第32讲 比例尺与比例分配综合（奥数核心拓展） 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第32讲 比例尺与比例分配综合（奥数核心拓展） 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心基础回顾 （1）比例尺核心公式 数值比例尺： 双向换算：； 线段比例尺：图上 1 厘米对应固定的实际距离，可直接通过乘法快速计算实际距离。 面积比例尺： （2）比例分配核心 本质：量份对应，先求出 1 份量的大小，再乘对应份数得到目标量。 常见类型： ① 和比分配：已知总量和各部分比， ② 差比分配：已知差量和各部分比， ③ 单量对应：已知其中一个量和对应份数，求其他量或总量。 2. 综合应用四大题型 （1）图形尺寸按比分配 + 比例尺 已知实际图形的边长比、周长比，结合比例尺求图上尺寸、面积；或已知图上的比例关系，反向求解实际的尺寸、面积。 常见场景：长方形长宽比、三角形底高比、正方形边长比等结合比例尺计算。 （2）行程比例 + 线段比例尺 根据线段比例尺算出两地实际总路程，再结合速度比、时间比进行按比分配，求解各自行程、相遇时间等问题。 （3）面积比例 + 面积比例尺 已知实际图形的面积比或边长比，结合长度比例尺推导图上面积比；或已知图上面积的比例关系，求解实际面积的和、差。 核心规律：两个图形按相同比例尺缩放时，长度比不变，面积比等于长度比的平方，与比例尺大小无关。 （4）分段比例 + 比例尺 不同路段、不同区域采用不同比例尺，结合各段的长度比、面积比，分别计算图上或实际的总长度、总面积。 3. 解题通用步骤 ① 转量：根据比例尺，将图上距离转化为实际距离（或反之）； ② 定比：明确各部分的比例关系，确定是和比、差比还是单量对应； ③ 求份：用已知量除以对应份数，求出 1 份量的大小； ④ 算结果：用 1 份量乘目标份数，结合比例尺得到最终所求量； ⑤ 验单位：检查单位是否统一，面积、体积是否符合平方、立方规律。 4. 易错警示 单位不统一：比例尺计算前必须统一图上与实际的单位，通常先统一为厘米再计算； 面积直接用长度比：面积比是长度比的平方，不能直接用长度比计算面积； 比例分配对应错误：已知量必须和对应份数匹配，不能将和量除以份数差、差量除以总份数； 线段比例尺误读：标注的是1 厘米对应的实际距离，不是整条线段对应标注距离； 反向求比例颠倒：比例尺前项为图上距离，后项为实际距离，顺序不能颠倒。 例题讲解 【典型例题 1】图形尺寸按比分配 + 比例尺 在比例尺是的图纸上，量得一个长方形的长是 4 厘米。已知长与宽的比是，这个长方形的实际面积是多少平方米？ 【跟踪训练 1】 在比例尺是的平面图上，量得一个三角形的底是 3 厘米，底与高的比是。这个三角形的实际面积是多少平方米？ 【典型例题 2】线段比例尺与行程比例分配 某地图的线段比例尺：0__60__120千米。在这幅地图上量得 A、B 两地的距离是 5 厘米，甲、乙两车同时从两地相向开出，速度比是。相遇时甲车行了多少千米？ 【跟踪训练 2】 某地图的线段比例尺是0__40__80千米，量得甲、乙两城的图上距离是 7.5 厘米。一辆客车和货车同时从两城相向开出，3 小时相遇，已知客车和货车的速度比是。客车每小时行多少千米？ 【典型例题 3】面积比例与面积比例尺 甲、乙两个正方形的实际边长比是。 （1）把它们画在比例尺是的图纸上，图上的面积比是多少？ （2）如果图上的面积差是 14 平方厘米，两个正方形的实际面积和是多少平方米？ 【跟踪训练 3】 甲、乙两个长方形的实际长的比是，宽的比是。 （1）把它们画在比例尺的图纸上，图上的面积比是多少？ （2）如果图上面积和是 64 平方厘米，甲的实际面积是多少平方米？ 巩固练习 1. 在比例尺的图纸上，量得长方形的长是 5 厘米，长与宽的比是。这个长方形的实际面积是多少平方米？ 2. 一个正方形的实际边长是 8 米，按的比例尺画在图上，图上的边长是多少厘米？图上面积与实际面积的比是多少？ 3. 某地图线段比例尺0__50__100千米，量得两地距离 4.8 厘米。甲、乙两车速度比是，同时从两地相向开出，相遇时乙车行了多少千米？ 4. 甲、乙两个圆的实际半径比是，画在比例尺的图上，图上的周长比是多少？面积比是多少？ 5. 在比例尺的图上，量得一个长方形的周长是 24 厘米，长与宽的比是。这个长方形的实际面积是多少平方米？ 6. 一段公路按分为上坡和下坡，画在比例尺的地图上，总长 10 厘米。上坡的实际长度是多少千米？ 7. 甲、乙两个正方形实际边长比是，图上面积差是 84 平方厘米，这幅图的比例尺是。求甲的实际面积是多少平方米？ 8. 一个三角形的底和高的比是，按的比例尺画在图上，量得图上底是 4 厘米。这个三角形的实际面积是多少平方米？ 9. 某地图线段比例尺0__30__60千米，量得甲、乙两地图上距离是 6 厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，上坡与下坡的路程比是，上坡用了 1.2 小时。上坡每小时行多少千米？ 10. 两个长方形实际面积比是，按相同比例尺画在图上，图上的长的比是，图上的宽的比是多少？ 11. 一个梯形的上底、下底、高的比是，按的比例尺画在图上，量得图上高是 4 厘米。这个梯形的实际面积是多少平方米？ 12. 甲、乙两个正方体的实际棱长比是，把它们画在比例尺的图纸上，图上的体积比是多少？如果图上体积差是 21 立方厘米，甲的实际体积是多少立方米？ 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）在比例尺的图纸上，量得长方形长 6 厘米，长与宽的比是。这个长方形的实际面积是多少平方米？ 2.（希望杯六年级试题）甲、乙两个正方形的边长比是，周长比是多少？面积比是多少？ 3.（小升初衔接题）某地图线段比例尺0__40__80千米，量得两地距离 5 厘米。两车相向而行，速度比，2 小时相遇。快车每小时行多少千米？ 4.（华杯赛初赛）一个圆的半径按缩小，缩小后的面积比原来小 94.2 平方厘米。原来圆的面积是多少？ 5.（苏教版培优题）在比例尺的图上，量得长方形周长是 32 厘米，长与宽的比是。这个长方形的实际面积是多少平方米？ 6.（重点中学分班考）甲、乙两个三角形底的比是，高的比是，它们的面积比是多少？ 7.（走美杯真题）一幅地图的比例尺是，图上面积与实际面积的比是多少？ 8.（六年级期末真题）一块三角形地，底与高的比是，按的比例尺画在图上，图上底是 5 厘米。这块地的实际面积是多少平方米？ 9.（希望杯模拟题）甲、乙两个正方形实际边长比是，画在比例尺的图上，图上面积差是 64 平方厘米。乙的实际面积是多少平方米？ 10.（小升初真题）一段公路长 120 千米，按分为高速和普通公路。画在比例尺的地图上，高速公路的图上长度是多少厘米？ 11.（华杯赛模拟题）两个长方体的棱长比是，它们的表面积比是多少？体积比是多少？ 12.（思维训练题）甲、乙两个长方形面积相等，甲的长与乙的长的比是，甲的宽与乙的宽的比是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第32讲 比例尺与比例分配综合（奥数核心拓展） 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心基础回顾 （1）比例尺核心公式 数值比例尺： 双向换算：； 线段比例尺：图上 1 厘米对应固定的实际距离，可直接通过乘法快速计算实际距离。 面积比例尺： （2）比例分配核心 本质：量份对应，先求出 1 份量的大小，再乘对应份数得到目标量。 常见类型： ① 和比分配：已知总量和各部分比， ② 差比分配：已知差量和各部分比， ③ 单量对应：已知其中一个量和对应份数，求其他量或总量。 2. 综合应用四大题型 （1）图形尺寸按比分配 + 比例尺 已知实际图形的边长比、周长比，结合比例尺求图上尺寸、面积；或已知图上的比例关系，反向求解实际的尺寸、面积。 常见场景：长方形长宽比、三角形底高比、正方形边长比等结合比例尺计算。 （2）行程比例 + 线段比例尺 根据线段比例尺算出两地实际总路程，再结合速度比、时间比进行按比分配，求解各自行程、相遇时间等问题。 （3）面积比例 + 面积比例尺 已知实际图形的面积比或边长比，结合长度比例尺推导图上面积比；或已知图上面积的比例关系，求解实际面积的和、差。 核心规律：两个图形按相同比例尺缩放时，长度比不变，面积比等于长度比的平方，与比例尺大小无关。 （4）分段比例 + 比例尺 不同路段、不同区域采用不同比例尺，结合各段的长度比、面积比，分别计算图上或实际的总长度、总面积。 3. 解题通用步骤 ① 转量：根据比例尺，将图上距离转化为实际距离（或反之）； ② 定比：明确各部分的比例关系，确定是和比、差比还是单量对应； ③ 求份：用已知量除以对应份数，求出 1 份量的大小； ④ 算结果：用 1 份量乘目标份数，结合比例尺得到最终所求量； ⑤ 验单位：检查单位是否统一，面积、体积是否符合平方、立方规律。 4. 易错警示 单位不统一：比例尺计算前必须统一图上与实际的单位，通常先统一为厘米再计算； 面积直接用长度比：面积比是长度比的平方，不能直接用长度比计算面积； 比例分配对应错误：已知量必须和对应份数匹配，不能将和量除以份数差、差量除以总份数； 线段比例尺误读：标注的是1 厘米对应的实际距离，不是整条线段对应标注距离； 反向求比例颠倒：比例尺前项为图上距离，后项为实际距离，顺序不能颠倒。 例题讲解 【典型例题 1】图形尺寸按比分配 + 比例尺 在比例尺是的图纸上，量得一个长方形的长是 4 厘米。已知长与宽的比是，这个长方形的实际面积是多少平方米？ 【分析】先根据比例尺求出实际的长，再根据长宽比按比分配求出实际的宽，最后代入长方形面积公式计算。 【详解】 第一步：求实际的长 实际长：（厘米）米 第二步：按比分配求实际宽 1 份量：（米） 实际宽：（米） 第三步：求实际面积 实际面积：（平方米） 【答案】平方米 【跟踪训练 1】 在比例尺是的平面图上，量得一个三角形的底是 3 厘米，底与高的比是。这个三角形的实际面积是多少平方米？ 【分析】先根据比例尺求出实际的底，再按比求出实际的高，最后用三角形面积公式计算。 【详解】 实际底：（厘米）米 1 份量：（米） 实际高：（米） 实际面积：（平方米） 【答案】平方米 【典型例题 2】线段比例尺与行程比例分配 某地图的线段比例尺：0__60__120千米。在这幅地图上量得 A、B 两地的距离是 5 厘米，甲、乙两车同时从两地相向开出，速度比是。相遇时甲车行了多少千米？ 【分析】先根据线段比例尺算出 A、B 两地的实际总路程；相遇时行驶时间相同，路程比等于速度比，再按比分配求出甲车的路程。 【详解】 第一步：求实际总路程 实际总路程：（千米） 第二步：按速度比分配路程 相遇时间相同，路程比 = 速度比 = 总份数：份 1 份量：（千米） 甲车路程：（千米） 【答案】千米 【跟踪训练 2】 某地图的线段比例尺是0__40__80千米，量得甲、乙两城的图上距离是 7.5 厘米。一辆客车和货车同时从两城相向开出，3 小时相遇，已知客车和货车的速度比是。客车每小时行多少千米？ 【分析】先算实际总路程，除以相遇时间得到速度和，再按速度比分配求出客车速度。 【详解】 实际总路程：（千米） 速度和：（千米 / 时） 总份数：份 1 份量：（千米 / 时） 客车速度：（千米 / 时） 【答案】千米 / 时 【典型例题 3】面积比例与面积比例尺 甲、乙两个正方形的实际边长比是。 （1）把它们画在比例尺是的图纸上，图上的面积比是多少？ （2）如果图上的面积差是 14 平方厘米，两个正方形的实际面积和是多少平方米？ 【分析】 （1）两个正方形按相同比例尺缩放，边长比不变，面积比等于边长比的平方，与比例尺无关； （2）根据面积比和面积差求出 1 份量，再乘总份数得到图上总面积，最后根据面积比例尺换算出实际总面积。 【详解】 （1）边长比不变，仍为 图上面积比： （2）份数差：份 1 份量：（平方厘米） 图上总面积：（平方厘米） 面积比例尺： 实际总面积：（平方厘米）平方米 【答案】（1）；（2）平方米 【跟踪训练 3】 甲、乙两个长方形的实际长的比是，宽的比是。 （1）把它们画在比例尺的图纸上，图上的面积比是多少？ （2）如果图上面积和是 64 平方厘米，甲的实际面积是多少平方米？ 【分析】 （1）面积比 = 长的比 × 宽的比，比例尺相同，比值不变； （2）按比分配求出甲的图上面积，再根据面积比例尺换算成实际面积。 【详解】 （1）实际面积比： 比例尺相同，图上面积比 = 实际面积比 = （2）总份数：份 甲图上面积：（平方厘米） 面积比例尺： 甲实际面积：（平方厘米）平方米 【答案】（1）；（2）平方米 巩固练习 1. 在比例尺的图纸上，量得长方形的长是 5 厘米，长与宽的比是。这个长方形的实际面积是多少平方米？ 【分析】先求实际长，按比求实际宽，再计算面积。 【详解】 实际长：厘米米 1 份量：米 实际宽：米 实际面积：（平方米） 【答案】平方米 2. 一个正方形的实际边长是 8 米，按的比例尺画在图上，图上的边长是多少厘米？图上面积与实际面积的比是多少？ 【分析】先求图上边长，再根据平方规律求面积比。 【详解】 8 米 = 800 厘米 图上边长：（厘米） 面积比： 【答案】图上边长厘米，面积比 3. 某地图线段比例尺0__50__100千米，量得两地距离 4.8 厘米。甲、乙两车速度比是，同时从两地相向开出，相遇时乙车行了多少千米？ 【分析】先算总路程，再按速度比分配路程。 【详解】 总路程：（千米） 路程比，总份数 12 份 1 份量：千米 乙车路程：（千米） 【答案】千米 4. 甲、乙两个圆的实际半径比是，画在比例尺的图上，图上的周长比是多少？面积比是多少？ 【分析】周长比等于半径比，面积比是半径比的平方，相同比例尺下比值不变。 【详解】 周长比 = 半径比 = 面积比 = 【答案】周长比，面积比 5. 在比例尺的图上，量得一个长方形的周长是 24 厘米，长与宽的比是。这个长方形的实际面积是多少平方米？ 【分析】先算图上长宽，再求实际长宽，最后计算实际面积。 【详解】 图上长宽和：厘米 总份数：份 图上长：厘米 图上宽：厘米 实际长：厘米米 实际宽：厘米米 实际面积：（平方米） 【答案】平方米 6. 一段公路按分为上坡和下坡，画在比例尺的地图上，总长 10 厘米。上坡的实际长度是多少千米？ 【分析】先算实际总长，再按比分配上坡长度。 【详解】 实际总长：厘米千米 总份数：份 上坡实际长：（千米） 【答案】千米 7. 甲、乙两个正方形实际边长比是，图上面积差是 84 平方厘米，这幅图的比例尺是。求甲的实际面积是多少平方米？ 【分析】先求面积比，按差量求出甲的图上面积，再换算成实际面积。 【详解】 面积比： 份数差：份 1 份量：平方厘米 甲图上面积：平方厘米 面积比例尺： 甲实际面积：平方厘米平方米 【答案】平方米 8. 一个三角形的底和高的比是，按的比例尺画在图上，量得图上底是 4 厘米。这个三角形的实际面积是多少平方米？ 【分析】先求实际底，按比求实际高，再计算面积。 【详解】 实际底：厘米米 1 份量：米 实际高：米 实际面积：（平方米） 【答案】平方米 9. 某地图线段比例尺0__30__60千米，量得甲、乙两地图上距离是 6 厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，上坡与下坡的路程比是，上坡用了 1.2 小时。上坡每小时行多少千米？ 【分析】先算总路程，按比求上坡路程，再除以上坡时间得速度。 【详解】 总路程：（千米） 上坡路程：（千米） 上坡速度：（千米 / 时） 【答案】千米 / 时 10. 两个长方形实际面积比是，按相同比例尺画在图上，图上的长的比是，图上的宽的比是多少？ 【分析】面积比 = 长的比 × 宽的比，因此宽的比 = 面积比 ÷ 长的比。 【详解】 宽的比： 【答案】 11. 一个梯形的上底、下底、高的比是，按的比例尺画在图上，量得图上高是 4 厘米。这个梯形的实际面积是多少平方米？ 【分析】先求实际的高，按比求上底和下底，再代入梯形面积公式。 【详解】 实际高：厘米米 1 份量：米 实际上底：米 实际下底：米 实际面积：（平方米） 【答案】平方米 12. 甲、乙两个正方体的实际棱长比是，把它们画在比例尺的图纸上，图上的体积比是多少？如果图上体积差是 21 立方厘米，甲的实际体积是多少立方米？ 【分析】体积比是棱长比的立方，相同比例尺下比值不变；按差量求甲图上体积，再换算实际体积。 【详解】 （1）棱长比，体积比 比例尺相同，图上体积比 = （2）份数差：份 1 份量：立方厘米 甲图上体积：立方厘米 长度比例尺，体积比例尺 甲实际体积：立方厘米立方米 【答案】体积比，甲实际体积立方米 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）在比例尺的图纸上，量得长方形长 6 厘米，长与宽的比是。这个长方形的实际面积是多少平方米？ 【分析】先求实际长，按比求宽，再算面积。 【详解】 实际长：厘米米 1 份量：米 实际宽：米 实际面积：（平方米） 【答案】平方米 2.（希望杯六年级试题）甲、乙两个正方形的边长比是，周长比是多少？面积比是多少？ 【分析】周长比等于边长比，面积比是边长比的平方。 【详解】 周长比 = 面积比 = 【答案】周长比，面积比 3.（小升初衔接题）某地图线段比例尺0__40__80千米，量得两地距离 5 厘米。两车相向而行，速度比，2 小时相遇。快车每小时行多少千米？ 【分析】先算总路程，除以相遇时间得速度和，按比分配快车速度。 【详解】 总路程：千米 速度和：千米 / 时 总份数：份 快车速度：千米 / 时 【答案】千米 / 时 4.（华杯赛初赛）一个圆的半径按缩小，缩小后的面积比原来小 94.2 平方厘米。原来圆的面积是多少？ 【分析】面积比，差 3 份对应 94.2 平方厘米，求 4 份的面积。 【详解】 面积比 份数差：份 1 份量：平方厘米 原来面积：平方厘米 【答案】平方厘米 5.（苏教版培优题）在比例尺的图上，量得长方形周长是 32 厘米，长与宽的比是。这个长方形的实际面积是多少平方米？ 【分析】先算图上长宽，再求实际长宽，最后算面积。 【详解】 图上长宽和：厘米 总份数：份 图上长：厘米 图上宽：厘米 实际长：厘米米 实际宽：厘米米 实际面积：平方米 【答案】平方米 6.（重点中学分班考）甲、乙两个三角形底的比是，高的比是，它们的面积比是多少？ 【分析】三角形面积比 = 底的比 × 高的比。 【详解】 面积比： 【答案】 7.（走美杯真题）一幅地图的比例尺是，图上面积与实际面积的比是多少？ 【分析】面积比是长度比的平方。 【详解】 面积比： 【答案】 8.（六年级期末真题）一块三角形地，底与高的比是，按的比例尺画在图上，图上底是 5 厘米。这块地的实际面积是多少平方米？ 【分析】先求实际底，按比求高，再算面积。 【详解】 实际底：厘米米 1 份量：米 实际高：米 实际面积：平方米 【答案】平方米 9.（希望杯模拟题）甲、乙两个正方形实际边长比是，画在比例尺的图上，图上面积差是 64 平方厘米。乙的实际面积是多少平方米？ 【分析】先求面积比，按差量求乙的图上面积，再换算实际面积。 【详解】 面积比： 份数差：份 1 份量：平方厘米 乙图上面积：平方厘米 面积比例尺： 乙实际面积：平方厘米平方米 【答案】平方米 10.（小升初真题）一段公路长 120 千米，按分为高速和普通公路。画在比例尺的地图上，高速公路的图上长度是多少厘米？ 【分析】先按比求高速实际长度，再算图上长度。 【详解】 高速实际长：千米厘米 图上长度：厘米 【答案】厘米 11.（华杯赛模拟题）两个长方体的棱长比是，它们的表面积比是多少？体积比是多少？ 【分析】表面积比是棱长比的平方，体积比是棱长比的立方。 【详解】 表面积比： 体积比： 【答案】表面积比，体积比 12.（思维训练题）甲、乙两个长方形面积相等，甲的长与乙的长的比是，甲的宽与乙的宽的比是多少？ 【分析】面积相等时，宽的比与长的比成反比。 【详解】 面积相等，长的比是，宽的比是 【答案】 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $