第23讲 已知差量、部分量求总量的比的应用题 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第23讲 已知差量、部分量求总量的比的应用题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心解题思想：量份对应法 所有比的应用题本质都是 “份数与实际数量一一对应”。先根据比确定各部分对应的份数，找到已知数量（差量、部分量）对应的份数，求出 1 份对应的实际数量（1 份量），再乘总份数得到总量。这是解决本讲所有题型的核心方法。 2. 题型一：已知差量求总量 题目给出两个量（或多个量）的比，以及两个量的数量差，求总数。 基本公式： 份数差 = 多的份数 - 少的份数 1 份量 = 实际差量 ÷ 份数差 总量 = 1 份量 × 总份数 常见差量场景： ① 直接给出差：如 “甲比乙多 20 个”； ② 调运后相等：如 “从甲拿 10 个给乙，两数相等”，实际差 = 2× 调运数量； ③ 同增同减：两个量同时增加 / 减少相同数量，差不变，对应差的份数不变。 3. 题型二：已知部分量求总量 题目给出两个量（或多个量）的比，以及其中一部分的实际数量，求总数。 基本公式： 1 份量 = 部分实际量 ÷ 该部分对应份数 总量 = 1 份量 × 总份数 常见部分量场景： ① 直接给出其中一个量的数量； ② 间接给出部分量：如给出总量的几分之几、百分之几对应的数量，先转化为比再计算。 4. 解题通用步骤 ① 定比：明确题目中各量的比，化为最简整数比； ② 找对应：确定已知量（差量 / 部分量）对应的份数； ③ 求一份：用已知量除以对应份数，算出 1 份量； ④ 算总量：用 1 份量乘总份数，得到总量； ⑤ 验结果：将结果代入原题，验证差量、部分量是否符合比的关系。 5. 易错警示 调运后相等的题型，差量是调运数量的 2 倍，不是 1 倍，避免直接用调运量当差量； 差量对应份数差，部分量对应单份数量，二者不能混淆，不能用差量除以总份数； 连比求总量时，总份数是所有项的份数之和，不要漏加中间项； 已知部分量求总量时，要确保部分量和份数一一对应，不能前后项错位。 例题讲解 【典型例题 1】基础差量求总量 甲、乙两数的比是，甲数比乙数大 16。甲、乙两数的和是多少？ 【跟踪训练 1】 果园里苹果树和梨树的棵数比是，苹果树比梨树多 120 棵。苹果树和梨树一共有多少棵？ 【典型例题 2】基础部分量求总量 商店运来苹果和香蕉的重量比是，香蕉的重量是 120 千克。苹果和香蕉一共重多少千克？ 【跟踪训练 2】 六（1）班男生和女生的人数比是，男生有 25 人。全班一共有多少人？ 【典型例题 3】隐藏差量（调运相等型） 甲、乙两袋大米的重量比是，如果从甲袋倒出 12 千克放入乙袋，两袋大米的重量相等。两袋大米一共重多少千克？ 【跟踪训练 3】 甲、乙两人的零花钱数之比是，如果甲给乙 15 元，两人的零花钱就相等。两人一共有多少零花钱？ 【典型例题 4】连比差量求总量 甲、乙、丙三个数的比是，丙数比甲数多 18。三个数的总和是多少？ 【跟踪训练 4】 工厂三个车间的人数比是，第三车间比第一车间多 24 人。三个车间一共有多少人？ 巩固练习 1. 甲、乙两数的比是，乙数比甲数少 28。甲、乙两数的和是多少？ 2. 文具店钢笔和铅笔的数量比是，铅笔有 140 支。钢笔和铅笔一共有多少支？ 3. 甲、乙两筐水果的重量比是，如果从甲筐拿出 15 千克放入乙筐，两筐重量相等。两筐水果一共重多少千克？ 4. 一个三角形三个内角的度数比是，最大的角比最小的角大 54°。这个三角形的内角和是多少度？ 5. 甲、乙两人的钱数比是，乙有 84 元。两人一共有多少钱？ 6. 甲、乙两队的人数比是，如果从甲队调 8 人到乙队，两队人数相等。两队一共有多少人？ 7. 超市运来一批水果，苹果和橘子的重量比是，橘子比苹果多 150 千克。这批水果一共有多少千克？ 8. 三根绳子的长度比是，最长的绳子比最短的长 18 米。三根绳子一共长多少米？ 9. 六年级男生人数占全年级总人数的，女生有 80 人。六年级一共有多少人？ 10. 甲、乙、丙三人分糖果，三人分得的数量比是，乙分得 18 颗。三人一共分多少颗糖果？ 11. 两根电线，长度比是，第一根用去 12 米后，两根剩下的长度相等。两根电线原来一共长多少米？ 12. 甲、乙两个仓库的粮食吨数比是，乙仓库比甲仓库多 24 吨。两个仓库一共有多少吨粮食？ 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）甲、乙两数的比是，乙数比甲数多 15，两数的和是多少？ 2.（希望杯六年级试题）果园里桃树和梨树的棵数比是，梨树有 120 棵。桃树和梨树一共有多少棵？ 3.（小升初衔接题）甲、乙两桶油的重量比是，如果从甲桶倒 10 千克给乙桶，两桶油重量相等。两桶油一共重多少千克？ 4.（华杯赛初赛）三个数的比是，最大数比最小数大 10。这三个数的和是多少？ 5.（苏教版培优题）六（2）班男生和女生的人数比是，男生有 30 人。全班一共有多少人？ 6.（重点中学分班考）甲、乙两人的零花钱比是，甲比乙多 25 元。两人一共有多少零花钱？ 7.（走美杯真题）两堆货物的重量比是，如果从第一堆运 9 吨到第二堆，两堆重量相等。两堆货物一共重多少吨？ 8.（六年级期末真题）一本书，已看页数和剩下页数的比是，剩下的页数比已看的多 48 页。这本书一共有多少页？ 9.（希望杯模拟题）甲、乙、丙三人的钱数比是，丙有 105 元。三人一共有多少钱？ 10.（小升初真题）一批零件，合格与不合格的数量比是，不合格的有 5 个。这批零件一共有多少个？ 11.（华杯赛模拟题）两根绳子的长度比是，第二根比第一根长 18 米。两根绳子一共长多少米？ 12.（思维训练题）甲、乙两个车间的人数比是，甲车间调 12 人到乙车间后，两车间人数相等。两个车间一共有多少人？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 已知差量、部分量求总量的比的应用题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心解题思想：量份对应法 所有比的应用题本质都是 “份数与实际数量一一对应”。先根据比确定各部分对应的份数，找到已知数量（差量、部分量）对应的份数，求出 1 份对应的实际数量（1 份量），再乘总份数得到总量。这是解决本讲所有题型的核心方法。 2. 题型一：已知差量求总量 题目给出两个量（或多个量）的比，以及两个量的数量差，求总数。 基本公式： 份数差 = 多的份数 - 少的份数 1 份量 = 实际差量 ÷ 份数差 总量 = 1 份量 × 总份数 常见差量场景： ① 直接给出差：如 “甲比乙多 20 个”； ② 调运后相等：如 “从甲拿 10 个给乙，两数相等”，实际差 = 2× 调运数量； ③ 同增同减：两个量同时增加 / 减少相同数量，差不变，对应差的份数不变。 3. 题型二：已知部分量求总量 题目给出两个量（或多个量）的比，以及其中一部分的实际数量，求总数。 基本公式： 1 份量 = 部分实际量 ÷ 该部分对应份数 总量 = 1 份量 × 总份数 常见部分量场景： ① 直接给出其中一个量的数量； ② 间接给出部分量：如给出总量的几分之几、百分之几对应的数量，先转化为比再计算。 4. 解题通用步骤 ① 定比：明确题目中各量的比，化为最简整数比； ② 找对应：确定已知量（差量 / 部分量）对应的份数； ③ 求一份：用已知量除以对应份数，算出 1 份量； ④ 算总量：用 1 份量乘总份数，得到总量； ⑤ 验结果：将结果代入原题，验证差量、部分量是否符合比的关系。 5. 易错警示 调运后相等的题型，差量是调运数量的 2 倍，不是 1 倍，避免直接用调运量当差量； 差量对应份数差，部分量对应单份数量，二者不能混淆，不能用差量除以总份数； 连比求总量时，总份数是所有项的份数之和，不要漏加中间项； 已知部分量求总量时，要确保部分量和份数一一对应，不能前后项错位。 例题讲解 【典型例题 1】基础差量求总量 甲、乙两数的比是，甲数比乙数大 16。甲、乙两数的和是多少？ 【分析】已知两数的比和数量差，求总和。先算份数差，用差量除以份数差得到 1 份量，再乘总份数得到两数之和。 【详解】 份数差：份 1 份量： 总份数：份 两数之和： 【答案】 【跟踪训练 1】 果园里苹果树和梨树的棵数比是，苹果树比梨树多 120 棵。苹果树和梨树一共有多少棵？ 【分析】已知棵数比和棵数差，求总棵数。先求份数差，算 1 份量，再乘总份数。 【详解】 份数差：份 1 份量：棵 总份数：份 总棵数：棵 【答案】棵 【典型例题 2】基础部分量求总量 商店运来苹果和香蕉的重量比是，香蕉的重量是 120 千克。苹果和香蕉一共重多少千克？ 【分析】已知香蕉的重量和对应的份数，先求出 1 份量，再乘总份数得到总重量。 【详解】 香蕉对应 5 份，重量 120 千克 1 份量：千克 总份数：份 总重量：千克 【答案】千克 【跟踪训练 2】 六（1）班男生和女生的人数比是，男生有 25 人。全班一共有多少人？ 【分析】已知男生人数和对应份数，求 1 份量，再乘总份数得全班人数。 【详解】 男生对应 5 份，共 25 人 1 份量：人 总份数：份 全班人数：人 【答案】人 【典型例题 3】隐藏差量（调运相等型） 甲、乙两袋大米的重量比是，如果从甲袋倒出 12 千克放入乙袋，两袋大米的重量相等。两袋大米一共重多少千克？ 【分析】“从甲倒 12 千克给乙就相等”，说明甲比乙多千克，这是隐藏的差量。再用差量除以份数差求 1 份量，最后算总重量。 【详解】 实际重量差：千克 份数差：份 1 份量：千克 总份数：份 总重量：千克 【答案】千克 【跟踪训练 3】 甲、乙两人的零花钱数之比是，如果甲给乙 15 元，两人的零花钱就相等。两人一共有多少零花钱？ 【分析】甲给乙 15 元相等，说明甲比乙多 30 元，差量 30 元对应份数差，求总钱数。 【详解】 钱数差：元 份数差：份 1 份量：元 总份数：份 总钱数：元 【答案】元 【典型例题 4】连比差量求总量 甲、乙、丙三个数的比是，丙数比甲数多 18。三个数的总和是多少？ 【分析】三个数的连比，已知丙和甲的差，先算丙比甲多的份数，对应差量求 1 份量，再乘总份数得总和。 【详解】 份数差：份 1 份量： 总份数：份 三个数总和： 【答案】 【跟踪训练 4】 工厂三个车间的人数比是，第三车间比第一车间多 24 人。三个车间一共有多少人？ 【分析】连比差量，先求份数差，算 1 份量，再乘总份数。 【详解】 份数差：份 1 份量：人 总份数：份 总人数：人 【答案】人 巩固练习 1. 甲、乙两数的比是，乙数比甲数少 28。甲、乙两数的和是多少？ 【分析】已知两数比和差量，求总和。先算份数差，求 1 份量，再乘总份数。 【详解】 份数差：份 1 份量： 总份数：份 两数之和： 【答案】 2. 文具店钢笔和铅笔的数量比是，铅笔有 140 支。钢笔和铅笔一共有多少支？ 【分析】已知铅笔数量和对应份数，求 1 份量，再算总支数。 【详解】 铅笔对应 7 份，共 140 支 1 份量：支 总份数：份 总支数：支 【答案】支 3. 甲、乙两筐水果的重量比是，如果从甲筐拿出 15 千克放入乙筐，两筐重量相等。两筐水果一共重多少千克？ 【分析】隐藏差量，甲比乙多 30 千克，对应份数差求总重量。 【详解】 重量差：千克 份数差：份 1 份量：千克 总份数：份 总重量：千克 【答案】千克 4. 一个三角形三个内角的度数比是，最大的角比最小的角大 54°。这个三角形的内角和是多少度？ 【分析】连比差量，最大角减最小角的度数差对应份数差，求内角和。 【详解】 份数差：份 1 份量： 总份数：份 内角和： 【答案】 5. 甲、乙两人的钱数比是，乙有 84 元。两人一共有多少钱？ 【分析】已知乙的钱数和对应份数，求 1 份量，算总钱数。 【详解】 乙对应 7 份，共 84 元 1 份量：元 总份数：份 总钱数：元 【答案】元 6. 甲、乙两队的人数比是，如果从甲队调 8 人到乙队，两队人数相等。两队一共有多少人？ 【分析】调运相等，差量是 16 人，对应份数差求总人数。 【详解】 人数差：人 份数差：份 1 份量：人 总份数：份 总人数：人 【答案】人 7. 超市运来一批水果，苹果和橘子的重量比是，橘子比苹果多 150 千克。这批水果一共有多少千克？ 【分析】直接差量型，求总重量。 【详解】 份数差：份 1 份量：千克 总份数：份 总重量：千克 【答案】千克 8. 三根绳子的长度比是，最长的绳子比最短的长 18 米。三根绳子一共长多少米？ 【分析】连比差量，最长减最短的差对应份数差，求总长。 【详解】 份数差：份 1 份量：米 总份数：份 总长：米 【答案】米 9. 六年级男生人数占全年级总人数的，女生有 80 人。六年级一共有多少人？ 【分析】先转化为比，男生：女生 = 5:4，已知女生人数（部分量），求总量。 【详解】 男生占，女生占 男女生人数比： 女生对应 4 份，共 80 人 1 份量：人 总份数：9 份 总人数：人 【答案】人 10. 甲、乙、丙三人分糖果，三人分得的数量比是，乙分得 18 颗。三人一共分多少颗糖果？ 【分析】连比部分量，已知乙的数量和对应份数，求总数量。 【详解】 乙对应 3 份，共 18 颗 1 份量：颗 总份数：份 总颗数：颗 【答案】颗 11. 两根电线，长度比是，第一根用去 12 米后，两根剩下的长度相等。两根电线原来一共长多少米？ 【分析】第一根比第二根长 12 米，差量 12 米对应份数差，求总长。 【详解】 长度差：12 米 份数差：份 1 份量：米 总份数：份 总长：米 【答案】米 12. 甲、乙两个仓库的粮食吨数比是，乙仓库比甲仓库多 24 吨。两个仓库一共有多少吨粮食？ 【分析】直接差量型，求总吨数。 【详解】 份数差：份 1 份量：吨 总份数：份 总吨数：吨 【答案】吨 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）甲、乙两数的比是，乙数比甲数多 15，两数的和是多少？ 【分析】已知两数比和差量，求总和。先算份数差，求 1 份量，再乘总份数。 【详解】 份数差：份 1 份量： 总份数：份 两数之和： 【答案】 2.（希望杯六年级试题）果园里桃树和梨树的棵数比是，梨树有 120 棵。桃树和梨树一共有多少棵？ 【分析】已知梨树数量和对应份数，求 1 份量，算总棵数。 【详解】 梨树对应 5 份，共 120 棵 1 份量：棵 总份数：份 总棵数：棵 【答案】棵 3.（小升初衔接题）甲、乙两桶油的重量比是，如果从甲桶倒 10 千克给乙桶，两桶油重量相等。两桶油一共重多少千克？ 【分析】隐藏差量，甲比乙多 20 千克，对应份数差求总重量。 【详解】 重量差：千克 份数差：份 1 份量：千克 总份数：份 总重量：千克 【答案】千克 4.（华杯赛初赛）三个数的比是，最大数比最小数大 10。这三个数的和是多少？ 【分析】连比差量，最大减最小的差对应份数差，求总和。 【详解】 份数差：份 1 份量： 总份数：份 三个数总和： 【答案】 5.（苏教版培优题）六（2）班男生和女生的人数比是，男生有 30 人。全班一共有多少人？ 【分析】已知男生人数和对应份数，求 1 份量，算全班人数。 【详解】 男生对应 6 份，共 30 人 1 份量：人 总份数：份 全班人数：人 【答案】人 6.（重点中学分班考）甲、乙两人的零花钱比是，甲比乙多 25 元。两人一共有多少零花钱？ 【分析】直接差量型，求总钱数。 【详解】 份数差：份 1 份量：元 总份数：份 总钱数：元 【答案】元 7.（走美杯真题）两堆货物的重量比是，如果从第一堆运 9 吨到第二堆，两堆重量相等。两堆货物一共重多少吨？ 【分析】调运相等，差量是 18 吨，对应份数差求总重量。 【详解】 重量差：吨 份数差：份 1 份量：吨 总份数：份 总重量：吨 【答案】吨 8.（六年级期末真题）一本书，已看页数和剩下页数的比是，剩下的页数比已看的多 48 页。这本书一共有多少页？ 【分析】差量型，剩下比已看多的页数对应份数差，求总页数。 【详解】 份数差：份 1 份量：页 总份数：份 总页数：页 【答案】页 9.（希望杯模拟题）甲、乙、丙三人的钱数比是，丙有 105 元。三人一共有多少钱？ 【分析】连比部分量，已知丙的钱数和对应份数，求总钱数。 【详解】 丙对应 7 份，共 105 元 1 份量：元 总份数：份 总钱数：元 【答案】元 10.（小升初真题）一批零件，合格与不合格的数量比是，不合格的有 5 个。这批零件一共有多少个？ 【分析】已知不合格数量和对应份数，求总数量。 【详解】 不合格对应 1 份，共 5 个 1 份量：5 个 总份数：份 总数量：个 【答案】个 11.（华杯赛模拟题）两根绳子的长度比是，第二根比第一根长 18 米。两根绳子一共长多少米？ 【分析】直接差量型，求总长。 【详解】 份数差：份 1 份量：米 总份数：份 总长：米 【答案】米 12.（思维训练题）甲、乙两个车间的人数比是，甲车间调 12 人到乙车间后，两车间人数相等。两个车间一共有多少人？ 【分析】调运相等，差量 24 人对应份数差，求总人数。 【详解】 人数差：人 份数差：份 1 份量：人 总份数：份 总人数：人 【答案】人 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $