1.1 锐角三角函数（分层作业）数学北师大版九年级下册

1.1 锐角三角函数 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角之间的关系是解题关键． 直接利用勾股定理求出的长，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了通过余弦值求线段长度，熟练掌握余弦的定义是解题的关键． 利用余弦定义可知，再通过勾股定理可得的长 ． 【详解】解：∵， ∴， 又∵, ∴， ∴， 故选：C ． 4．（2025·云南·模拟预测）如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，根据余弦的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边是解题的关键． 根据勾股定理，可得的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【详解】解：在中，，，，由勾股定理，得 ． 由锐角的余弦，得． 故选：C． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，，，，那么（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作． 依据中，，，，进行表示即可． 【详解】解：∵在中，，画图如下： ∴， 故选A． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，于，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，求角的余弦值，先利用勾股定理求出的长，进而求出的值，再证明即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于点D，在中，利用勾股定理求得线段的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴， 故选：D． 9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的余弦值（    ）． A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，根据将三角形的各边长度都扩大为原来的2倍后，变化后的三角形和原三角形相似，的度数不变，即可得出结果． 【详解】解：∵将三角形的各边长度都扩大为原来的2倍，变化后的三角形和原三角形相似， ∴的度数不变， ∴的余弦值不变； 故选A． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理及正切的定义，求出相关线段的长度并能根据定义准确计算是正确解答此题的关键． 由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，进而根据正切即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故， 故选C． 11．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了利用正弦函数求线段长，掌握正弦的定义是解题的关键． 根据三角函数正弦函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即，解得：． 故答案为5． 12．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中锐角的正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键． 根据题意构造直角三角形如图所示，点D在格点上，从而可以求出的值． 【详解】解：构造直角三角形如图所示，点D在格点上， 由图可得， 故答案为：． 13.（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，坐标与图形，根据点A的坐标可得的长，解直角三角形求出的长，利用勾股定理求出的长，再根据菱形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为；8． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，，直线的表达式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的定义，利用等角的代换，体现了思维的灵活性． 根据一次函数的性质，求出、的坐标，得到、的长度，根据三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：由直线的表达式为，得点的坐标为，点的坐标为， ， ， ∴， ， 故答案为：. 15．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，已知，在中，，，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识；由等腰三角形性质得；由余弦函数可求得的长，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值为12． 16．（2025·浙江衢州·三模）如图，在中，点是边上一点，且． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，求一个角的正切值，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先结合等腰三角形的三线合一，得，则，再把数值代入进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴在中，． （2）解：∵ ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 则． 1．（2025九年级·全国·专题练习）已知中，，，，所对的边分别是a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 由，根据勾股定理就可以用表示出，根据三角函数的定义就可以求出． 【详解】解：在中，，， ∴ 由勾股定理，， 代入，得， ∴ ，， ∴ ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东·阶段练习）构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，，延长到，，连接，得．根据此图可求得的结果（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数比，二次根式分母有理化，解题的关键是掌握以上性质． 令，得出，根据勾股定理求出，然后根据锐角三角函数比求解即可． 【详解】解：令， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．连接，先根据矩形与折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，最后在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，为的中点，点在边上， ∴，，， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理求出的三边的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格的特点和勾股定理可得， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·广东·模拟预测）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切函数；能熟练，勾股定理，正切函数进行求解是解题的关键．结合矩形的性质和折叠的性质，由正切函数得 ，由勾股定理得，，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，， 四边形为矩形， ，，， ， ， 由勾股定理得， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ， 在中， （）； 故答案为：． 6．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，连结并两端延长，交于点，交于点．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质、正切的定义、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据题意可知，，再利用锐角三角形函数得到，最后根据勾股定理可得． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：， 7．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，延长线交于点E， (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，则．由得到，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求出的度数； （2）连接，，则．证明是等边三角形，可知，根据等边对等角结合三角形外角的性质得到，根据三角形内角和可知，即，进而根据三角函数计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，则． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接，，则． ∵，， ∴， ∴， 即是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，圆的相关概念，等边三角形的判定和性质，三角函数，熟练掌握各知识点是解题的关键． 8．（2025·浙江衢州·二模）如图，直角三角形中，是中线，是角平分线，与交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质及解直角三角形的知识， （1）根据直角三角形斜边中线的性质得出，求出，从而得，证出是等边三角形，利用三线合一即可得出结果； （2）先求出，在中利用三角函数求出即可求出结果． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ， 是等边三角形， 是的角平分线， ； （2）解：是等边三角形， 是 的角平分线， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ． 1．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键． 设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果． 【详解】解：设宽为， ∵宽与长的比是， ∴长为：， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 变形得：， ，， ∴， 故选A． 2．（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角形相似和三角函数推导线段长度关系．自点B，D分别作的垂线段，利用得到，再利用，推出，进而得到，设，结合O是的中点则可推出，由可表示，在勾股定理建立方程即可求解x，则可求． 【详解】如图，过D作于E，过B作于F， ∵， ∴，则， 设 ，则， ，， ， ， ， 即， ， ∵O是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理：，即， 解得：， ． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段练习）如图，矩形ABCD中，，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，连接，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换折叠问题、矩形的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 依据题意，过点E作于点M，过点F作于点H，由，则，，从而，然后证，故，接着可得，则，又求出，故，又设，，可得，求出即可计算得解． 【详解】解：过点E作于点M，过点F作于点H，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，E为的中点， ， 将沿翻折得到， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， ， 设，则， ， ， , ，即， 解得，则， ． 4．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 【答案】（1）4；4；（2）；类比探究：见解析；拓展延伸： 【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，三角形的全等的判定及性质，三角函数的概念等知识点，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 操作发现：（1）根据图形即可判断重叠部分即为（对角线分成的四个三角形中的一个）求出面积即可；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，证明四边形是正方形，求解面积即可； （2）如图，过点作于点，于点．证明，从而证明，即可求得结论； 类比探究： 先证明，从而证明，即可证明结论； 拓展延伸：过点作于点，于点．先证明，即可证明，，从而证明，根据，即可求得，由重叠部分的面积，即可求得结果． 【详解】解：操作发现：（1）四边形是正方形， ， 当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为； 当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形的面积是4， 故答案为：4，4； （2）如图，过点作于点，于点． 是正方形的中心， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； 类比探究： 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 拓展延伸： 过点作于点，于点． 同（2）可知四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， 重叠部分的面积 ． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 锐角三角函数 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．13 4．（2025·云南·模拟预测）如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 5．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，，，，那么（　　） A． B． C．2 D． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，于，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的余弦值（    ）． A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 12．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是 ． 13.（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为 ． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，，直线的表达式为，则的值为 ． 15．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，已知，在中，，，求的值． 16．（2025·浙江衢州·三模）如图，在中，点是边上一点，且． (1)求的长． (2)求的值． 1．（2025九年级·全国·专题练习）已知中，，，，所对的边分别是a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东·阶段练习）构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，，延长到，，连接，得．根据此图可求得的结果（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 5．（2024·广东·模拟预测）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是 ． 6．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，连结并两端延长，交于点，交于点．若，，则 ． 7．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，延长线交于点E， (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 8．（2025·浙江衢州·二模）如图，直角三角形中，是中线，是角平分线，与交于点． (1)求证：； (2)求的长． 1．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段练习）如图，矩形ABCD中，，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，连接，求． 4．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $