29.1锐角的正弦、余弦与正切(1) 同步练 2026-2027学年沪教版五四制数学九年级上册

沪教版五四制2026学年九年级上册 29.1 锐角的正弦、余弦与正切(1) 学习目标 知识详解 【知识点01】 锐角的正弦 1. 定义 在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别用a 、b 、c 表示.而在 Rt△ABC中，若∠C=90°, 直角边 BC 和AC 分别称为∠A 的对边和邻边， 而直角边AC 和BC 分别称为∠B 的对边和邻边. 直角三角形中一个锐角的对边与斜边之比叫作这个锐角的正弦. A 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角 A 的正弦记作sinA, 其值为 【易错点睛】 锐角的正弦值是个比值，它与角的大小有关，与三角形的大小没有关系。 2. 锐角正弦的性质 （1）如果一个锐角的大小确定了，那么这个角的正弦值也就确定了；反过来，如果一个锐角的正弦值确定了，那么这个锐角的大小也就确定了. （2）当角α在0°到 90°的范围内增大时，sinα 的值也增大. （3）锐角A 的取值范围是0°<∠A<90°，其正弦值的取值范围是0<sinα<1. 【知识点02】 锐角的余弦 1. 定义 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边之比叫作这个锐角的余弦. A 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角 A 的余弦记作cosA, 其值为 2. 锐角余弦的性质 （1）如果一个锐角的大小确定了，那么这个角的余弦值也就确定了；反过来，如果一个锐角的余弦值确定了，那么这个锐角的大小也就确定了. （2）当角α在0°到 90°的范围内增大时，cosα 的值随之减小. （3）锐角A 的取值范围是0°<∠A<90°，其正弦值的取值范围是0<cosα<1. 3. 正弦、余弦的关系 （1）一个锐角的正弦等于它余角的余弦。sin A =cos B ( A +B=90︒)； （2）同一个锐角的正弦、余弦的平方和等于1. si +co =1. 【知识点03】 锐角的正切 1. 定义 直角三角形中一个锐角的对边与邻边之比叫作这个锐角的正切. A 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角 A 的正切记作tanA, 其值为 2. 锐角正切的性质 （1）如果一个锐角的大小确定了，那么这个角的正切值也就确定了；反过来，如果一个锐角的正切值确定了，那么这个锐角的大小也就确定了. （2）当角α在0°到 90°的范围内增大时，tanα 的值也增大. （3）锐角A 的取值范围是0°<∠A<90°，其正弦值的取值范围是tanα>0. 3. 锐角三角函数之间的关系 （1）互余角之间的关系 sin A =cos B，tan A ( A +B=90︒)； （2）同一个锐角三角函数之间的关系 si +co =1，； 【题型1】 正弦与余弦的概念辨析题型精讲 【例1-1】如图，在中，，，垂足为点Q． （1） ． （2） ______，______．（用正弦或余弦表示）P N M Q 【变式1-1】如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江金华·期末）在中，，若将各边长度都扩大为原来的倍，则的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 【题型02】 求一个锐角的正弦、余弦 【例2-1】在中，，AC = 4，AB = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值． 【例2-2】如图，在中，，于D，若，求． 【变式2-1】在中，，AC = 4，BC = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值． 【变式2-2】如图，在直角坐标平面内有一点P（2，3）．求OP与x轴正半轴的夹角的正弦和余弦的值．x y P O 【变式2-3】（25-26九年级上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知点、，则正弦值是________． 【变式2-4】已知，在中，，BC = 9，sin A =． 求：（1）AB的长；（2）sin B的值． 【变式2-5】已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是 ． 【变式2-6】已知，在中，，sin A =，求sin B的值． 【题型03】已知锐角的正弦、余弦求三角形边长 【例3-1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则_____． 【变式3-1】如图，在中，，，，求的长． 【变式3-2】如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．    【题型04】 正切的概念辨析 【例4-1】如图，在中，，的对边是______，的邻边是______ 的对边是______，的邻边是______． A B C 【例4-2】如图，在中，，，垂足为点Q． （1） 在中，的对边是______，的邻边是______； 在中，的对边是______，的邻边是______． （2） 在____中，的对边是MP；在____中，的邻边是NQ．P N M Q （3） 的邻边是______，的对边是______． 【变式4-1】如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 【变式4-3】已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 【变式4-4】在中，，的对边分别是a，b，c，则下列等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】已知，在中，，BC = 9，tan A = ． 求：（1）AB的长；（2）tan B的值． 【变式4-6】如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，，，云梯底部离地面的距离BC为2m．则云梯的顶端离地面的距离AE的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-7】等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ． 【题型05】已知正切值求边长 【例5】在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 【变式5-1】已知中，，，，那么的长为______． 【题型06】锐角三角比的格点问题 【例6-1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则的值为________． 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式6-2】下图所示的是的小正方形构成的网格，四点均在格点上，连接和交于点．小观说：“与垂直．”小武说：“．”请判断他们的说法是否正确，并说明理由． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（  ） A．OA B．OB C．OC D．OD 【题型07】锐角三角函数之间的关系 【例7-1】已知，则的值为______． 【变式7-1】若，则锐角______． 【变式7-2】已知是锐角，且，则______． 【变式7-3】（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【题型08】综合练习 【例8-1】（2023·江西赣州·一模）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形，点的横坐标为 ． 强化训练 一.选择题 1.如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2.在中，，AB = c，AC = b，BC = a，则下列关系不成立的 是（ ） A．b = c·cos A B．a = b·tan B C．c = D．tan A·tan B = 1 3．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，且与x轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九上建平中学期中）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，、是的两条高，连接，那么的值为（    ） A． B． C． D． 二.选择题 6.若是锐角，且，则______． 7．在中，，，则的值为_______． 8．如下图，在中，于点D，．求的值． 三.解答题 9．如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 10.（2024·上海宝山·统考一模）如图，在中，，，，点D是边上一点，且． (1)求的长； (2)求的正切值． 11．如图，在中，点在边上，，，，，求：线段的长．    12.（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版五四制2026学年九年级上册 29.1 锐角的正弦、余弦与正切(1) 学习目标 知识详解 【知识点01】 锐角的正弦 1. 定义 在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别用a 、b 、c 表示.而在 Rt△ABC中，若∠C=90°, 直角边 BC 和AC 分别称为∠A 的对边和邻边， 而直角边AC 和BC 分别称为∠B 的对边和邻边. 直角三角形中一个锐角的对边与斜边之比叫作这个锐角的正弦. A 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角 A 的正弦记作sinA, 其值为 【易错点睛】 锐角的正弦值是个比值，它与角的大小有关，与三角形的大小没有关系。 2. 锐角正弦的性质 （1）如果一个锐角的大小确定了，那么这个角的正弦值也就确定了；反过来，如果一个锐角的正弦值确定了，那么这个锐角的大小也就确定了. （2）当角α在0°到 90°的范围内增大时，sinα 的值也增大. （3）锐角A 的取值范围是0°<∠A<90°，其正弦值的取值范围是0<sinα<1. 【知识点02】 锐角的余弦 1. 定义 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边之比叫作这个锐角的余弦. A 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角 A 的余弦记作cosA, 其值为 2. 锐角余弦的性质 （1）如果一个锐角的大小确定了，那么这个角的余弦值也就确定了；反过来，如果一个锐角的余弦值确定了，那么这个锐角的大小也就确定了. （2）当角α在0°到 90°的范围内增大时，cosα 的值随之减小. （3）锐角A 的取值范围是0°<∠A<90°，其正弦值的取值范围是0<cosα<1. 3. 正弦、余弦的关系 （1）一个锐角的正弦等于它余角的余弦。sin A =cos B ( A +B=90︒)； （2）同一个锐角的正弦、余弦的平方和等于1. si +co =1. 【知识点03】 锐角的正切 1. 定义 直角三角形中一个锐角的对边与邻边之比叫作这个锐角的正切. A 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角 A 的正切记作tanA, 其值为 2. 锐角正切的性质 （1）如果一个锐角的大小确定了，那么这个角的正切值也就确定了；反过来，如果一个锐角的正切值确定了，那么这个锐角的大小也就确定了. （2）当角α在0°到 90°的范围内增大时，tanα 的值也增大. （3）锐角A 的取值范围是0°<∠A<90°，其正弦值的取值范围是tanα>0. 3. 锐角三角函数之间的关系 （1）互余角之间的关系 sin A =cos B，tan A ( A +B=90︒)； （2）同一个锐角三角函数之间的关系 si +co =1，； 【题型1】 正弦与余弦的概念辨析题型精讲 【例1-1】如图，在中，，，垂足为点Q． （1） ． （2） ______，______．（用正弦或余弦表示）P N M Q 【难度】★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】，理解了这个定义，再确定 直角三角形，当互余时，，所以第（2）均有两解． 【总结】考查锐角的正弦和余弦的定义及求解方法． 【变式1-1】如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江金华·期末）在中，，若将各边长度都扩大为原来的倍，则的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 【答案】A 【分析】本题考查正弦的定义是对边与斜边的比值，涉及相似三角形判定与性质，熟记正弦的定义是解决问题的关键． 先得到原直角三角形的正弦值，再将各边长度扩大为原来的倍，由相似三角形的判定与性质可知，，再计算的正弦值，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 令， 的正弦值； 若将各边长度都扩大为原来的倍，则扩大后的直角三角形三条边为， ， ， ， 的正弦值； 综上所述，， 故选：A． 【题型02】 求一个锐角的正弦、余弦 【例2-1】在中，，AC = 4，AB = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值． 【难度】★ 【答案】． 【解析】画示意图（略），由勾股定理，得，， ． 【总结】考查锐角的正弦值和余弦值的求解． 【例2-2】如图，在中，，于D，若，求． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 易证得，进而证得，根据相似三角形的性质得到，设、，进而求出，根据勾股定理求出的长，利用求解即可． 【详解】解：， ， 在中，， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 设、， ， 在中，由勾股定理得：， ． 【变式2-1】在中，，AC = 4，BC = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值． 【难度】★ 【答案】． 【解析】画示意图（略），由勾股定理，得,， ． 【总结】考查锐角的正弦和余弦． 【变式2-2】如图，在直角坐标平面内有一点P（2，3）．求OP与x轴正半轴的夹角的正弦和余弦的值．x y P O 【难度】★ 【答案】． 【解析】过点P作PH垂直于轴，则 由勾股定理，得，． 【总结】考查作垂线构造直角三角形求解锐角的正弦和余弦． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知点、，则正弦值是________． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是正确构造直角三角形． 过点作轴于点C，利用勾股定理求解斜边，再由正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点C， ∵点、， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-4】已知，在中，，BC = 9，sin A =． 求：（1）AB的长；（2）sin B的值． 【难度】★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）在中，，∵，∴； （2）由勾股定理，得，． 【总结】考查学生对知识的逆向运用，已知锐角的正弦值，求解相关线段长． 【变式2-5】已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正弦函数．在直角坐标系中，过作轴，构造直角三角形，可得直线与轴夹角的正弦值． 【详解】解：过作轴，交轴于点，则， ∵， ∴， 在中，， 直线与轴夹角的正弦值， 故答案为：． 【变式2-6】已知，在中，，sin A =，求sin B的值． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】在中，， ∴． 【总结】考查锐角三角比之间的相互转换，运用了“设法”． 【题型03】已知锐角的正弦、余弦求三角形边长 【例3-1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则_____． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；因此此题可根据三角函数进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．    【答案】． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质．由已知条件可知：，，在中，，由此可以求出，然后根据勾股定理求出，最后在中，利用余弦函数的定义即可求出． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， ， ， 在中，，即， ， 根据勾股定理得：， 在中，，即， ． 【题型04】 正切的概念辨析 【例4-1】如图，在中，，的对边是______，的邻边是______ 的对边是______，的邻边是______． 【难度】★A B C 【答案】． 【解析】在直角三角形中，锐角的对边是指该锐角相对的直角边， 邻边是指该锐角相邻的直角边，直角所对的边叫斜边． 【总结】考查学生对“对边、邻边”的概念理解． 【例4-2】如图，在中，，，垂足为点Q． （1） 在中，的对边是______，的邻边是______； 在中，的对边是______，的邻边是______． （2） 在____中，的对边是MP；在____中，的邻边是NQ．P N M Q （3） 的邻边是______，的对边是______． 【难度】★ 【答案】（1）；；（2）；； （3）． 【解析】图中有3个直角三角形，同一个锐角有可能属于两个直角三角形，注意审题清楚即 可． 【总结】考查“对边、邻边”的基础概念． 【变式4-1】如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得,，即可判断D选项． 【详解】解：，， 故A选项正确，不符合题意； CD、CE分别是斜边AB上的高和中线， ， 故B选项不正确，符合题意； ，即， 故C选项正确，不符合题意； ，即, 又 故D选项正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形中线，高线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，找出图中相等的角是解题的关键． 【变式4-2】如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，以及掌握锐角三角函数值的变化规律． 锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小． 【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，越大，梯子越陡． A、的值越大，梯子越陡，原说法错误，不符合题意； B、的值越小，梯子越缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，说法正确，符合题意； D、梯子的倾斜程度与的正切值有关，原说法错误，不符合题意； 故选： C． 【变式4-3】已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)点不在这个函数图像上； (3)和． 【变式4-4】在中，，的对边分别是a，b，c，则下列等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义选出正确答案即可． 【详解】解：A、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； B、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； C、，即，该式计算错误，符合题意，故本选项正确； D、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； 故选：C． 【变式4-5】已知，在中，，BC = 9，tan A = ． 求：（1）AB的长；（2）tan B的值． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】画示意图（略），在中，∠C＝90°，,∵， ∴．由勾股定理，得；，也可由互余的两个锐角的正切值乘积为1算得． 【总结】考查锐角的正切值的基础运用，学生需要利用已知的三角比来求解相关线段． 【变式4-6】如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，，，云梯底部离地面的距离BC为2m．则云梯的顶端离地面的距离AE的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 到DE=BC=2，用∠ABC的正弦求得AD=ABsin∠ABD=15sinα，得到AE= DE +AD =2+15sinα． 【详解】解：∵AE⊥CE，BC⊥CE， ∴∠AEC=∠BCE=90°， ∵BD∥CE， ∴BD⊥AE，BD⊥BC， ∴∠ADB=∠BDE=∠DBC=90°， ∴四边形BCED是矩形， ∴DE=BC=2， ∵AD=ABsin∠ABD=15sinα， ∴AE= DE +AD =2+15sinα． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握矩形的判断和性质，正弦的定义和计算． 【变式4-7】等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ． 【答案】3 【知识点】重心的有关性质、三线合一、斜边的中线等于斜边的一半、求角的正切值 【分析】设与交于Q，连接并延长交于点，由题意得，点为的重心，则为中点，，则为等腰直角三角形，设，则，即可求解． 【详解】解：设与交于Q，连接并延长交于点， 由题意得，点为的重心， ∴为中点， ∵， ∴， ∵，为中点 ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴设，则， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求一个角的正切值，等腰三角形的性质，重心的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型05】已知正切值求边长 【例5】在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切的定义是解题关键；利用正切函数的定义，在直角三角形中，利用． 【详解】解：∵在中，已知，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【变式5-1】已知中，，，，那么的长为______． 【答案】6 【分析】此题考查利用正切值求线段的长，根据正切函数的定义，等于的对边与邻边的比值，即，由此求出的长． 【详解】在中，，， ∵，， ∴， 解得 ， 故答案为6． 【题型06】锐角三角比的格点问题 【例6-1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，求一个角的正弦值，先理解题意，结合网格特征，得，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：取格点，连接，如图所示： 结合网格特征，得， 则， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、正切的定义等知识点．如图：连接，再利用勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图：连接， 设每个小正方形的边长为1， 则由勾股定理得：，，， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：C． 【变式6-2】下图所示的是的小正方形构成的网格，四点均在格点上，连接和交于点．小观说：“与垂直．”小武说：“．”请判断他们的说法是否正确，并说明理由． 【答案】小观、小武的说法都正确，理由见解析 【分析】通过构造直角三角形，利用三角函数判断角的关系证明垂直，再利用平行线和三角函数证明线段比例． 【详解】解：小观、小武的说法都正确．理由如下： 取点，连接如图所示： 在中， 在中，， ． ， ， ， ．故小观的说法正确． 根据题意可知，， ，即， 在中，， ．故小武的说法正确． 【点睛】本题考查三角函数与平行线的综合应用，掌握利用三角函数判断角的关系证明垂直，结合平行线性质证明线段比例是解题的关键． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（  ） A．OA B．OB C．OC D．OD 【答案】A 【分析】根据余弦的定义分别求出四条射线与x轴正半轴夹角的余弦值，即可得出答案. 【详解】A. ，射线OA与x轴正半轴夹角的余弦值，故A符合题意； B. ，射线OB与x轴正半轴夹角的余弦值，故B不符合题意； C. ，射线OC与x轴正半轴夹角的余弦值，故C不符合题意； D. ，射线OD与x轴正半轴夹角的余弦值，故D不符合题意； 故选A. 【点睛】本题考查网格图中的三角函数值，熟练掌握余弦的定义是解题的关键. 【题型07】锐角三角函数之间的关系 【例7-1】已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的性质，根据变形计算即可． 【详解】∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式7-1】若，则锐角______． 【答案】 【分析】本题考查了正切函数的性质．根据正切函数的性质，两个互余角的正切值乘积为1，即对于锐角β，有 ，结合，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为． 【变式7-2】已知是锐角，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义． 将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解； 【详解】， ∴原式 故答案为：． 【变式7-3】（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入原式，转换为关于的式子，约分即可．本题考查了同角三角函数关系式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：把代入原式， 则原式． 故选：C． 【变式7-4】如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 【题型08】综合练习 【例8-1】（2023·江西赣州·一模）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形，点的横坐标为 ． 【答案】2或或 【分析】分情况讨论：①当点在轴的正半轴上，且时，②当点在轴的正半轴上，且时，③当点在轴的负半轴上，且时，利用全等三角形及直角三角形的性质和正切值求解即可． 【详解】解：，， ，， 设点， 当时，点在直线上（且不与点重合）， 点不能为直角顶点， ①如图，当点在轴的正半轴上，且时， 由旋知，，， ，， ， ， ，， ， ，即点的横坐标为2； ②如图，当点在轴的正半轴上，且时， 过点作于点，则， 由旋转可知，，， ，， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 点的横坐标为； ③如图，当点在轴的负半轴上，且时， 过点作于点，则， 同理可得， ，， ，， 同理可得， ， ，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为2或或， 故答案为：2或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角的正切，解题的关键是熟练掌握知识点，注意分类讨论思想的运用． 强化训练 一.选择题 1.如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在中, 故选：． 2.在中，，AB = c，AC = b，BC = a，则下列关系不成立的 是（ ） A．b = c·cos A B．a = b·tan B C．c = D．tan A·tan B = 1 【难度】★ 【答案】B 【解析】，所以A正确；，所以B不成立；， 所以C正确；因为∠A和∠B互余，所以，所以D正确． 【总结】考查锐角三角比的定义及等式性质． 3．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，且与x轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴构造直角三角形，根据点坐标结合正切定义求出，利用勾股定理求出，最后根据正弦定义求出即可． 【详解】解：过点作轴于点，则， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25九上建平中学期中）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【解析】解：如下图， A. ，故该选项不成立，不符合题意； B. ，故该选项不成立，不符合题意； C. ，故该选项不成立，不符合题意； D. ，故该选项成立，符合题意． 故选：D． 5．如图，、是的两条高，连接，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角形的定义等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由已知条件易证可得，即∶ ，再证可得，最后根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴，即∶ ， 又∵， ∴， ∴． 故选∶B． 二.选择题 6.若是锐角，且，则______． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】画示意图，因为，将放于一个直角三角形中， 设它的邻边是，对边是，则斜边是， 因为是的余角，所以． 【总结】考查设法的应用，以及互余角的三角比之间的转换． 7．在中，，，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形． 根据正切函数的定义，可用表示，再根据勾股定理求得，最后利用余弦函数的定义求解． 【详解】解：在中，，， 即， 设，则， 由勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 8．如下图，在中，于点D，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数值和三角形的内角和定理，解题的关键是构造直角三角三角形. 根据三角形的内角和定理求出，得出，求出即可． 【详解】解：， ， ． ， ． 三.解答题 9．如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）根据正切的定义解即可得到答案； （2）根据（1）所求可得的长，进而可得的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正弦的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 10.（2024·上海宝山·统考一模）如图，在中，，，，点D是边上一点，且． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形，熟知三角函数的定义并构造出合适的直角三角形是解题的关键． （1）根据的正弦值，求出的长，再利用勾股定理求出即可解决问题． （2）过点作的垂线，在所构造的直角三角形中，求出的邻边和对边即可解决问题． 【详解】（1）解：∵在中，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）过点作的垂线，垂足为，由得，． ∵， ∴， ∴， 即， 得， 在中， tan∠ACD= ∴的正切值为． 11．如图，在中，点在边上，，，，，求：线段的长．    【答案】9 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，先解直角三角形得到，再证明得到，由此推出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12.（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作交于点，根据锐角三角函数的定义设，，结合勾股定理求出，，根据折叠的性质得出，设，结合勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图： 在中，，，， 故设，， 则， 解得（负值舍去）， 故，， 根据题意可得， 故设， 则，， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $