第14讲 大数中的规律与推算 专题讲义-苏教版数学四年级上册奥数培优

第14讲 大数中的规律与推算 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 大数规律的常见类型 （1）连续自然数拼接规律 将连续自然数从 1 开始依次拼接，组成一个很大的多位数（如 12345678910111213…），这类问题核心是按位数分组：一位数（1-9）共 9 个，占 9 位；两位数（10-99）共 90 个，占 180 位；三位数（100-999）共 900 个，占 2700 位，以此类推。 （2）周期循环规律 数字串按照固定的周期重复出现（如 378237823782…），周期长度就是重复的数字个数。解题关键是找到周期长度，用总数除以周期，看余数确定位置，余数为 0 对应周期最后一个。 （3）数字和规律 计算多个数的数字总和，或大数中某一段的数字和，常用方法：分组计算、补数法、按数位分别计算（个位、十位、百位分别算数字和再相加）。 （4）数位推算规律 结合近似数、数的组成，推算大数的数字范围、数字和的最值，或根据条件反推大数的每一位数字。 2. 核心解题方法 分组法：按位数或周期把大数分成若干段，分别计算每段的长度、数字和，再汇总。 余数法：周期问题中，用位置数除以周期长度，余数是几就是周期第几个，无余数就是最后一个。 数位对应法：计算数字和时，按个位、十位、百位分别统计每个数字出现的次数，再相乘求和。 最值法：推算最大数时，高位数字尽量大；推算最小数时，高位数字尽量小（首位不为 0）。 3. 易错警示 连续自然数拼接时，容易算错一位数、两位数的总位数，比如漏掉 1-9 共 9 位，直接从 10 开始算； 周期问题中，余数为 0 时，错误对应周期第一个，实际应该是周期最后一个； 计算数字和时，混淆 “数的和” 与 “数字的和”，比如 12 的数字和是 1+2=3，不是 12 本身； 推算最小数时，首位写 0，忽略了多位数的最高位不能为 0。 例题讲解 【典型例题 1】连续自然数拼接规律 将自然数 1、2、3、4…… 依次拼接，得到一个多位数：12345678910111213……，这个数的第 30 位数字是多少？ 【分析】先算一位数占的位数，再算两位数占的位数，确定第 30 位在哪个范围，再推算具体数字。 【详解】 第一步：1-9 是一位数，共 9 个数字，占 9 位； 第二步：30 - 9 = 21 位，剩下的 21 位都是两位数，每个两位数占 2 位； 第三步：21 ÷ 2 = 10 个……1 位，即第 10 个两位数之后的第 1 位； 第 10 个两位数是 10+10-1=19，接下来是 20，第 1 位是 2。 所以第 30 位数字是 2。 【答案】 【跟踪训练 1】 将自然数 1、2、3…… 依次拼接，得到多位数 123456789101112……，第 50 位数字是多少？ 【分析】先减一位数的 9 位，剩下的算两位数的个数，看余数。 【详解】 50 - 9 = 41 位 41 ÷ 2 = 20 个……1 位 第 20 个两位数是 10+20-1=29，下一个是 30，第 1 位是 3。 答：第 50 位数字是 3。 【答案】 【典型例题 2】周期循环规律 一个数字串按 “294732947329473……” 排列，第 42 个数字是多少？前 42 个数字的和是多少？ 【分析】先找周期，“29473” 重复，周期长度是 5。用 42 除以周期，看余数确定第 42 个数字；先算一个周期的数字和，乘完整周期数，再加余下的数字和。 【详解】 周期：2、9、4、7、3，长度 5 42 ÷ 5 = 8 组……2 个，余数是 2，对应周期第 2 个数字 9。 一个周期数字和：2+9+4+7+3=25 前 42 个数字和：25×8 + 2+9 = 200 + 11 = 211 答：第 42 个数字是 9，前 42 个数字的和是 211。 【答案】第 42 个数字是，和是 【跟踪训练 2】 数字串 “185261852618526……”，第 38 个数字是多少？前 38 个数字的和是多少？ 【分析】周期是 18526，长度 5，计算组数和余数。 【详解】 周期长度 5，38÷5=7 组……3 个，对应周期第 3 个数字 5。 一个周期和：1+8+5+2+6=22 总和：22×7 +1+8+5 = 154 +14 = 168 答：第 38 个数字是 5，和是 168。 【答案】第 38 个数字是，和是 【典型例题 3】数字和计算 计算 1 到 30 所有自然数的数字和是多少？ 【分析】按数位分别算，个位和十位分别计算数字和，再相加。 【详解】 个位：1-9 各出现 3 次（1-9、11-19、21-29），和为 (1+2+…+9)×3 = 45×3=135 十位：10-19 十位都是 1，共 10 个，和为 1×10=10；20-29 十位都是 2，共 10 个，和为 2×10=20；30 十位是 3，加 3； 十位总和：10+20+3=33 总数字和：135+33=168 答：1 到 30 的数字和是 168。 【答案】 【跟踪训练 3】 计算 1 到 50 所有自然数的数字和是多少？ 【分析】分别算个位和十位的数字和。 【详解】 个位：1-9 各出现 5 次，和为 45×5=225 十位：10-19 和为 10，20-29 和为 20，30-39 和为 30，40-49 和为 40，50 十位是 5； 十位总和：10+20+30+40+5=105 总数字和：225+105=330 答：数字和是 330。 【答案】 【典型例题 4】大数推算（数字和最值） 一个六位数，省略万位后面的尾数约是 50 万，这个数的各位数字之和最大是多少？最小是多少？ 【分析】结合近似数的范围，最大数是四舍的 504999，最小数是五入的 495000，分别计算数字和。 【详解】 最大数：504999，数字和：5+0+4+9+9+9=36 最小数：495000，数字和：4+9+5+0+0+0=18 答：数字之和最大是 36，最小是 18。 【答案】最大，最小 【跟踪训练 4】 一个五位数，省略万位后面的尾数约是 8 万，这个数的各位数字之和最大是多少？最小是多少？ 【分析】最大四舍 84999，最小五入 75000，算数字和。 【详解】 最大数：84999，数字和：8+4+9+9+9=39 最小数：75000，数字和：7+5+0+0+0=12 答：最大 39，最小 12。 【答案】最大，最小 巩固练习 1. 将自然数 1、2、3…… 依次拼接，得到多位数 123456789101112……，第 25 位数字是多少？ 【分析】先减一位数的 9 位，剩下的算两位数。 【详解】 25-9=16 位 16÷2=8 个，刚好 8 个两位数，第 8 个两位数是 17，最后一位是 7。 答：第 25 位数字是 7。 【答案】 2. 数字串 “3625836258……”，第 27 个数字是多少？ 【分析】周期长度 5，计算余数。 【详解】 27÷5=5 组……2 个，对应周期第 2 个数字 6。 答：第 27 个数字是 6。 【答案】 3. 计算 1 到 20 所有自然数的数字和是多少？ 【分析】分个位十位计算。 【详解】 个位：1-9 出现 2 次，和为 45×2=90 十位：10-19 十位和为 10，20 十位是 2，共 12 总和：90+12=102 答：数字和是 102。 【答案】 4. 一个七位数，省略万位后面的尾数约是 300 万，这个数的数字和最大是多少？ 【分析】最大数是四舍的 3004999，计算数字和。 【详解】 最大数：3004999 数字和：3+0+0+4+9+9+9=34 答：数字和最大是 34。 【答案】 5. 把自然数 1 到 100 依次写下来，一共写了多少个数字？ 【分析】分一位数、两位数、三位数计算数字个数。 【详解】 一位数：9 个，共 9 个数字 两位数：90 个，共 90×2=180 个数字 三位数：1 个（100），共 3 个数字 总数：9+180+3=192 个 答：一共写了 192 个数字。 【答案】个 6. 数字串 “741852963741852963……”，第 50 个数字是多少？前 50 个数字的和是多少？ 【分析】周期是 741852963，长度 9，计算组数余数。 【详解】 周期长度 9，50÷9=5 组……5 个，对应第 5 个数字 5。 一个周期和：7+4+1+8+5+2+9+6+3=45 总和：45×5 +7+4+1+8+5 = 225 +25=250 答：第 50 个数字是 5，和是 250。 【答案】第 50 个数字是，和是 7. 计算 20 到 40 所有自然数的数字和是多少？ 【分析】分个位十位计算。 【详解】 个位：0-9 各出现 2 次（20-29、30-39），加 40 的 0，和为 45×2=90 十位：20-29 十位和为 2×10=20，30-39 和为 3×10=30，40 十位是 4，共 20+30+4=54 总和：90+54=144 答：数字和是 144。 【答案】 8. 一个六位数，各位数字之和是 25，这个数最大是多少？最小是多少？ 【分析】最大数高位尽量大，最小数高位尽量小（首位不为 0）。 【详解】 最大数：高位数字尽量大，十万位 9，万位 9，千位 25-9-9=7，其余为 0，即 997000； 最小数：高位数字尽量小，十万位 1，剩余 24 分配给低位，个位、十位尽量大，得 100699。 答：最大是 997000，最小是 100699。 【答案】最大，最小 9. 连续自然数拼接：123456789101112……，第 100 位数字是多少？ 【分析】一位数 9 位，两位数 180 位，100 在两位数范围内。 【详解】 100-9=91 位 91÷2=45 个……1 位 第 45 个两位数是 10+45-1=54，下一个是 55，第 1 位是 5。 答：第 100 位数字是 5。 【答案】 10. 有一列数：1、2、4、7、11、16……，按这个规律，第 10 个数是多少？ 【分析】相邻数的差依次是 1、2、3、4、5……，差是自然数列。 【详解】 差依次为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 第 10 个数：1 + 1+2+3+…+9 = 1 + 45 = 46 答：第 10 个数是 46。 【答案】 11. 用 0-9 十个数字组成一个十位数，省略亿位后面的尾数约是 50 亿，这个数最大是多少？ 【分析】四舍得到 50 亿时最大，亿级是 50，千万位最大 4，剩下数字从大到小排。 【详解】 亿级 50，千万位 4，剩下数字 9、8、7、6、3、2、1 从大到小排，得到 5049876321 答：最大是 5049876321。 【答案】 12. 1 到 100 中，数字 “3” 一共出现了多少次？ 【分析】分别算个位和十位上 3 出现的次数。 【详解】 个位：3、13、23……93，共 10 次 十位：30-39，共 10 次 总共：10+10=20 次 答：一共出现了 20 次。 【答案】次 真题训练 1.（苏教版四年级期末真题）将自然数 1、2、3…… 依次写下来组成多位数：123456789101112……，第 20 位数字是多少？ 【分析】先减去一位数的 9 位，计算两位数的个数和余数。 【详解】 20-9=11 位 11÷2=5 个……1 位 第 5 个两位数是 14，下一个是 15，第 1 位是 1。 答：第 20 位数字是 1。 【答案】 2.（希望杯四年级试题）数字串 “2581425814……”，第 33 个数字是多少？ 【分析】周期长度为 5，计算余数。 【详解】 33÷5=6 组……3 个，对应周期第 3 个数字 8。 答：第 33 个数字是 8。 【答案】 3.（小升初衔接题）计算 1 到 40 所有自然数的数字和是多少？ 【分析】分别计算个位和十位的数字和。 【详解】 个位：1-9 各出现 4 次，和为 45×4=180 十位：10-19 和为 10，20-29 和为 20，30-39 和为 30，40 十位是 4，共 10+20+30+4=64 总和：180+64=244 答：数字和是 244。 【答案】 4.（华杯赛初赛）一个五位数，省略万位后面的尾数约是 6 万，这个数的各位数字之和最大是多少？ 【分析】最大数是四舍的 64999，计算数字和。 【详解】 最大数：64999 数字和：6+4+9+9+9=37 答：数字之和最大是 37。 【答案】 5.（苏教版培优题）把自然数 1 到 99 依次写下来，一共包含多少个数字？ 【分析】分一位数和两位数计算。 【详解】 一位数：9 个，共 9 个数字 两位数：90 个，共 90×2=180 个数字 总数：9+180=189 个 答：一共包含 189 个数字。 【答案】个 6.（重点中学分班考）数字串 “135792468135792468……”，第 45 个数字是多少？前 45 个数字的和是多少？ 【分析】周期是 135792468，长度 9，计算组数和余数。 【详解】 45÷9=5 组，刚好 5 组，第 45 个数字是周期最后一个 8。 一个周期和：1+3+5+7+9+2+4+6+8=45 总和：45×5=225 答：第 45 个数字是 8，和是 225。 【答案】第 45 个数字是，和是 7.（走美杯真题）1 到 100 中，数字 “1” 一共出现了多少次？ 【分析】分别算个位、十位、百位上 1 的次数。 【详解】 个位：1、11……91，共 10 次 十位：10-19，共 10 次 百位：100，1 次 总共：10+10+1=21 次 答：一共出现了 21 次。 【答案】次 8.（四年级期末真题）一个六位数，各位数字之和是 30，这个数最小是多少？ 【分析】高位尽量小，低位尽量大，首位最小 1。 【详解】 十万位最小 1，剩余 29，后五位尽量大，个位 9、十位 9、百位 9，千位 29-27=2，万位 0，即 102999。 验证：1+0+2+9+9+9=30，符合条件。 答：最小是 102999。 【答案】 9.（希望杯模拟题）连续自然数拼接：123456789101112……，第 80 位数字是多少？ 【分析】一位数 9 位，剩下的是两位数。 【详解】 80-9=71 位 71÷2=35 个……1 位 第 35 个两位数是 10+35-1=44，下一个是 45，第 1 位是 4。 答：第 80 位数字是 4。 【答案】 10.（小升初真题）找规律：3、6、12、24、48……，第 7 个数是多少？ 【分析】后一个数是前一个的 2 倍，等比数列。 【详解】 第 1 个 3，第 2 个 6=3×2，第 3 个 12=6×2，依次类推 第 7 个：3×2×2×2×2×2×2 = 3×64=192 答：第 7 个数是 192。 【答案】 11.（华杯赛模拟题）用 0-9 组成十位数，省略亿位后面的尾数约是 80 亿，这个数最小是多少？ 【分析】五入得到 80 亿时最小，亿级是 79，千万位最小 5，剩下数字从小到大排。 【详解】 亿级 79，千万位 5，剩下数字 0、1、2、3、4、6 从小到大排，得到 7950123468 答：最小是 7950123468。 【答案】 12.（思维训练题）计算 11 到 30 所有自然数的数字和是多少？ 【分析】用 1-30 的数字和减去 1-10 的数字和。 【详解】 1-30 数字和为 168 1-10 数字和：1+2+…+9 +1+0=45+1=46 11-30 数字和：168-46=122 答：数字和是 122。 【答案】 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 大数中的规律与推算 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 大数规律的常见类型 （1）连续自然数拼接规律 将连续自然数从 1 开始依次拼接，组成一个很大的多位数（如 12345678910111213…），这类问题核心是按位数分组：一位数（1-9）共 9 个，占 9 位；两位数（10-99）共 90 个，占 180 位；三位数（100-999）共 900 个，占 2700 位，以此类推。 （2）周期循环规律 数字串按照固定的周期重复出现（如 378237823782…），周期长度就是重复的数字个数。解题关键是找到周期长度，用总数除以周期，看余数确定位置，余数为 0 对应周期最后一个。 （3）数字和规律 计算多个数的数字总和，或大数中某一段的数字和，常用方法：分组计算、补数法、按数位分别计算（个位、十位、百位分别算数字和再相加）。 （4）数位推算规律 结合近似数、数的组成，推算大数的数字范围、数字和的最值，或根据条件反推大数的每一位数字。 2. 核心解题方法 分组法：按位数或周期把大数分成若干段，分别计算每段的长度、数字和，再汇总。 余数法：周期问题中，用位置数除以周期长度，余数是几就是周期第几个，无余数就是最后一个。 数位对应法：计算数字和时，按个位、十位、百位分别统计每个数字出现的次数，再相乘求和。 最值法：推算最大数时，高位数字尽量大；推算最小数时，高位数字尽量小（首位不为 0）。 3. 易错警示 连续自然数拼接时，容易算错一位数、两位数的总位数，比如漏掉 1-9 共 9 位，直接从 10 开始算； 周期问题中，余数为 0 时，错误对应周期第一个，实际应该是周期最后一个； 计算数字和时，混淆 “数的和” 与 “数字的和”，比如 12 的数字和是 1+2=3，不是 12 本身； 推算最小数时，首位写 0，忽略了多位数的最高位不能为 0。 例题讲解 【典型例题 1】连续自然数拼接规律 将自然数 1、2、3、4…… 依次拼接，得到一个多位数：12345678910111213……，这个数的第 30 位数字是多少？ 【跟踪训练 1】 将自然数 1、2、3…… 依次拼接，得到多位数 123456789101112……，第 50 位数字是多少？ 【典型例题 2】周期循环规律 一个数字串按 “294732947329473……” 排列，第 42 个数字是多少？前 42 个数字的和是多少？ 【跟踪训练 2】 数字串 “185261852618526……”，第 38 个数字是多少？前 38 个数字的和是多少？ 【典型例题 3】数字和计算 计算 1 到 30 所有自然数的数字和是多少？ 【跟踪训练 3】 计算 1 到 50 所有自然数的数字和是多少？ 【典型例题 4】大数推算（数字和最值） 一个六位数，省略万位后面的尾数约是 50 万，这个数的各位数字之和最大是多少？最小是多少？ 【跟踪训练 4】 一个五位数，省略万位后面的尾数约是 8 万，这个数的各位数字之和最大是多少？最小是多少？ 巩固练习 1. 将自然数 1、2、3…… 依次拼接，得到多位数 123456789101112……，第 25 位数字是多少？ 2. 数字串 “3625836258……”，第 27 个数字是多少？ 3. 计算 1 到 20 所有自然数的数字和是多少？ 4. 一个七位数，省略万位后面的尾数约是 300 万，这个数的数字和最大是多少？ 5. 把自然数 1 到 100 依次写下来，一共写了多少个数字？ 6. 数字串 “741852963741852963……”，第 50 个数字是多少？前 50 个数字的和是多少？ 7. 计算 20 到 40 所有自然数的数字和是多少？ 8. 一个六位数，各位数字之和是 25，这个数最大是多少？最小是多少？ 9. 连续自然数拼接：123456789101112……，第 100 位数字是多少？ 10. 有一列数：1、2、4、7、11、16……，按这个规律，第 10 个数是多少？ 11. 用 0-9 十个数字组成一个十位数，省略亿位后面的尾数约是 50 亿，这个数最大是多少？ 12. 1 到 100 中，数字 “3” 一共出现了多少次？ 真题训练 1.（苏教版四年级期末真题）将自然数 1、2、3…… 依次写下来组成多位数：123456789101112……，第 20 位数字是多少？ 2.（希望杯四年级试题）数字串 “2581425814……”，第 33 个数字是多少？ 3.（小升初衔接题）计算 1 到 40 所有自然数的数字和是多少？ 4.（华杯赛初赛）一个五位数，省略万位后面的尾数约是 6 万，这个数的各位数字之和最大是多少？ 5.（苏教版培优题）把自然数 1 到 99 依次写下来，一共包含多少个数字？ 6.（重点中学分班考）数字串 “135792468135792468……”，第 45 个数字是多少？前 45 个数字的和是多少？ 7.（走美杯真题）1 到 100 中，数字 “1” 一共出现了多少次？ 8.（四年级期末真题）一个六位数，各位数字之和是 30，这个数最小是多少？ 9.（希望杯模拟题）连续自然数拼接：123456789101112……，第 80 位数字是多少？ 10.（小升初真题）找规律：3、6、12、24、48……，第 7 个数是多少？ 11.（华杯赛模拟题）用 0-9 组成十位数，省略亿位后面的尾数约是 80 亿，这个数最小是多少？ 12.（思维训练题）计算 11 到 30 所有自然数的数字和是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $