第11讲 逆向思维与倒推还原问题 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第11讲 逆向思维与倒推还原问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 问题定义 已知一个数量经过若干次四则运算、分配、转移等变化后，得到最终的结果，反过来求这个数量最初的状态，这类问题统称为还原问题（也叫倒推问题）。 核心思想：逆向思维，从终点往起点逐步反推。 运算原则：每一步操作都做逆运算，加变减、减变加、乘变除、除变乘。 2. 常见题型分类 （1）基础单变量还原 一个数经过几步明确的四则运算后得到结果，求原数。 解题关键：理清运算顺序，从后往前逆序计算，注意括号的添加与去除。 （2）一半型还原 每次变化都与 “一半” 相关（如用去一半、拿走一半多几 / 少几），已知最终剩余量，求总量。 核心规律： 用去一半多 a：剩余量比原量的一半少 a → 倒推：(剩余 + a) × 2 = 原量 用去一半少 a：剩余量比原量的一半多 a → 倒推：(剩余 - a) × 2 = 原量 （3）多次连续还原 经过三次及以上操作，每次操作都改变总量，从最后一次操作开始，一步步向前倒推，直到求出初始量。 解题技巧：画流程图标注每一步变化，倒推时逐一反向计算。 （4）多变量还原 两个或多个数量之间互相转移（如甲给乙、乙给丙），已知最终各数量，求最初各数量。 核心不变量：给来给去，总数量不变。 解题步骤：先根据最终状态算出各量，再从最后一次转移开始，反向倒推每一次转移前的数量。 3. 通用解题步骤 ① 梳理过程：按顺序列出每一步的变化，明确初始量→中间量→最终量的逻辑； ② 逆向倒推：从最终结果开始，逆着每一步操作，做对应逆运算； ③ 验证结果：把求出的原数代入原题，按顺序计算，看是否符合最终结果。 4. 易错警示 倒推运算顺序与原题相反：原题先加减后乘除，倒推时先算乘除后算加减，必要时添加括号。 “一半多几” 与 “一半少几” 最易混淆，记住：多退少补—— 倒推时，多了就加回来，少了就减掉。 多变量还原中，每次转移都是 “此消彼长”，倒推时要注意两个量同时反向变化。 对折问题：对折 n 次，相当于平均分成段，总长度 = 每段长度 ×。 例题讲解 【典型例题 1】基础单变量倒推 一个数加上 2.5，再乘 4，结果是 18.8。这个数原来是多少？ 【跟踪训练 1】 一个数减去 3.6，再除以 5，结果是 4.8。这个数原来是多少？ 【典型例题 2】一半型还原（多几型） 一根电线，第一次用去全长的一半多 1.5 米，第二次用去余下的一半，这时还剩 4.8 米。这根电线原来长多少米？ 【跟踪训练 2】 一筐苹果，第一天卖掉总数的一半少 2.5 千克，第二天卖掉余下的一半，这时还剩 12.5 千克。这筐苹果原来重多少千克？ 【典型例题 3】多次连续还原 仓库有一批大米，第一天运出总数的一半多 12 吨，第二天运出剩下的一半少 8 吨，第三天运进 25 吨，这时仓库有大米 50 吨。仓库原来有大米多少吨？ 【跟踪训练 3】 小明有一些零花钱，买文具花了总数的一半多 3.5 元，买零食花了剩下的一半少 1.5 元，这时还剩 12.5 元。小明原来有多少零花钱？ 【典型例题 4】多变量还原 甲、乙两桶油共重 80 千克。从甲桶倒 12.5 千克给乙桶，再从乙桶倒 8.2 千克给甲桶，这时两桶油重量相等。原来两桶油各重多少千克？ 【跟踪训练 4】 甲、乙两个书架共有图书 240 本。从甲书架拿 18 本放到乙书架，再从乙书架拿 25 本放到甲书架，这时甲书架的图书是乙书架的 2 倍。原来两个书架各有多少本图书？ 巩固练习 1．一卷电线，用去全长的一半多4米，这时还剩下32米。这捆电线全长有多少米？ 2．一个车间计划5天完成加工一批零件的任务，第一天加工了这批零件的多120个，第二天加工了剩下的少150个，第三天加工了剩下的多80个，第四天加工了剩下的少20个，第五天加工了最后的1800个，这批零件总数有多少个？ 3．有一捆电线，第一次用去它的一半少5米，第二次用去余下的一半多2米，第三次用去余下的一半多3米，最后还剩2米，电线长多少米？ 4．一根绳子第一次剪了一半多1.8米，第二次剪了剩下的一半少0.6米，第三次剪了2.3米，还剩3.2米，这根绳子原来有多长？ 5．A、B、C三人各有硬币若干枚，A将自己的硬币分给B、C，使他们的硬币各增长了一倍；之后，B将自己的硬币分给A、C，使他们的硬币各增长了一倍；最后，C将自己的硬币分给A、B，使他们的硬币各增长了一倍。这样，三人的硬币都是8枚，请问他们原来各有硬币多少枚？ 6．公共汽车从始发站出发后，到第一站下去7人，又上来10人，现在车上有30人，从始发站出发时车上有多少人？ 7．甲、乙、丙、丁四个小朋友共有彩色玻璃球200颗，甲给乙26颗，乙给丙36颗，丙给丁32颗，丁给甲4颗后四人的颗数相等。他们原来各有玻璃球多少颗？ 8．小梦特别喜欢剪纸，她有一些动物剪纸，送给了小雨12张，又收到了优优送的8张植物剪纸，她现在有54张剪纸。小梦原来有多少张剪纸？ 9．李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝八两。三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？（两是古代的质量单位，唐代十两约等于现在的40克） 10．为了提升城市的整体形象，修路队开始修老城区的一条路，第一天修了这条路的一半还多170米，第二天修了余下的路的一半。此时还剩360米没有修。这条路全长多少米？ 11．一车西瓜，第一次卖出，然后又添进去40千克，第二次卖出车中西瓜的，第三次又卖出180千克，这时车中还有西瓜60千克。原来这车西瓜重多少千克？ 12．乐乐冲了一杯黑芝麻糊，喝了后，感觉太黏稠了，就加满了白开水，喝了一半后还是觉得黏稠，又加满白开水，喝了一半。这时乐乐一共喝了多少杯黑芝麻糊？ 13．有一桶油连桶重55千克，用了一半后，称了一下，连桶共重30千克。这桶油原来有油多少千克？桶重多少千克？ 14．工程队修一条路，第一天修了总数的少25千米，第二天修了剩下的多24千米，第三天修了剩下的多33千米，第四天修了19千米正好修完，这条路共有多少千米？ 真题训练 15．两个数相乘，如果一个因数增加12，另一个因数不变，那么积增加了1644；如果一个因数不变，另一个因数增加16，那么积增加416，原来的积是多少？ 16．桌上有3盘橘子，共45个。如果从第一盘中拿出4个放入第二盘，再从第二盘中拿出7个放入第三盘，那么三个盘子中的橘子个数相等。原来每盘中各有橘子多少个？ 17．3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多。求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉？ 18．甲、乙、丙、丁四人共做了 270 个零件，如果甲多做 10 个，乙少做 10 个，丙做的个数乘 2，丁做的个数除以 2，那么四人做的个数恰好相等。求甲、乙、丙、丁实际做的个数。 19．某厂有三个车间，一车间人数占全厂人数的，二车间人数比一车间少，三车间人数比二车间人数多30%，三车间有156人，求这个厂全厂共有多少人？ 20．3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原有桃子多少只？ 21．人民机械厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的，乙车间加工余下的，丙车间再加工余下的，还剩3600个零件没有加工，这批零件一共有多少个？ 22．学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍．问：最初乐乐拿了多少棵树苗？ 23．有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克．先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶．这时，各桶油都是16千克．问：各桶原有油多少千克？ 24．有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？ 25．第一次在一盒珠子中，取走总数的又4个，第二次取出余下的又3个，第三次取出余下的又2个，第四次取出余下的又1个，这时盒里还剩1个？问盒内原有珠子多少个﹖ 26．老妇提篮卖蛋．第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个．这时，全部鸡蛋都卖完了．老妇篮中原有鸡蛋多少个？ 27．兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数．如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同．问：兄弟三人的年龄各多少岁？ 28．同学们可能知道，歌星、影星一般都不愿意公开自己的年龄．这个小故事说的就是一个记者千方百计要从一个女影星嘴里打听出她的年龄．影星不想说谎，却又不愿意把自己的年龄讲出来，于是就对记者说：“我年后岁数的倍，减去我年前岁数的倍，正好是我现在的年龄．”记者想了半天，还是没有想出来影星的年龄．同学们开动脑筋想一想，这个影星今年到底多少岁了？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 逆向思维与倒推还原问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 问题定义 已知一个数量经过若干次四则运算、分配、转移等变化后，得到最终的结果，反过来求这个数量最初的状态，这类问题统称为还原问题（也叫倒推问题）。 核心思想：逆向思维，从终点往起点逐步反推。 运算原则：每一步操作都做逆运算，加变减、减变加、乘变除、除变乘。 2. 常见题型分类 （1）基础单变量还原 一个数经过几步明确的四则运算后得到结果，求原数。 解题关键：理清运算顺序，从后往前逆序计算，注意括号的添加与去除。 （2）一半型还原 每次变化都与 “一半” 相关（如用去一半、拿走一半多几 / 少几），已知最终剩余量，求总量。 核心规律： 用去一半多 a：剩余量比原量的一半少 a → 倒推：(剩余 + a) × 2 = 原量 用去一半少 a：剩余量比原量的一半多 a → 倒推：(剩余 - a) × 2 = 原量 （3）多次连续还原 经过三次及以上操作，每次操作都改变总量，从最后一次操作开始，一步步向前倒推，直到求出初始量。 解题技巧：画流程图标注每一步变化，倒推时逐一反向计算。 （4）多变量还原 两个或多个数量之间互相转移（如甲给乙、乙给丙），已知最终各数量，求最初各数量。 核心不变量：给来给去，总数量不变。 解题步骤：先根据最终状态算出各量，再从最后一次转移开始，反向倒推每一次转移前的数量。 3. 通用解题步骤 ① 梳理过程：按顺序列出每一步的变化，明确初始量→中间量→最终量的逻辑； ② 逆向倒推：从最终结果开始，逆着每一步操作，做对应逆运算； ③ 验证结果：把求出的原数代入原题，按顺序计算，看是否符合最终结果。 4. 易错警示 倒推运算顺序与原题相反：原题先加减后乘除，倒推时先算乘除后算加减，必要时添加括号。 “一半多几” 与 “一半少几” 最易混淆，记住：多退少补—— 倒推时，多了就加回来，少了就减掉。 多变量还原中，每次转移都是 “此消彼长”，倒推时要注意两个量同时反向变化。 对折问题：对折 n 次，相当于平均分成段，总长度 = 每段长度 ×。 例题讲解 【典型例题 1】基础单变量倒推 一个数加上 2.5，再乘 4，结果是 18.8。这个数原来是多少？ 【分析】这是最基础的两步还原问题。原数经过 “加 2.5→乘 4” 得到 18.8，倒推时从结果出发，先逆运算 “乘 4”（变除以 4），再逆运算 “加 2.5”（变减 2.5）。 【详解】 第一步：逆运算 “乘 4”： 第二步：逆运算 “加 2.5”： 综合算式： 答：这个数原来是 2.2。 【答案】 【跟踪训练 1】 一个数减去 3.6，再除以 5，结果是 4.8。这个数原来是多少？ 【分析】原数经过 “减 3.6→除以 5” 得到 4.8，倒推先乘 5，再加 3.6。 【详解】 第一步： 第二步： 综合算式： 答：这个数原来是 27.6。 【答案】 【典型例题 2】一半型还原（多几型） 一根电线，第一次用去全长的一半多 1.5 米，第二次用去余下的一半，这时还剩 4.8 米。这根电线原来长多少米？ 【分析】两次变化，从后往前倒推。第二次用去余下的一半，剩 4.8 米，说明第一次用完余下的长度是；第一次用去全长一半多 1.5 米，剩下的比全长一半少 1.5 米，因此余下的长度加 1.5 米才是全长的一半，再乘 2 得全长。 【详解】 第一次用后余下：（米） 全长的一半：（米） 全长：（米） 综合算式：（米） 答：这根电线原来长 22.2 米。 【答案】米 【跟踪训练 2】 一筐苹果，第一天卖掉总数的一半少 2.5 千克，第二天卖掉余下的一半，这时还剩 12.5 千克。这筐苹果原来重多少千克？ 【分析】倒推：第二天剩 12.5 千克，是第一天余下的一半，所以第一天余下千克。第一天卖一半少 2.5 千克，剩下的比一半多 2.5 千克，因此余下的减 2.5 千克就是一半，再乘 2 得总重量。 【详解】 第一天余下：（千克） 总重量的一半：（千克） 总重量：（千克） 综合算式：（千克） 答：这筐苹果原来重 45 千克。 【答案】千克 【典型例题 3】多次连续还原 仓库有一批大米，第一天运出总数的一半多 12 吨，第二天运出剩下的一半少 8 吨，第三天运进 25 吨，这时仓库有大米 50 吨。仓库原来有大米多少吨？ 【分析】三次变化，从最后往前逐步倒推： 第三天运进 25 吨后有 50 吨 → 第三天前有吨； 第二天运出剩下的一半少 8 吨 → 剩下的比一半多 8 吨，因此第三天前的量减 8 吨就是第二天前的一半； 第一天运出总数一半多 12 吨 → 剩下的比一半少 12 吨，因此第二天前的量加 12 吨就是原来的一半。 【详解】 第三天运进前：（吨） 第二天运出前：（吨） 原来总数：（吨） 答：仓库原来有大米 92 吨。 【答案】吨 【跟踪训练 3】 小明有一些零花钱，买文具花了总数的一半多 3.5 元，买零食花了剩下的一半少 1.5 元，这时还剩 12.5 元。小明原来有多少零花钱？ 【分析】从后往前倒推： 买零食后剩 12.5 元，买零食花了一半少 1.5 → 剩下的比一半多 1.5，减 1.5 是买零食前的一半； 买文具花了一半多 3.5 → 剩下的比一半少 3.5，加 3.5 是原来的一半。 【详解】 买零食前：（元） 原来总钱数：（元） 答：小明原来有 51 元零花钱。 【答案】元 【典型例题 4】多变量还原 甲、乙两桶油共重 80 千克。从甲桶倒 12.5 千克给乙桶，再从乙桶倒 8.2 千克给甲桶，这时两桶油重量相等。原来两桶油各重多少千克？ 【分析】两桶油总重量不变，先算出最终每桶的重量，再从最后一次转移往前倒推： 最终两桶相等，各千克； 乙桶倒给甲桶 8.2 千克前：乙桶加回 8.2，甲桶减去 8.2； 甲桶倒给乙桶 12.5 千克前：甲桶加回 12.5，乙桶减去 12.5。 【详解】 最终每桶重量：（千克） 乙桶倒给甲桶前： 乙桶：（千克） 甲桶：（千克） 原来重量： 甲桶：（千克） 乙桶：（千克） 答：原来甲桶重 44.3 千克，乙桶重 35.7 千克。 【答案】甲桶千克；乙桶千克 【跟踪训练 4】 甲、乙两个书架共有图书 240 本。从甲书架拿 18 本放到乙书架，再从乙书架拿 25 本放到甲书架，这时甲书架的图书是乙书架的 2 倍。原来两个书架各有多少本图书？ 【分析】总本数不变，先根据倍数关系算出最终两个书架的本数，再倒推两次转移前的数量。 【详解】 最终乙书架：（本） 最终甲书架：（本） 乙书架拿给甲书架前： 乙：（本） 甲：（本） 原来： 甲书架：（本） 乙书架：（本） 答：原来甲书架有 153 本，乙书架有 87 本。 【答案】甲书架本；乙书架本 巩固练习 1．一卷电线，用去全长的一半多4米，这时还剩下32米。这捆电线全长有多少米？ 【答案】72米 【分析】从剩余长度倒推：剩下的32米加上多用去的4米，正好是电线全长的一半，再乘2即可求出全长。 【详解】（米） （米） 答：这捆电线全长有72米。 2．一个车间计划5天完成加工一批零件的任务，第一天加工了这批零件的多120个，第二天加工了剩下的少150个，第三天加工了剩下的多80个，第四天加工了剩下的少20个，第五天加工了最后的1800个，这批零件总数有多少个？ 【答案】 个 【分析】已知第五天加工个，第四天加工了前一天剩下的少个，因此第五天的量＝第四天加工前的量，据此算出第四天加工前的零件数；用第四步的结果，结合第三天“加工了剩下的多个”的条件，逆推得到第三天加工前的零件数；再结合第二天“加工了剩下的少个”的条件，逆推得到第二天加工前的零件数；最后结合第一天“加工了总数的多个”的条件，逆推算出零件的总数量。 【详解】第三天加工后剩余的零件数（第四天加工前的零件数）： （个） 第二天加工后剩余的零件数（第三天加工前的零件数）： （个） 第一天加工后剩余的零件数（第二天加工前的零件数）： （个） 零件总数量： （个） 答：这批零件总数有个。 3．有一捆电线，第一次用去它的一半少5米，第二次用去余下的一半多2米，第三次用去余下的一半多3米，最后还剩2米，电线长多少米？ 【答案】 米 【分析】第三次是用去余下一半多3米，剩2米，说明剩下的2米加上多用的3米，就是第三次使用前电线长度的一半，乘2得到第二次用完之后的长度； 第二次用去余下一半多2米，用上一步结果加上2米，即为第二次使用前长度的一半，乘2得到第一次用完之后的长度； 第一次用总长一半少5米，意味着第一步余下的长度减去5米才是总长的一半，最后乘2算出电线原来总长。 【详解】第三次用之前的长度： （米） 第二次用之前的长度： （米） 原来的长度： （米） 答：这捆电线原来长米。 4．一根绳子第一次剪了一半多1.8米，第二次剪了剩下的一半少0.6米，第三次剪了2.3米，还剩3.2米，这根绳子原来有多长？ 【答案】23.2米 【分析】原本减去的长度加回来，原本除以2的部分就乘2；遇到“多剪了一段”的情况，反向就要把这部分加回去补全，遇到“少剪了一段”的情况，反向就要把这部分减去，这样一步步往前倒推，就能精准还原出每一次裁剪前的绳子长度，最终得到最开始的原长。 【详解】第三次剪前长度：3.2＋2.3＝5.5（米） 第二次剪前长度： （5.5－0.6）×2 ＝4.9×2 ＝9.8（米） 绳子原长： （9.8＋1.8）×2 ＝11.6×2 ＝23.2（米） 答：这根绳子原来长23.2米。 5．A、B、C三人各有硬币若干枚，A将自己的硬币分给B、C，使他们的硬币各增长了一倍；之后，B将自己的硬币分给A、C，使他们的硬币各增长了一倍；最后，C将自己的硬币分给A、B，使他们的硬币各增长了一倍。这样，三人的硬币都是8枚，请问他们原来各有硬币多少枚？ 【答案】A原来有13枚；B原来有7枚；C原来有4枚 【分析】这是还原问题，采用倒推法解题。从最后三人都是8枚的状态出发，根据“增长一倍即变为原来的2倍”，倒推每次分配前的硬币数，结合三人总硬币数不变的特点，计算每次分配中第三人的硬币数。 【详解】总硬币数：（枚） 1. C分配前： A的硬币数：（枚） B的硬币数：（枚） C的硬币数：（枚） 2. B分配前： A的硬币数：（枚） C的硬币数：（枚） B的硬币数：（枚） 3. A分配前（原来）： B的硬币数：（枚） C的硬币数：（枚） A的硬币数：（枚） 答：A原来有13枚，B原来有7枚，C原来有4枚。 6．公共汽车从始发站出发后，到第一站下去7人，又上来10人，现在车上有30人，从始发站出发时车上有多少人？ 【答案】27人 【分析】根据题干，用现在车上的人数减去上来的人数，再加上第一站下去的人数，求出出发时车上的人数。 【详解】30－10＋7 ＝20＋7 ＝27（人） 答：从始发站出发时车上有27人。 7．甲、乙、丙、丁四个小朋友共有彩色玻璃球200颗，甲给乙26颗，乙给丙36颗，丙给丁32颗，丁给甲4颗后四人的颗数相等。他们原来各有玻璃球多少颗？ 【答案】甲原来有72颗，乙原来有60颗，丙原来有46颗，丁原来有22颗。 【分析】玻璃球的总颗数不变，先求出最后四人相等时每人的颗数，然后根据每人“给出”和“得到”的数量变化，利用逆推原理（原有数量＝现有数量－得到数量＋给出数量）分别求出四人原来的颗数。 【详解】200÷4＝50（颗） 甲原来有：50－4＋26＝72（颗） 乙原来有：50－26＋36＝60（颗） 丙原来有：50－36＋32＝46（颗） 丁原来有：50－32＋4＝22（颗） 答：甲原来有72颗，乙原来有60颗，丙原来有46颗，丁原来有22颗。 8．小梦特别喜欢剪纸，她有一些动物剪纸，送给了小雨12张，又收到了优优送的8张植物剪纸，她现在有54张剪纸。小梦原来有多少张剪纸？ 【答案】58张 【分析】已知现在的剪纸数量、送出的数量和收到的数量，求原来的数量。根据题意，原来的数量减去送出的数量，再加上收到的数量等于现在的数量。因此，采用倒推法，从现在的数量出发，减去收到的数量，再加上送出的数量，即可求出原来的数量。 【详解】54－8＋12 ＝46＋12 ＝58（张） 答：小梦原来有58张剪纸。 9．李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝八两。三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？（两是古代的质量单位，唐代十两约等于现在的40克） 【答案】 7两 【分析】由题可知：遇店则原有的酒乘2，见花则再减8两，该过程重复了三次，最后剩余0两；从结果倒推，按照先见花、后遇店的顺序进行逆运算：（剩余的酒＋8两）÷2＝第二次剩余的酒，（第二次剩余的酒＋8两）÷2＝第一次剩余的酒，（第一次剩余的酒＋8两）÷2＝原有的酒。 【详解】（0＋8）÷2 ＝8÷2 ＝4（两） （4＋8）÷2 ＝12÷2 ＝6（两） （6＋8）÷2 ＝14÷2 ＝7（两） 答：原有7两酒。 10．为了提升城市的整体形象，修路队开始修老城区的一条路，第一天修了这条路的一半还多170米，第二天修了余下的路的一半。此时还剩360米没有修。这条路全长多少米？ 【答案】1780米 【分析】本题属于还原问题，适合采用倒推法解答。从最后剩下的360米入手，第二天修了余下路的一半，说明剩下的360米也是第一天修后余下长度的一半，据此可求出第一天修后余下的长度。第一天修了全长的一半多170米，说明第一天修后余下的长度比全长的一半少170米，据此可求出全长的一半，进而求出全长。 【详解】第一天修后余下的长度：360＋360＝720（米） 全长的一半：720＋170＝890（米） 全长：890＋890＝1780（米） 答：这条路全长1780米。 11．一车西瓜，第一次卖出，然后又添进去40千克，第二次卖出车中西瓜的，第三次又卖出180千克，这时车中还有西瓜60千克。原来这车西瓜重多少千克？ 【答案】 750千克 【分析】先用60加上180计算出第三次卖出前车中还剩余的西瓜质量为240千克；将第二次卖西瓜前的车中西瓜（包含添进的40千克）看作单位“1”，第二次卖出车中西瓜的，那么第二次卖出西瓜后还剩余车中西瓜的，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”用240除以计算出第二次卖西瓜前的车中西瓜（包含添进的40千克）的总质量为540千克；再将540千克减去40千克计算出第一次卖出西瓜后车中西瓜的剩余质量为500千克；将原来车中西瓜总质量看作单位“1”，第一次卖出车中西瓜总质量的，那么第一次卖出西瓜后还剩余车中西瓜的，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”用500除以即可计算原来这车西瓜的质量。 【详解】 ＝ ＝ ＝540（千克） ＝ ＝ ＝750（千克） 答：原来这车西瓜重750千克。 【点睛】本题关键：需从最后剩余西瓜重量开始，逆向依次计算第三次卖出前、第二次卖出前、第一次卖出后及原来的西瓜重量。 12．乐乐冲了一杯黑芝麻糊，喝了后，感觉太黏稠了，就加满了白开水，喝了一半后还是觉得黏稠，又加满白开水，喝了一半。这时乐乐一共喝了多少杯黑芝麻糊？ 【答案】杯 【分析】根据题意可知：第一次喝了杯黑芝麻糊，第二次喝了剩下的一半，即剩下的杯的一半，即为杯黑芝麻糊，第三次喝了剩下的一半，即杯的一半，即为杯黑芝麻糊，将三次相加即可求出结果；据此解答。 【详解】（杯） 答：这时乐乐一共喝了杯黑芝麻糊。 13．有一桶油连桶重55千克，用了一半后，称了一下，连桶共重30千克。这桶油原来有油多少千克？桶重多少千克？ 【答案】50千克；5千克 【分析】桶的质量始终不变，总质量减少的部分就是用去的一半油的质量。先利用减法求出一半油的质量，再利用乘法求出原来油的总质量，最后利用减法求出桶的质量。 【详解】一半油的质量： 55－30＝25（千克） 原来油的质量： 25×2＝50（千克） 桶的质量： 55－50＝5（千克） 答：这桶油原来有油50千克，桶重5千克。 14．工程队修一条路，第一天修了总数的少25千米，第二天修了剩下的多24千米，第三天修了剩下的多33千米，第四天修了19千米正好修完，这条路共有多少千米？ 【答案】192千米 【分析】根据题中第三天修了第二天修完后剩下的多33千米，第四天修了19千米正好修完，把第二天修完后剩下的长度看作单位“1”，33＋19＝52（千米）占单位“1”的，根据单位“1”＝具体量÷对应分率求出第二天修完后剩下的长度；根据第二天修了第一天修完后剩下的多24千米，把第一天修完后剩下的长度看作单位“1”，24千米＋第二天修完剩下的长度占单位“1”的，已知具体量和对应分率，求单位“1”用除法，求出第一天修完后剩下的长度；根据第一天修了总数的少25千米，把这条路总长度看作单位“1”，第一天修完后剩下的长度－25千米占单位“1”的，已知具体量和对应分率，求单位“1”用除法。 【详解】第二天修完剩下的长度： ＝ ＝ ＝（千米） 第一天修完剩下的长度： ＝ ＝ ＝（千米） 这条路的总长度： ＝ ＝ ＝（千米） 答：这条路共有192千米。 真题训练 15．两个数相乘，如果一个因数增加12，另一个因数不变，那么积增加了1644；如果一个因数不变，另一个因数增加16，那么积增加416，原来的积是多少？ 【答案】 3562 【分析】根据乘法运算的意义，两个数相乘，如果一个因数不变，另一个因数增加几，积增加的数值就等于不变的因数乘增加的数。据此，利用积增加的数值除以因数增加的数值，可以分别求出两个原来的因数，最后将两个因数相乘即可求出原来的积。 【详解】1644÷12＝137 416÷16＝26 137×26＝3562 答：原来的积是3562。 16．桌上有3盘橘子，共45个。如果从第一盘中拿出4个放入第二盘，再从第二盘中拿出7个放入第三盘，那么三个盘子中的橘子个数相等。原来每盘中各有橘子多少个？ 【答案】第一盘19个；第二盘18个；第三盘8个。 【分析】无论橘子如何在盘子之间移动，橘子的总数始终保持不变。根据最后三个盘子橘子个数相等，可以用总数除以3，求出最后每个盘子的个数；再运用倒推法，加上给出的橘子，减去收到的橘子，即可求出原来每盘的个数。 【详解】最后每个盘子橘子的个数：（个） 第一盘原来橘子的个数：（个） 第三盘原来橘子的个数：（个） 第二盘原来橘子的个数：（个） 答：原来第一盘有19个橘子，第二盘有18个橘子，第三盘有8个橘子。 17．3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多。求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉？ 【答案】34只；24只；20只 【分析】3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变。变化后“3个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出现在每个笼里的是（78÷3）只，即26只。根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了（26＋8）只；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，得出第个笼子里有：（26＋6－8）只，第3个笼子里原有（26－6）只。 【详解】78÷3＝26（只） 26＋6－8＝24（只） 26－6＝20（只） 答：第1个笼子里原来养了34只，第2个笼子里有24只，第3个笼子里原有20只。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 18．甲、乙、丙、丁四人共做了 270 个零件，如果甲多做 10 个，乙少做 10 个，丙做的个数乘 2，丁做的个数除以 2，那么四人做的个数恰好相等。求甲、乙、丙、丁实际做的个数。 【答案】甲:50  乙:70  丙:30  丁:120 【详解】解：设恰好相等的数量为x， （x-10）+（x+10）+2x+x÷2＝270 解得x＝60 可得，甲:50，乙:70，丙:30，丁:120。 19．某厂有三个车间，一车间人数占全厂人数的，二车间人数比一车间少，三车间人数比二车间人数多30%，三车间有156人，求这个厂全厂共有多少人？ 【答案】600人 【详解】×（1-）×（1+30%） =××130% = 156÷=600（人） 答：这个厂全厂共有600人． 20．3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原有桃子多少只？ 【答案】18只 【详解】6÷（1-）=8（只） 8÷（1-）=12（只） 12÷（1-）=18（只） 答：篮里原有桃子18只． 21．人民机械厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的，乙车间加工余下的，丙车间再加工余下的，还剩3600个零件没有加工，这批零件一共有多少个？ 【答案】10000个 【详解】3600÷(1-)÷(1-)÷(1-)=10000(个) 答：这批零件一共有10000个． 22．学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍．问：最初乐乐拿了多少棵树苗？ 【答案】28棵 【详解】先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗．学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36÷（2＋1）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12×2＝24（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-6＝18（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有18＋10＝28（棵）． 36÷5（1＋2）×2-6＋10=28（棵）． 答：乐乐最初拿了28棵树苗． 23．有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克．先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶．这时，各桶油都是16千克．问：各桶原有油多少千克？ 【答案】甲：26千克   乙：14千克   丙桶：8千克 【详解】列表逆推如下： 甲桶 乙桶 丙桶 初始状态 4+14+8＝26 28÷2＝14 16÷2＝8 第一次变化 8÷2＝4 8+4+16＝28 32÷2＝16 第二次变化 16÷2＝8 16÷2＝8 16+8+8＝32 第三次变化 16 16 16 原来甲、乙、丙桶分别有油26千克，14千克，8千克． 24．有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？ 【答案】31个 【分析】第5次以后，财迷只剩下32个铜板，相当于第5次过桥前手里有16个； 第4次过桥后给了老人32个，所以第四层结束以后手中有48个，相当于第4次过桥前手中有24个； 第3次过桥后给了老人32个，所以第3次结束以后手中有56个，相当于第3次过桥前手中有28个； 第2次过桥后给了老人32个，所以第2次结束以后手中有60个，相当于第2次过桥前手中有30个； 第1次过桥后给了老人32个，所以第1次结束以后手中有62个，相当于第1次过桥前手中有31个． 【详解】第五次后有：32÷2=16（个） 第四次后有：（32+16）÷2=24（个） 第三次后有：（32+24）÷2=28（个） 第二次后有：（32+28）÷2=30（个） 第一次原有：（32+30）÷2=31（个） 答：财迷身上原有31个铜板． 25．第一次在一盒珠子中，取走总数的又4个，第二次取出余下的又3个，第三次取出余下的又2个，第四次取出余下的又1个，这时盒里还剩1个？问盒内原有珠子多少个﹖ 【答案】解：第三次拿走后余下的是：（1+1）÷（1﹣）=4（个） 出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9（个） 第一次余下的是：（9+3）÷（1﹣）=16（个） 这盒珠子原来的个数是：（16+4）÷（1﹣）=25（个） 答：盒内原有珠子25个．   【详解】【分析】从最后剩下的1个珠子入手，向前推，如果加上1个，正好是第三次取出后余下的一半，据此求出第三次拿走后余下的是（1+1）÷（1﹣）=4个珠子，这个结果再加上2个正好是第二次取出后余下的，据此可得出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9个，这个结果再加上3个，就是第一次余下的1﹣=， 据此可得第一次余下的是（9+3）=16个，这个结果再加上4个，就是这盒珠子的1﹣=， 据此解决． 26．老妇提篮卖蛋．第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个．这时，全部鸡蛋都卖完了．老妇篮中原有鸡蛋多少个？ 【答案】15 【详解】第三次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（0+）=1（个） 第二次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（1+）=2×1=3（个） 第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（3+）=2×3 =7（个） 原有鸡蛋的个数是：2×（7+）=2×7=15（个） 答：篮中原有鸡蛋15个． 故答案为15． 27．兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数．如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同．问：兄弟三人的年龄各多少岁？ 【答案】16，10，7 【详解】由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24÷3＝8（个）桔子．由此列表逆推如下表： 老大 老二 老三 初始状态 14-（2÷2）＝13 8-（2÷2）＝7 2×2＝4 老三分过后 16-（4÷2）＝14 4×2＝8 4-（4÷2）＝2 老二分过后 8×2＝16 8-（8÷2）＝4 8-（8÷2）＝4 老大分过后 8 8 8 由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁． 28．同学们可能知道，歌星、影星一般都不愿意公开自己的年龄．这个小故事说的就是一个记者千方百计要从一个女影星嘴里打听出她的年龄．影星不想说谎，却又不愿意把自己的年龄讲出来，于是就对记者说：“我年后岁数的倍，减去我年前岁数的倍，正好是我现在的年龄．”记者想了半天，还是没有想出来影星的年龄．同学们开动脑筋想一想，这个影星今年到底多少岁了？ 【答案】50岁. 【详解】可以假设影星现在的年龄是岁，那么她年前、年后的年龄分别是岁和岁.两者相差（岁），所以这个影星今年的年龄是岁. 同学们可以考虑一下，自己年后比年前的年龄大多少岁？自己的爸爸、妈妈年后又比年前的年龄大多少岁呢？我们会发现，都是岁.所以，这个影星今年的年龄是（岁）. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $