第14讲 条件隐藏型、多余条件辨析奥数题 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第14讲 条件隐藏型、多余条件辨析奥数题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 条件隐藏型问题 题目中的关键数量关系没有直接给出，而是隐含在文字描述中，需要通过分析、推导才能得到解题必需的核心条件。 （1）隐藏差量 典型特征：“甲给乙 a 后，两人数量相等” 隐藏结论：原来甲比乙多（甲减少 a、乙增加 a 后相等，总差值为移动量的 2 倍） 拓展：“甲给乙 a 后，甲还比乙多 b” → 原来差 = （2）隐藏和量 典型特征：给出平均分、分率占比、两两之和等 隐藏结论： 平均分 × 科目数 = 总分数 “已看页数是剩下的” → 已看占全书，剩下占全书 三个数的两两和相加 = 2 倍的三数总和 （3）隐藏不变量 典型特征：“照这样计算”“同一段路程”“一批货物”“给来给去” 隐藏结论： 归一问题：单一量（速度、工效、单价）固定不变 归总问题：总量（路程、工作量、总价）固定不变 分配问题：总数量不因转移而变化 （4）隐藏分率 典型特征：“第一次用去总数的，第二次用去余下的” 隐藏结论：第二次的单位 “1” 是剩余量，需转化为占初始总量的分率，即第二次用去总量的。 2. 多余条件辨析问题 题目中给出一个或多个与解题无关的已知条件，起到干扰作用，考察学生能否围绕问题精准匹配数量关系，排除无效信息。 （1）常见多余条件类型 背景干扰类：与核心数量关系无关的场景描述性数据 数据冗余类：给出多组同类数据，只有一组对应所求问题 伪关联类：看似与题目相关，实际解题过程完全用不到的条件 （2）辨析方法 ① 先定问题：明确要求什么，列出对应的核心数量公式； ② 匹配条件：将已知条件对应公式中的量，对号入座； ③ 筛选排除：无法对应公式、不影响结果的条件即为多余条件； ④ 验证：去掉该条件后仍能正常解题，确认是多余条件。 3. 解题通用步骤 ① 审题圈画：标出所有已知条件和最终问题； ② 关系分析：围绕问题推导所需核心量，识别隐藏条件，排除多余条件； ③ 条件转化：将隐藏条件转化为明确的数量关系； ④ 列式计算； ⑤ 回代检验：确认所用条件合理，多余条件不影响结果。 4. 易错警示 “给来给去相等” 题型，易误将差值等同于移动量，忘记乘 2； 分率问题中，不同单位 “1” 的分率直接加减，未先统一基准； 被多余条件误导，强行代入所有数据计算，导致逻辑错误； 忽略 “照这样计算” 隐含的单一量不变，找不到解题突破口。 例题讲解 【典型例题 1】隐藏差量（和差问题） 甲、乙两桶油共重 56 千克，若从甲桶倒 6 千克油到乙桶，则两桶油重量相等。原来甲、乙两桶各重多少千克？ 【分析】“倒 6 千克后相等” 是隐藏条件，说明原来甲桶比乙桶多千克。已知两桶总重量与重量差，属于和差问题，用和差公式即可求解。 【详解】 原来甲比乙多：（千克） 甲桶重量：（千克） 乙桶重量：（千克） 答：原来甲桶重 34 千克，乙桶重 22 千克。 【答案】甲桶千克；乙桶千克 【跟踪训练 1】 小明和小红共有零花钱 120 元，小明给小红 15.6 元后，两人零花钱相等。原来两人各有多少元？ 【分析】隐藏差量：小明比小红多元，按和差问题计算。 【详解】 钱数差：（元） 小明原有：（元） 小红原有：（元） 答：原来小明有 75.6 元，小红有 44.4 元。 【答案】小明元；小红元 【典型例题 2】多余条件辨析 修一条全长 1200 米的公路，甲队每天修 40 米，乙队每天修 50 米。甲队单独修这条公路需要多少天？ 【分析】问题求甲队单独修的时间，核心关系是 “工作时间 = 工作总量 ÷ 甲队工作效率”，只需要公路总长和甲队效率，乙队每天修 50 米与问题无关，是多余条件。 【详解】 多余条件：乙队每天修 50 米。 甲队单独修时间：（天） 答：甲队单独修需要 30 天，乙队每天修 50 米是多余条件。 【答案】天；多余条件：乙队每天修 50 米 【跟踪训练 2】 商店运来 15 箱苹果和 12 箱梨，每箱苹果重 20 千克，每箱梨重 18 千克。运来的苹果一共重多少千克？ 【分析】求苹果总重量，只需要苹果的箱数和单箱重量，梨的相关信息是多余条件。 【详解】 多余条件：12 箱梨、每箱梨重 18 千克。 苹果总重量：（千克） 答：运来的苹果一共重 300 千克。 【答案】千克；多余条件：12 箱梨、每箱梨重 18 千克 【典型例题 3】隐藏不变量（归总问题） 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 60 千米，4 小时到达。如果每小时行 80 千米，可以提前几小时到达？ 【分析】“从甲地开往乙地” 隐藏了总路程不变，属于归总问题。先根据原速度和时间求出总路程，再计算新速度下的行驶时间，最后求时间差。 【详解】 甲乙两地总路程：（千米） 新速度下行驶时间：（小时） 提前时间：（小时） 答：可以提前 1 小时到达。 【答案】小时 【跟踪训练 3】 加工一批零件，师傅每小时加工 24 个，10 小时可以完成。徒弟每小时加工 20 个，徒弟单独加工需要多少小时？ 【分析】隐藏条件：零件总数量不变，先归总求总数，再归一求徒弟的时间。 【详解】 零件总数：（个） 徒弟所需时间：（小时） 答：徒弟单独加工需要 12 小时。 【答案】小时 【典型例题 4】隐藏分率（量率对应） 一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩 60 页没看。这本书共有多少页？ 【分析】“第二天看了余下的” 是隐藏分率，单位 “1” 是第一天余下的页数，需先转化为占全书的分率。余下的是全书的，第二天看了全书的，剩余 60 页对应全书的，量率对应求总页数。 【详解】 第二天看全书的分率： 剩余页数对应分率： 全书总页数：（页） 答：这本书共有 240 页。 【答案】页 【跟踪训练 4】 一桶油，第一次用去总数的，第二次用去余下的，还剩 30 千克。这桶油原来重多少千克？ 【分析】先将第二次的分率转化为占总数的分率，再通过剩余量和对应分率求总重量。 【详解】 第二次用总数的分率： 剩余分率： 总重量：（千克） 答：这桶油原来重 100 千克。 【答案】千克 巩固练习 1. 甲、乙两人共有存款 2600 元，甲取出 120 元，乙存入 180 元后，两人存款相等。原来两人各有存款多少元？ 【分析】隐藏差量：原来甲比乙多元，和差问题求解。 【详解】 原来存款差：（元） 甲原有：（元） 乙原有：（元） 答：原来甲有 1450 元，乙有 1150 元。 【答案】甲元；乙元 2. 超市运来 8 箱饮料和 10 箱牛奶，每箱饮料有 24 瓶，每箱牛奶有 16 瓶。饮料一共有多少瓶？ 【分析】求饮料总瓶数，牛奶的箱数和单箱瓶数均为多余条件。 【详解】 多余条件：10 箱牛奶、每箱牛奶 16 瓶。 饮料总瓶数：（瓶） 答：饮料一共有 192 瓶。 【答案】瓶 3. 一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，还剩 5 米。这根绳子全长多少米？ 【分析】隐藏分率，将第二次剪去的长度转化为占全长的分率。 【详解】 第二次剪全长的： 剩余分率： 全长：（米） 答：这根绳子全长 30 米。 【答案】米 4. 小明语文、数学、英语三科的平均分是 92 分，语文 90 分，数学 95 分。英语得多少分？ 【分析】隐藏总分：平均分 ×3 = 三科总分，减去语文、数学得分得英语分。 【详解】 三科总分：（分） 英语得分：（分） 答：英语得 91 分。 【答案】分 5. 生产一批零件，计划每天生产 30 个，20 天完成。实际每天多生产 10 个，可以提前几天完成？ 【分析】隐藏零件总数不变，归总后求实际时间，再算提前天数。 【详解】 零件总数：（个） 实际每天生产：（个） 实际天数：（天） 提前天数：（天） 答：可以提前 5 天完成。 【答案】天 6. 水果店运来苹果、梨、香蕉三种水果，苹果和梨共重 80 千克，梨和香蕉共重 75 千克，苹果和香蕉共重 65 千克。三种水果各重多少千克？ 【分析】隐藏三数总和：三组两两和相加等于 2 倍的三数总重。 【详解】 三种水果总重：（千克） 香蕉：（千克） 苹果：（千克） 梨：（千克） 答：苹果 35 千克，梨 45 千克，香蕉 30 千克。 【答案】苹果千克；梨千克；香蕉千克 7. 两筐苹果共重 90 千克，如果从第一筐取出 6.5 千克放入第二筐，第一筐还比第二筐多 3 千克。原来第一筐比第二筐多多少千克？ 【分析】隐藏差量：移动后仍有差值，原来差 = 2× 移动量 + 剩余差值。 【详解】 原来重量差：（千克） 答：原来第一筐比第二筐多 16 千克。 【答案】千克 8. 妈妈带了 100 元去超市，买了 2 千克苹果，每千克 8.5 元；买了 3 千克橘子，每千克 6.2 元。买苹果一共花了多少钱？ 【分析】求苹果总价，只需要苹果的数量和单价，橘子的信息、总钱数均为多余条件。 【详解】 多余条件：3 千克橘子、每千克 6.2 元、带了 100 元。 苹果总价：（元） 答：买苹果一共花了 17 元。 【答案】元 9. 修一条路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第三天修了余下的，还剩 110 米没修。这条路全长多少米？ 【分析】第三天的分率以余下为单位 “1”，需转化为占全长的分率。 【详解】 第三天修全长的： 剩余分率： 全长：（米） 答：这条路全长 300 米。 【答案】米 10. 甲、乙两车从相距 360 千米的两地相向而行，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 40 千米。甲车出发 1 小时后乙车才出发，乙车出发后几小时相遇？ 【分析】隐藏：甲先走 1 小时的路程，剩余路程两车合走。 【详解】 甲先行路程：（千米） 剩余路程：（千米） 速度和：（千米 / 时） 相遇时间：（小时） 答：乙车出发后 3 小时相遇。 【答案】小时 11. 有两堆沙子，第一堆重 50 吨，第二堆重 42 吨。从两堆运走同样多的沙子后，第一堆剩下的重量是第二堆的 2 倍。运走了多少吨沙子？ 【分析】隐藏：运走同样多，重量差不变，按差倍问题求解。 【详解】 重量差：（吨） 第二堆剩下：（吨） 运走重量：（吨） 答：运走了 34 吨沙子。 【答案】吨 12. 六年级一班有男生 25 人，女生 20 人，全班平均身高 152 厘米。其中男生平均身高 155 厘米，女生平均身高多少厘米？ 【分析】隐藏全班总身高，通过总身高减去男生总身高，再除以女生人数。 【详解】 全班总身高：（厘米） 男生总身高：（厘米） 女生总身高：（厘米） 女生平均身高：（厘米） 答：女生平均身高 148.25 厘米。 【答案】厘米 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题） 甲、乙两筐梨共重 72 千克，从甲筐拿 8 千克放入乙筐，两筐梨重量相等。原来甲筐有多少千克梨？ 【分析】隐藏差量千克，和差问题求大数。 【详解】 重量差：（千克） 甲筐重量：（千克） 答：原来甲筐有 44 千克梨。 【答案】千克 2.（希望杯六年级试题） 小明有 120 张邮票，小红有 80 张邮票。小明给小红多少张后，两人邮票张数相等？ 【分析】移动量 = 差值 ÷2，隐藏最终相等的数量关系。 【详解】 邮票差：（张） 给的张数：（张） 答：小明给小红 20 张后两人邮票相等。 【答案】张 3.（小升初衔接题） 修一条长 2400 米的公路，第一队每天修 80 米，第二队每天修 60 米。第一队单独修完这条路需要多少天？ 【分析】第二队的工作效率是多余条件。 【详解】 多余条件：第二队每天修 60 米。 第一队时间：（天） 答：第一队单独修需要 30 天。 【答案】天 4.（华杯赛初赛） 一桶油，第一次用去，第二次用去剩下的，还剩 30 千克。这桶油原来重多少千克？ 【分析】隐藏分率，将第二次用量转化为占总量的分率。 【详解】 第二次用总数的： 剩余分率： 总重量：（千克） 答：这桶油原来重 60 千克。 【答案】千克 5.（苏教版培优题） 语文、数学的平均分是 93 分，数学、英语的平均分是 95 分，语文、英语的平均分是 91 分。数学得多少分？ 【分析】隐藏两两总分，先求三科总分，减去语文英语总分得数学分。 【详解】 语 + 数：（分） 数 + 英：（分） 语 + 英：（分） 三科总分：（分） 数学得分：（分） 答：数学得 97 分。 【答案】分 6.（重点中学分班考） 一批货物，用载重 4.5 吨的卡车运，12 次刚好运完。用载重 6 吨的卡车运，可以少运几次？ 【分析】隐藏货物总重不变，归总后求新次数，再算差值。 【详解】 货物总重：（吨） 6 吨卡车次数：（次） 少运次数：（次） 答：可以少运 3 次。 【答案】次 7.（走美杯真题） 甲比乙多 20 元，甲花掉，乙花掉 10 元后，两人剩下的钱相等。原来甲有多少元？ 【分析】根据剩余相等建立关系，甲的等于甲减 20 再减 10。 【详解】 由题意：甲的 甲 = 甲 - 30 甲 = 30 甲原有：（元） 答：原来甲有 120 元。 【答案】元 8.（六年级期末真题） 学校买了 4 个足球和 3 个篮球，共花去 395 元。每个足球 65 元，每个篮球多少元？ 【分析】所有条件均为有效条件，先算足球总价，再求篮球单价。 【详解】 足球总价：（元） 篮球总价：（元） 篮球单价：（元） 答：每个篮球 45 元。 【答案】元 9.（希望杯模拟题） 小明看一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩 120 页。这本书共有多少页？ 【分析】隐藏分率，统一单位 “1” 后量率对应。 【详解】 第二天看全书的： 剩余分率： 总页数：（页） 答：这本书共有 200 页。 【答案】页 10.（小升初真题） 两筐苹果，甲筐 32 千克，乙筐 28 千克。卖出同样多后，甲筐剩下的是乙筐的 2 倍。卖出了多少千克？ 【分析】隐藏差不变，差倍问题求解。 【详解】 重量差：（千克） 乙筐剩下：（千克） 卖出重量：（千克） 答：卖出了 24 千克。 【答案】千克 11.（华杯赛模拟题） 工厂生产一批零件，计划每天生产 24 个，15 天完成。实际每天多生产 6 个，实际提前几天完成？ 【分析】隐藏零件总数不变，归总后求实际时间。 【详解】 零件总数：（个） 实际每天生产：（个） 实际天数：（天） 提前天数：（天） 答：实际提前 3 天完成。 【答案】天 12.（思维训练题） 有大、小两桶油，大桶油重 90 千克，小桶油重 30 千克。两桶倒出同样多的油后，大桶剩下的油是小桶的 4 倍。两桶各倒出多少千克油？ 【分析】隐藏差不变，差倍问题求解。 【详解】 重量差：（千克） 小桶剩下：（千克） 倒出重量：（千克） 答：两桶各倒出 10 千克油。 【答案】千克 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 条件隐藏型、多余条件辨析奥数题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 条件隐藏型问题 题目中的关键数量关系没有直接给出，而是隐含在文字描述中，需要通过分析、推导才能得到解题必需的核心条件。 （1）隐藏差量 典型特征：“甲给乙 a 后，两人数量相等” 隐藏结论：原来甲比乙多（甲减少 a、乙增加 a 后相等，总差值为移动量的 2 倍） 拓展：“甲给乙 a 后，甲还比乙多 b” → 原来差 = （2）隐藏和量 典型特征：给出平均分、分率占比、两两之和等 隐藏结论： 平均分 × 科目数 = 总分数 “已看页数是剩下的” → 已看占全书，剩下占全书 三个数的两两和相加 = 2 倍的三数总和 （3）隐藏不变量 典型特征：“照这样计算”“同一段路程”“一批货物”“给来给去” 隐藏结论： 归一问题：单一量（速度、工效、单价）固定不变 归总问题：总量（路程、工作量、总价）固定不变 分配问题：总数量不因转移而变化 （4）隐藏分率 典型特征：“第一次用去总数的，第二次用去余下的” 隐藏结论：第二次的单位 “1” 是剩余量，需转化为占初始总量的分率，即第二次用去总量的。 2. 多余条件辨析问题 题目中给出一个或多个与解题无关的已知条件，起到干扰作用，考察学生能否围绕问题精准匹配数量关系，排除无效信息。 （1）常见多余条件类型 背景干扰类：与核心数量关系无关的场景描述性数据 数据冗余类：给出多组同类数据，只有一组对应所求问题 伪关联类：看似与题目相关，实际解题过程完全用不到的条件 （2）辨析方法 ① 先定问题：明确要求什么，列出对应的核心数量公式； ② 匹配条件：将已知条件对应公式中的量，对号入座； ③ 筛选排除：无法对应公式、不影响结果的条件即为多余条件； ④ 验证：去掉该条件后仍能正常解题，确认是多余条件。 3. 解题通用步骤 ① 审题圈画：标出所有已知条件和最终问题； ② 关系分析：围绕问题推导所需核心量，识别隐藏条件，排除多余条件； ③ 条件转化：将隐藏条件转化为明确的数量关系； ④ 列式计算； ⑤ 回代检验：确认所用条件合理，多余条件不影响结果。 4. 易错警示 “给来给去相等” 题型，易误将差值等同于移动量，忘记乘 2； 分率问题中，不同单位 “1” 的分率直接加减，未先统一基准； 被多余条件误导，强行代入所有数据计算，导致逻辑错误； 忽略 “照这样计算” 隐含的单一量不变，找不到解题突破口。 例题讲解 【典型例题 1】隐藏差量（和差问题） 甲、乙两桶油共重 56 千克，若从甲桶倒 6 千克油到乙桶，则两桶油重量相等。原来甲、乙两桶各重多少千克？ 【跟踪训练 1】 小明和小红共有零花钱 120 元，小明给小红 15.6 元后，两人零花钱相等。原来两人各有多少元？ 【典型例题 2】多余条件辨析 修一条全长 1200 米的公路，甲队每天修 40 米，乙队每天修 50 米。甲队单独修这条公路需要多少天？ 【跟踪训练 2】 商店运来 15 箱苹果和 12 箱梨，每箱苹果重 20 千克，每箱梨重 18 千克。运来的苹果一共重多少千克？ 【典型例题 3】隐藏不变量（归总问题） 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 60 千米，4 小时到达。如果每小时行 80 千米，可以提前几小时到达？ 【跟踪训练 3】 加工一批零件，师傅每小时加工 24 个，10 小时可以完成。徒弟每小时加工 20 个，徒弟单独加工需要多少小时？ 【典型例题 4】隐藏分率（量率对应） 一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩 60 页没看。这本书共有多少页？ 【跟踪训练 4】 一桶油，第一次用去总数的，第二次用去余下的，还剩 30 千克。这桶油原来重多少千克？ 巩固练习 1. 甲、乙两人共有存款 2600 元，甲取出 120 元，乙存入 180 元后，两人存款相等。原来两人各有存款多少元？ 2. 超市运来 8 箱饮料和 10 箱牛奶，每箱饮料有 24 瓶，每箱牛奶有 16 瓶。饮料一共有多少瓶？ 3. 一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，还剩 5 米。这根绳子全长多少米？ 4. 小明语文、数学、英语三科的平均分是 92 分，语文 90 分，数学 95 分。英语得多少分？ 5. 生产一批零件，计划每天生产 30 个，20 天完成。实际每天多生产 10 个，可以提前几天完成？ 6. 水果店运来苹果、梨、香蕉三种水果，苹果和梨共重 80 千克，梨和香蕉共重 75 千克，苹果和香蕉共重 65 千克。三种水果各重多少千克？ 7. 两筐苹果共重 90 千克，如果从第一筐取出 6.5 千克放入第二筐，第一筐还比第二筐多 3 千克。原来第一筐比第二筐多多少千克？ 8. 妈妈带了 100 元去超市，买了 2 千克苹果，每千克 8.5 元；买了 3 千克橘子，每千克 6.2 元。买苹果一共花了多少钱？ 9. 修一条路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第三天修了余下的，还剩 110 米没修。这条路全长多少米？ 10. 甲、乙两车从相距 360 千米的两地相向而行，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 40 千米。甲车出发 1 小时后乙车才出发，乙车出发后几小时相遇？ 11. 有两堆沙子，第一堆重 50 吨，第二堆重 42 吨。从两堆运走同样多的沙子后，第一堆剩下的重量是第二堆的 2 倍。运走了多少吨沙子？ 12. 六年级一班有男生 25 人，女生 20 人，全班平均身高 152 厘米。其中男生平均身高 155 厘米，女生平均身高多少厘米？ 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题） 甲、乙两筐梨共重 72 千克，从甲筐拿 8 千克放入乙筐，两筐梨重量相等。原来甲筐有多少千克梨？ 2.（希望杯六年级试题） 小明有 120 张邮票，小红有 80 张邮票。小明给小红多少张后，两人邮票张数相等？ 3.（小升初衔接题） 修一条长 2400 米的公路，第一队每天修 80 米，第二队每天修 60 米。第一队单独修完这条路需要多少天？ 4.（华杯赛初赛） 一桶油，第一次用去，第二次用去剩下的，还剩 30 千克。这桶油原来重多少千克？ 5.（苏教版培优题） 语文、数学的平均分是 93 分，数学、英语的平均分是 95 分，语文、英语的平均分是 91 分。数学得多少分？ 6.（重点中学分班考） 一批货物，用载重 4.5 吨的卡车运，12 次刚好运完。用载重 6 吨的卡车运，可以少运几次？ 7.（走美杯真题） 甲比乙多 20 元，甲花掉，乙花掉 10 元后，两人剩下的钱相等。原来甲有多少元？ 8.（六年级期末真题） 学校买了 4 个足球和 3 个篮球，共花去 395 元。每个足球 65 元，每个篮球多少元？ 9.（希望杯模拟题） 小明看一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩 120 页。这本书共有多少页？ 10.（小升初真题） 两筐苹果，甲筐 32 千克，乙筐 28 千克。卖出同样多后，甲筐剩下的是乙筐的 2 倍。卖出了多少千克？ 11.（华杯赛模拟题） 工厂生产一批零件，计划每天生产 24 个，15 天完成。实际每天多生产 6 个，实际提前几天完成？ 12.（思维训练题） 有大、小两桶油，大桶油重 90 千克，小桶油重 30 千克。两桶倒出同样多的油后，大桶剩下的油是小桶的 4 倍。两桶各倒出多少千克油？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $