第29讲 圆的面积进阶 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第29讲 圆的面积进阶 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础面积公式 圆的面积：（为半径）；已知直径时，，。 半圆面积：圆面积的一半，。 扇形面积：（为圆心角度数），本质是圆面积的几分之几。 环形面积：外圆面积减内圆面积，（为外圆半径，为内圆半径）。 2. 圆的面积比例关系 两个圆的半径比 = 直径比 = 周长比，面积比 = 半径比的平方。 推导：，为定值，面积随半径平方变化。 3. 五大核心巧算方法 （1）割补拼接法 原理：通过切割、平移、旋转，将分散、不规则的阴影部分拼接成完整的规则图形（圆、半圆、扇形、正方形等），面积不变，只改变形状。 适用场景：多个分散的扇形、弓形，拼接后刚好是整圆、半圆或规则多边形。 关键：确定阴影部分的圆心角总和，判断能否拼成完整的规则图形。 （2）容斥原理（重叠法） 原理：两个图形的覆盖面积 = 两个图形面积和 - 重叠部分面积；反过来，重叠面积 = 两个图形面积和 - 覆盖区域面积。 适用场景：两个扇形、两个半圆重叠形成的叶形、花瓣形阴影。 经典题型：正方形中以对角为圆心画弧形成的叶形阴影，面积 = 两个四分之一圆面积和 - 正方形面积。 （3）方圆模型 外方内圆（正方形内最大圆）：正方形边长 = 圆的直径。 面积比：；阴影（方减圆）：。 外圆内方（圆内最大正方形）：正方形对角线 = 圆的直径。 面积比：；阴影（圆减方）：。 正方形面积公式：（已知对角线时）。 （4）差不变原理 原理：两个图形同时增加或减少相同的空白面积，它们的面积差保持不变。 适用场景：求两个不规则阴影的面积差，同时加上公共空白部分，转化为两个规则图形的面积差。 （5）等分法 原理：利用图形对称性，将整体平均分成若干份，阴影占几份，面积就是总面积的几分之几。 适用场景：重复图案、对称图形的阴影面积计算。 4. 解题通用步骤 ① 观图形：判断阴影形状与分布，确定核心题型； ② 选方法：匹配割补、容斥、方圆、差不变等对应方法； ③ 转规则：将阴影面积转化为规则图形的和或差； ④ 代公式：代入面积公式计算结果； ⑤ 验结果：检查单位、半径直径是否混淆、计算是否正确。 5. 易错警示 计算圆面积必须用半径，不能直接将直径代入； 环形面积是，不是，两者不能混淆； 扇形面积要先算圆心角占 360° 的几分之几，不能直接用整圆公式； 容斥原理中，重叠部分被算了两次，所以要减去一次覆盖面积； 外圆内方的正方形面积要用对角线计算，不要误用边长公式。 例题讲解 【典型例题 1】环形面积公式应用 某地准备新建一个直径为20米的圆形观赏湖（如图），并在观赏湖的外围铺上一圈宽2米的人行道（涂色部分）。 (1)人行道的面积是多少平方米？ (2)如果要沿着人行道的外围，最远每隔10米安装一盏路灯，至少需要准备多少盏路灯？ 【答案】(1)138.16平方米 (2)8盏 【分析】（1）求人行道的面积就是求环形的面积，先用圆形观赏湖的直径除以2，求出内圆半径，再加上人行道的宽求出外圆半径，最后根据，计算即可。 （2）先同（1）求出外圆半径，根据，求出人行道的外围长度，再除以10，解得即可。 【详解】（1）20÷2＝10（米） 10＋2＝12（米） 3.14×（） ＝3.14×（144－100） ＝3.14×44 ＝138.16（平方米） 答：人行道的面积是138.16平方米。 （2）20÷2＝10（米） 10＋2＝12（米） 2×3.14×12 ＝6.28×12 ＝75.36（米） 75.36÷10＝7.536≈8（盏） 答：至少需要准备8盏路灯。 【跟踪训练1】 圆形荷花池直径是30米，它的外围有一条2米宽的圆环形碎石小路，这条小路面积约是多少平方米？（得数保留整数） 【答案】201平方米 【分析】先根据半径＝直径÷2求出圆形荷花池的半径r，在圆形荷花池的外围有一条2米宽的圆环形碎石小路，那么外圆的半径R就是荷花池的半径加上小路的宽度；求小路的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。 【详解】30÷2＝15（米） 15＋2＝17（米） 3.14×（172－152） ＝3.14×（289－225） ＝3.14×64 ≈201（平方米） 答：这条小路的面积约是201平方米。 【典型例题 2】割补拼接法 求阴影部分的面积。（单位：dm） 【答案】6.28dm2 【分析】由图可知：阴影部分的面积＝圆的面积－圆的面积，圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】×3.14×42－×3.14×（4÷2）2 ＝×3.14×16－×3.14×22 ＝×3.14×16－×3.14×4 ＝3.14×（16×）－3.14×（4×） ＝3.14×4－3.14×2 ＝12.56－6.28 ＝6.28（dm2） 【跟踪训练2】 求出阴影部分的面积。 【答案】58.875 【分析】这个图形阴影部分的面积可以看作是2个大半圆的面积（合起来是1个大圆）减去2个小半圆的面积（合起来是1个小圆）。观察图可知，每个大半圆的半径是5cm，2个大半圆合起来就是1个完整的大圆。每个小半圆的半径是5÷2＝2.5（cm），2个小半圆合起来是1个完整的小圆。根据圆的面积公式：，代入数据计算即可。 【详解】5÷2＝2.5（cm） 3.14×－3.14× ＝3.14×25－3.14×6.25 ＝3.14×（25－6.25） ＝3.14×18.75 ＝58.875（） 阴影部分的面积是58.875。 【典型例题 3】容斥原理（叶形阴影） 计算下面图形中涂色部分的面积。 【答案】20.52cm2 【分析】如图可知：涂色部分可看作是由两个相同的部分组成。 对于其中一个部分，先计算半径为6cm的圆的面积（即3.14×62÷4），再计算直角边为6cm的等腰直角三角形的面积（即6×6÷2），用圆的面积减去三角形面积，得到其中一个部分的涂色面积。 因为有两个这样的部分，所以再乘2，最终可求出整个涂色部分的面积。 【详解】3.14×62÷4－6×6÷2 ＝3.14×36÷4－36÷2 ＝113.04÷4－18 ＝28.26－18 ＝10.26（cm2） 10.26×2＝20.52（cm2） 所以图形中涂色部分的面积为20.52cm2。 【跟踪训练3】 已知AB＝BC＝CD＝5厘米，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】58.875平方厘米 【分析】阴影部分的面积可以看作由一个以AB为半径的圆的面积减去一个以AB为直径的圆的面积，根据圆的面积S＝πr2，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】 （平方厘米） 阴影部分的面积是58.875平方厘米。 【典型例题 4】方圆模型（外方内圆） 计算下图中阴影部分的面积。（单位：cm）（图：正方形边长8cm，中间有一个最大的圆）。 【答案】13.76cm2 【分析】用正方形的面积减去圆的面积，即可求出阴影部分的面积。这个正方形的边长为8cm，根据正方形的面积＝边长×边长即可求出正方形的面积；这个圆的直径为8cm，根据圆的面积＝即可求出圆的面积，作差即可求出阴影部分的面积。 【详解】8×8＝64（cm2） 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 64－50.24＝13.76（cm2） 即阴影部分面积为13.76cm2。 【跟踪训练 4】 战国时期齐、燕、秦三国的通行货币是有方孔的圆钱，方孔圆钱一般用铜铸造。如图，该时期最大的方孔圆钱直径约为3.4厘米，质量为8克左右，其中方孔的边长为0.8厘米，这枚方孔圆钱的面积是多少平方厘米？ 【答案】8.4346平方厘米 【分析】根据圆的面积的计算公式：，可以求出直径为3.4厘米的圆的面积，再用圆的面积减去正方形的面积（正方形的面积是边长乘边长），就是方孔圆钱的面积。据此解答 【详解】 （平方厘米） 答：这枚方孔圆钱的面积是8.4346平方厘米。 巩固练习 1．求阴影部分的面积。 【答案】6.435cm2 【分析】观察图形，阴影部分是不规则图形，半圆的直径是6cm，所以半径是6÷2＝3cm。图中梯形上底3cm，下底6cm，高3cm，空白部分是半径为3cm的四分之一圆，用梯形的面积减去四分之一圆的面积，即可求出阴影部分的面积。梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积S＝πr2，π取3.14。 【详解】6÷2＝3（cm） （3＋6）×3÷2－×3.14×32 ＝9×3÷2－×3.14×9 ＝13.5－7.065 ＝6.435（cm2） 2．计算下面各图中阴影部分的面积。 （1）    （2） 【答案】（1）50平方厘米 （2）123.48平方厘米 【分析】（1）三角形的面积＝底×高÷2。把左侧的阴影部分，移动拼接到右侧空白处，两块阴影刚好能凑成1个边长为10厘米的等腰直角三角形，如图。 （2）长方形的面积＝长×宽，圆的面积。阴影面积为规则长方形面积减去空白半圆的面积，如图。 【详解】（1）10×10÷2＝50（平方厘米） （2）长方形的面积：15×12＝180（平方厘米） 半圆的半径：12÷2＝6（厘米） 半圆的面积：×3.14×＝×3.14×36＝56.52（平方厘米） 阴影部分面积：180－56.52＝123.48（平方厘米） 3．求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】 15.7平方厘米；1.935平方厘米 【分析】（1）图1阴影部分的面积等于直径为6厘米的圆的面积减直径为4厘米的圆的面积。 （2）图2把两个空白的半圆可以合并成一个圆，所以阴影部分的面积等于边长为3厘米的正方形的面积减直径为3厘米的圆的面积。（） 【详解】（1）根据圆的面积＝ 大圆半径：6÷2＝3（厘米） 小圆半径：4÷2＝2（厘米） 由分析可知，阴影部分的面积 （平方厘米） （2）圆的半径：3÷2＝1.5（厘米） 圆的面积：（平方厘米） 正方形的面积：3×3＝9（平方厘米） 阴影部分的面积＝9－7.065＝1.935（平方厘米） 4．求阴影部分的面积。 【答案】13.76平方分米 【分析】阴影部分的面积等于正方形的面积－圆形面积。正方形面积＝边长×边长，圆面积：。 【详解】正方形面积：8×8＝64（平方分米） 8÷2＝4（分米） 圆的面积：3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 阴影面积：64－50.24＝13.76（平方分米） 5．求下面图形中阴影部分的面积。                  【答案】； 【分析】第一个图形：圆环图形用圆环面积公式计算，其中外圆半径13cm，内圆半径9cm。 第二个图形：空白部分是4个相同的扇形，可拼接为一个整圆，所以阴影面积为正方形面积减去整圆面积。 先用正方形的面积＝边长×边长计算边长为6cm的正方形面积，圆的半径为正方形边长的一半，用计算对应圆的面积。 【详解】 6．计算下图中阴影部分的面积。 【答案】12.435dm2 【分析】观察可知，阴影部分面积等于梯形面积减去圆面积，再减去三角形面积。用到的公式有梯形面积S＝（上底＋下底）×高÷2、圆的面积S＝πr2、三角形面积S＝底×高÷2。据此解答。 【详解】（3＋5）×8÷2－×3.14×32－（8－3）×5÷2 ＝（3＋5）×8÷2－×3.14×9－（8－3）×5÷2 ＝8×8÷2－×3.14×9－5×5÷2 ＝64÷2－0.785×9－25÷2 ＝32－7.065－12.5 ＝24.935－12.5 ＝12.435（dm2） 7．计算下面图形涂色部分的面积。 【答案】 【分析】整体图形是直角梯形，梯形的上底为8cm、下底为12cm、高等于扇形半径8cm，所以用梯形面积公式计算整体图形的面积；空白部分是半径为8cm的四分之一圆的面积，因为扇形半径等于梯形的高8cm，所以用圆的面积公式计算空白部分面积；涂色部分面积等于梯形面积减去扇形面积，所以将前两步得到的结果做差即可。 【详解】梯形面积： 空白部分的面积为： 涂色部分面积： 8．求下图阴影部分的周长、面积（圆周率取3.14）。 【答案】米；平方米 【分析】该图形的周长为两条米的直边和一个完整圆的周长（）； 将左边凸出来的半圆移动到右边凹进去的半圆就合成一个长方形。根据长方形的面积长宽计算即可。 【详解】 （米） （平方米） 9．求阴影部分的面积。 【答案】50.24cm2；14.88dm2 【分析】（1）根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出阴影部分的面积； （2）阴影部分的面积＝梯形的面积－半圆的面积，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】（1）3.14×（52－32） ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） （2）圆的半径：8÷2＝4（dm） 梯形的面积： （8＋12）×4÷2 ＝20×4÷2 ＝40（dm2） 半圆的面积： 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（dm2） 阴影部分的面积：40－25.12＝14.88（dm2） 10．求下图中阴影部分的面积。 【答案】66.5cm2 【分析】根据圆的面积公式：，先算半径为10cm的四分之一大圆的面积；再算右下角空白大三角形的面积；再算右侧边长为6cm的小正方形面积；阴影面积＝四分之一大圆面积＋小正方形面积－空白大三角形面积。 【详解】 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） ＝ ＝48（cm2） 6×6＝36（cm2） 78.5＋36－48＝66.5（cm2） 11．求涂色部分的面积。（单位：dm） 【答案】56.52 【分析】由图可知，4个空白小半圆的面积合在一起是2个小圆的面积，涂色部分的面积等于1个大圆的面积减去2个小圆的面积。其中大圆的直径是12dm，小圆的直径等于大圆的半径。圆的面积＝πr2，半径＝直径÷2。 【详解】大圆半径：12÷2＝6（dm） 小圆半径：6÷2＝3（dm） 3.14×62－3.14×32×2 ＝3.14×36－3.14×9×2 ＝3.14×（36－18） ＝3.14×18 ＝56.52（） 12．求阴影部分的面积。 【答案】172cm2 【分析】阴影部分面积用长方形的面积减去两个圆的面积，长方形长是40cm，等于两条直径，一条直径等于长除以2，长方形宽等于圆的直径。长方形面积＝长×宽、圆的面积＝×半径2，据此解答。 【详解】长方形长是40cm，宽等于直径：（cm），半径：（cm） 长方形面积： （cm2） 两个圆的面积： （cm2） 阴影部分面积： （cm2） 真题训练 13．计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】8平方厘米 【分析】我们可以用割补法把右侧的阴影部分平移拼接到左侧区域，所有阴影部分刚好能凑成一个长为4厘米，宽为2厘米的规则长方形，所有阴影部分正好是正方形面积的一半， 正方形的边长是4厘米，根据正方形面积＝边长×边长，先计算总面积，然后用总面积除以2，即可求得阴影面积。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） 因此，阴影面积为8平方厘米。 14．旋翼是直升机的重要部件，在直升机起飞时，旋翼转动形成的图形是一个圆。如果桨叶的长度是4米，那么这个旋翼转动起来所占的面积有多大？ 【答案】50.24平方米 【分析】已知旋翼转动形成圆，桨叶长度等于圆的半径，求所占面积就是求该圆的面积，用圆的面积公式计算即可。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：这个旋翼转动起来所占的面积有50.24平方米。 15．张伯伯靠墙修了一个半圆形养鸡场（如下图），已知篱笆围成半圆的直径是6m，这个养鸡场的面积是多少平方米？ 【答案】14.13平方米 【分析】因为养鸡场是半圆形，面积为对应整圆面积的一半，所以首先需要确定该半圆对应的整圆的半径。已知半圆的直径是6米，用直径除以2计算出圆的半径。利用圆的面积公式，计算出对应整圆的面积，再将整圆面积除以2，即可得到半圆形养鸡场的面积。 【详解】 ＝3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方米） 答：这个养鸡场的面积是14.13平方米。 16．深圳人才公园以“人才赋予公园灵魂，公园彰显城市精神”为理念建造了一个圆形水池，乐乐沿着这个水池周围走了一圈，走了31.4米，这个圆形水池的面积是多少平方米？ 【答案】 78.5平方米 【分析】乐乐沿水池走一圈的长度就是圆形水池的周长，先根据圆的周长公式求出半径，再代入圆的面积公式计算面积。 【详解】圆形水池的半径： ＝ ＝（米） 圆形水池的面积： ＝ ＝（平方米） 答：这个圆形水池的面积是78.5平方米。 17．锅盔店的牛肉馅圆形锅盔有大小两种尺寸，大的直径为16厘米，小的直径为8厘米，两种锅盔的厚度相同。大锅盔每个卖8元，小锅盔每个卖4元。如果你有16元，买哪种锅盔合算？请说明理由。 【答案】买大锅盔合算。 16÷8＝2（个），3.14×（16÷2）2×2＝401.92（平方厘米） 16÷4＝4（个），3.14×（8÷2）2×4＝200.96（平方厘米） 401.92＞200.96，同样16元，买大锅盔得到的总面积更大，所以买大锅盔合算。 【分析】锅盔厚度一样，比较合不合算要看总面积。先用直径除以2分别求出大、小锅盔的半径，根据圆面积公式S＝πr2求出单个锅盔面积；用总钱数÷每个锅盔的单价，求出能够购买的数量；再用单个面积×购买数量，得到买到的总面积，最后比较总面积，面积大的更合算。 【详解】大锅盔半径：16÷2＝8（厘米） 单个大锅盔面积：3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 可买大锅盔数量：16÷8＝2（个） 买大锅盔的总面积：200.96×2＝401.92（平方厘米） 小锅盔半径：8÷2＝4（厘米） 单个小锅盔面积：3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 可买小锅盔数量：16÷4＝4（个） 买小锅盔的总面积：50.24×4＝200.96（平方厘米） 401.92＞200.96 答：买大锅盔合算，同样花16元，买到大锅盔的总面积更大。 18．石大伯靠墙围了一个半圆形的养鸡场地，一共用去12.56米长的篱笆。这个养鸡场地的占地面积是多少平方米？（π取3.14） 【答案】25.12平方米 【分析】靠墙围的半圆形养鸡场，篱笆长度是半圆弧的长，对应整圆周长的一半。先求出整圆周长，再根据C＝2πr计算半径，根据圆的面积公式S＝πr2，用圆的面积除以2求出半圆的面积即可。 【详解】整圆周长：12.56×2＝25.12（米） 圆的半径：25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 半圆面积：3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方米） 答：这个养鸡场地的占地面积是25.12平方米。 19．如图是育才小学的运动场。两头是半圆，中间是长80米，宽40米的长方形，这个运动场的占地面积是多少平方米？ 【答案】4456平方米 【详解】根据图示，这个运动场的占地面积等于长80米，宽40米的长方形的面积，加上2个半圆的面积，将数值代入解答即可。 【解答】根据分析，解答如下： R＝40÷2＝20（米） 80×40＋3.14×202 ＝80×40＋3.14×400 ＝3200＋1256 ＝4456（平方米） 答：这个运动场的占地面积是4456平方米。 20．人们可以通过驴拉磨的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图。如果驴留下了一个周长为7.536米的圆形轨迹，那么驴绕着一个面积是多少平方米的圆在拉磨？ 【答案】4.5216平方米 【分析】已知圆形轨迹的周长，先通过圆的周长公式求出圆的半径，再将半径代入圆的面积公式计算面积，圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2。 【详解】圆的半径： ＝7.536÷2÷π ＝3.768÷3.14 ＝1.2（米） 圆的面积： ＝π×1.22 ＝3.14×1.44 ＝4.5216（平方米） 答：驴绕着一个面积是4.5216平方米的圆在拉磨。 21．如图，学校新建了一个直径是6米的回形喷水池，沿着水池的外沿修建了一条宽是2米的环形草坪。环形草坪的面积是多少？ 【答案】50.24平方米 【分析】圆的面积＝（取3.14，r是半径），求喷水池的半径，用喷水池的直径除以2；先求出喷水池的面积；求大圆半径，用喷水池的半径加环形草坪的宽度，再计算大圆的面积，最后求环形草坪的面积，用大圆的面积减去喷水池的面积， 【详解】6÷2＝3（米） 3＋2＝5（米） 3.14×－3.14× ＝3.14×25－3.14×9 ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：环形草坪的面积是50.24平方米。 22．如图。新新餐厅准备给直径是1.4米的圆形餐桌中间加一个圆形转盘，转盘距离桌边20厘米，这个转盘的面积是多少平方米？（圆周率用表示） 【答案】 平方米 【分析】因为圆形餐桌的直径是米，转盘距离桌边厘米，厘米米，所以转盘的直径是（米），半径直径，圆的面积公式为：，代入数据计算即可。 【详解】厘米米， （平方米） 答：这个转盘的面积是平方米。 23．水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹。如果波纹以每秒1米的速度向四周扩散，它从第3秒到第4秒扩散的面积是多少平方米？（π取3.14） 【答案】21.98平方米 【分析】根据题意，当水滴滴入水中3秒后，形成一个半径是3米的圆；当水滴滴入水中4秒后，形成一个半径是4米的圆；根据圆的面积S＝πr2，算出两个圆的面积，求出它们的差即可。 【详解】1×3＝3（米） 1×4＝4（米） 3.14×42－3.14×32 ＝3.14×16－3.14×9 ＝50.24－28.26 ＝21.98（平方米） 答：它从第3秒到第4秒扩散的面积是21.98平方米。 24．古诗有云：“圆中方有致，檐下燕归梁”，“圆中方”造型的窗户体现了中式建筑之美，现在要做这样一幅木边框的窗户，中间正方形部分需要糊上一层纸，已知该窗户圆形部分周长为3.14米，需要糊纸部分的面积为多少？（边缘宽度不计） 【答案】0.5平方米 【分析】外圆内方中间的正方形对角线长度等于外圆的直径，正方形可以看成两个以对角线为底、半径为高的三角形。已知圆的周长，根据圆的周长公式，求出圆的直径与半径，再根据，求出一个三角形面积，三角形面积乘2即为正方形面积。 【详解】3.14÷3.14＝1（米） 1÷2＝0.5（米） 1×0.5÷2×2 ＝0.5÷2×2 ＝0.25×2 ＝0.5（平方米） 答：需要糊纸部分的面积为0.5平方米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第29讲圆的面积进阶专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1.基础面积公式 圆的面积：s=元r2（为半径)；已知直径a时，r=d,S=π 半圆面积：园面积的一半，5国方 扇形面积：5e360(n为园心角度数)，本质是圆面积的几分之几： 环形面积：外圆面积减内圆面积，S环=πR2-π=π(R2-)(R为外圆半径，r为内圆半 径)。 2.圆的面积比例关系 两个圆的半径比=直径比=周长比，面积比=半径比的平方。 推导：S1:S2=:π=：2，π为定值，面积随半径平方变化。 3.五大核心巧算方法 (1)割补拼接法 原理：通过切割、平移、旋转，将分散、不规则的阴影部分拼接成完整的规则图形（圆、半 圆、扇形、正方形等)，面积不变，只改变形状。 适用场景：多个分散的扇形、弓形，拼接后刚好是整圆、半圆或规则多边形。 第1页共17页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 关键：确定阴影部分的圆心角总和，判断能否拼成完整的规则图形。 (2)容斥原理（重叠法) 原理：两个图形的覆盖面积=两个图形面积和·重叠部分面积：反过来，重叠面积=两个 图形面积和-覆盖区域面积。 适用场景：两个扇形、两个半圆重叠形成的叶形、花瓣形阴影。 经典题型：正方形中以对角为圆心画弧形成的叶形阴影，面积=两个四分之一圆面积和- 正方形面积。 (3)方圆模型 外方内圆（正方形内最大圆）：正方形边长=圆的直径。 面积比：S正：S圆=4：π；阴影（方减圆）：S阴=0.86r2。 外圆内方（圆内最大正方形）：正方形对角线=圆的直径。 面积比：S圆：S正=π：2；阴影（圆减方）：S阴=1.14r。 正方形面积公式：S正对角线 -（已知对角线时)。 (4)差不变原理 原理：两个图形同时增加或减少相同的空白面积，它们的面积差保持不变。 适用场景：求两个不规则阴影的面积差，同时加上公共空白部分，转化为两个规则图形的面 第2页共17页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 积差。 (5)等分法 原理：利用图形对称性，将整体平均分成若干份，阴影占几份，面积就是总面积的几分之 几。 适用场景：重复图案、对称图形的阴影面积计算。 4.解题通用步骤 ①观图形：判断阴影形状与分布，确定核心题型： ②选方法：匹配割补、容斥、方圆、差不变等对应方法： ③转规则：将阴影面积转化为规则图形的和或差： ④代公式：代入面积公式计算结果： ⑤验结果：检查单位、半径直径是否混淆、计算是否正确。 5.易错警示 计算圆面积必须用半径，不能直接将直径代入S=π： 环形面积是×(R2-),不是π×(R-r),两者不能混淆： 扇形面积要先算圆心角占360°的几分之几，不能直接用整圆公式： 容斥原理中，重叠部分被算了两次，所以要减去一次覆盖面积： 第3页共17页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 外圆内方的正方形面积要用对角线计算，不要误用边长公式。 魂例题讲图 【典型例题1】环形面积公式应用 某地准备新建一个直径为20米的圆形观赏湖（如图），并在观赏湖的外围铺上一圈宽2米的 人行道（涂色部分）。 (1)人行道的面积是多少平方米？ (2)如果要沿着人行道的外围，最远每隔10米安装一盏路灯，至少需要准备多少盏路灯？ 【跟踪训练1】 圆形荷花池直径是30米，它的外围有一条2米宽的圆环形碎石小路，这条小路面积约是多少 平方米？（得数保留整数） 荷花池 第4页共17页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典型例题2】割补拼接法 求阴影部分的面积。（单位：dm) 【跟踪训练2】 求出阴影部分的面积。 5 cm 5 cm 【典型例题3】容斥原理（叶形阴影） 计算下面图形中涂色部分的面积。 第5页共17页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6cm 6cm 【跟踪训练3】 已知AB=BC=CD=5厘米，求阴影部分的面积。（单位：厘米） D B 【典型例题4】方圆模型（外方内圆） 计算下图中阴影部分的面积。（单位：cm)(图：正方形边长8cm,中间有一个最大的圆）。 第6页共17页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【跟踪训练4】 战国时期齐、燕、秦三国的通行货币是有方孔的圆钱，方孔圆钱一般用铜铸造。如图，该时 期最大的方孔圆钱直径约为3.4厘米，质量为8克左右，其中方孔的边长为0.8厘米，这枚方 孔圆钱的面积是多少平方厘米？ 1000 巩臼练习 1.求阴影部分的面积。 6cm 6cm 第7页共17页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.计算下面各图中阴影部分的面积。 12 cm (1) (2) 10cm 15cm 3.求阴影部分的面积。（单位：cm) 4.求阴影部分的面积。 第8页共17页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8cm 5.求下面图形中阴影部分的面积。 色9 6m 6m 6.计算下图中阴影部分的面积。 wps 8 dm 第9页共17页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.计算下面图形涂色部分的面积。 8c▣ 12cm 8.求下图阴影部分的周长、面积（圆周率取3.14）。 10米 6米 9.求阴影部分的面积。 第10页共17页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8dm 3cm 5 12dm 10.求下图中阴影部分的面积。 6cm -10cm -6cm 11.求涂色部分的面积。（单位：d) 12 第11页共17页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.求阴影部分的面积。 40cm /真题训练 13.计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 4cm 4cm 14.旋翼是直升机的重要部件，在直升机起飞时，旋翼转动形成的图形是一个圆。如果桨叶 的长度是4米，那么这个旋翼转动起来所占的面积有多大？ 第12页共17页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.张伯伯靠墙修了一个半圆形养鸡场（如下图），已知篱笆围成半圆的直径是6m,这个养 鸡场的面积是多少平方米？ 16.深圳人才公园以“人才赋予公园灵魂，公园彰显城市精神”为理念建造了一个圆形水池， 乐乐沿着这个水池周围走了一圈，走了31.4米，这个圆形水池的面积是多少平方米？ 17.锅盔店的牛肉馅圆形锅盔有大小两种尺寸，大的直径为16厘米，小的直径为8厘米，两 种锅盔的厚度相同。大锅盔每个卖8元，小锅盔每个卖4元。如果你有16元，买哪种锅盔合 算？请说明理由。 第13页共17页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.石大伯靠墙围了一个半圆形的养鸡场地，一共用去12.56米长的篱笆。这个养鸡场地的 占地面积是多少平方米？（π取3.14） 19.如图是育才小学的运动场。两头是半圆，中间是长80米，宽40米的长方形，这个运动 场的占地面积是多少平方米？ 40m 80m 20.人们可以通过驴拉磨的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图。如果驴留下了一个周 第14页共17页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 长为7.536米的圆形轨迹，那么驴绕着一个面积是多少平方米的圆在拉磨？ 21.如图，学校新建了一个直径是6米的回形喷水池，沿着水池的外沿修建了一条宽是2米 的环形草坪。环形草坪的面积是多少？ 喷水池 22.如图。新新餐厅准备给直径是1.4米的圆形餐桌中间加一个圆形转盘，转盘距离桌边20 厘米，这个转盘的面积是多少平方米？（圆周率用π表示） 第15页共17页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹。如果波纹以每秒1米的速度向四周扩散， 它从第3秒到第4秒扩散的面积是多少平方米？（π取3.14） 24.古诗有云：“圆中方有致，檐下燕归梁”，“圆中方”造型的窗户体现了中式建筑之美， 现在要做这样一幅木边框的窗户，中间正方形部分需要糊上一层纸，已知该窗户圆形部分周 长为3.14米，需要糊纸部分的面积为多少？（边缘宽度不计） 第16页共17页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第17页共17页