第10讲 多量和差、和倍、差倍综合应用题 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第10讲 多量和差、和倍、差倍综合应用题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础模型回顾（两量核心公式） 所有多量问题都可拆解为基础两量关系，核心公式是解题的基础： 和差公式：大数 = (和 + 差) ÷ 2；小数 = (和 - 差) ÷ 2 和倍公式：一倍数 = 和 ÷ (倍数 + 1)；多倍数 = 一倍数 × 倍数 差倍公式：一倍数 = 差 ÷ (倍数 - 1)；多倍数 = 一倍数 × 倍数 2. 多量和倍问题 三个及以上数量的和与倍数关系，核心是统一 1 倍量。 解题步骤： ① 确定最小的量为 1 倍量，用线段图标注各量份数； ② 计算所有量对应的总份数； ③ 总和 ÷ 总份数 = 1 倍量； ④ 根据倍数关系分别求出各量。 易错点：必须以同一个量为 1 倍标准，不能出现多个 1 倍量。 3. 多量差倍问题 三个及以上数量的差与倍数关系，核心是统一差的对应关系。 解题步骤： ① 确定 1 倍量，找到所有量与 1 倍量的差； ② 计算差对应的倍数差； ③ 总差 ÷ 倍数差 = 1 倍量； ④ 根据差或倍数求出各量。 关键：差与倍数必须对应同一个比较标准。 4. 多量和差问题 经典题型为已知两两之和，求三个数。 核心规律：三个两两和相加，等于 2 倍的三数总和。 公式：三数总和 = (甲 + 乙 + 乙 + 丙 + 甲 + 丙) ÷ 2 丙 = 三数总和 - 甲乙和；甲 = 三数总和 - 乙丙和；乙 = 三数总和 - 甲丙和 5. 综合进阶题型 （1）倍 + 差混合型 同时存在倍数关系和差量关系，先通过 “加多” 或 “减多” 将差量消除，转化为纯和倍问题。 例：甲是乙的 2 倍多 3，甲乙和是 30 → 总和减 3，对应 3 倍的乙。 （2）隐藏和 / 差型 和或差不直接给出，需要通过条件计算得出，例如： 给来给去后相等：差 = 移动量 × 2 同增同减：差不变 平均分求总分：和 = 平均分 × 2 （3）小数点联动型 结合小数点移位规律，本质是特殊的和倍 / 差倍问题： 小数点右移一位：数扩大 10 倍，即大数是小数的 10 倍 小数点左移一位：数缩小到 1/10，即小数是大数的 1/10 6. 通用解题步骤 ① 审题提取条件，判断和、差、倍类型； ② 确定 1 倍量，画线段图辅助理解； ③ 转化条件：消除差量，统一为整份数； ④ 计算 1 倍量，再推导其余各量； ⑤ 代入原题验证结果。 例题讲解 【典型例题 1】三量和倍基础 甲乙丙三个数的和是 37.5，甲数是乙数的 2 倍，丙数是乙数的 2.5 倍。甲乙丙三个数各是多少？ 【跟踪训练 1】 三个班级共捐款 246.4 元，一班捐款数是二班的 1.4 倍，三班捐款数是二班的 2 倍。三个班各捐款多少元？ 【典型例题 2】三量差倍问题 甲、乙、丙三个数，甲比乙多 12.5，丙比甲多 8.5，丙数是乙数的 3 倍。甲乙丙三个数各是多少？ 【跟踪训练 2】 三条绳子，第一条比第二条短 3.6 米，第三条比第一条长 8.4 米，第三条长度是第二条的 1.6 倍。三条绳子各长多少米？ 【典型例题 3】三量和差（两两和经典题型） 甲乙两数的和是 52.4，乙丙两数的和是 61.8，甲丙两数的和是 57.8。甲乙丙三个数各是多少？ 【跟踪训练 3】 小明语文、数学的平均分是 92.5 分，数学、英语的平均分是 94 分，语文、英语的平均分是 91.5 分。三科各得多少分？ 【典型例题 4】和差倍综合（倍 + 差混合） 甲乙丙三个数的和是 33.5，甲数是乙数的 2 倍，丙数比乙数多 3.5。甲乙丙三个数各是多少？ 【跟踪训练 4】 三个数的和是 48.6，第一个数是第二个数的 3 倍，第三个数比第二个数少 1.4。三个数各是多少？ 巩固练习 1. 甲乙丙三个数的和是 72.9，甲数是乙数的 3 倍，丙数是乙数的 2 倍。甲乙丙三个数各是多少？ 2. 甲比乙多 9.6，丙比甲多 14.4，丙数是乙数的 4 倍。甲乙丙三个数各是多少？ 3. 甲乙两数和是 45.8，乙丙两数和是 54.2，甲丙两数和是 52。甲乙丙三个数各是多少？ 4. 甲数是乙数的 2 倍少 3.5，甲乙两数的和是 32.5。甲乙两数各是多少？ 5. 甲的存款是乙的 3 倍，甲取出 28.5 元，乙存入 11.5 元后，两人存款相等。原来两人各存款多少元？ 6. 三个数的和是 44.8，甲数是乙数的 2 倍，丙数比甲数多 2.8。三个数各是多少？ 7. 甲乙两数的和是 40.7，甲数的小数点向右移动一位就等于乙数。甲乙两数各是多少？ 8. 甲乙两数的差是 29.7，甲数的小数点向左移动一位就等于乙数。甲乙两数各是多少？ 9. 爸爸的年龄是小明的 3 倍，妈妈比爸爸小 2 岁，三人年龄和是 73 岁。三人各多少岁？ 10. 买 3 支钢笔和 2 本笔记本共付 52.5 元，钢笔单价是笔记本的 3 倍。钢笔和笔记本的单价各是多少元？ 11. 甲、乙、丙三个数，甲是乙的 2 倍，丙是甲的 2 倍，三数和是 140。三个数各是多少？ 12. 三条公路，第一条是第二条的 1.5 倍，第三条比第一条多 2.4 千米，第三条是第二条的 2 倍。三条公路各长多少千米？ 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题） 甲乙丙三数的和是 150，甲数是乙数的 2 倍，丙数是乙数的 3 倍。乙数是多少？ 2.（希望杯六年级试题） 甲比乙多 15.5，丙比乙多 45.5，丙数是甲数的 2 倍。乙数是多少？ 3.（小升初衔接题） 甲乙两数和是 56.4，乙丙两数和是 62.8，甲丙两数和是 66.8。甲数是多少？ 4.（华杯赛初赛） 甲数是乙数的 3 倍多 2.5，甲乙两数的和是 42.5。甲数是多少？ 5.（苏教版培优题） 三个班共植树 120.5 棵，一班植树棵数是二班的 1.2 倍，三班比二班多植 16.5 棵。三个班各植树多少棵？ 6.（重点中学分班考） 甲的存款是乙的 2.5 倍，甲给乙 60 元后两人存款相等。原来甲有多少元？ 7.（六年级期末真题） 甲乙两数的和是 31.9，甲数的小数点向右移动一位就等于乙数。甲数是多少？ 8.（走美杯真题） 甲乙两数的差是 42.3，乙数的小数点向右移动一位就等于甲数。乙数是多少？ 9.（小升初真题） 苹果、梨、香蕉共重 62.5 千克，苹果重量是梨的 2 倍，香蕉比梨多 8.5 千克。三种水果各重多少千克？ 10.（希望杯模拟题） 语文、数学平均分是 93 分，数学、英语平均分是 95 分，语文、英语平均分是 91 分。数学得多少分？ 11.（华杯赛模拟题） 甲的年龄是乙的 4 倍，10 年后甲比乙大 24 岁。现在甲乙各多少岁？ 12.（思维训练题） 四个数，甲乙和是 38.5，乙丙和是 42.3，丙丁和是 45.2。甲丁两数的和是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 多量和差、和倍、差倍综合应用题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础模型回顾（两量核心公式） 所有多量问题都可拆解为基础两量关系，核心公式是解题的基础： 和差公式：大数 = (和 + 差) ÷ 2；小数 = (和 - 差) ÷ 2 和倍公式：一倍数 = 和 ÷ (倍数 + 1)；多倍数 = 一倍数 × 倍数 差倍公式：一倍数 = 差 ÷ (倍数 - 1)；多倍数 = 一倍数 × 倍数 2. 多量和倍问题 三个及以上数量的和与倍数关系，核心是统一 1 倍量。 解题步骤： ① 确定最小的量为 1 倍量，用线段图标注各量份数； ② 计算所有量对应的总份数； ③ 总和 ÷ 总份数 = 1 倍量； ④ 根据倍数关系分别求出各量。 易错点：必须以同一个量为 1 倍标准，不能出现多个 1 倍量。 3. 多量差倍问题 三个及以上数量的差与倍数关系，核心是统一差的对应关系。 解题步骤： ① 确定 1 倍量，找到所有量与 1 倍量的差； ② 计算差对应的倍数差； ③ 总差 ÷ 倍数差 = 1 倍量； ④ 根据差或倍数求出各量。 关键：差与倍数必须对应同一个比较标准。 4. 多量和差问题 经典题型为已知两两之和，求三个数。 核心规律：三个两两和相加，等于 2 倍的三数总和。 公式：三数总和 = (甲 + 乙 + 乙 + 丙 + 甲 + 丙) ÷ 2 丙 = 三数总和 - 甲乙和；甲 = 三数总和 - 乙丙和；乙 = 三数总和 - 甲丙和 5. 综合进阶题型 （1）倍 + 差混合型 同时存在倍数关系和差量关系，先通过 “加多” 或 “减多” 将差量消除，转化为纯和倍问题。 例：甲是乙的 2 倍多 3，甲乙和是 30 → 总和减 3，对应 3 倍的乙。 （2）隐藏和 / 差型 和或差不直接给出，需要通过条件计算得出，例如： 给来给去后相等：差 = 移动量 × 2 同增同减：差不变 平均分求总分：和 = 平均分 × 2 （3）小数点联动型 结合小数点移位规律，本质是特殊的和倍 / 差倍问题： 小数点右移一位：数扩大 10 倍，即大数是小数的 10 倍 小数点左移一位：数缩小到 1/10，即小数是大数的 1/10 6. 通用解题步骤 ① 审题提取条件，判断和、差、倍类型； ② 确定 1 倍量，画线段图辅助理解； ③ 转化条件：消除差量，统一为整份数； ④ 计算 1 倍量，再推导其余各量； ⑤ 代入原题验证结果。 例题讲解 【典型例题 1】三量和倍基础 甲乙丙三个数的和是 37.5，甲数是乙数的 2 倍，丙数是乙数的 2.5 倍。甲乙丙三个数各是多少？ 【分析】以乙数为 1 倍量，甲数对应 2 份，丙数对应 2.5 份，三数总和对应份。用总和除以总份数得到 1 倍量（乙数），再分别求甲、丙。 【详解】 总份数： 乙数（1 倍量）： 甲数： 丙数： 答：甲数约是 13.64，乙数约是 6.82，丙数约是 17.05。 【答案】甲；乙；丙 【跟踪训练 1】 三个班级共捐款 246.4 元，一班捐款数是二班的 1.4 倍，三班捐款数是二班的 2 倍。三个班各捐款多少元？ 【分析】以二班为 1 倍量，总份数份，对应总捐款 246.4 元，先求二班捐款数。 【详解】 总份数： 二班：（元） 一班：（元） 三班：（元） 答：一班捐款 78.4 元，二班捐款 56 元，三班捐款 112 元。 【答案】一班元；二班元；三班元 【典型例题 2】三量差倍问题 甲、乙、丙三个数，甲比乙多 12.5，丙比甲多 8.5，丙数是乙数的 3 倍。甲乙丙三个数各是多少？ 【分析】以乙数为 1 倍量，丙是 3 倍。丙比乙多，对应倍，用差除以倍数差得到乙数。 【详解】 丙比乙多： 倍数差： 乙数： 甲数： 丙数： 答：甲数是 23，乙数是 10.5，丙数是 31.5。 【答案】甲；乙；丙 【跟踪训练 2】 三条绳子，第一条比第二条短 3.6 米，第三条比第一条长 8.4 米，第三条长度是第二条的 1.6 倍。三条绳子各长多少米？ 【分析】以第二条为 1 倍量，第三条比第二条长米，对应倍，先求第二条长度。 【详解】 第三条比第二条长：（米） 倍数差： 第二条长：（米） 第一条长：（米） 第三条长：（米） 答：第一条长 4.4 米，第二条长 8 米，第三条长 12.8 米。 【答案】第一条米；第二条米；第三条米 【典型例题 3】三量和差（两两和经典题型） 甲乙两数的和是 52.4，乙丙两数的和是 61.8，甲丙两数的和是 57.8。甲乙丙三个数各是多少？ 【分析】三个两两和相加，等于 2 倍的三数总和。先求出三数总和，再分别减去每组两两和，得到第三个数。 【详解】 三数总和： 丙数： 甲数： 乙数： 答：甲数是 24.2，乙数是 28.2，丙数是 33.6。 【答案】甲；乙；丙 【跟踪训练 3】 小明语文、数学的平均分是 92.5 分，数学、英语的平均分是 94 分，语文、英语的平均分是 91.5 分。三科各得多少分？ 【分析】先根据平均分算出每两科的总分，再用三量和差公式求三科总分，最后分别求各科分数。 【详解】 语文 + 数学：（分） 数学 + 英语：（分） 语文 + 英语：（分） 三科总分：（分） 英语：（分） 语文：（分） 数学：（分） 答：语文 90 分，数学 95 分，英语 93 分。 【答案】语文分；数学分；英语分 【典型例题 4】和差倍综合（倍 + 差混合） 甲乙丙三个数的和是 33.5，甲数是乙数的 2 倍，丙数比乙数多 3.5。甲乙丙三个数各是多少？ 【分析】以乙数为 1 倍量，甲对应 2 倍，丙对应 1 倍多 3.5。总和减去 3.5，就对应倍的乙数，转化为纯和倍问题。 【详解】 总和减去丙多出的 3.5： 总份数： 乙数： 甲数： 丙数： 答：甲数是 15，乙数是 7.5，丙数是 11。 【答案】甲；乙；丙 【跟踪训练 4】 三个数的和是 48.6，第一个数是第二个数的 3 倍，第三个数比第二个数少 1.4。三个数各是多少？ 【分析】以第二个数为 1 倍量，总和加上 1.4，就对应倍的第二个数。 【详解】 总和补上第三个数少的 1.4： 总份数： 第二个数： 第一个数： 第三个数： 答：第一个数是 30，第二个数是 10，第三个数是 8.6。 【答案】第一个；第二个；第三个 巩固练习 1. 甲乙丙三个数的和是 72.9，甲数是乙数的 3 倍，丙数是乙数的 2 倍。甲乙丙三个数各是多少？ 【分析】乙数为 1 倍量，总份数份，对应总和 72.9。 【详解】 总份数： 乙数： 甲数： 丙数： 答：甲数 36.45，乙数 12.15，丙数 24.3。 【答案】甲；乙；丙 2. 甲比乙多 9.6，丙比甲多 14.4，丙数是乙数的 4 倍。甲乙丙三个数各是多少？ 【分析】丙比乙多，对应倍，先求乙数。 【详解】 丙比乙多： 倍数差： 乙数： 甲数： 丙数： 答：甲数 17.6，乙数 8，丙数 32。 【答案】甲；乙；丙 3. 甲乙两数和是 45.8，乙丙两数和是 54.2，甲丙两数和是 52。甲乙丙三个数各是多少？ 【分析】先求三数总和，再分别减两两和。 【详解】 三数总和： 丙数： 甲数： 乙数： 答：甲数 21.8，乙数 24，丙数 30.2。 【答案】甲；乙；丙 4. 甲数是乙数的 2 倍少 3.5，甲乙两数的和是 32.5。甲乙两数各是多少？ 【分析】总和加上 3.5，就对应倍的乙数。 【详解】 总和补 3.5： 乙数： 甲数： 答：甲数 20.5，乙数 12。 【答案】甲；乙 5. 甲的存款是乙的 3 倍，甲取出 28.5 元，乙存入 11.5 元后，两人存款相等。原来两人各存款多少元？ 【分析】原来甲比乙多元，对应倍。 【详解】 存款差：（元） 倍数差： 乙原来：（元） 甲原来：（元） 答：原来甲存款 60 元，乙存款 20 元。 【答案】甲元；乙元 6. 三个数的和是 44.8，甲数是乙数的 2 倍，丙数比甲数多 2.8。三个数各是多少？ 【分析】以乙为 1 倍量，甲 2 倍，丙 2 倍多 2.8。总和减 2.8 对应倍。 【详解】 总和减 2.8： 总份数： 乙数： 甲数： 丙数： 答：甲数 16.8，乙数 8.4，丙数 19.6。 【答案】甲；乙；丙 7. 甲乙两数的和是 40.7，甲数的小数点向右移动一位就等于乙数。甲乙两数各是多少？ 【分析】乙是甲的 10 倍，和倍问题，和对应倍。 【详解】 乙数是甲数的 10 倍 甲数： 乙数： 答：甲数 3.7，乙数 37。 【答案】甲；乙 8. 甲乙两数的差是 29.7，甲数的小数点向左移动一位就等于乙数。甲乙两数各是多少？ 【分析】甲是乙的 10 倍，差倍问题，差对应倍。 【详解】 甲数是乙数的 10 倍 乙数： 甲数： 答：甲数 33，乙数 3.3。 【答案】甲；乙 9. 爸爸的年龄是小明的 3 倍，妈妈比爸爸小 2 岁，三人年龄和是 73 岁。三人各多少岁？ 【分析】以小明年龄为 1 倍量，爸爸 3 倍，妈妈 3 倍少 2 岁。总和加 2 对应倍。 【详解】 总和补 2 岁：（岁） 总份数： 小明：（岁） 爸爸：（岁） 妈妈：（岁） 答：小明约 10.71 岁，爸爸约 32.13 岁，妈妈约 30.13 岁。 【答案】小明岁；爸爸岁；妈妈岁 10. 买 3 支钢笔和 2 本笔记本共付 52.5 元，钢笔单价是笔记本的 3 倍。钢笔和笔记本的单价各是多少元？ 【分析】3 支钢笔相当于本笔记本，总钱数对应本笔记本。 【详解】 3 支钢笔相当于笔记本：（本） 总本数：（本） 笔记本单价：（元） 钢笔单价：（元） 答：钢笔单价约 14.32 元，笔记本单价约 4.77 元。 【答案】钢笔元；笔记本元 11. 甲、乙、丙三个数，甲是乙的 2 倍，丙是甲的 2 倍，三数和是 140。三个数各是多少？ 【分析】以乙为 1 倍量，甲 2 倍，丙 4 倍，总份数。 【详解】 总份数： 乙数： 甲数： 丙数： 答：甲数 40，乙数 20，丙数 80。 【答案】甲；乙；丙 12. 三条公路，第一条是第二条的 1.5 倍，第三条比第一条多 2.4 千米，第三条是第二条的 2 倍。三条公路各长多少千米？ 【分析】以第二条为 1 倍量，第三条比第一条多倍，对应 2.4 千米。 【详解】 倍数差： 第二条长：（千米） 第一条长：（千米） 第三条长：（千米） 答：第一条 7.2 千米，第二条 4.8 千米，第三条 9.6 千米。 【答案】第一条千米；第二条千米；第三条千米 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题） 甲乙丙三数的和是 150，甲数是乙数的 2 倍，丙数是乙数的 3 倍。乙数是多少？ 【分析】乙数为 1 倍量，总份数 6 份，对应 150。 【详解】 总份数： 乙数： 答：乙数是 25。 【答案】 2.（希望杯六年级试题） 甲比乙多 15.5，丙比乙多 45.5，丙数是甲数的 2 倍。乙数是多少？ 【分析】丙比甲多，对应倍，即甲是 30。 【详解】 丙比甲多： 甲数： 乙数： 答：乙数是 14.5。 【答案】 3.（小升初衔接题） 甲乙两数和是 56.4，乙丙两数和是 62.8，甲丙两数和是 66.8。甲数是多少？ 【分析】先求三数总和，再减乙丙和得甲数。 【详解】 三数总和： 甲数： 答：甲数是 30.2。 【答案】 4.（华杯赛初赛） 甲数是乙数的 3 倍多 2.5，甲乙两数的和是 42.5。甲数是多少？ 【分析】总和减 2.5 对应 4 倍乙数。 【详解】 乙数： 甲数： 答：甲数是 32.5。 【答案】 5.（苏教版培优题） 三个班共植树 120.5 棵，一班植树棵数是二班的 1.2 倍，三班比二班多植 16.5 棵。三个班各植树多少棵？ 【分析】以二班为 1 倍量，总和减 16.5 对应倍。 【详解】 总和减 16.5：（棵） 总份数： 二班：（棵） 一班：（棵） 三班：（棵） 答：一班 39 棵，二班 32.5 棵，三班 49 棵。 【答案】一班棵；二班棵；三班棵 6.（重点中学分班考） 甲的存款是乙的 2.5 倍，甲给乙 60 元后两人存款相等。原来甲有多少元？ 【分析】甲比乙多元，对应倍。 【详解】 存款差：（元） 乙原来：（元） 甲原来：（元） 答：原来甲有 200 元。 【答案】元 7.（六年级期末真题） 甲乙两数的和是 31.9，甲数的小数点向右移动一位就等于乙数。甲数是多少？ 【分析】乙是甲的 10 倍，和对应 11 倍。 【详解】 甲数： 答：甲数是 2.9。 【答案】 8.（走美杯真题） 甲乙两数的差是 42.3，乙数的小数点向右移动一位就等于甲数。乙数是多少？ 【分析】甲是乙的 10 倍，差对应 9 倍。 【详解】 乙数： 答：乙数是 4.7。 【答案】 9.（小升初真题） 苹果、梨、香蕉共重 62.5 千克，苹果重量是梨的 2 倍，香蕉比梨多 8.5 千克。三种水果各重多少千克？ 【分析】以梨为 1 倍量，总和减 8.5 对应倍。 【详解】 总和减 8.5：（千克） 总份数： 梨重：（千克） 苹果重：（千克） 香蕉重：（千克） 答：苹果 27 千克，梨 13.5 千克，香蕉 22 千克。 【答案】苹果千克；梨千克；香蕉千克 10.（希望杯模拟题） 语文、数学平均分是 93 分，数学、英语平均分是 95 分，语文、英语平均分是 91 分。数学得多少分？ 【分析】先算三科总分，减语文英语总分得数学分。 【详解】 语 + 数： 数 + 英： 语 + 英： 三科总分： 数学：（分） 答：数学得 97 分。 【答案】分 11.（华杯赛模拟题） 甲的年龄是乙的 4 倍，10 年后甲比乙大 24 岁。现在甲乙各多少岁？ 【分析】年龄差不变，差 24 岁对应倍。 【详解】 年龄差：24 岁 乙现在：（岁） 甲现在：（岁） 答：现在甲 32 岁，乙 8 岁。 【答案】甲岁；乙岁 12.（思维训练题） 四个数，甲乙和是 38.5，乙丙和是 42.3，丙丁和是 45.2。甲丁两数的和是多少？ 【分析】甲乙 + 丙丁 = 四个数总和，减去乙丙就是甲丁。 【详解】 四个数总和： 甲丁和： 答：甲丁两数的和是 41.4。 【答案】 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $