专题11： 确定位置（思维拓展）-苏教版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题十一 确定位置 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：数对与位置规律（进阶推理） 3 考点二：方向与距离定位（进阶应用） 4 考点三：行走路线描述与计算（算理强化） 6 考点四：位置变换与坐标规律（思维拓展・奥数题型） 7 考点五：最短路径与方位优化（思维拓展・奥数题型） 9 第三部分 易错避坑指南 10 易错点 1：数对行列混淆，顺序颠倒 10 易错点 2：方向观测点搞错，方向描述错误 11 易错点 3：距离比例尺换算错误，单位不统一 11 易错点 4：路线描述方向颠倒，观测点不切换 11 易错点 5：位置平移数对加减搞反 11 第四部分 分层进阶专题精练 12 一、能力进阶篇（难度★★★，8 题） 12 二、思维拓展篇（难度★★★★，4 题） 13 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 14 一、能力进阶篇解析 14 二、思维拓展篇解析 16 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应苏教版六年级上册第七单元核心内容，以“坐标抽象→方位定位→路线描述→变换拓展→优化应用” 为主线，系统覆盖数对确定位置、方向与距离确定位置、行走路线描述、位置变换规律、最短路径优化五大模块，渗透数形结合、空间观念、有序对应、优化决策等核心数学素养。 专题遵循 “抽象建模→精准定位→路线描述→拓展探究→实践应用” 的认知路径，结合教室、地图等熟悉场景，理解数对 “先列后行” 的有序性，掌握用数对确定平面内点的位置的方法；认识方向、角度、距离三要素，能根据方向和距离确定物体位置、描述行走路线；探究位置平移、旋转后的数对变化规律；能运用坐标知识解决网格最短路径等实际问题。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“图形与几何” 领域 “图形的位置与运动” 主题要求，与 2024 版苏教版教材进度完全同步，发展空间观念，渗透数形结合思想。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 数对确定位置 数对的有序性；先列后行；点与数对一一对应 有序对应法、坐标标注法 行列混淆，顺序颠倒 方向距离定位 观测点；方向（角度）；距离；位置三要素 三要素定位法、观测点转换法 观测点搞错，方向读反 行走路线 路线描述；分段定位；路程计算 分段描述法、累加计算法 方向转换混乱，观测点不切换 位置变换 平移的坐标变化；旋转的坐标规律 坐标变换法、规律验证法 平移加减搞反，旋转方向错 路径优化 网格最短路径；方位最优路线 标数法、枚举比较法 重复计数，绕路判断错 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 有序对应法 数对定位 ①数列数；②数行数；③写成（列，行） 先列后行，有序对应 三要素定位法 方向距离定位 ①确定观测点；②量方向角度；③算实际距离 定观测，看方向，量距离 分段描述法 路线描述 ①逐段确定观测点；②描述每段方向距离；③串联成路线 逐段走，换观测，说方向，讲距离 坐标变换法 位置平移旋转 ①找原坐标；②按变换规则算新坐标；③验证 平移：横加减列，竖加减行 标数法 最短路径 ①起点标 1；②逐点标走法数；③终点得总数 从起点，标路径，加起来 三、数学思维提升 1. 数形结合思维 核心要点：把平面内的点和有序数对一一对应，把位置问题转化成数的问题，用数的运算解决图形位置问题，体现数形结合思想。 专题示例：用数对表示教室中同学的位置，把座位这个图形位置转化成两个数组成的数对，就是数形结合的典型应用。 2. 空间方位思维 核心要点：通过观测点、方向、距离确定物体的相对位置，描述行走路线，发展空间方位观念，能在头脑中模拟方位变化与行走过程。 专题示例：根据地图描述从学校到图书馆的路线，需要在头脑中建立方位模型，逐步推演路径，就是空间思维的体现。 3. 有序对应思维 核心要点：数对是有序的，先列后行，顺序不能颠倒；位置和数对一一对应，一个数对唯一确定一个点，一个点唯一对应一个数对。 专题示例：（3，2）和（2，3）表示不同的位置，体现了数对的有序性，顺序不同，位置完全不同。 4. 逆向推理思维 核心要点：已知位置求数对，已知数对找位置；已知终点和路线反推起点，培养逆向推理能力。 专题示例：知道平移后的数对，反推平移前的数对；知道相对位置反推观测点方位，都是逆向思维的应用。 5. 优化决策思维 核心要点：网格中从一点到另一点，有多种走法，寻找最短路径，或者最优方位路线，培养优化决策能力。 专题示例：从甲地到乙地，只能向右和向上走，计算最短走法总数，就是典型的路径优化问题。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：数对与位置规律（进阶推理） 典型例题 1（能力进阶型）—— 数对的基础意义 题目：教室里，小明坐在第 3 列第 4 行，用数对表示是多少？小红的位置是（5，2），她坐在第几列第几行？ 解题步骤： ① 数对的规则：先列后行，第一个数表示列数，第二个数表示行数； ② 小明第 3 列第 4 行，数对表示为（3，4）； ③ 小红的位置是（5，2），第一个数 5 对应列，第二个数 2 对应行，即第 5 列第 2 行。 【答案】小明的位置用数对表示为（3，4）；小红坐在第 5 列第 2 行。 【知识点睛】本题考查数对的基本意义，是本单元的认知基础。 核心规则：数对表示位置遵循 “先列后行” 的原则，形式为（列数，行数），两个数的顺序不能颠倒。 注意：数列数从左往右数，数行数从前往后数（方格图中从下往上数）。数对的有序性是核心，顺序不同，对应的位置完全不同。 典型例题 2（思维拓展型）—— 数对规律探究（奥数题型） 题目：找规律填空：（1，2），（2，4），（3，6），（4，8），……，第 8 个数对是多少？第 n 个数对是多少？ 解题步骤： ① 拆分观察规律：分别看数对的第一个数和第二个数： 列数：1，2，3，4…… 依次加 1，第几个数对，列数就是几； 行数：2，4，6，8…… 依次加 2，是对应列数的 2 倍； ② 第 8 个数对：列数为 8，行数为，即（8，16）； ③ 第 n 个数对：列数为 n，行数为，即（n，2n）。 【答案】第 8 个数对是（8，16）；第 n 个数对是（n，2n）。 【知识点睛】本题是数对规律探究题，属于奥数经典题型。 解题方法：将数对拆分为列数数列和行数数列，分别寻找变化规律，再合并成新的数对。 这类题本质是数列规律在坐标中的应用，通过拆分有序数对，分别归纳规律，培养有序观察与归纳推理能力。 考点二：方向与距离定位（进阶应用） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础方位定位 题目：以学校为观测点，图书馆在学校的北偏东 30° 方向，距离学校 600 米处。请说明确定图书馆位置的步骤。 解题步骤： ① 确定观测点：以学校为中心点，画出方向标（上北下南，左西右东）； ② 确定方向：从正北方向向东偏转 30°，画出北偏东 30° 的方向射线； ③ 确定距离：根据比例尺计算图上距离，例如比例尺为 1:20000 时，600 米 = 60000 厘米，图上距离为厘米，在射线上量出 3 厘米，标注图书馆。 【答案】先定观测点，再画北偏东 30° 方向射线，最后按比例尺量出 3 厘米确定位置。 【知识点睛】本题考查用方向和距离确定位置的方法，是本单元的核心题型。 确定位置的三要素：观测点、方向（角度）、距离，三者缺一不可。 描述方向时，通常先说南北方向，再说偏东西方向，角度是偏离南北方向的夹角。画图时遵循 “定观测点→画方向射线→量距离定点” 的步骤。 典型例题 2（思维拓展型）—— 观测点转换（奥数题型） 题目：甲在乙的南偏西 40° 方向 50 米处，那么乙在甲的什么方向、多少米处？ 解题步骤： ① 分析观测点变化：前半句观测点是乙，后半句观测点是甲，观测点发生互换； ② 方向规律：观测点互换时，方向完全相反，南北互换、东西互换，角度不变；南的反方向是北，西的反方向是东，所以方向为北偏东 40°； ③ 距离规律：相对位置的距离不变，仍为 50 米。 【答案】乙在甲的北偏东 40° 方向 50 米处。 【知识点睛】本题是观测点转换的方位问题，属于奥数常见题型。 核心规律：两个物体的相对位置，观测点互换时，方向完全相反（南北互换、东西互换），角度大小不变，距离不变。 解题技巧：方向词两两反向替换，南↔北，西↔东，角度和距离保持不变。这类题能培养空间想象与逆向方位思维。 考点三：行走路线描述与计算（算理强化） 典型例题 1（能力进阶型）—— 往返路线描述 题目：小明从家出发，向东走 200 米到超市，再向北偏东 45° 方向走 300 米到学校。请描述小明从学校回家的路线。 解题步骤： ① 返回路线的核心规律：每一段的方向与去时相反，距离相等，观测点随路径逐段切换； ② 第一段：从学校出发，观测点为学校，方向与 “北偏东 45°” 相反，即向南偏西 45° 方向走 300 米，到达超市； ③ 第二段：从超市出发，观测点为超市，方向与 “向东” 相反，即向西走 200 米，回到家。 【答案】从学校出发，向南偏西 45° 方向走 300 米到超市，再向西走 200 米回到家。 【知识点睛】本题考查往返路线的描述，是路线问题的基础题型。 核心规律：返回路线与去程路线，对应段的方向相反、距离相等。 注意：描述路线时，每到达一个地点，观测点就切换到该地点，后续方向必须以新观测点为基准进行描述。 典型例题 2（思维拓展型）—— 路线比例尺计算（奥数题型） 题目：在比例尺是 1:50000 的地图上，量得小明从家到学校先向东走 2 厘米，再向北走 3 厘米。小明实际走了多少米？ 解题步骤： ① 方法一：分段计算实际距离 向东实际距离：厘米米 向北实际距离：厘米米 ② 总路程：米。 ③ 验证：图上总路程 5 厘米，实际总距离厘米米，结果一致。 【答案】2500 米 【知识点睛】本题是路线与比例尺结合的综合题型，属于奥数应用题型。 解题思路：先根据比例尺分别计算每段的实际距离，再累加得到总路程。 注意：单位换算要准确，厘米与米的进率是 100，厘米换算成米需去掉 2 个 0。这类题融合了比例尺计算与方位路线知识，培养综合应用能力。 考点四：位置变换与坐标规律（思维拓展・奥数题型） 典型例题 1（能力进阶型）—— 平移的坐标变化 题目：点 A 的位置是（3，2），向右平移 2 格，再向上平移 3 格，平移后的位置用数对表示是多少？ 解题步骤： ① 平移坐标规律：左右平移改变列数，向右平移列数加，向左平移列数减；上下平移改变行数，向上平移行数加，向下平移行数减； ② 向右平移 2 格，列数变化：； ③ 向上平移 3 格，行数变化：； 平移后的位置为（5，5）。 【答案】（5，5） 【知识点睛】本题考查平移后的数对变化规律，是位置变换的基础题型。 核心规律：平移只改变图形的位置，不改变形状和大小。数对变化口诀： · 左右平移：列变行不变，右加左减； · 上下平移：行变列不变，上加下减。 典型例题 2（思维拓展型）—— 旋转的坐标规律（奥数题型） 题目：方格图中，点 A 的位置是（2，2），点 B 在点 A 的正上方 3 格处。把线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°，旋转后点 B 的位置用数对表示是多少？ 解题步骤： ① 先确定点 B 原来的位置：A（2，2），正上方 3 格，行数加 3，列数不变，所以 B 原位置为（2，5）； ② 旋转分析：绕点 A 顺时针旋转 90°，点 A 位置不变，线段 AB 长度不变，从竖直向上变为水平向右； ③ 计算新坐标：水平向右，行数不变，列数增加 3 格，列数为 2+3=5，所以旋转后点 B 的位置是（5，2） 【答案】（5，2） 【知识点睛】本题考查旋转后的点坐标变化，属于奥数几何题型。 解题关键：确定旋转中心、旋转方向和旋转角度，旋转中心位置不变，旋转线段的长度不变，只改变方向。 绕某点旋转时，可通过方位判断新位置：顺时针旋转 90°，竖直向上变水平向右；逆时针旋转 90°，竖直向上变水平向左。这类题能有效培养空间想象能力。 考点五：最短路径与方位优化（思维拓展・奥数题型） 典型例题 1（能力进阶型）—— 网格最短路径 题目：方格图中，从 A 点（1，1）走到 B 点（4，3），只能向右或向上走，一共有多少种不同的最短路线？ 解题步骤： ① 最短路径原理：只能向目标方向（右、上）走，不能回头，总步数固定，需向右走 3 格、向上走 2 格； ② 标数法计算：每个点的走法数 = 左边点的走法数 + 下边点的走法数。 起点（1，1）标 1； 第一行（行 = 1）只能从左侧来，各点都标 1；第一列（列 = 1）只能从下方来，各点都标 1； （2，2）=（1，2）+（2，1）=1+1=2； （3，2）=（2，2）+（3，1）=2+1=3； （4，2）=（3，2）+（4，1）=3+1=4； （2，3）=（1，3）+（2，2）=1+2=3； （3，3）=（2，3）+（3，2）=3+3=6； （4，3）=（3，3）+（4，2）=6+4=10。 ③ 所以一共有 10 种不同的最短路线。 【答案】10 种 【知识点睛】本题考查网格最短路径计数，属于奥数经典的标数法题型。 解题方法：标数法，从起点开始，每个点的走法数等于所有能到达它的前序点的走法数之和。 核心原理：最短路径只能向终点方向行进，不能反向，因此每个点的走法可由左侧和下侧点的走法累加得到。这类题能培养有序计数与逻辑推理能力。 典型例题 2（思维拓展型）—— 方位优化问题 题目：小明从家到学校有两条路，第一条是直路，长 1000 米；第二条是先向北走 400 米，再向东走 800 米。哪条路更近？近多少米？ 解题步骤： ① 计算第二条路的总路程：米； ② 对比两条路线长度：，第一条直路更近； ③ 计算路程差：米。 原理：两点之间线段最短，因此直线路程短于折线路程。 【答案】第一条路更近，近 200 米。 【知识点睛】本题考查路径长短比较与优化，属于应用拓展题型。 核心原理：两点之间线段最短，因此连接两点的直线路径是所有路径中最短的。 解题时分别计算各路线的总长度，比较大小后求差值即可。这类题结合了方位知识与线段公理，培养优化决策意识。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：数对行列混淆，顺序颠倒 错误示例：第 3 列第 4 行写成（4，3），行列顺序搞反。 正确分析：数对遵循 “先列后行” 的规则，第一个数是列数，第二个数是行数，顺序不能颠倒。 修正方法：写数对前默念 “先列后行”，第一个数对应列，第二个对应行，写完后对照检查顺序。 易错点 2：方向观测点搞错，方向描述错误 错误示例：甲在乙的东边，就错误描述乙在甲的东边；或者描述方向时不说明观测点。 正确分析：描述方位必须先明确观测点，观测点不同，方向完全相反。相对位置观测点互换时，方向南北互换、东西互换。 修正方法：描述方位前，先找到 “在” 字后面的观测点；相对位置转换时，方向词反向替换，角度和距离不变。 易错点 3：距离比例尺换算错误，单位不统一 错误示例：图上距离 2 厘米，比例尺 1:10000，错误计算实际距离为 20000 米。 正确分析：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺，初始单位为厘米，需再转换成米或千米；1 米 = 100 厘米，1 千米 = 100000 厘米。 修正方法：计算完先标注厘米单位，再按进率换算；厘米变米去掉 2 个 0，变千米去掉 5 个 0。 易错点 4：路线描述方向颠倒，观测点不切换 错误示例：描述返回路线时，方向和去时完全一致，不随观测点切换方向。 正确分析：返回路线每一段的方向与去时相反，每到达一个地点，观测点就切换到该地点。 修正方法：描述路线逐段推进，每段先确定观测点，方向与去程反向，距离保持不变。 易错点 5：位置平移数对加减搞反 错误示例：向右平移，错误地给行数加；向左平移，错误地给列数加。 正确分析：左右平移改变列数，右加左减；上下平移改变行数，上加下减。 修正方法：牢记口诀 “横移列，竖移行，右加左减，上加下减”，平移完成后反向验证。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，8 题） 1. 填空：第 5 列第 3 行用数对表示是（ ）；数对（2，6）表示第（ ）列第（ ）行。 2. 判断：数对（3，5）和（5，3）表示同一个位置。（ ） 3. 以公园为观测点，超市在北偏西 20° 方向 400 米处，那么公园在超市的（ ）偏（ ）（ ）° 方向（ ）米处。 4. 点（4，3）向左平移 2 格，再向下平移 1 格，平移后的位置是（ ）。 5. 小明从家出发，向东走 300 米到书店，再向北偏东 30° 走 200 米到学校。描述小明从学校回家的路线。 6. 一幅地图的比例尺是 1:20000，图上量得甲乙两地长 3 厘米，实际距离是多少米？ 7. 线段 AB 两个端点是（1，2）和（4，2），线段 AB 向右平移 3 格后，A 点的位置是（ ）。 8. 从（1，1）走到（3，2），只能向右或向上走，有多少种最短走法？ 二、思维拓展篇（难度★★★★，4 题） 9. 找规律：（1，3），（2，6），（3，9），……，第 10 个数对是（ ），第 n 个数对是（ ）。 10. 点 A（2，1），点 B（2，4），把线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°，旋转后点 B 的位置用数对表示是多少？ 11. 从（1，1）走到（5，3），只能向右或向上走，一共有多少种不同的最短路线？ 12. 小明从家到少年宫，先向东走 5 分钟，每分钟走 60 米，再向北走 4 分钟，每分钟走 65 米。如果直接走直线到达，近多少米？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】（5，3）；2，6 【解题步骤】 ① 第 5 列第 3 行，先列后行，数对为（5，3）； ② 数对（2，6）第一个数是列，第二个是行，即第 2 列第 6 行。 【知识点睛】本题考查数对的基本意义，核心是 “先列后行” 的有序规则。 写数对和读数对都要遵循列在前、行在后的顺序，顺序不同位置不同。 2. 【答案】 × 【解题步骤】 ① （3，5）表示第 3 列第 5 行，（5，3）表示第 5 列第 3 行； ② 两个位置不同，所以说法错误。 【知识点睛】本题考查数对的有序性。 数对是有序数对，两个数的顺序不能互换，顺序不同，对应的位置完全不同。 3. 【答案】 南，东，20，400 【解题步骤】 ① 观测点从公园换成超市，方向相反，北的反方向是南，西的反方向是东，角度不变； ② 距离不变，仍为 400 米。 【知识点睛】本题考查相对位置的观测点转换。 观测点互换时，方向南北互换、东西互换，角度和距离保持不变。 4. 【答案】（2，2） 【解题步骤】 ① 向左平移 2 格，列数减 2：； ② 向下平移 1 格，行数减 1：； ③ 平移后位置为（2，2）。 【知识点睛】本题考查平移的坐标变化规律。 左右平移列变行不变，左减右加；上下平移行变列不变，下减上加。 5. 【答案】 从学校出发，向南偏西 30° 方向走 200 米到书店，再向西走 300 米回到家。 【解题步骤】 ① 返回时第一段方向与 “北偏东 30°” 相反，即南偏西 30°，距离 200 米，到书店； ② 第二段方向与 “向东” 相反，即向西，距离 300 米，到家。 【知识点睛】本题考查往返路线的描述。 返回路线每段方向与去程相反，距离相等，观测点随路径逐段切换。 6. 【答案】 600 米 【解题步骤】 ① 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺：厘米； ② 单位换算：60000 厘米米。 【知识点睛】本题考查比例尺的实际应用。 计算时先统一用厘米计算，再根据进率换算成米；厘米与米的进率是 100。 7. 【答案】（4，2） 【解题步骤】 ① 线段向右平移，每个点都向右平移 3 格，列数加 3，行数不变； ② A 点原位置（1，2），平移后列数，行数 2，即（4，2）。 【知识点睛】本题考查图形平移的坐标变化。 图形整体平移时，图形上每个点的平移规律相同，列数和行数的变化一致。 8. 【答案】 3 种 【解题步骤】 ① 需向右走 2 格，向上走 1 格，用标数法： 起点（1，1）标 1； （2，1）=1，（1，2）=1； （2，2）=（1，2）+（2，1）=2； （3，2）=（2，2）+（3，1）=2+1=3。 ② 共 3 种走法。 【知识点睛】本题考查网格最短路径计数。 使用标数法，每个点的走法数等于左侧和下侧点的走法数之和，逐步累加得到终点总数。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】（10，30）；（n，3n） 【解题步骤】 ① 列数规律：第几个数对，列数就是几，第 10 个列数是 10，第 n 个列数是 n； ② 行数规律：3，6，9…… 是列数的 3 倍，第 10 个行数，第 n 个行数是 3n。 【知识点睛】本题考查数对规律探究。 将数对拆分为列、行两个数列，分别找规律再合并，是解决这类题的通用方法。 10. 【答案】（5，1） 【解题步骤】 ① AB 原来竖直向上，长度格； ② 绕点 A 顺时针旋转 90°，变为水平向右，长度不变； ③ 点 A 不动（2，1），点 B 列数加 3，行数不变，列数，即（5，1）。 【知识点睛】本题考查旋转后的坐标变化。 绕点旋转时，旋转中心不动，线段长度不变，根据旋转方向确定新的方位，再计算坐标。 11. 【答案】 15 种 【解题步骤】 ① 需向右走 4 格，向上走 2 格，用标数法逐步计算： 第一行、第一列都标 1； （2，2）=2，（3，2）=3，（4，2）=4，（5，2）=5； （2，3）=3，（3，3）=6，（4，3）=10，（5，3）=15。 ② 共 15 种不同的最短路线。 【知识点睛】本题考查标数法的进阶应用。 随着网格变大，标数法依然适用，从起点开始逐行逐列累加，最终得到终点的走法总数。 12. 【答案】 200 米 【解题步骤】 ① 向东走的路程：米 ② 向北走的路程：米 ③ 折线总路程：米 ④ 根据 “两点之间线段最短”，直线路程更短；结合边长比例可知直线路程约 500 米。 近的距离：米。 【知识点睛】本题考查路径优化与长度比较。 核心原理是两点之间线段最短，折线路程大于直线路程。小学阶段可通过边长比例感知直线路程长度，体会路径优化的意义。 1 学科网（北京）股份有限公司 $