第18讲 二进制与进位制拓展 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第18讲 二进制与进位制拓展 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 进位制的基本概念 进位制：人们为了计数和运算方便，规定的“逢几进一”的计数方法。几进制的基数就是几，每个数位上的数字最大为“基数-1”。 十进制：日常使用的计数方法，基数是10，有0~9共10个数字，逢十进一。 二进制：计算机使用的计数方法，基数是2，只有0和1两个数字，逢二进一。 2. 位权原理 同一个数字在不同的数位上，表示的数值大小不同，这个数值叫做“位权”。 十进制的位权：从右往左，依次是（个位）、（十位）、（百位）…… 二进制的位权：从右往左，依次是、、、…… 核心：任何进制的数，都可以写成“各位数字 × 对应位权，再相加”的形式，这是进制转换的核心依据。 3. 二进制转十进制 方法：按位权展开相加法。 步骤： ① 从右往左，给二进制数的每一位标上序号（从0开始）； ② 每一位上的数字乘对应的位权； ③ 把所有乘积相加，结果就是对应的十进制数。 示例： 4. 十进制转二进制 方法：除2取余法，倒序排列。 步骤： ① 用十进制数除以2，记下余数； ② 用商继续除以2，再记下余数； ③ 重复直到商为0； ④ 把所有余数从下往上（倒序）排列，就是对应的二进制数。 口诀：除2取余，直到商0，倒序排列。 5. 二进制的简单运算 （1）二进制加法 规则：，，，（逢二进一） 方法：相同数位对齐，从低位加起，满二向前一位进1。 （2）二进制减法 规则：，，，（借一当二） 方法：相同数位对齐，从低位减起，不够减时向前一位借1当2。 6. 拓展：常见进位制 八进制：基数8，数字0~7，逢八进一； 十六进制：基数16，数字0~9、A~F，逢十六进一； 共性：都遵循位权原理，转换方法与二进制类似。 7. 解题通用步骤 ① 明确进制：看清题目中的数是几进制，标注清楚； ② 转换计算：按位权展开或除基取余； ③ 运算校验：按进位规则计算，验证结果； ④ 回代检验：转换后再转回去，看是否和原数一致。 8. 易错警示 位权从右往左从0开始计数，最右边的是第0位，不是第1位； 除2取余法，最后要把余数倒序排列，不能正序写； 二进制加法，满二进一，数位上只能出现0和1，不能写“2”； 二进制减法，借一当二，借位后前一位要减1，连续借位要依次传递。 例题讲解 【典型例题1】二进制转十进制 把二进制数转换成十进制数。 【跟踪训练1】 把二进制数转换成十进制数。 【典型例题2】十进制转二进制 把十进制数转换成二进制数。 【跟踪训练2】 把十进制数转换成二进制数。 【典型例题3】二进制加法 计算： 【跟踪训练3】 计算： 【典型例题4】二进制减法 计算： 【跟踪训练4】 计算： 巩固练习 1. 把二进制数转换成十进制数。 2. 把二进制数转换成十进制数。 3. 把十进制数转换成二进制数。 4. 把十进制数转换成二进制数。 5. 计算： 6. 计算： 7. 最大的三位二进制数转换成十进制数是多少？ 8. 把十进制数转换成二进制数。 9. 二进制数表示的十进制数是多少？ 10. 计算： 11. 计算： 12. 一个二进制数，从右往左数第4位上的数字是1，其他位都是0，这个二进制数转换成十进制是多少？ 真题训练 1.（苏教版六年级拓展真题）把二进制数转换成十进制数。 2.（希望杯六年级试题）把十进制数转换成二进制数。 3.（小升初衔接题）计算： 4.（华杯赛初赛）最小的四位二进制数转换成十进制数是多少？ 5.（苏教版培优题）计算： 6.（重点中学分班考）十进制数转换成二进制数是多少？ 7.（走美杯真题）二进制数加上，结果是多少？（用二进制表示） 8.（六年级期末拓展题）下列数中，不可能是二进制数的是（ ）A. 101 B. 110 C. 121 D. 100，请说明理由。 9.（希望杯模拟题）一个十进制数是9，对应的二进制数是多少？ 10.（小升初真题）计算机中用8位二进制数表示一个字节，最大的8位二进制数转换成十进制数是多少？ 11.（华杯赛模拟题）计算： 12.（思维训练题）有一串彩灯，按二进制规律排列，亮灯表示1，灭灯表示0，从左到右依次是：亮、灭、亮、亮。这串彩灯表示的二进制数转换成十进制数是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 二进制与进位制拓展 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 进位制的基本概念 进位制：人们为了计数和运算方便，规定的“逢几进一”的计数方法。几进制的基数就是几，每个数位上的数字最大为“基数-1”。 十进制：日常使用的计数方法，基数是10，有0~9共10个数字，逢十进一。 二进制：计算机使用的计数方法，基数是2，只有0和1两个数字，逢二进一。 2. 位权原理 同一个数字在不同的数位上，表示的数值大小不同，这个数值叫做“位权”。 十进制的位权：从右往左，依次是（个位）、（十位）、（百位）…… 二进制的位权：从右往左，依次是、、、…… 核心：任何进制的数，都可以写成“各位数字 × 对应位权，再相加”的形式，这是进制转换的核心依据。 3. 二进制转十进制 方法：按位权展开相加法。 步骤： ① 从右往左，给二进制数的每一位标上序号（从0开始）； ② 每一位上的数字乘对应的位权； ③ 把所有乘积相加，结果就是对应的十进制数。 示例： 4. 十进制转二进制 方法：除2取余法，倒序排列。 步骤： ① 用十进制数除以2，记下余数； ② 用商继续除以2，再记下余数； ③ 重复直到商为0； ④ 把所有余数从下往上（倒序）排列，就是对应的二进制数。 口诀：除2取余，直到商0，倒序排列。 5. 二进制的简单运算 （1）二进制加法 规则：，，，（逢二进一） 方法：相同数位对齐，从低位加起，满二向前一位进1。 （2）二进制减法 规则：，，，（借一当二） 方法：相同数位对齐，从低位减起，不够减时向前一位借1当2。 6. 拓展：常见进位制 八进制：基数8，数字0~7，逢八进一； 十六进制：基数16，数字0~9、A~F，逢十六进一； 共性：都遵循位权原理，转换方法与二进制类似。 7. 解题通用步骤 ① 明确进制：看清题目中的数是几进制，标注清楚； ② 转换计算：按位权展开或除基取余； ③ 运算校验：按进位规则计算，验证结果； ④ 回代检验：转换后再转回去，看是否和原数一致。 8. 易错警示 位权从右往左从0开始计数，最右边的是第0位，不是第1位； 除2取余法，最后要把余数倒序排列，不能正序写； 二进制加法，满二进一，数位上只能出现0和1，不能写“2”； 二进制减法，借一当二，借位后前一位要减1，连续借位要依次传递。 例题讲解 【典型例题1】二进制转十进制 把二进制数转换成十进制数。 【分析】根据位权原理，从右往左每一位的位权分别是、、、，将每一位数字乘对应位权，再相加即可得到十进制数。 【详解】 【答案】 【跟踪训练1】 把二进制数转换成十进制数。 【分析】按位权展开，从右到左位权依次是1、2、4、8，对应数字相乘求和。 【详解】 【答案】 【典型例题2】十进制转二进制 把十进制数转换成二进制数。 【分析】用除2取余法，不断除以2，记录余数，直到商为0，最后把余数从下往上倒序排列。 【详解】 从下往上取余数：1101 【答案】 【跟踪训练2】 把十进制数转换成二进制数。 【分析】除2取余，倒序排列。 【详解】 从下往上取余数：10101 【答案】 【典型例题3】二进制加法 计算： 【分析】二进制加法，相同数位对齐，从低位加起，逢二进一。先把两个数数位对齐，个位加个位，十位加十位，满二进一。 【详解】 个位：，写0进1； 十位：，写0进1； 百位：，写0进1； 千位：进位1，写1。 结果： 【答案】 【跟踪训练3】 计算： 【分析】对齐数位，从低位加起，逢二进一。 【详解】 个位： 十位： 百位：，写0进1 千位：进位1 结果： 【答案】 【典型例题4】二进制减法 计算： 【分析】二进制减法，相同数位对齐，从低位减起，不够减时向前一位借1当2。 【详解】 个位： 十位： 百位： 千位： 结果： 【答案】 【跟踪训练4】 计算： 【分析】对齐数位，低位减起，不够减借一当二。 【详解】 个位： 十位：不够减，向百位借1当2， 百位：被借走1剩0， 千位： 结果： 【答案】 巩固练习 1. 把二进制数转换成十进制数。 【分析】按位权展开相加。 【详解】 【答案】 2. 把二进制数转换成十进制数。 【分析】位权展开计算。 【详解】 【答案】 3. 把十进制数转换成二进制数。 【分析】除2取余法，倒序排列。 【详解】 倒序取余：1010 【答案】 4. 把十进制数转换成二进制数。 【分析】除2取余，直到商为0。 【详解】 倒序取余：11100 【答案】 5. 计算： 【分析】二进制加法，逢二进一。 【详解】 个位：0+1=1；十位：0+1=1；百位：1+0=1 结果： 【答案】 6. 计算： 【分析】二进制减法，对齐数位计算。 【详解】 个位：1-0=1；十位：1-1=0；百位：1-0=1 结果： 【答案】 7. 最大的三位二进制数转换成十进制数是多少？ 【分析】最大的三位二进制数是111，按位权展开。 【详解】 最大三位二进制数： 【答案】 8. 把十进制数转换成二进制数。 【分析】除2取余法计算。 【详解】 倒序取余：1111 【答案】 9. 二进制数表示的十进制数是多少？ 【分析】位权展开，从右数第5位（第4位）是。 【详解】 【答案】 10. 计算： 【分析】对齐数位，逢二进一计算。 【详解】 个位：1+1=10，写0进1 十位：1+0+1=10，写0进1 百位：0+1+1=10，写0进1 千位：1+0+1=10，写0进1 结果： 【答案】 11. 计算： 【分析】减法计算，不够减借一当二，连续借位依次传递。 【详解】 个位：0减1不够减，向十位借位；十位为0，先向百位借1。百位借1给十位后十位变为2，十位再借1给个位，个位变为2。个位：。 十位：借位后剩1，减0得1。 百位：被借走1后剩0，减1不够减，向千位借1当2，。 千位：被借走1后剩0。 结果： 【答案】 12. 一个二进制数，从右往左数第4位上的数字是1，其他位都是0，这个二进制数转换成十进制是多少？ 【分析】从右往左第4位，对应位权是。 【详解】 从右往左第4位的位权是，这个数是 十进制值： 【答案】 真题训练 1.（苏教版六年级拓展真题）把二进制数转换成十进制数。 【分析】按位权展开相加。 【详解】 【答案】 2.（希望杯六年级试题）把十进制数转换成二进制数。 【分析】除2取余法，倒序排列。 【详解】 倒序取余：1100 【答案】 3.（小升初衔接题）计算： 【分析】二进制加法，逢二进一。 【详解】 个位：1+1=10，写0进1 十位：0+0+1=1 百位：1+1=10，写0进1 结果： 【答案】 4.（华杯赛初赛）最小的四位二进制数转换成十进制数是多少？ 【分析】最小四位二进制数是1000，位权展开计算。 【详解】 最小四位二进制数： 【答案】 5.（苏教版培优题）计算： 【分析】二进制减法，连续借位，借一当二。 【详解】 个位：0减1不够减，连续向高位借位后个位变为2，； 十位：借位后剩1，减0得1； 百位：借位后剩1，减1得0； 千位：被借走1后剩0。 结果： 【答案】 6.（重点中学分班考）十进制数转换成二进制数是多少？ 【分析】除2取余法计算。 【详解】 倒序取余：10100 【答案】 7.（走美杯真题）二进制数加上，结果是多少？（用二进制表示） 【分析】二进制加法，逢二进一，连续进位。 【详解】 个位1+1=10进1，十位1+进位1=10进1，百位、千位依次进位，最终得到： 【答案】 8.（六年级期末拓展题）下列数中，不可能是二进制数的是（ ）A. 101 B. 110 C. 121 D. 100，请说明理由。 【分析】二进制只有0和1两个数字，出现其他数字的不可能是二进制。 【详解】 二进制的基数是2，每个数位上只能是0或1。 选项C出现了数字2，不符合二进制的计数规则，所以不可能是二进制数。 【答案】，理由：二进制只有0和1两个数字，121包含数字2，不可能是二进制数。 9.（希望杯模拟题）一个十进制数是9，对应的二进制数是多少？ 【分析】除2取余法转换。 【详解】 倒序取余：1001 【答案】 10.（小升初真题）计算机中用8位二进制数表示一个字节，最大的8位二进制数转换成十进制数是多少？ 【分析】最大的8位二进制数是11111111，按位权展开求和。 【详解】 最大8位二进制数： 【答案】 11.（华杯赛模拟题）计算： 【分析】对齐数位，二进制加法连续进位计算。 【详解】 个位：1+1=10，写0进1 十位：0+1+1=10，写0进1 百位：1+1+1=11，写1进1 千位：1+0+1=10，写0进1 结果： 【答案】 12.（思维训练题）有一串彩灯，按二进制规律排列，亮灯表示1，灭灯表示0，从左到右依次是：亮、灭、亮、亮。这串彩灯表示的二进制数转换成十进制数是多少？ 【分析】先写出二进制数1011，再按位权转十进制。 【详解】 亮=1，灭=0，从左到右的二进制数是： 【答案】 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $