第31讲 面积比例尺（奥数核心拓展） 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第31讲 面积比例尺（奥数核心拓展） 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 面积比例尺的定义 一幅图的图上面积与实际面积的比，叫做这幅图的面积比例尺。它由长度比例尺衍生而来，本质是图形按比例缩放时，面积随长度的平方倍变化。 2. 核心公式（重中之重） 若长度比例尺为 （缩小比例尺），则： 即： 推导：任意图形按缩放时，所有长度都缩小为原来的，面积 = 长度 × 长度（或对应长度乘积），因此面积缩小为原来的，长方形、正方形、圆、三角形等所有图形均适用。 3. 双向换算公式 已知长度比例尺，求实际面积： 已知长度比例尺，求图上面积： 已知图上面积和实际面积，反求长度比例尺： 先计算面积比，再对面积比开平方，得到长度比例尺。 4. 面积单位换算进阶 面积单位的进率是对应长度单位进率的平方： （，） 5. 常见拓展题型 基础换算型：已知长度比例尺和图上尺寸，求实际面积； 反求比例尺型：已知图上面积和实际面积，反向推导长度比例尺； 比例尺变化型：更换比例尺后，求图上面积的变化倍数或新图上面积； 差量型：已知图上与实际的面积差，结合面积比求各自面积； 组合图形型：长方形、正方形、圆、三角形、梯形等组合图形的面积换算。 6. 解题通用步骤 ① 定类型：判断题目给出的是长度比例尺还是面积比，明确所求； ② 转关系：根据 “面积比 = 长度比的平方”，在长度比和面积比之间转化； ③ 统单位：统一图上与实际的面积单位，注意面积进率是长度进率的平方； ④ 代计算：代入对应公式计算结果； ⑤ 验结果：验证倍数关系是否符合平方规律，单位是否匹配。 7. 易错警示 直接用长度比例尺算面积：面积必须乘 / 除以比例尺的平方，不能直接用长度比例尺计算面积； 单位进率错误：面积单位进率是长度单位进率的平方，如千米 =厘米，平方千米 =平方厘米； 反推长度比忘开方：已知面积比求长度比，要对面积比开平方，不能直接用面积比当长度比； 前后项颠倒：面积比例尺前项是图上面积，后项是实际面积，与长度比例尺顺序一致。 例题讲解 【典型例题 1】基础面积换算 在比例尺是的图纸上，量得一个长方形操场的长是 5 厘米，宽是 3 厘米。这个操场的实际面积是多少平方米？ 【分析】方法一：先根据长度比例尺求出实际的长和宽，再计算实际面积（直观不易错）；方法二：先算图上面积，再用图上面积除以长度比例尺的平方得到实际面积。 【详解】 方法一： 实际长：（厘米）米 实际宽：（厘米）米 实际面积：（平方米） 方法二： 图上面积：（平方厘米） 面积比例尺： 实际面积：（平方厘米）平方米 【答案】平方米 【跟踪训练 1】 在比例尺是的平面图上，量得一个正方形花坛的边长是 4 厘米。这个花坛的实际面积是多少平方米？ 【分析】先根据长度比例尺求出实际边长，再计算正方形实际面积。 【详解】 实际边长：（厘米）米 实际面积：（平方米） 【答案】平方米 【典型例题 2】反求长度比例尺 一块长方形菜地的实际长是 80 米，宽是 60 米，画在图纸上的面积是 12 平方厘米。这幅图纸的数值比例尺是多少？ 【分析】先计算实际面积，统一单位后求出面积比，再对面积比开平方得到长度比例尺。 【详解】 实际面积：（平方米）平方厘米 面积比： 长度比： 【答案】 【跟踪训练 2】 一块三角形土地实际面积是 300 平方米，画在比例尺是的图纸上，图上面积是多少平方厘米？ 【分析】先根据长度比例尺求出面积比例尺，再用实际面积乘面积比例尺，注意统一单位。 【详解】 面积比例尺： 平方米 平方厘米 图上面积：（平方厘米） 【答案】平方厘米 【典型例题 3】比例尺变化 一幅地图的比例尺是，改画成比例尺是的地图。原来图上面积是 20 平方厘米的地块，新图上面积是多少平方厘米？ 【分析】方法一：先求实际面积，再用新比例尺计算新图上面积；方法二：先算长度比例尺的变化倍数，面积变化倍数是长度变化倍数的平方。 【详解】 方法一： 实际面积：（平方厘米） 新图上面积：（平方厘米） 方法二： 长度比例尺扩大为原来的倍 面积比例尺扩大为原来的倍 新图上面积：（平方厘米） 【答案】平方厘米 【跟踪训练 3】 一个圆形零件按的比例尺画在图纸上，图上面积是 314 平方厘米。零件的实际面积是多少平方毫米？ 【分析】放大比例尺的面积比是长度比的平方，图上面积是实际的 100 倍，求实际面积后换算单位。 【详解】 面积比： 实际面积：（平方厘米）平方毫米 【答案】平方毫米 【典型例题 4】差量型面积计算 在比例尺是的地图上，一块长方形绿地的图上面积比实际面积少 1999800 平方厘米。这块绿地的实际面积是多少平方米？ 【分析】先求出面积比，图上 1 份对应实际 1000000 份，面积差对应份数差，求出 1 份量后再计算实际面积。 【详解】 面积比： 份数差：份 1 份量：（平方厘米） 实际面积：（平方厘米）平方米 【答案】平方米 【跟踪训练 4】 把一个正方形按缩小后，面积减少了 120 平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？ 【分析】面积比是，减少的 15 份对应 120 平方厘米，求出 1 份量后乘 16 份得到原来的面积。 【详解】 面积比： 减少的份数：份 1 份量：（平方厘米） 原来面积：（平方厘米） 【答案】平方厘米 巩固练习 1. 在比例尺的图纸上，长方形长 6 厘米，宽 4 厘米，实际面积是多少平方米？ 【分析】先求实际的长和宽，再计算实际面积。 【详解】 实际长：厘米 米 实际宽：厘米 米 实际面积：（平方米） 【答案】平方米 2. 正方形实际边长 15 米，画在的图上，图上面积是多少平方厘米？ 【分析】先求图上边长，再算图上面积。 【详解】 米 厘米 图上边长：（厘米） 图上面积：（平方厘米） 【答案】平方厘米 3. 一块三角形地实际面积是 240 平方米，图上面积是 60 平方厘米，求这幅图的比例尺。 【分析】统一单位后求面积比，开平方得长度比例尺。 【详解】 平方米 平方厘米 面积比： 长度比例尺： 【答案】 4. 一个圆按放大，放大后的面积比原来多 94.2 平方厘米，原来圆的面积是多少？ 【分析】面积比是，多 3 份对应 94.2 平方厘米，求 1 份量就是原来的面积。 【详解】 面积比： 份数差：份 原来面积：（平方厘米） 【答案】平方厘米 5. 一幅地图比例尺，改画成的地图，原来图上面积是 50 平方厘米的区域，新图上面积是多少？ 【分析】长度比例尺缩小为原来的，面积缩小为原来的。 【详解】 长度变化： 面积变化： 新图上面积：（平方厘米） 【答案】平方厘米 6. 在比例尺的图上，量得圆形花坛直径 4 厘米，实际面积是多少平方米？ 【分析】先求实际直径，再算实际面积。 【详解】 实际直径：厘米 米 实际半径：米 实际面积：（平方米） 【答案】平方米 7. 长方形实际长 120 米，宽 80 米，画在图纸上面积是 24 平方厘米，求图纸的比例尺。 【分析】先算实际面积，统一单位求面积比，开平方得长度比例尺。 【详解】 实际面积：平方米 平方厘米 面积比： 长度比例尺： 【答案】 8. 把一个图形按放大，放大后的面积是原来的几倍？周长是原来的几倍？ 【分析】面积比是长度比的平方，周长比等于长度比。 【详解】 面积倍数：倍 周长倍数：倍 【答案】面积是原来的倍，周长是原来的倍 9. 在比例尺是的地图上，一块梯形地的图上面积是 10 平方厘米，实际面积是多少平方米？ 【分析】先算面积比例尺，再求实际面积，换算单位。 【详解】 面积比例尺： 实际面积：（平方厘米）平方米 【答案】平方米 10. 一个正方形的图上面积比实际面积小 9999 份，这幅图的长度比例尺是多少？ 【分析】图上 1 份，实际 10000 份，面积比 1:10000，开平方得长度比。 【详解】 面积比： 长度比例尺： 【答案】 11. 一个平行四边形底 6 厘米，高 4 厘米，按的比例尺画出，实际面积是多少平方米？ 【分析】先算图上面积，再求实际面积；或先求实际底和高再算面积。 【详解】 实际底：厘米 米 实际高：厘米 米 实际面积：（平方米） 【答案】平方米 12. 圆的半径按缩小，缩小后的面积比原来小 25.12 平方厘米，原来圆的面积是多少？ 【分析】面积比 1:9，差 8 份对应 25.12 平方厘米，求 9 份的面积。 【详解】 面积比： 份数差：份 1 份量：（平方厘米） 原来面积：（平方厘米） 【答案】平方厘米 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）在比例尺的图上，长方形长 5 厘米，宽 3 厘米，实际面积是多少平方米？ 【分析】先求实际长宽，再算实际面积。 【详解】 实际长：厘米 米 实际宽：厘米 米 实际面积：（平方米） 【答案】平方米 2.（希望杯六年级试题）正方形面积按缩小，边长按多少的比缩小？ 【分析】面积比开平方就是边长比。 【详解】 边长比： 【答案】 3.（小升初衔接题）一块长方形地实际长 60 米，宽 40 米，画在图纸上面积是 6 平方厘米，求比例尺。 【分析】先算实际面积，统一单位求面积比，开平方得长度比例尺。 【详解】 实际面积：平方米 平方厘米 面积比： 长度比例尺： 【答案】 4.（华杯赛初赛）圆的直径扩大到原来的 3 倍，面积扩大到原来的几倍？ 【分析】直径比等于半径比，面积比是半径比的平方。 【详解】 直径比，面积比 面积扩大 9 倍 【答案】倍 5.（苏教版培优题）比例尺的图纸上，圆形零件半径 2 厘米，实际面积是多少平方分米？ 【分析】先求实际半径，再算实际面积，换算单位。 【详解】 实际半径：厘米 分米 实际面积：（平方分米） 【答案】平方分米 6.（重点中学分班考）把一个长方形按缩小，面积减少了 150 平方厘米，原来面积是多少？ 【分析】面积比 1:16，减少 15 份对应 150 平方厘米，求 16 份。 【详解】 面积比： 减少份数：份 1 份量：（平方厘米） 原来面积：（平方厘米） 【答案】平方厘米 7.（走美杯真题）一幅地图的比例尺是，图上面积是实际面积的几分之几？ 【分析】面积比例尺是长度比例尺的平方。 【详解】 面积比： 图上面积是实际的 【答案】 8.（六年级期末真题）一个三角形按放大，放大后的面积比原来多 24 平方厘米，原来面积是多少？ 【分析】面积比 9:1，多 8 份对应 24 平方厘米，求 1 份。 【详解】 面积比： 份数差：份 原来面积：（平方厘米） 【答案】平方厘米 9.（希望杯模拟题）梯形实际面积是 150 平方米，画在的图上，图上面积是多少平方厘米？ 【分析】先算面积比例尺，再求图上面积，统一单位。 【详解】 面积比例尺： 平方米 平方厘米 图上面积：（平方厘米） 【答案】平方厘米 10.（小升初真题）圆形花坛实际周长是 62.8 米，按的比例尺画在图上，图上面积是多少平方厘米？ 【分析】先根据周长求实际半径，再求图上半径，最后算图上面积。 【详解】 实际半径：米 厘米 图上半径：（厘米） 图上面积：（平方厘米） 【答案】平方厘米 11.（华杯赛模拟题）一幅地图比例尺，改画成的地图，图上面积增加了 30 平方厘米，原来图上面积是多少？ 【分析】长度比例尺扩大 2 倍，面积扩大 4 倍，增加 3 份对应 30 平方厘米，求 1 份就是原来的面积。 【详解】 长度变化：倍 面积变化：倍 增加份数：份 原来面积：（平方厘米） 【答案】平方厘米 12.（思维训练题）在比例尺是的图上，一块长方形地的周长是 24 厘米，长与宽的比是，这块地的实际面积是多少平方米？ 【分析】先按比分配求出图上的长和宽，再求实际长宽，最后算实际面积。 【详解】 图上长宽和：厘米 总份数：份 图上长：厘米 图上宽：厘米 实际长：厘米 米 实际宽：厘米 米 实际面积：（平方米） 【答案】平方米 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第31讲 面积比例尺（奥数核心拓展） 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 面积比例尺的定义 一幅图的图上面积与实际面积的比，叫做这幅图的面积比例尺。它由长度比例尺衍生而来，本质是图形按比例缩放时，面积随长度的平方倍变化。 2. 核心公式（重中之重） 若长度比例尺为 （缩小比例尺），则： 即： 推导：任意图形按缩放时，所有长度都缩小为原来的，面积 = 长度 × 长度（或对应长度乘积），因此面积缩小为原来的，长方形、正方形、圆、三角形等所有图形均适用。 3. 双向换算公式 已知长度比例尺，求实际面积： 已知长度比例尺，求图上面积： 已知图上面积和实际面积，反求长度比例尺： 先计算面积比，再对面积比开平方，得到长度比例尺。 4. 面积单位换算进阶 面积单位的进率是对应长度单位进率的平方： （，） 5. 常见拓展题型 基础换算型：已知长度比例尺和图上尺寸，求实际面积； 反求比例尺型：已知图上面积和实际面积，反向推导长度比例尺； 比例尺变化型：更换比例尺后，求图上面积的变化倍数或新图上面积； 差量型：已知图上与实际的面积差，结合面积比求各自面积； 组合图形型：长方形、正方形、圆、三角形、梯形等组合图形的面积换算。 6. 解题通用步骤 ① 定类型：判断题目给出的是长度比例尺还是面积比，明确所求； ② 转关系：根据 “面积比 = 长度比的平方”，在长度比和面积比之间转化； ③ 统单位：统一图上与实际的面积单位，注意面积进率是长度进率的平方； ④ 代计算：代入对应公式计算结果； ⑤ 验结果：验证倍数关系是否符合平方规律，单位是否匹配。 7. 易错警示 直接用长度比例尺算面积：面积必须乘 / 除以比例尺的平方，不能直接用长度比例尺计算面积； 单位进率错误：面积单位进率是长度单位进率的平方，如千米 =厘米，平方千米 =平方厘米； 反推长度比忘开方：已知面积比求长度比，要对面积比开平方，不能直接用面积比当长度比； 前后项颠倒：面积比例尺前项是图上面积，后项是实际面积，与长度比例尺顺序一致。 例题讲解 【典型例题 1】基础面积换算 在比例尺是的图纸上，量得一个长方形操场的长是 5 厘米，宽是 3 厘米。这个操场的实际面积是多少平方米？ 【跟踪训练 1】 在比例尺是的平面图上，量得一个正方形花坛的边长是 4 厘米。这个花坛的实际面积是多少平方米？ 【典型例题 2】反求长度比例尺 一块长方形菜地的实际长是 80 米，宽是 60 米，画在图纸上的面积是 12 平方厘米。这幅图纸的数值比例尺是多少？ 【跟踪训练 2】 一块三角形土地实际面积是 300 平方米，画在比例尺是的图纸上，图上面积是多少平方厘米？ 【典型例题 3】比例尺变化 一幅地图的比例尺是，改画成比例尺是的地图。原来图上面积是 20 平方厘米的地块，新图上面积是多少平方厘米？ 【跟踪训练 3】 一个圆形零件按的比例尺画在图纸上，图上面积是 314 平方厘米。零件的实际面积是多少平方毫米？ 【典型例题 4】差量型面积计算 在比例尺是的地图上，一块长方形绿地的图上面积比实际面积少 1999800 平方厘米。这块绿地的实际面积是多少平方米？ 【跟踪训练 4】 把一个正方形按缩小后，面积减少了 120 平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？ 巩固练习 1. 在比例尺的图纸上，长方形长 6 厘米，宽 4 厘米，实际面积是多少平方米？ 2. 正方形实际边长 15 米，画在的图上，图上面积是多少平方厘米？ 3. 一块三角形地实际面积是 240 平方米，图上面积是 60 平方厘米，求这幅图的比例尺。 4. 一个圆按放大，放大后的面积比原来多 94.2 平方厘米，原来圆的面积是多少？ 5. 一幅地图比例尺，改画成的地图，原来图上面积是 50 平方厘米的区域，新图上面积是多少？ 6. 在比例尺的图上，量得圆形花坛直径 4 厘米，实际面积是多少平方米？ 7. 长方形实际长 120 米，宽 80 米，画在图纸上面积是 24 平方厘米，求图纸的比例尺。 8. 把一个图形按放大，放大后的面积是原来的几倍？周长是原来的几倍？ 9. 在比例尺是的地图上，一块梯形地的图上面积是 10 平方厘米，实际面积是多少平方米？ 10. 一个正方形的图上面积比实际面积小 9999 份，这幅图的长度比例尺是多少？ 11. 一个平行四边形底 6 厘米，高 4 厘米，按的比例尺画出，实际面积是多少平方米？ 12. 圆的半径按缩小，缩小后的面积比原来小 25.12 平方厘米，原来圆的面积是多少？ 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）在比例尺的图上，长方形长 5 厘米，宽 3 厘米，实际面积是多少平方米？ 2.（希望杯六年级试题）正方形面积按缩小，边长按多少的比缩小？ 3.（小升初衔接题）一块长方形地实际长 60 米，宽 40 米，画在图纸上面积是 6 平方厘米，求比例尺。 4.（华杯赛初赛）圆的直径扩大到原来的 3 倍，面积扩大到原来的几倍？ 5.（苏教版培优题）比例尺的图纸上，圆形零件半径 2 厘米，实际面积是多少平方分米？ 6.（重点中学分班考）把一个长方形按缩小，面积减少了 150 平方厘米，原来面积是多少？ 7.（走美杯真题）一幅地图的比例尺是，图上面积是实际面积的几分之几？ 8.（六年级期末真题）一个三角形按放大，放大后的面积比原来多 24 平方厘米，原来面积是多少？ 9.（希望杯模拟题）梯形实际面积是 150 平方米，画在的图上，图上面积是多少平方厘米？ 10.（小升初真题）圆形花坛实际周长是 62.8 米，按的比例尺画在图上，图上面积是多少平方厘米？ 11.（华杯赛模拟题）一幅地图比例尺，改画成的地图，图上面积增加了 30 平方厘米，原来图上面积是多少？ 12.（思维训练题）在比例尺是的图上，一块长方形地的周长是 24 厘米，长与宽的比是，这块地的实际面积是多少平方米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $