第12讲 稍复杂分数应用题（量率对应） 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第12讲 稍复杂分数应用题（量率对应） 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心基础：量率对应三要素 分数应用题的本质是数量与分率的一一对应，围绕三个核心要素展开： 单位 “1”（标准量）：作为比较基准的整体量，通常在 “是、比、占、相当于” 的后面，“的” 字的前面。 对应量：与分率相对应的具体数量（带单位）。 对应分率：对应量占单位 “1” 的几分之几（不带单位）。 三个基本公式（知二求一）： 单位 “1” 的量 = 对应量 ÷ 对应分率 对应量 = 单位 “1” 的量 × 对应分率 对应分率 = 对应量 ÷ 单位 “1” 的量 2. 稍复杂题型分类 （1）“比多 / 比少” 型 特征：已知 A 比 B 多（或少）几分之几，求 A 或 B。 核心规律： A 比 B 多 → A 对应分率 = A 比 B 少 → A 对应分率 = 注意：“比” 后面的量是单位 “1”。 （2）多步分率型 特征：总量经过两次及以上分率变化，已知最终量求初始总量。 同单位 “1”：所有分率都以总量为基准，直接用 1 连续减去各分率，得到剩余分率。 异单位 “1”：分率分别以不同部分为基准（如 “余下的几分之几”），需先统一单位 “1”，把后续分率转化为占初始总量的几分之几。 （3）量率差对应型 特征：已知两个数量的差，以及它们对应的分率差，反求单位 “1”。 核心公式：单位 “1” 的量 = 数量差 ÷ 分率差 拓展：数量和 ÷ 分率和 = 单位 “1” 的量 （4）隐藏分率型 特征：分率不直接给出，需通过条件转化。 例：“已看页数是剩下的” → 已看占全书的 核心：把 “部分与部分的比” 转化为 “部分与整体的比”。 （5）带余量型 特征：分率搭配 “多几 / 少几” 的具体数量，需先把多余 / 不足的数量调整，转化为纯分率对应的量。 口诀：多退少补—— 多算了就加回剩余量，少算了就从剩余量中减去。 3. 解题通用步骤 ① 定标准：根据关键词判断单位 “1”； ② 找对应：匹配已知数量对应的分率，或已知分率对应的数量； ③ 列算式：根据量率对应公式计算； ④ 验结果：将结果代入原题，验证是否符合所有条件。 4. 易错警示 单位 “1” 不统一时，必须先转化为同一个基准再计算； 分率和数量必须一一对应，禁止用总量直接乘部分分率； “比多几分之几”≠“是几分之几”：A 比 B 多，A 是 B 的； “余下的几分之几” 单位 “1” 是剩余量，不是总量，需先转化。 例题讲解 【典型例题 1】“比多比少” 型求单位 “1” 果园里苹果树有 180 棵，比梨树的棵数多，梨树有多少棵？ 【分析】“比梨树多”，单位 “1” 是梨树的棵数。苹果树的棵数对应梨树的，已知对应量求单位 “1”，用除法。 【详解】 苹果树对应分率： 梨树棵数：（棵） 答：梨树有 150 棵。 【答案】棵 【跟踪训练 1】 某工厂十月份用电 240 度，比九月份节约了，九月份用电多少度？ 【分析】“比九月份节约”，单位 “1” 是九月份用电量。十月份对应分率是，已知对应量求单位 “1”。 【详解】 十月份对应分率： 九月份用电量：（度） 答：九月份用电 280 度。 【答案】度 【典型例题 2】多步分率（同单位 “1”） 一桶油，第一次倒出总数的，第二次倒出总数的，还剩 21 千克。这桶油原来重多少千克？ 【分析】单位 “1” 是油的总重量。剩下的 21 千克对应剩余的分率，用 1 减去两次倒出的分率，得到剩余分率，量率对应求总量。 【详解】 剩余分率： 总重量：（千克） 答：这桶油原来重 60 千克。 【答案】千克 【跟踪训练 2】 修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩 140 米没修。这条公路全长多少米？ 【分析】单位 “1” 是公路全长，140 米对应剩余分率，先求剩余分率再量率对应。 【详解】 剩余分率： 全长：（米） 答：这条公路全长 240 米。 【答案】米 【典型例题 3】量率差对应 一根绳子，第一次用去全长的，第二次用去全长的，第二次比第一次多用去 1.5 米。这根绳子全长多少米？ 【分析】单位 “1” 是绳子全长。多用的 1.5 米对应两次的分率差，用数量差除以分率差直接得到单位 “1” 的量。 【详解】 分率差： 全长：（米） 答：这根绳子全长 10.5 米。 【答案】米 【跟踪训练 3】 一堆沙子，第一天运走总数的，第二天运走总数的，第一天比第二天少运走 4 吨。这堆沙子共有多少吨？ 【分析】数量差 4 吨对应分率差，量率差相除得总量。 【详解】 分率差： 总吨数：（吨） 答：这堆沙子共有 30 吨。 【答案】吨 【典型例题 4】单位 “1” 转化（余下的分率） 一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩 90 页。这本书共有多少页？ 【分析】第一天单位 “1” 是全书，第二天单位 “1” 是余下的页数，需先把第二天的分率转化为占全书的分率。余下的是全书的，第二天看了余下的，即全书的，再求剩余分率，量率对应求总页数。 【详解】 第二天看全书的分率： 剩余分率： 总页数：（页） 答：这本书共有 144 页。 【答案】页 【跟踪训练 4】 一桶油，第一次取出总数的，第二次取出余下的，这时桶里还剩 12 千克。这桶油原来重多少千克？ 【分析】先把第二次的分率转化为占总数的分率，再求剩余分率，量率对应。 【详解】 第二次取总数的分率： 剩余分率： 总重量：（千克） 答：这桶油原来重 72 千克。 【答案】千克 巩固练习 1. 养殖场有鸡 240 只，鸭的只数比鸡多，鸭有多少只？ 【分析】单位 “1” 是鸡的只数，求对应量用乘法，鸭对应分率为。 【详解】 鸭对应分率： 鸭的只数：（只） 答：鸭有 300 只。 【答案】只 2. 小明家五月份水费 48 元，比四月份多，四月份水费多少元？ 【分析】单位 “1” 是四月份水费，五月份对应分率，求单位 “1” 用除法。 【详解】 五月份对应分率： 四月份水费：（元） 答：四月份水费 42 元。 【答案】元 3. 加工一批零件，第一天加工总数的，第二天加工总数的，还剩 120 个没加工。这批零件共有多少个？ 【分析】单位 “1” 是零件总数，剩余 120 个对应剩余分率。 【详解】 剩余分率： 总个数：（个） 答：这批零件共有 270 个。 【答案】个 4. 一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去全长的，第一次比第二次少剪 2 米。这根绳子全长多少米？ 【分析】数量差 2 米对应分率差，量率差相除得全长。 【详解】 分率差： 全长：（米） 答：这根绳子全长 15 米。 【答案】米 5. 仓库有一批货物，第一天运走总数的，第二天运走余下的，还剩 90 吨。这批货物共有多少吨？ 【分析】先把第二天分率转化为占总数的分率，再求剩余分率。 【详解】 第二天运总数的： 剩余分率： 总吨数：（吨） 答：这批货物共有 200 吨。 【答案】吨 6. 某校六年级男生有 120 人，比女生人数少，六年级共有学生多少人？ 【分析】先求女生人数（单位 “1”），再加男生人数得总人数。 【详解】 男生对应分率： 女生人数：（人） 总人数：（人） 答：六年级共有学生 270 人。 【答案】人 7. 一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天共看了 90 页。这本书共有多少页？ 【分析】两天看的 90 页对应分率和，量和除以分率和得单位 “1”。 【详解】 分率和： 总页数：（页） 答：这本书共有 200 页。 【答案】页 8. 修一条路，第一天修了全长的，第二天修了余下的，还剩 80 米没修。这条路全长多少米？ 【分析】转化第二天分率为全长的分率，再求剩余分率。 【详解】 第二天修全长的： 剩余分率： 全长：（米） 答：这条路全长 168 米。 【答案】米 9. 甲桶油重 30 千克，比乙桶油少，甲桶比乙桶少多少千克？ 【分析】先求乙桶重量，再求重量差。 【详解】 甲对应分率： 乙桶重量：（千克） 少的重量：（千克） 答：甲桶比乙桶少 10 千克。 【答案】千克 10. 小明看一本书，已看页数是剩下的，再看 20 页，已看页数是剩下的。这本书共有多少页？ 【分析】单位 “1” 是全书总页数。把 “已看与剩下的比” 转化为 “已看占全书的分率”，20 页对应两次分率的差。 【详解】 原来已看占全书： 后来已看占全书： 20 页对应分率： 总页数：（页） 答：这本书共有 240 页。 【答案】页 11. 六（1）班原来男生人数占全班的，转走 5 名女生后，男生人数占全班的。原来全班有多少人？ 【分析】男生人数不变，以男生为单位 “1”，转化全班人数与男生的分率关系，5 人对应分率差。 【详解】 原来全班是男生的： 后来全班是男生的： 5 人对应分率： 男生人数：（人） 原来全班：（人） 答：原来全班有 50 人。 【答案】人 12. 一根绳子，第一次剪去全长的多 1 米，第二次剪去全长的少 2 米，还剩 13 米。这根绳子全长多少米？ 【分析】带余量型，多退少补调整剩余量，转化为纯分率对应。 【详解】 调整后剩余量：（米） 剩余分率： 全长：（米） 答：这根绳子全长 45 米。 【答案】米 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）水果店运来苹果 120 千克，运来的梨比苹果少，运来梨多少千克？ 【分析】单位 “1” 是苹果重量，求对应量用乘法。 【详解】 梨对应分率： 梨的重量：（千克） 答：运来梨 90 千克。 【答案】千克 2.（希望杯六年级试题）某工厂今年产值 240 万元，比去年增加了，去年产值多少万元？ 【分析】单位 “1” 是去年产值，今年对应分率，求单位 “1”。 【详解】 今年对应分率： 去年产值：（万元） 答：去年产值 200 万元。 【答案】万元 3.（小升初衔接题）修一条水渠，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天共修了 150 米。这条水渠全长多少米？ 【分析】两天修的长度对应分率和，量和除以分率和得全长。 【详解】 分率和： 全长：（米） 答：这条水渠全长 360 米。 【答案】米 4.（华杯赛初赛）一桶油，第一次倒出总数的，第二次倒出余下的，还剩 15 千克。这桶油原来重多少千克？ 【分析】转化第二次分率为总数的分率，求剩余分率。 【详解】 第二次倒总数的： 剩余分率： 总重量：（千克） 答：这桶油原来重 45 千克。 【答案】千克 5.（苏教版培优题）甲比乙多 20 元，甲的钱数是乙的，甲、乙各有多少元？ 【分析】差倍型分数问题，20 元对应分率差，先求乙的钱数。 【详解】 分率差： 乙的钱数：（元） 甲的钱数：（元） 答：甲有 100 元，乙有 80 元。 【答案】甲元；乙元 6.（重点中学分班考）一本书，第一天看了全书的，第二天看了剩下的，还剩 120 页。这本书共有多少页？ 【分析】转化第二天分率为全书的分率，求剩余分率。 【详解】 第二天看全书的： 剩余分率： 总页数：（页） 答：这本书共有 280 页。 【答案】页 7.（走美杯真题）某班男生人数是女生的，女生比男生多 6 人。全班共有多少人？ 【分析】6 人对应分率差，先求女生人数。 【详解】 女生人数：（人） 男生人数：（人） 总人数：（人） 答：全班共有 42 人。 【答案】人 8.（六年级期末真题）一堆货物，第一天运走总数的，第二天运走总数的，第一天比第二天少运 12 吨。这批货物共有多少吨？ 【分析】数量差 12 吨对应分率差，量率差相除。 【详解】 分率差： 总吨数：（吨） 答：这批货物共有 108 吨。 【答案】吨 9.（希望杯模拟题）有一筐苹果，第一天卖出总数的多 2 千克，第二天卖出余下的少 1 千克，还剩 12 千克。这筐苹果原来重多少千克？ 【分析】从后往前倒推，先求第一天卖完余下的重量，再求总重量。 【详解】 第一天卖出后余下：（千克） 原来总重：（千克） 答：这筐苹果原来重 36 千克。 【答案】千克 10.（小升初真题）甲、乙两人共有零花钱 180 元，甲用去自己钱数的，乙用去自己钱数的，两人一共用去多少元？ 【分析】都用去，相当于一共用去总钱数的。 【详解】 一共用去：（元） 答：两人一共用去 45 元。 【答案】元 11.（华杯赛模拟题）六（2）班原来女生人数占全班的，转来 2 名女生后，女生人数占全班的。原来全班有多少人？ 【分析】男生人数不变，以男生为单位 “1”，转化全班分率，2 人对应分率差。 【详解】 原来全班是男生的： 后来全班是男生的： 2 人对应分率： 男生人数：（人） 原来全班：（人） 答：原来全班有 48 人。 【答案】人 12.（思维训练题）甲、乙两堆煤共重 51 吨，甲堆用去，乙堆用去，剩下的两堆煤重量相等。原来两堆煤各重多少吨？ 【分析】先根据剩余重量相等求出甲乙原来的重量比，再按比例分配。 【详解】 甲剩下： 乙剩下： 由题意：甲 = 乙 → 甲：乙 = 8:9 总份数： 甲堆：（吨） 乙堆：（吨） 答：原来甲堆重 24 吨，乙堆重 27 吨。 【答案】甲吨；乙吨 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 稍复杂分数应用题（量率对应） 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心基础：量率对应三要素 分数应用题的本质是数量与分率的一一对应，围绕三个核心要素展开： 单位 “1”（标准量）：作为比较基准的整体量，通常在 “是、比、占、相当于” 的后面，“的” 字的前面。 对应量：与分率相对应的具体数量（带单位）。 对应分率：对应量占单位 “1” 的几分之几（不带单位）。 三个基本公式（知二求一）： 单位 “1” 的量 = 对应量 ÷ 对应分率 对应量 = 单位 “1” 的量 × 对应分率 对应分率 = 对应量 ÷ 单位 “1” 的量 2. 稍复杂题型分类 （1）“比多 / 比少” 型 特征：已知 A 比 B 多（或少）几分之几，求 A 或 B。 核心规律： A 比 B 多 → A 对应分率 = A 比 B 少 → A 对应分率 = 注意：“比” 后面的量是单位 “1”。 （2）多步分率型 特征：总量经过两次及以上分率变化，已知最终量求初始总量。 同单位 “1”：所有分率都以总量为基准，直接用 1 连续减去各分率，得到剩余分率。 异单位 “1”：分率分别以不同部分为基准（如 “余下的几分之几”），需先统一单位 “1”，把后续分率转化为占初始总量的几分之几。 （3）量率差对应型 特征：已知两个数量的差，以及它们对应的分率差，反求单位 “1”。 核心公式：单位 “1” 的量 = 数量差 ÷ 分率差 拓展：数量和 ÷ 分率和 = 单位 “1” 的量 （4）隐藏分率型 特征：分率不直接给出，需通过条件转化。 例：“已看页数是剩下的” → 已看占全书的 核心：把 “部分与部分的比” 转化为 “部分与整体的比”。 （5）带余量型 特征：分率搭配 “多几 / 少几” 的具体数量，需先把多余 / 不足的数量调整，转化为纯分率对应的量。 口诀：多退少补—— 多算了就加回剩余量，少算了就从剩余量中减去。 3. 解题通用步骤 ① 定标准：根据关键词判断单位 “1”； ② 找对应：匹配已知数量对应的分率，或已知分率对应的数量； ③ 列算式：根据量率对应公式计算； ④ 验结果：将结果代入原题，验证是否符合所有条件。 4. 易错警示 单位 “1” 不统一时，必须先转化为同一个基准再计算； 分率和数量必须一一对应，禁止用总量直接乘部分分率； “比多几分之几”≠“是几分之几”：A 比 B 多，A 是 B 的； “余下的几分之几” 单位 “1” 是剩余量，不是总量，需先转化。 例题讲解 【典型例题 1】“比多比少” 型求单位 “1” 果园里苹果树有 180 棵，比梨树的棵数多，梨树有多少棵？ 【跟踪训练 1】 某工厂十月份用电 240 度，比九月份节约了，九月份用电多少度？ 【典型例题 2】多步分率（同单位 “1”） 一桶油，第一次倒出总数的，第二次倒出总数的，还剩 21 千克。这桶油原来重多少千克？ 【跟踪训练 2】 修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩 140 米没修。这条公路全长多少米？ 【典型例题 3】量率差对应 一根绳子，第一次用去全长的，第二次用去全长的，第二次比第一次多用去 1.5 米。这根绳子全长多少米？ 【跟踪训练 3】 一堆沙子，第一天运走总数的，第二天运走总数的，第一天比第二天少运走 4 吨。这堆沙子共有多少吨？ 【典型例题 4】单位 “1” 转化（余下的分率） 一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩 90 页。这本书共有多少页？ 【跟踪训练 4】 一桶油，第一次取出总数的，第二次取出余下的，这时桶里还剩 12 千克。这桶油原来重多少千克？ 巩固练习 1. 养殖场有鸡 240 只，鸭的只数比鸡多，鸭有多少只？ 2. 小明家五月份水费 48 元，比四月份多，四月份水费多少元？ 3. 加工一批零件，第一天加工总数的，第二天加工总数的，还剩 120 个没加工。这批零件共有多少个？ 4. 一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去全长的，第一次比第二次少剪 2 米。这根绳子全长多少米？ 5. 仓库有一批货物，第一天运走总数的，第二天运走余下的，还剩 90 吨。这批货物共有多少吨？ 6. 某校六年级男生有 120 人，比女生人数少，六年级共有学生多少人？ 7. 一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天共看了 90 页。这本书共有多少页？ 8. 修一条路，第一天修了全长的，第二天修了余下的，还剩 80 米没修。这条路全长多少米？ 9. 甲桶油重 30 千克，比乙桶油少，甲桶比乙桶少多少千克？ 10. 小明看一本书，已看页数是剩下的，再看 20 页，已看页数是剩下的。这本书共有多少页？ 11. 六（1）班原来男生人数占全班的，转走 5 名女生后，男生人数占全班的。原来全班有多少人？ 12. 一根绳子，第一次剪去全长的多 1 米，第二次剪去全长的少 2 米，还剩 13 米。这根绳子全长多少米？ 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）水果店运来苹果 120 千克，运来的梨比苹果少，运来梨多少千克？ 2.（希望杯六年级试题）某工厂今年产值 240 万元，比去年增加了，去年产值多少万元？ 3.（小升初衔接题）修一条水渠，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天共修了 150 米。这条水渠全长多少米？ 4.（华杯赛初赛）一桶油，第一次倒出总数的，第二次倒出余下的，还剩 15 千克。这桶油原来重多少千克？ 5.（苏教版培优题）甲比乙多 20 元，甲的钱数是乙的，甲、乙各有多少元？ 6.（重点中学分班考）一本书，第一天看了全书的，第二天看了剩下的，还剩 120 页。这本书共有多少页？ 7.（走美杯真题）某班男生人数是女生的，女生比男生多 6 人。全班共有多少人？ 8.（六年级期末真题）一堆货物，第一天运走总数的，第二天运走总数的，第一天比第二天少运 12 吨。这批货物共有多少吨？ 9.（希望杯模拟题）有一筐苹果，第一天卖出总数的多 2 千克，第二天卖出余下的少 1 千克，还剩 12 千克。这筐苹果原来重多少千克？ 10.（小升初真题）甲、乙两人共有零花钱 180 元，甲用去自己钱数的，乙用去自己钱数的，两人一共用去多少元？ 11.（华杯赛模拟题）六（2）班原来女生人数占全班的，转来 2 名女生后，女生人数占全班的。原来全班有多少人？ 12.（思维训练题）甲、乙两堆煤共重 51 吨，甲堆用去，乙堆用去，剩下的两堆煤重量相等。原来两堆煤各重多少吨？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $