数省略亿位后面的尾数约是 8 亿，这个数最大比最小大多少？ 7. 把 45 万、405000、4500000、400500 按从小到大的顺序排列。 8. 一个数由 5 个百万、7 个十万组成，把它改写成用 “万” 作单位的数是多少？ 9. 一个数四舍五入到万位是 20 万，这个数的范围是什么？ 10. 把一个数改写成用 “万” 作单位的数，和原数比大小变化了吗？举例说明。 11. 用 1、3、5、7、0、0、0 七个数字，组成最接近 700 万的七位数。 12. 一个数省略万位后面的尾数约是 90 万，这个数最大与最小的和是多少？ 真题训练 1.（苏教版四年级期末真题）把下面各数改写成用 “万” 或 “亿” 作单位的数：480000 =（ ）万 1300000000 =（ ）亿 2.（希望杯四年级试题）省略万位后面的尾数，近似数是多少：65380 ≈（ ）万 997200 ≈（ ）万 3.（小升初衔接题）一个数四舍五入到万位约是 15 万，这个数最大是多少？最小是多少？ 4.（华杯赛初赛）一个数省略亿位后面的尾数约是 20 亿，这个数最大比最小大多少？ 5.（苏教版培优题）把 36 万、36000、306000、3600000 按从大到小排列。 6.（重点中学分班考）用 0、2、3、5、6、8、9 七个数字，组成最接近 600 万的七位数。 7.（走美杯真题）判断：把 540000 改写成用 “万” 作单位的数是 54。（ ）说明理由 8.（四年级期末真题）一个数由 8 个千万、5 个百万组成，把它改写成用 “万” 作单位的数是多少？ 9.（希望杯模拟题）一个数省略万位后面的尾数约是 5 万，这个数的范围是多少？ 10.（小升初真题）把一个数改写成用 “亿” 作单位的数后，比原数小了。这句话对吗？为什么？ 11.（华杯赛模拟题）一个数四舍五入到亿位约是 100 亿，这个数最大是多少？最小是多少？ 12.（思维训练题）一个数省略万位后面的尾数约是 80 万，这个数最大与最小的差是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 数的改写与近似数进阶 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 数的改写 （1）改写的意义 为了读写方便，把整万、整亿的大数改写成用 “万” 或 “亿” 作单位的数，改写后数的大小不变，是准确值，用 “=” 连接。 （2）整万数的改写 方法：去掉个级的 4 个 0，在后面添上 “万” 字。 公式：整万数 ÷ 10000 = 多少万 例：250000 = 25 万 （3）整亿数的改写 方法：去掉万级和个级的 8 个 0，在后面添上 “亿” 字。 公式：整亿数 ÷ 100000000 = 多少亿 例：1200000000 = 12 亿 （4）非整万 / 整亿数的改写 可以在万位或亿位的右下角点上小数点，去掉末尾的 0，再添上 “万” 或 “亿” 字（四年级初步了解，核心以整万整亿改写为主）。 2. 近似数 （1）准确数与近似数 准确数：与实际完全符合的数，比如班级人数、书本数量； 近似数：与实际接近的数，比如城市人口、国土面积，通常用 “约”“大约” 表述。 （2）四舍五入法（求近似数的核心方法） 尾数最高位上的数字小于 5，就把尾数舍去（四舍）；尾数最高位上的数字大于或等于 5，就向前一位进 1，再把尾数舍去（五入）。 （3）省略万位后面的尾数求近似数 方法：看千位（尾数的最高位）上的数字： 千位＜5：千位及后面的数全舍去，添 “万” 字（四舍）； 千位≥5：向万位进 1，后面的数全舍去，添 “万” 字（五入）。 结果用 “≈” 连接，例：43680 ≈ 4 万 （4）省略亿位后面的尾数求近似数 方法：看千万位（尾数的最高位）上的数字： 千万位＜5：舍去尾数，添 “亿” 字； 千万位≥5：向亿位进 1，舍去尾数，添 “亿” 字。 例：1285000000 ≈ 13 亿 3. 进阶核心题型 （1）根据近似数求原数的范围 最大原数：“四舍” 得到近似数时，原数最大。尾数最高位是 4，后面其余数位都是 9。 最小原数：“五入” 得到近似数时，原数最小。尾数最高位是 5，后面其余数位都是 0。 口诀：最大数，四舍法，尾数顶 4 后面全是 9；最小数，五入法，尾数顶 5 后面全是 0。 （2）改写与近似数的对比 类型 方法 结果 符号 大小变化 数的改写 去掉 0 加单位 准确数 = 不变 求近似数 四舍五入 近似值 ≈ 可能变大也可能变小 （3）按要求组数的近似问题 结合数字组数，求最接近某数的多位数，分别计算 “四舍” 和 “五入” 两种情况的差值，比较后确定最接近的数。 4. 解题通用步骤 ① 判类型：判断是数的改写还是求近似数； ② 定方法：改写找对应级去掉 0 加单位；求近似数找尾数最高位判断四舍五入； ③ 算结果：按规则计算，注意符号使用； ④ 验范围：求原数范围时，代入验证四舍五入后是否符合近似数。 5. 易错警示 改写时漏写 “万”“亿” 单位，只去掉 0 不写单位，导致数值缩小 10000 倍或 100000000 倍； 求近似数时，对错数位，比如省略万位尾数看百位，应该看千位； 混淆 “=” 和 “≈”，改写用等号，求近似数用约等号，不能混用； 求原数最大最小值时，“四舍” 对应最大数，“五入” 对应最小数，记反会出错； 连续进位时忘记加进位，比如 996000 省略万位尾数，千位 6 进 1，99+1=100，结果是 100 万，不是 99 万。 例题讲解 【典型例题 1】数的基础改写 把下面各数改写成用 “万” 或 “亿” 作单位的数。 360000 =（ ）万 20800000000 =（ ）亿 【分析】整万数改写，去掉个级 4 个 0 加 “万” 字；整亿数改写，去掉万级和个级共 8 个 0 加 “亿” 字。 【详解】 360000 去掉个级 4 个 0，添 “万”，得 36 万； 20800000000 去掉 8 个 0，添 “亿”，得 208 亿。 【答案】； 【跟踪训练 1】 把下面各数改写成用 “万” 或 “亿” 作单位的数。 1050000 =（ ）万 6000000000 =（ ）亿 【分析】整万数去个级 4 个 0 加万；整亿数去 8 个 0 加亿。 【详解】 1050000 去掉 4 个 0 得 105 万； 6000000000 去掉 8 个 0 得 60 亿。 【答案】； 【典型例题 2】省略尾数求近似数 省略万位后面的尾数，求下面各数的近似数。 48620 ≈（ ）万 995600 ≈（ ）万 【分析】省略万位尾数看千位，千位数字小于 5 舍去，大于等于 5 向万位进 1。 【详解】 48620 的千位是 8，8＞5，向万位进 1，4+1=5，舍去尾数，得 5 万； 995600 的千位是 5，5=5，向万位进 1，99+1=100，舍去尾数，得 100 万。 【答案】； 【跟踪训练 2】 省略亿位后面的尾数，求近似数。 365000000 ≈（ ）亿 9870000000 ≈（ ）亿 【分析】省略亿位尾数看千万位，判断四舍五入。 【详解】 365000000 分级为 3 6500 0000，千万位是 6，6＞5，向亿位进 1，3+1=4，得 4 亿； 9870000000 分级为 98 7000 0000，千万位是 7，7＞5，向亿位进 1，98+1=99，得 99 亿。 【答案】； 【典型例题 3】根据近似数求原数范围 一个数四舍五入到万位约是 6 万，这个数最大是多少？最小是多少？ 【分析】四舍得到 6 万时，原数最大，万位是 6，千位最大是 4，后面各位都是 9；五入得到 6 万时，原数最小，万位是 5，千位最小是 5，后面各位都是 0。 【详解】 最大数：四舍法，万位 6，千位 4，百位、十位、个位都是 9，即 64999； 验证：64999 千位 4＜5，四舍后≈6 万，符合条件。 最小数：五入法，万位 5，千位 5，百位、十位、个位都是 0，即 55000； 验证：55000 千位 5=5，五入后≈6 万，符合条件。 【答案】最大，最小 【跟踪训练 3】 一个数省略亿位后面的尾数约是 10 亿，这个数最大是多少？最小是多少？ 【分析】四舍得 10 亿时原数最大，亿级 10，千万位 4，后面全 9；五入得 10 亿时原数最小，亿级 9，千万位 5，后面全 0。 【详解】 最大数：1049999999，千万位 4，四舍后≈10 亿； 最小数：950000000，千万位 5，五入后≈10 亿。 【答案】最大，最小 【典型例题 4】组数中的近似问题 用 0、1、2、3、5、8、9 七个数字，组成最接近 300 万的七位数。 【分析】分两种情况：比 300 万小的最大数、比 300 万大的最小数，分别计算与 300 万的差值，差值小的更接近。 【详解】 ① 比 300 万小的最大数：百万位 2，剩下数字从大到小排，得到 2985310； 差值：3000000 - 2985310 = 14690 ② 比 300 万大的最小数：百万位 3，十万位、万位为 0，剩下数字从小到大排，得到 3012589； 差值：3012589 - 3000000 = 12589 因为 12589 ＜ 14690，所以 3012589 更接近 300 万。 【答案】 【跟踪训练 4】 用 0、2、4、5、6、7、8 七个数字，组成最接近 500 万的七位数。 【分析】分别计算比 500 万小的最大数和比 500 万大的最小数，比较差值。 【详解】 ① 比 500 万小的最大数：百万位 4，剩下从大到小排：4876520； 差值：5000000 - 4876520 = 123480 ② 比 500 万大的最小数：百万位 5，后面从小到大排：5024678； 差值：5024678 - 5000000 = 24678 24678 ＜ 123480，所以 5024678 更接近 500 万。 【答案】 巩固练习 1. 把下面各数改写成用 “万” 作单位的数：720000、3060000 【分析】整万数去掉个级 4 个 0，添上 “万” 字。 【详解】 720000 去掉个级 4 个 0，得 72 万； 3060000 去掉个级 4 个 0，得 306 万。 【答案】72 万；306 万 2. 把下面各数改写成用 “亿” 作单位的数：900000000、14000000000 【分析】整亿数去掉 8 个 0，添上 “亿” 字。 【详解】 900000000 去掉 8 个 0，得 9 亿； 14000000000 去掉 8 个 0，得 140 亿。 【答案】9 亿；140 亿 3. 省略万位后面的尾数，求近似数：83950、709600 【分析】看千位数字，判断四舍五入。 【详解】 83950 的千位是 3，3＜5，舍去尾数，≈8 万； 709600 的千位是 9，9＞5，向万位进 1，70+1=71，≈71 万。 【答案】8 万；71 万 4. 省略亿位后面的尾数，求近似数：284000000、10620000000 【分析】看千万位数字，判断四舍五入。 【详解】 284000000 的千万位是 8，8＞5，向亿位进 1，2+1=3，≈3 亿； 10620000000 的千万位是 2，2＜5，舍去尾数，≈106 亿。 【答案】3 亿；106 亿 5. 一个数四舍五入到万位约是 12 万，这个数最大是多少？最小是多少？ 【分析】四舍最大，五入最小，分别按规则写数。 【详解】 最大：四舍得 12 万，万级 12，千位 4，后面全 9，即 124999； 最小：五入得 12 万，万级 11，千位 5，后面全 0，即 115000。 【答案】最大 124999，最小 115000 6. 一个数省略亿位后面的尾数约是 8 亿，这个数最大比最小大多少？ 【分析】先分别求出最大数和最小数，再用大数减小数。 【详解】 最大数：849999999 最小数：750000000 相差：849999999 - 750000000 = 99999999 【答案】99999999 7. 把 45 万、405000、4500000、400500 按从小到大的顺序排列。 【分析】先统一单位，都写成原数形式，再比较大小。 【详解】 45 万 = 450000 四个数分别是：450000、405000、4500000、400500 从小到大：400500 ＜ 405000 ＜ 45 万 ＜ 4500000 【答案】400500 ＜ 405000 ＜ 45 万 ＜ 4500000 8. 一个数由 5 个百万、7 个十万组成，把它改写成用 “万” 作单位的数是多少？ 【分析】先写出这个数，再改写成万作单位。 【详解】 5 个百万、7 个十万组成的数是 5700000 改写成万作单位：5700000 = 570 万 【答案】570 万 9. 一个数四舍五入到万位是 20 万，这个数的范围是什么？ 【分析】最小是五入的数，最大是四舍的数，范围在最小和最大之间。 【详解】 最小：195000 最大：204999 范围：大于等于 195000，小于等于 204999 【答案】195000 ~ 204999 10. 把一个数改写成用 “万” 作单位的数，和原数比大小变化了吗？举例说明。 【分析】数的改写只改变计数单位，不改变大小。 【详解】 大小没有变化。例如 320000 改写成 32 万，320000 = 32 万，数值相等，只是计数单位不同。 【答案】大小不变，例如 320000 = 32 万 11. 用 1、3、5、7、0、0、0 七个数字，组成最接近 700 万的七位数。 【分析】分别算比 700 万小的最大数和比 700 万大的最小数，比较差值。 【详解】 ① 比 700 万小的最大数：百万位 5，剩下数字 7、3、1、0、0、0 从大到小排，得 5731000； 差值：7000000 - 5731000 = 1269000 ② 比 700 万大的最小数：百万位 7，剩下数字 1、3、5、0、0、0 从小到大排，得 7000135； 差值：7000135 - 7000000 = 135 135 ＜ 1269000，所以 7000135 最接近 700 万。 【答案】7000135 12. 一个数省略万位后面的尾数约是 90 万，这个数最大与最小的和是多少？ 【分析】先求最大和最小数，再相加。 【详解】 最大：904999 最小：895000 和：904999 + 895000 = 1799999 【答案】1799999 真题训练 1.（苏教版四年级期末真题）把下面各数改写成用 “万” 或 “亿” 作单位的数：480000 =（ ）万 1300000000 =（ ）亿 【分析】整万数去 4 个 0 加万，整亿数去 8 个 0 加亿。 【详解】 480000 去掉个级 4 个 0，得 48 万； 1300000000 去掉 8 个 0，得 13 亿。 【答案】48；13 2.（希望杯四年级试题）省略万位后面的尾数，近似数是多少：65380 ≈（ ）万 997200 ≈（ ）万 【分析】看千位判断四舍五入。 【详解】 65380 千位是 5，向万位进 1，6+1=7，≈7 万； 997200 千位是 7，向万位进 1，99+1=100，≈100 万。 【答案】7；100 3.（小升初衔接题）一个数四舍五入到万位约是 15 万，这个数最大是多少？最小是多少？ 【分析】四舍最大，五入最小。 【详解】 最大：154999 最小：145000 【答案】最大 154999，最小 145000 4.（华杯赛初赛）一个数省略亿位后面的尾数约是 20 亿，这个数最大比最小大多少？ 【分析】先求最大、最小数，再算差。 【详解】 最大：2049999999 最小：1950000000 相差：2049999999 - 1950000000 = 99999999 【答案】99999999 5.（苏教版培优题）把 36 万、36000、306000、3600000 按从大到小排列。 【分析】统一单位后比较大小。 【详解】 36 万 = 360000 从大到小：3600000 ＞ 36 万 ＞ 306000 ＞ 36000 【答案】3600000 ＞ 36 万 ＞ 306000 ＞ 36000 6.（重点中学分班考）用 0、2、3、5、6、8、9 七个数字，组成最接近 600 万的七位数。 【分析】分别计算两种情况的差值，比较得最接近的数。 【详解】 ① 比 600 万小的最大数：5986320，差值：6000000 - 5986320 = 13680 ② 比 600 万大的最小数：6023589，差值：6023589 - 6000000 = 23589 13680 ＜ 23589，最接近的是 5986320。 【答案】5986320 7.（走美杯真题）判断：把 540000 改写成用 “万” 作单位的数是 54。（ ）说明理由 【分析】改写后要加单位 “万”，否则数值变小。 【详解】 错误。540000 改写成用万作单位的数是 54 万，漏写 “万” 字后变成 54，和原数不相等。 【答案】错误，正确结果是 54 万 8.（四年级期末真题）一个数由 8 个千万、5 个百万组成，把它改写成用 “万” 作单位的数是多少？ 【分析】先写出数，再改写。 【详解】 8 个千万、5 个百万组成的数是 85000000 改写成万作单位：85000000 = 8500 万 【答案】8500 万 9.（希望杯模拟题）一个数省略万位后面的尾数约是 5 万，这个数的范围是多少？ 【分析】最小五入，最大四舍。 【详解】 最小：45000 最大：54999 范围：45000 ≤ 原数 ≤ 54999 【答案】45000 ~ 54999 10.（小升初真题）把一个数改写成用 “亿” 作单位的数后，比原数小了。这句话对吗？为什么？ 【分析】改写不改变数的大小，只是计数单位变化。 【详解】 不对。数的改写是准确值改写，大小不变，例如 1200000000 = 12 亿，数值相等。 【答案】不对，改写前后数的大小不变 11.（华杯赛模拟题）一个数四舍五入到亿位约是 100 亿，这个数最大是多少？最小是多少？ 【分析】四舍最大，五入最小。 【详解】 最大：10049999999 最小：9950000000 【答案】最大 10049999999，最小 9950000000 12.（思维训练题）一个数省略万位后面的尾数约是 80 万，这个数最大与最小的差是多少？ 【分析】先求最大、最小数，再算差。 【详解】 最大：804999 最小：795000 差：804999 - 795000 = 9999 【答案】9999 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $