第15讲 运算规律整合与巧算综合 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第15讲运算规律整合与巧算综合专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 才知识讲解 1.核心运算律与运算性质（全类型通用) 所有整数运算律完全适用于小数和分数，是巧算的核心依据。 (1)加法运算律 交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 作用：通过带符号搬家，将能凑成整数、整十、整百的数优先结合计算。 (2)乘法运算律 交换律：a×b=b×a 结合律：(a×b)xc=a(b×c) 分配律：(a±b)×c=a×c±b×c 逆用（提取公因数）：a×c±b×c=(a±b)×c 作用：乘法凑整、提取公共因数简化加减，是最高频的巧算方法。 (3)减法运算性质 a-b-c=a-(b+c)(连续减，等于减和) 第1页共12页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a-(b-c)=a-b+c(减差，去括号变号) 作用：将减数凑整，简化连减运算。 （4)除法运算性质 a÷bc=a(b×c)(连续除，等于除积) a(b÷c)=a÷b×c(除商，去括号变号) 商不变性质：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，即 (a×m)(b×m)=a÷b° 作用：将除数转化为整数，或通过分组约分简化连除运算。 2.六大综合巧算方法 (1)凑整法 通过带符号搬家、结合运算，把能凑成整数、整十、整百的数优先计算。 常见凑整组合：25×4=100、125×8=1000、0.25×4=1、0.125×8=1、同分母分数凑整。 (2)提取公因数法 逆用乘法分配律，分为两类： 直接提取：算式中各乘法项含有完全相同的因数： 构造提取：通过小数分数互化、扩倍、拆分等方式，构造出公共因数，再提取计算。 (3)拆分凑整法 第2页共12页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 把接近整数的数拆成“整数士分数/小数”，再用乘法分配律计算，避免复杂硬算。 常见形式：99=100-1、101=100+1、98=10- 9 9 (4)分组抵消法 算式中数字、符号呈周期性规律时，按组计算，每组结果相同或互相抵消，大幅减少计算 量。 常见场景：加减交替、乘除交替、有规律的数列运算。 (5)裂项相消法 将一个分数拆成两个分数的差，连加后中间项互相抵消，只剩首尾计算。 基础公式： -1_1 n(n+1)nn+1 拓展公式：1一=1×11 n(n+k)kn n+k (6)商不变巧算 除数是多个数的和/差时，被除数和除数同时提取公因数，通过约分简化计算。 3.解题通用步骤 ①观察：分析数字特点、运算符号、算式结构： ②定位：判断适用的巧算方法： ③变形：统一形式（小数化分数、带分数拆分）、构造公因数、分组拆分： ④计算：运用运算律简化运算； 第3页共12页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⑤验算：代入原式验证结果。 4.易错警示 带符号搬家：移动数字时必须带着前面的运算符号一起移动： 去括号：括号前是减号、除号时，去括号后括号内符号要变号： 提取公因数：公共因数要找全，剩余部分带着符号运算，不漏项、不错符号： 拆分法：拆分后符号不能错，多减的要加回，多加的要减掉； 裂项：注意分子与分母差的关系，不要漏乘裂项系数。 吼例题讲图 【典型例题1】凑整法（加减混合) 计算：3.875+2}+1.125+33 4 4 【跟踪训练1】 计算：12.6-3.25-6.75+7.4 【典型例题2】提取公因数（构造型） 计算：4.8×3.7+2.4×12.6 第4页共12页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【跟踪训练2】 计算：子×524075×48 【典型例题3】拆分凑整法 计算：99×47 98 【跟踪训练3】 计算：102×25 101 【典型例题4】乘除分组约分 第5页共12页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 计算：(1.2×3.5×0.48)(2.4×0.7×0.6) 【跟踪训练4】 计算：(2.5×1.8×4.2)(0.5×0.9×1.4) 【典型例题5】裂项相消法 计算：1。+1+1 +.1 1×22×33×4…9×10 【跟踪训练5】 计算：1。 1 2×33×4 19×20 /固绣习 第6页共12页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.计算：5.6+33+4,4+64 2.计算：18.75-3.42-6.58 3.计算：号x36+号34 7 4.计算：3.2×6.8+1.6×6.4 5.计算：97×23 6 6.计算：(1.5×2.4×3.2)(0.5×0.8×1.6) 第7页共12页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.计算： 2+1-1 ×24 346 8.计算：20-19+18-17+..+4-3+2-1 9计算：网2+…品 19×20 10.计算：0.65×7.4-0.65×6.4+0.65 山.计第：12g8 第8页共12页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.计算：1.25×3.2×2.5 真题训练 1.(苏教版六年级期末真题) 计算：4,75+3号+5,2516号 63 2.（希望杯六年级试题) 计算：12.7-3.6-5.4 3.（小升初衔接题) 计算：2.5×(4+0.4) 第9页共12页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(华杯赛初赛) 计算：3.6×5.4+7.2×2.3 5.(苏教版培优题) 计算：99x23 100 6.（重点中学分班考) 计算：(4.8×2.5×3.3)(1.2×5×1.1)） 7.(走美杯真题) 计第：行立如如 第10页共12页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.（六年级期末真题) 计算：5-3+1 ×24 684 9.（希望杯模拟题) 计算：10-9.9+9.8-9.7+..+0.2-0.1 10.（小升初真题) 计算：1.25×88 11.（华杯赛模拟题) 计算：4.2×7.8+0.42×22 第11页共12页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.（思维训练题) 计算：。++1+1+1 1×33×55×77×99×11 第12页共12页丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第15讲运算规律整合与巧算综合专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 才知识讲解 1.核心运算律与运算性质（全类型通用) 所有整数运算律完全适用于小数和分数，是巧算的核心依据。 (1)加法运算律 交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 作用：通过带符号搬家，将能凑成整数、整十、整百的数优先结合计算。 (2)乘法运算律 交换律：a×b=b×a 结合律：(a×b)xc=a(b×c) 分配律：(a±b)×c=a×c±b×c 逆用（提取公因数）：a×c±b×c=(a±b)×c 作用：乘法凑整、提取公共因数简化加减，是最高频的巧算方法。 (3)减法运算性质 a-b-c=a-(b+c)(连续减，等于减和) 第1页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a-(b-c)=a-b+c(减差，去括号变号) 作用：将减数凑整，简化连减运算。 （4)除法运算性质 a÷bc=a(b×c)(连续除，等于除积) a(b÷c)=a÷b×c(除商，去括号变号) 商不变性质：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，即 (a×m)(b×m)=a÷b° 作用：将除数转化为整数，或通过分组约分简化连除运算。 2.六大综合巧算方法 (1)凑整法 通过带符号搬家、结合运算，把能凑成整数、整十、整百的数优先计算。 常见凑整组合：25×4=100、125×8=1000、0.25×4=1、0.125×8=1、同分母分数凑整。 (2)提取公因数法 逆用乘法分配律，分为两类： 直接提取：算式中各乘法项含有完全相同的因数： 构造提取：通过小数分数互化、扩倍、拆分等方式，构造出公共因数，再提取计算。 (3)拆分凑整法 第2页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 把接近整数的数拆成“整数士分数/小数”，再用乘法分配律计算，避免复杂硬算。 常见形式：99=100-1、101=100+1、98=10- 9 9 (4)分组抵消法 算式中数字、符号呈周期性规律时，按组计算，每组结果相同或互相抵消，大幅减少计算 量。 常见场景：加减交替、乘除交替、有规律的数列运算。 (5)裂项相消法 将一个分数拆成两个分数的差，连加后中间项互相抵消，只剩首尾计算。 基础公式： -1_1 n(n+1)nn+1 拓展公式：1一=1×11 n(n+k)kn n+k (6)商不变巧算 除数是多个数的和/差时，被除数和除数同时提取公因数，通过约分简化计算。 3.解题通用步骤 ①观察：分析数字特点、运算符号、算式结构： ②定位：判断适用的巧算方法： ③变形：统一形式（小数化分数、带分数拆分）、构造公因数、分组拆分： ④计算：运用运算律简化运算； 第3页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⑤验算：代入原式验证结果。 4.易错警示 带符号搬家：移动数字时必须带着前面的运算符号一起移动： 去括号：括号前是减号、除号时，去括号后括号内符号要变号： 提取公因数：公共因数要找全，剩余部分带着符号运算，不漏项、不错符号； 拆分法：拆分后符号不能错，多减的要加回，多加的要减掉； 裂项：注意分子与分母差的关系，不要漏乘裂项系数。 吼例题讲图 【典型例题1】凑整法（加减混合） 计算：3.875+2+1.125+33 4 【分析】算式中既有小数又有带分数，观察发现3.875和1.125可以凑成整数5,2}和33可以 4 4 凑成整数6。利用加法交换律和结合律，带符号搬家后分组凑整。 【详解】 3.875+2+1.125+33 =3.875+1.125)+22+33 4 =5+6 =11 【答案】11 【跟踪训练1】 第4页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 计算：12.6-3.25-6.75+7.4 【分析】12.6和7.4凑整，3.25和6.75凑整，利用加法交换律和减法性质分组计算。 【详解】 12.6-3.25-6.75+7.4 =(12.6+7.4)-(3.25+6.75) =20-10 =10 【答案】10 【典型例题2】提取公因数（构造型） 计算：4.8×3.7+2.4×12.6 【分析】两个乘法项没有直接的公因数，但4.8是2.4的2倍。利用积不变规律，把2.4×12.6转 化为4.8×6.3（一个因数乘2，另一个因数除以2），构造出公因数4.8，再逆用分配律计算。 【详解】 4.8×3.7+2.4×12.6 =4.8×3.7+(2.4×2)×(12.6÷2) =4.8×3.7+4.8×6.3 =4.8×(3.7+6.3) =4.8×10 =48 【答案】48 【跟踪训练2】 计算： 3x5.2+0.75×4.8 【分析】先把小数0.75化成分数子，得到公共因数， 再提取计算。 第5页共19页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】 3×5.2+0.75×4.8 3x5.2+3x4.8 4 3×5.2+4.8) 3x10 4 =7.5 【答案】7.5 【典型例题3】拆分凑整法 计算：99×47 98 【分析】整数99接近分母98， 把9诉成961，再利用乘法分配律分别手品· 98与分母约分后 得到整数，大幅简化计算。 【详解】 99× 47 98 =(98+1)×4 98 =98 47+1× 9 98 474 98 4747 98 【答案】4747 8 【跟踪训练3】 第6页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 计算：102×25 01 【分析】把102拆成101+1，分配律计算。 【详解】 102×25 101 =(101+1)× 25 101 =101x25+1×25 101 01 =25+ 25 101 =25 25 101 【答案】2525 01 【典型例题4】乘除分组约分 计算：(1.2×3.5×0.48)(2.4×0.7×0.6) 【分析】乘除混合运算，利用除法性质转化为连乘形式，将被除数和除数中对应位置的数分 组相除，通过约分简化计算，避免硬算乘积。 【详解】 (1.2×3.5×0.48)(2.4×0.7×0.6) =(1.2÷0.6)×(3.5÷0.7)×(0.48÷2.4) =2×5×0.2 2 【答案】2 【跟踪训练4】 第7页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 计算：(2.5×1.8×4.2)(0.5×0.9×1.4) 【分析】分组对应相除，每组结果为整数，再相乘。 【详解】 (2.5×1.8×4.2)(0.5×0.9×1.4) =(2.5÷0.5)×(1.8÷0.9)×(4.2÷1.4) =5×2×3 =30 【答案】30 【典型例题5】裂项相消法 计算： 1+1 1 1×22×33×4 +.+9x10 【分析】利用裂项公式 _11 将每个分数拆成两个分数的差，展开后中间项互 (n+1)nn+1 相抵消，只剩首项和末项，直接计算即可。 【详解】 1 1+ 1 2+2x3+34++号 9×10 910 =1- 1 10 9 10 【答案】9 0 【跟踪训练5】 计算： 1 1 1 2×33×4 19×20 第8页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】裂项展开，中间抵消， 剩1 220 【详解】 *1 1 1 +.+ 2×33×4 19×20 - 11 220 9 20 【答案】9 0 巩练习 1.计算：5.6+3号+44+6月 【分析】小数凑整、分数凑整，分组结合。 【详解】 56+3 446号 -56443号+6号 =10+10 =20 【答案】20 2.计算：18.75-3.42-6.58 【分析】减法性质，减数凑整。 【详解】 第9页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.75-3.42-6.58 =18.75-(3.42+6.58) =18.75-10 =8.75 【答案】8.75 3.计算： 身36+号34 7 【分析】直接提取公因数 【详解】 x3.6+5x3.4 1 7 =5×3.6+3.4) =5 【答案】5 4.计算：3.2×6.8+1.6×6.4 【分析】构造公因数3.2,1.6×6.4=3.2×3.2。 【详解】 3.2×6.8+1.6×6.4 =3.2×6.8+3.2×3.2 =3.2×(6.8+3.2) =3.2×10 =32 【答案】32 5.计算：97×23 96 第10页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】拆分97为96+1，分配律计算。 【详解】 97x23 96 =(96+1)x23 6 23 =96× *123 96 96 23 =23 23 96 【答案】2323 6 6.计算：(1.5×2.4×3.2)(0.5×0.8×1.6)） 【分析】分组对应相除约分。 【详解】 (1.5×2.4×3.2)(0.5×0.8×1.6) =(1.50.5)×(2.4÷0.8)×(3.2÷1.6) =3×3×2 =18 【答案】18 7.计算： 【分析】乘法分配律正用，24与分母约分。 【详解】 第11页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2+x24 346 324+×24中 1×24 4 6 =16+6-4 =18 【答案】18 8.计算：20-19+18-17+..+4-3+2-1 【分析】两个一组，每组结果为1，共10组。 【详解】 20-19+18-17+..+4-3+2-1 =(20-19)+(18-17)+..+(2-1) =1×10 =10 【答案】10 9.计算： 1×22×3 19×20 【分析】裂项相消，剩首项1和末项 20 【详解】 1 1一+..+ 1 1×22×3 19×20 =19 20 【答案】碧 10.计算：0.65×7.4-0.65×6.4+0.65 第12页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】提取公因数0.65，最后一项看成0.65×1。 【详解】 0.65×7.4-0.65×6.4+0.65 =0.65×(7.4-6.4+1) =0.65×2 =1.3 【答案】1.3 1.计算：123×8 8 【分析】带分数拆成整数+分数，分配律计算。 【详解】 122x8 8 12*3 ×8 =12x8+3x8 8 =96+3 =99 【答案】99 12.计算：1.25×3.2×2.5 【分析】拆分3.2为8×0.4，乘法结合律凑整。 【详解】 1.25×3.2×2.5 =1.25×(8×0.4)×2.5 =(1.25×8)×(0.4×2.5) =10×1 =10 第13页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】10 真题训练 1.(苏教版六年级期末真题) 算：4.75+35,25 【分析】小数凑整、分数凑整，分组结合。 【详解】 .3 4.75+32+5.25+6 5 5 =4.75+5.25)+3号 6 =10+10 =20 【答案】20 2.（希望杯六年级试题) 计算：12.7-3.6-5.4 【分析】减法性质，减数凑整。 【详解】 12.7-3.6-5.4 =12.7-(3.6+5.4) =12.7-9 =3.7 【答案】3.7 3.(小升初衔接题) 第14页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 计算：2.5×(4+0.4) 【分析】乘法分配律正用，凑整计算。 【详解】 2.5×(4+0.4) =2.5×4+2.5×0.4 =10+1 =11 【答案】11 4.(华杯赛初赛) 计算：3.6×5.4+7.2×2.3 【分析】构造公因数3.6,7.2×2.3=3.6×4.6。 【详解】 3.6×5.4+7.2×2.3 =3.6×5.4+3.6×4.6 =3.6×(5.4+4.6) =3.6×10 =36 【答案】36 5.(苏教版培优题) 计算：99×23 00 【分析】拆分99为100-1，分配律计算。 【详解】 第15页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 99x23 100 =(100-1)x23 00 -100x23 -1×23 100 100 =23- 23 100 2227 100 【答案】227 100 6.（(重点中学分班考) 计算：(4.8×2.5×3.3)(1.2×5×1.1) 【分析】分组对应相除约分。 【详解】 (4.8×2.5×3.3)(1.2×5×1.1) =(4.8÷1.2)×(2.5÷5)×(3.3÷1.1) =4×0.5×3 =6 【答案】6 7.（走美杯真题) 创第号片品00 【分析】分母可拆为相邻两数乘积，裂项相消。 【详解】 第16页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1+1+1+1+1 26122030 11.1 ,1 1 1×22×33×44x55x6 6 6 【务家】 8.(六年级期末真题) 计算：53+ ×24 6841 【分析】乘法分配律正用。 【详解】 53+1x24 684 5×24 x24+x24 6 8 =20-9+6 =17 【答案】17 9.(希望杯模拟题) 计算：10-9.9+9.8-9.7+.…+0.2-0.1 【分析】两个一组，每组0.1，共50组。 【详解】 第17页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10-9.9+9.8-9.7+..+0.2-0.1 =(10-9.9)+(9.8-9.7)+..+(0.2-0.1) =0.1×50 =5 【答案】5 10.（小升初真题) 计算：1.25×88 【分析】拆分88为8×11，结合律凑整：或拆为80+8分配律。 【详解】 1.25×88 =1.25×(8×11) =(1.25×8)×11 =10×11 =110 【答案】110 11.(华杯赛模拟题) 计算：4.2×7.8+0.42×22 【分析】构造公因数4.2,0.42×22=4.2×2.2。 【详解】 4.2×7.8+0.42×22 =4.2×7.8+4.2×2.2 =4.2×(7.8+2.2) =4.2×10 =42 【答案】42 第18页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.（思维训练题) 计算：。++1+是 1×33×55×77×99×11 【分析】拓展裂项，分母差为2，裂项系数为 【详解】 1 +1 1×33×59×11 911 _1×10 =211 【答案】 11 第19页共19页