29.1 锐角的正弦、余弦与正切（分层作业练题型）数学新教材沪教版五四制九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 分层作业 29.1锐角的正弦、 答案参考 颗型01 锐角的三角函数概念辨析 1. 【答案】A 2. 【答案】C 3.【答案】D 4. 【答案】D 题型02 求一个锐角的三角函数 5. 【答案】C 6 7.【答案】A 8.【答案】50.8 9.【答案】 533,33√5 5或13113或5 10. 【答案】A 题型03 已知锐角的一个三角函数求另两个 11.【答案】A 12.【答案】B 13.答案】A 14.【答案】B 颗型04 已知锐角三角函数求边长 15.【答案】B 16.【答案】16 1/6 上好每一堂课 余弦与正切 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.【答案】B 0 18 【答案】3 题型05 特殊角的三角函数值 19.【答案】D 20. 【答案】B 21.【答案】B 颗型06 特殊角的三角函数值的混合运算 22. 【答案】(1)6 214 1 【详解】(1)解： 原式=2×2+2×2十4x1 2 =1+1+4 =6: (2)解：原式= 321 44 5八 4 1 = 4 23. 【答案】()一4 212 x+2x5-2x5x5=+-2x1=;-2=-; 【详解】(1)解：原式=2×2+2×2 3 44 4 4 3 (2)解：原式 24.【答案】(1)1 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：原式=(3-4x2x2 -X 22 =3-2 =1: 311 (2)解原式=2×22” ×1 51 42 颗型07 用计算器求锐角的三角函数值 25. 【答案】B 26. 【答案】B 27. 【答案】A 28. 【答案】A 题型08 锐角三角函数之间的关系、性质 29. 【答案】D 30. 【答案】A 31.【答案】C 32.【答案】D 33.【答案】D 34.【答案】C ● B组 能力进阶 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】 余弦 cos A b 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.【答案】16 6.【答案】55°/55度 7.【答案】等边三角形 8. 【答案】（四2 2)v2-31 24 【详解】(1)解：原式=1+ =1+5-1 2 1 2 2)解：原式=()+2x555 222 =()+2+33 42 -19 V2-31 24 9.【答案】(1)1 (2):在Rt△ABC中，∠C是直角， .'tan 4= BC 4G, tan B=AC BC .'tan Atan B=. BCAC =1 AC BC (3) 3V3-1 2 【详解】解：(1)am60°.an30°=V5x 3 =1 故答案为：1 (2)略 1 (3)tan37°.cot37° 2sin60°-1W3-2 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 =tan37°.tan53°+ 2 --2+5 2 -1 1 =1+ -2+V3 3-1 =1+5+1-2+5 2 35-1 2 10.【答案】DC的影长为3.1m 【详解】解：在过点D的水平线上取点F, 延长AD交BC于点E,光线被CD遮挡得到影子是CE, 则线段EC的长即为DC的影长， ∠ADF=39°，DFCE, ∴.∠E=∠ADF=39°， DC=2.5, ∴，在Rt△DCE中， DC2.5 tan39°=ECEC ≈0.8 25 解得：BC=8≈3.1(m), 答：DC的影长为3.1m F.392D 【点睛】本题考查解直角三角形，掌握解直角三角形的方法，选择恰当锐角三角函数是解题关键. C组 思维拔高 1.【答案】B 516 学科网·上好课 2.【答案】 25V3 3V34 3.【答案】34 13 4.【答案】84 5.【答案】5 1.【答案】4 2.【答案】12 3.【答案】2米 6v13 4.【答案】65 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接中考 6/6 分层作业 29.1 锐角的正弦、余弦与正切 目 录 A组 巩固过关 题型01 锐角的三角函数概念辨析 题型02 求一个锐角的三角函数 题型03 已知锐角的一个三角函数求另两个 题型04 已知锐角三角函数求边长 题型05 特殊角的三角函数值 题型06 特殊角的三角函数值的混合运算 题型07 用计算器求锐角的三角函数值 题型08 锐角三角函数之间的关系、性质 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考/高考 锐角的三角函数概念辨析 题型01 1．如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．在中，，若将三边的长都缩小为原来的，则锐角的三角函数值（   ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有发生变化 D．都不变 求一个锐角的三角函数 题型02 5．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（      ） A． B． C． D． 6．在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，且与x轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 9．已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 10．如图，在中，，延长到点，使，连结，如果，则（     ） A． B． C． D． 已知锐角的一个三角函数求另两个 题型03 11．在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 13．在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 14．已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 已知锐角三角函数求边长题型04 15．如图所示，在中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 16．在中，的余弦值是，那么的长是___________． 17．如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 18．在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 特殊角的三角函数值题型05 19．的值等于（     ） A． B． C． D． 20．当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 21．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 特殊角的三角函数值的混合运算 题型06 22．计算： (1)； (2)． 23．计算： (1)． (2)． 24．计算 (1)； (2)． 用计算器求锐角的三角函数值 题型07 25．求，用计算器的按键顺序正确的是（     ） A．     B．      （或      ） C．       D．          26．如图，在中，，在用教材上的科学计算器求的度数时，下列操作正确的是（    ） A． B． C． D． 27．已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 28．如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接．若，，用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 锐角三角函数之间的关系、性质 题型08 29．下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 30．若，，则（    ） A． B． C． D． 31．已知为锐角，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的序号是（　　） A．（1）（3）（4） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（3）（4） 32．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 33．下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 34．下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．在中，，若，，则的正切值为（   ） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AB＝BC，则∠C等于(　　) A．45° B．30° C．60° D．50° 3．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，则的正弦值是（    ） A．1 B． C． D． 4．我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的_____，记作_____，即cos A＝_____， 5．在中，，如果，，则______________． 6．已知α为锐角，且，则α等于________． 7．在中，，则一定是______． 8．计算： (1)； (2)． 9．（1）计算的结果为______； （2）在RtABC中，∠C是直角，求证：． （3）根据（2）中的结果，计算：． 10．如图，在水平地面上，有一盏垂直于地面的路灯AB，在路灯前方竖立有一木杆CD．已知木杆长CD＝2.5米，木杆与路灯的距离BC＝5米，并且在D点测得灯源A的仰角为39°，请在图中画出木杆CD在灯光下的影子（用线段表示），并求出影长．（结果保留1位小数，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.8） 1．（2026·江苏·二模）如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）对于一个不大于的角，从顶点出发在角的内部有一条线把这个角分成两个角，我们把这两个角的正弦值的比叫做“分角正弦比”．（如图的“分角正弦比”为）．在矩形中，，被分的“分角正弦比”为，则矩形的面积为___________ 3．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，线段与线段交于点O，则的余弦值是______． 4．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将B角折起，使点B落在边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是． 如图1，当时，； 如图2，当时，； 如图3，当时，； …… 依此类推，当时， _____． 5．（25-26九年级下·上海·阶段检测）如图，四边形中，，，，交的延长线于点，若，则的值为_______． 1．（2026·上海·中考真题）在中，，，，则的值为________． 2．（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 3．（2026·浙江·中考真题）如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 4．（2026·江苏盐城·中考真题）如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 29.1 锐角的正弦、余弦与正切 目 录 A组 巩固过关 题型01 锐角的三角函数概念辨析 题型02 求一个锐角的三角函数 题型03 已知锐角的一个三角函数求另两个 题型04 已知锐角三角函数求边长 题型05 特殊角的三角函数值 题型06 特殊角的三角函数值的混合运算 题型07 用计算器求锐角的三角函数值 题型08 锐角三角函数之间的关系、性质 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考/高考 锐角的三角函数概念辨析 题型01 1．如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 2．在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形锐角三角函数的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵在中，，a、b、c分别是、、的对边， 如图： 根据锐角三角函数定义： 对选项A，，不正确， 对选项B，，不正确， 对选项C，，正确， 对选项D，，不正确． 3．如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：在中，，， ∴，，， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 4．在中，，若将三边的长都缩小为原来的，则锐角的三角函数值（   ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有发生变化 D．都不变 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的定义，解决本题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 根据三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的三角函数值只与角的大小有关，与边的长度无关，当三边同比例变化时，三角函数值不变，由此判断选项即可． 【详解】解：设原中，，，， 则，，， ∵三边都缩小为原来的， ∴，，， ∴， 同理，， ∴锐角A的三角函数值都不变． 故选：D． 求一个锐角的三角函数 题型02 5．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图（见解析），设网格中每个小正方形的边长为1，先得出的长，再计算正弦即可． 【详解】解：设网格中每个小正方形的边长为1， 由图可知，， ∴， ∴． 6．在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，如果， ∴． 7．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，且与x轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴构造直角三角形，根据点坐标结合正切定义求出，利用勾股定理求出，最后根据正弦定义求出即可． 【详解】解：过点作轴于点，则， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】取格点，连接，结合网格可得，根据勾股定理求出的长，最后根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，在正方形网格中，取格点，连接， 由图可知，， ∴， ∴在中，． 9．已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 【答案】 或/或 【分析】分F靠近点A和F靠近点B两种情况，过F作于G，利用矩形性质和勾股定理求出和的长度，再根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 点F靠近点A，垂足G在上时： 如图1，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ，是中点， ∴ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ； ② 点F靠近点B，垂足G在上时： 如图2，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ， 综上，的值为或． 10．如图，在中，，延长到点，使，连结，如果，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取线段的中点，连接，根据三角形的中位线的性质得到，再利用勾股定理求解． 【详解】解：取线段的中点，连接， ， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 已知锐角的一个三角函数求另两个 题型03 11．在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数和勾股定理，利用正切值求解余弦值是解题的关键． 首先利用正切值和勾股定理表示出斜边，再根据余弦公式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 12．在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查锐角三角函数值的计算，可先依据锐角余弦的定义设出直角三角形的边长，再利用勾股定理求出另一条直角边，最后根据正切的定义计算出的值． 【详解】解：∵在中，， ∴， 设，（）， ∴， ∴， 故选：B． 13．在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，利用正弦的定义，设，，则，再根据余弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 设，， 则， ∴， 故选：． 14．已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴． 已知锐角三角函数求边长题型04 15．如图所示，在中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，求出，，．根据得，从而可求出的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， 在中，． ， ， ， ． 在中，， ， ． 16．在中，的余弦值是，那么的长是___________． 【答案】16 【分析】本题考查了已知角的余弦值求边长．根据余弦定义，在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比，即 ，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵的余弦值是，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：16． 17．如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】过A作轴于B，则，，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：过A作轴于B， ∵点在第一象限， ∴，， 在中，， ∴，即． 18．在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 【答案】 【分析】过点B作于点G，则，再由矩形的性质得，从而有；在中由正弦函数关系求得，由勾股定理求得，在中由正弦函数关系求得，即可求得矩形的面积． 【详解】解：如图，过点B作于点G，则， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴； ∵，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∴， 在中，， ∴， ∴矩形的面积为． 特殊角的三角函数值题型05 19．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 20．当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】B 【分析】在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴锐角时，的值大于． 故选：B． 21．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 特殊角的三角函数值的混合运算 题型06 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先代入各特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加法； （2）先代入各特殊角的三角函数值，再计算乘方与乘法，最后计算加减． 【详解】（1）解： 原式 ； （2）解：原式 ． 23．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解∶原式； （2）解：原式． 24．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 用计算器求锐角的三角函数值 题型07 25．求，用计算器的按键顺序正确的是（     ） A．     B．      （或      ） C．       D．          【答案】B 【分析】根据度分秒格式角度的输入按键规则，输入即可． 【详解】解：首先按下功能键，激活正切计算模式，再输入度数值，按下度分秒转换键，确认的单位为度，最后输入数值，按下度分秒转换键，确认的单位为分，由此可得用计算器的按键顺序正确的是或． 26．如图，在中，，在用教材上的科学计算器求的度数时，下列操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正弦的定义，用计算器求一个角的度数，解题的关键是熟练掌握正弦定义；根据，，，得出，然后用计算器上反正弦按键计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴用科学计算器上反正弦按键求的度数时，按键顺序为． 故选：B． 27．已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查计算器的使用，掌握计算器上三角函数的计算方法是解题的关键．已知，一般先按键“”，再按键“”，输入“”，再按键“＝”即可得到结果． 【详解】解：已知，用计算器求锐角A的大小，按键顺序“”，“”，“”，“＝”． 故选：A． 28．如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接．若，，用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作辅助线构造全等三角形，将已知线段转化到含待求线段的直角三角形中，利用三角函数求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴. 在和中，， ， ∴， ∵，， ∴点在射线上， ∴， 在中，. ∴， ∴ ∴ 按键顺序为． 锐角三角函数之间的关系、性质 题型08 29．下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角三角函数的运算，根据，，以及特殊角的三角函数值进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，原式正确，故该选项不符合题意； B、，原式正确，故该选项不符合题意； C、，原式正确，故该选项不符合题意； D、，则，原式不正确，故该选项符合题意； 故选：D． 30．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了互余的两个角的三角函数关系，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 31．已知为锐角，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的序号是（　　） A．（1）（3）（4） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（3）（4） 【答案】C 【分析】本题主要考查了同角三角函数的关系及互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．根据同角三角函数的关系及互余两角三角函数的关系进行判断即可． 【详解】解：为锐角， ． 对于（1）：取，，故（1）错误； 对于（2）：根据互余关系，恒成立，故（2）正确； 对于（3）：根据正切定义，恒成立，故（3）正确； 对于（4）：因为，所以，所以，故（4）正确． 综上，正确的结论为：（2）（3）（4）． 故选：C． 32．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 33．下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查特殊三角函数值、同角三角函数的关系．对于A、B选项代入相应的特殊三角函数值即可判定，对于C、D选项根据同角三角函数之间的关系即可判定． 【详解】解：A、，，则，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 34．下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的基本性质，包括特殊角的值和余角恒等式． 通过直接计算和恒等式变换判断各结论的正确性． 【详解】解：∵ ， ∴，故①错误； ，故②正确； ∵ ，即根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ，故③正确； ∵ ，且为锐角，，结合根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ， ∴ ，故④正确； 综上，正确的结论有②、③、④，共3个， 故选：C． 1．在中，，若，，则的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，熟记锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键．先根据勾股定理求出，再根据正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ∴， 故选：A． 2．在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AB＝BC，则∠C等于(　　) A．45° B．30° C．60° D．50° 【答案】C 【详解】如图，∵在△ABC中，∠B=90°，AB＝BC， ∴tanC=， ∴∠C=60°. 故选C. 3．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，则的正弦值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，求正弦值，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是得到是等腰直角三角形． 连接，首先证明出是等腰直角三角形，，得到，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】如图所示，连接 设正方形网格中每个小正方形的边长为1 ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴． 故选：C． 4．我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的_____，记作_____，即cos A＝_____， 【答案】 余弦 cos A 【解析】略 5．在中，，如果，，则______________． 【答案】16 【分析】通过，求出，进而得到，即可求解，本题考查了锐角三角函数，解题的关键是：熟练掌握锐角三角函数的定义与计算． 【详解】解：， 得：， 在中，， ，即：， ， 故答案为：16． 6．已知α为锐角，且，则α等于________． 【答案】/55度 【分析】本题考查特殊角度三角函数，根据求解即可． 【详解】∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 7．在中，，则一定是______． 【答案】等边三角形 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 则一定是等边三角形， 故答案为等边三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数的计算．分别计算各项，将各项结果代入原式后再合并化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 9．（1）计算的结果为______； （2）在RtABC中，∠C是直角，求证：． （3）根据（2）中的结果，计算：． 【答案】（1）1 （2）∵在中，是直角， ∴，， ∴． （3） 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． （1）代入特殊角的三角函数值计算，即可得答案； （2）根据正切的定义即可得结论； （3）根据相关角的三角函数之间的关系，代入特殊角的三角函数值，再化简绝对值，计算即可得答案． 【详解】解：（1）． 故答案为： （2） 略 （3） ． 10．如图，在水平地面上，有一盏垂直于地面的路灯AB，在路灯前方竖立有一木杆CD．已知木杆长CD＝2.5米，木杆与路灯的距离BC＝5米，并且在D点测得灯源A的仰角为39°，请在图中画出木杆CD在灯光下的影子（用线段表示），并求出影长．（结果保留1位小数，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.8） 【答案】DC的影长为3.1m． 【分析】直接延长AD交BC的延长线于点E，可得木杆CD在灯光下的影子，进而利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：在过点D的水平线上取点F， 延长AD交BC于点E，光线被CD遮挡得到影子是CE， 则线段EC的长即为DC的影长， ∵∠ADF=39°，DF∥CE， ∴∠E=∠ADF=39°， ∵DC＝2.5， ∴在Rt△DCE中， tan39°＝， 解得：EC＝≈3.1（m）， 答：DC的影长为3.1m． 【点睛】本题考查解直角三角形，掌握解直角三角形的方法，选择恰当锐角三角函数是解题关键． 1．（2026·江苏·二模）如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题的核心在于利用折叠的性质（全等）和等腰直角三角形的角度特征，通过角度转换证明，从而将求转化为求．接着，通过设未知数，在中利用勾股定理建立方程求出线段的长度，最后代入三角函数定义求解． 【详解】∵是等腰直角三角形，， ∴，． ∵D为的中点， ∴． 根据折叠的性质可知，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴． 在中，，即， 解得， ∴． ∴． 2．（2025·上海·模拟预测）对于一个不大于的角，从顶点出发在角的内部有一条线把这个角分成两个角，我们把这两个角的正弦值的比叫做“分角正弦比”．（如图的“分角正弦比”为）．在矩形中，，被分的“分角正弦比”为，则矩形的面积为___________ 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的定义和题目中提到的“分角正弦比”的定义，计算长方形的长宽之比，根据勾股定理计算长方形的长和宽，最后根据长方形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：由题意得， ，即， 设，则， 在中，，即， 解得，或（舍去） ， ． 3．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，线段与线段交于点O，则的余弦值是______． 【答案】 【分析】把向上平移2个单位长度，得到线段，连接，取点G，连接，交于点F，可得，，由垂直平分，得，得，即得答案． 【详解】解：把向上平移2个单位长度，得到线段，连接，取点G，连接，交于点F， 则， ∴， ∵ ， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用——网格中的三角形，熟练掌握网格作图，平移性质，等腰三角形定义，线段垂直平分线判定和性质，解直角三角形相关计算，是解题的关键. 4．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将B角折起，使点B落在边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是． 如图1，当时，； 如图2，当时，； 如图3，当时，； …… 依此类推，当时， _____． 【答案】 【分析】根据题意可得规律当时，，据此规律可得答案． 【详解】解：当时，； 如图2，当时，； 如图3，当时，； ……， 以此类推，可知当时，； ∴当时，． 5．（25-26九年级下·上海·阶段检测）如图，四边形中，，，，交的延长线于点，若，则的值为_______． 【答案】 【分析】连接，过点C作于点F，先证明，得出，进而证明是等边三角形，根据，设，，则，，得出，解，进而求得，，然后根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点F， ，， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 设，，则，， ， ， ， ， ． 1．（2026·上海·中考真题）在中，，，，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 根据正切的定义，． 2．（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，由题意，得，线段的和差求出的长，解，求出的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米； 故答案为：． 3．（2026·浙江·中考真题）如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 【答案】米 【分析】利用正切函数定义即可解答． 【详解】解：由题意可知，为直角三角形，且，，米， 在中，， （米）， 即智能车无法采样的距离为 2 米． 4.（2026·江苏盐城·中考真题）如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】作垂线于，先利用勾股定理计算的长度，再利用面积法求出的长度，最后通过正弦的定义求出的值． 【详解】解：如图，作于，则， 四边形为矩形， ， ． 纸片沿方向平移到， ， ， ． ，， 的面积， ， ． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $