29.2 解直角三角形（分层作业练题型）数学新教材沪教版五四制九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 29.2解直角三角形 参考答案 颗型01 选择合适边角关系进行变式 1.B 2.B. 3.B 4.B. 5.C 题型02 已知一边一角解直角三角形 2 6.5,5 105 205 7.【答案】(1) 3；3 2)103:10 【分析】利用特殊角三角函数的定义进行求解即可. 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，b=10,∠B=60°」 b 101020V5 61010w5,c-sn8sn605-3, ∴.a= tanB tan60°3 2 (2)解：在Rt△ABC中，c=20,∠A=60°， :a=6sinA=20x5=10N5,b=cos4=20×=10. 2 2 8.【答案】(1)证明：，四边形ABCD是正方形 .AD=AB,∠BAD=90°， ·∠EAB+∠FAD=90°： BE⊥AM,DF⊥AM, .∠AEB=∠DFA=90°， .∠EAB+∠EBA=90°， ∴.∠EBA=∠FAD, 1/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABE≌△DAF(AAS): (2)解：，△ABE≌△DAF, ∴.∠BAE=∠ADF,AF=BE, Ssin∠BAE=sin∠ADF= 六在Rt△MEB中，BE=AB-sin∠BAE=2 &4F-号，AE-a-B服-5 .EF=AE-AF=4 5· 9.【答案】() 证明：，CE平分∠ACB, ,∠ACE=∠BCE, .CF=EF, ·∠ACE=LDEC, ∴.LDEC=∠BCE, 又LDGE-∠BGC,CG=EG, .△DGE≌aBGC(ASA). ∴.BG=DG,又CG=EG, ∴四边形CDEB是平行四边形： (2)解：：四边形CDEB是平行四边形， ÷.ABIICD,∠CDF=∠AEF=∠ABC,BC=DE,∠DCF=∠A=90°， LCos∠CDF=cos∠AEF=cos∠ABC=4 CD 4 AE 4 ·DF5'EF5' CD=20, .DF=25, .EF=CF=√252-202=15， AE=4EF=12, 5 .AF=V152-122=9, 2128 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AC=CF+AF=15+9=24 10. 【答案】(1) 证明：四边形ABCD是平行四边形 ∴.AD∥BC,AD=BC F是AD中点，E是BC中点 ∴AF∥EC,AF=EC ∴.四边形AECF是平行四边形 ,EF平分∠AEC ∴.∠AEF=∠FEC AF∥EC ∴.∠AFE=∠FEC=∠AEF .'AE=AF ∴，四边形AECF是菱形 (2)解：四边形AECF是菱形 ∴.A0=OC,E0=F0.∠AOF=90° AF=5’ sin∠FAC=, .OF=3 A0=C0=V52-32=4, 过点O作OG⊥AB于点G, :20A-0F=A.0G 1 2 时x3x4=5.0c 0G=2 6=o-0c--g-号 GD=9+5= 5 ∴.0D=VGD2+0G --2 3128 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GF 0 B C 题型03 已知两边解直角三角形 11. 【详解】(1)解：：在R1aABC中，∠C=90°，BC=1,AC=V5, :tan∠A=BC=L-V5 =Ac=3=3, ∠A=30°： (2)解：：在RtAABC中，∠C=90°，AC=3,AB=6, “cos∠A=AC=31 AB62, .∠A=60° 12.【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8,BC=4V3, AC=VAB2-BC2=82-(4W3=4, “cos∠A=AC=41 AB82 ∴.∠A=60°. 1B.【详解a)cos ZABD-奶-子-)&D=60 (2)当点E落在AD上时，如图 B 在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°， .GE AB .∠GED=∠A=90°， 又LEGF=90°， ∴，四边形EGFD是矩形， ∴DG=EF=VGE2+GF2 = +3=2, 4128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由已知得BG=2x,DG=4-2x即4-2x=2, 解得x=1. (3)当0<x≤1时，如图重叠部分为Rt△EFG, D B 二GFG=)XIx3V5 2: 3 当IKx≤2时，重叠部分的面积可看作矩形MGND的面积减去RtADMN的面积， G F C .∠GMD=90,∠ADB=30°，DG=4-2x, :MG=)DG=2-x,MD=52-, ..MM'll GF, ∴，△EMM'∽△EGF. :MM-EM,即MM'-1-2-) G=G,即5 1 MM'=3(x-1), :.MD=MD-MM'=V5(2-x)-V5(x-1)=V5(3-2x), 又∠DMW'=30°， DN=DMr.tam30°=5.53-2)=3-2x. 3 ∴.S形Mn=MG·MD=(2-xV5(2-x)=V5(2-x2, SwDw.D3-2 5128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =60--9e-2fir42wx 2: 3 当2x<2时，重叠部分为矩形MGND: 由上面推导可得 y=V3(2-x}=V3x2-4v3x+4V3 50<x 上+25引 5x-45x+452<x<2 14.【详解】(1)解：~Rt△ABC,∠ACB=90,AB=5,AC=4 :BC=VAB2-AC2=V52-42=3: (2)解：过点P作PE⊥AB于点E, 当0<1≤2时，根据题意，得AP=PA=2t,AA=2AP, Rt△ABC,∠ACB=90°，AB=5,BC=3 sin∠CAB=CB=3PE AB 5 AP' :PE=2AP=31, 3 6 5 .PE⊥AB,A'D⊥AB :PE A'D .△APE△AA'D, AP PE :.AAAD' 6, .15, 2-4D 6128 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 6 4D=2x5 =12 7 当2<1<2时，过点P作pF⊥AB于点B,根据题意，得AC+CP=2AM=PA+PA=2PA' BP=AC+CB-AP=7-2t. :Rt△ABC,∠ACB=90°，AB=5,AC=4, sin∠ABC=C4_4_PF AB 5 BP' F-号n--2)-号 288 55 PF⊥AB,AD⊥AB ∴PFIAD .△APF∽AAAD, AP PF ·AAAD' 288 155 2 A'D F B P AD=2PF=5616 55 (3)解：当0<1≤2时，∠ABD=∠BAC, ..AA'=A'B=4t, ∴.C=CA-AA=4-4t, 7/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 根据勾股定理，得CA2+CB2=AB2, ∴(4-4)2+32=(4)2， :125 32· 7 当2<1< 2时，∠ABD=∠BAC'∠ABC+∠BAC=90°， B D :.∠ABC+∠ABD=90° .∠A'BC=90° .∠ABP=∠ACP=90°， I∠ACP=∠A'BP :∠APC=∠A'PB AP=A'P ·.△ACP≌aA'BP(AAS), :.CP=BP, 点P在BC中点， &4P=AC+CP=4+1.5= 2 11 综上所述，当1= 11 32或1 =4时，∠A'BD=∠BAC (4)解：当点A在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作吧⊥AB于点Q,根据题意，得AC+CP=21, BP=AC+CB-AP=7-21.CP=AC+CP-AC=21-4. 8/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据角平分线性质定理，得CP=P四=21-4， Rt△ABC,∠ACB=90°，AB=5,AC=4 sin∠ABC=C4-4_Pg AB 5 BP' 421-4 ∴. 57-21, 8 解得1=3： B P A 当点A在∠CBD的平分线上时，如图，过点P作PG⊥AB于点G,过点'作AT⊥BC于点T,根据题意， 得A'T=AD ∠ACP=∠A'TP :∠APC=∠A'PT, AP=A'P .△ACP≌aA'TP(AAS). ∴.AC=A'T=4, PG⊥AB,AD⊥AB ∴.PGIA'D .△APGn△AA'D, AP PG AAA'D' .1_PG 24, 解得PG=2, RtAABC,∠ACB=90°，AB=5,AC=4. sin∠ABC=CA_=4_PG AB-5=BP, 42 5BP 9128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得BP=3 2； G B AC+CP-7-BP= 9 t=2=9: 2 4 当点A'在∠WCB的平分线上时，过点A'作AN⊥BC于点N,A'M⊥AC于点M, 根据题意，得A'M=A'N, [∠ACP=∠A'NP ∠APC=∠APN, AP=A'P .△ACP≌aA'NP(AAS), ..AC=A'N=4. A'M=A'N=4, :AC⊥BC,AM⊥AC, ∴.PCI‖A'M .△APC△AA'M, AP PC ·AAAM' 1 PC 24, 解得PC=2, 10/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BN P Mh--- ∴.AC+CP=4+2=6 23: 89 综上所述，符合题意的的值为3或4或3： 15.【详解】(1)解：设DE与CF交于点G,如图所示： D G E 四边形 是正方形， B 图1 ABCD .∠A=∠FDC=90°，AD=CD, DE⊥CF, ∠DGF=90°， ∴∠ADE+∠CFD=90°， 又∠ADE+∠AED=90°， ∠CFD=∠DEA, 在△AED和△DFC中， ∠A=∠CDF ∠AED=LDFC, AD=DC △AED≌aDFC(AAS) :.DE=CF, DE 即CF (2)解：如图，设BD与CE交于点G, 11/28 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 图2 ∴.∠DGC=90° ∴.∠CDG+∠ECD=90°， 四边形ABCD是矩形， .∠A=∠EDC=∠EDB+∠CDG=90°，AB=CD=4,AD=BC=7, ∴.∠EDB=∠ECD, :AD∥BC, ∠EDB=LDBC, ∴.∠EDB=∠DBC=∠ECD 'RIABCD中，tan∠DBC=CD_4 ΓBC7 an∠ECD=ED4 CD7 ED=4CD=16 7 16 DE==4: AB 4 7 (3)解：如图，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H, D G A B 图3 则∠CHA=90°， CG⊥EG, .∠G=90°， ∠A=∠B=90, ∴四边形ABCH为矩形， ∴.AB=CH,∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°， 12/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠CFH=∠DFG .∠FCH=∠FDG=∠ADE, ∠A=∠H=90°， ∴△DEA∽△CFH, DE AD CF CH' DE AD CF-AB’ AD=2,DE=3,CF=4, .32 4-4B 4B=8 3 题型04 解等腰三角形 16.D 17.D 18.2W10 19.30. 20.【详解】①当CD=CA,∠DCA=30时，作DH⊥AC于H. D 图1 在Rt△ACB中，，∠CAB=30°，AB=4, ∴BC=2,AC=2V3, ∠ACD=∠CBA=30°， ∴CD|AB, 1 '.SAcD=SAADC=-2ACDH=2×23×√5=3， ②当AC=AD,∠CAD=30时，作DHLAC于H. 13/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 SABCD=SAABC+SAADC-SAABD =2×2x2V3+2×2V3×V3-2×4x3 =2√3-3 ③当DA=DC,∠ADC=30时，作DHLAC于H,连接BH. D 、 A 图3 .DA=DC,DH⊥AC ∴.AH=CH=V3 '∠DHC=∠ACB=90, ∴.DH BC .SABCD-SABC2X2×5=V3 题型05 解任意三角形 21. 【详解】(I)解：如图，过点C作CD⊥AB于点D A30° 45°B D 在Rt△BCD中，∠B=45°，BC=3N2, BD=BC-c0s45=3x 2 14/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CD=BD=3, 在RtAACD中， ∠A=30°， ∴.AC=6: (2)解：由(1)知：在RtAACD中，AC=6,CD=3, .AD=V6-32=35, .AB=AD+BD=3V3+3 Se*ABX CD三9V3+9 2 22.【详解】(1)解：过点A作AD1BC于点D, 则sinB=AD、4 AB 5 AB=5, ∴.AD=4, ∴.BD=VAB2-AD2=3, .CD=BC-BD=7-3=4, m24c8-04 B D (2)解：由(1)知，在Rt△ADC中， 4C=√AD2+CD2=V42+42=4V2. 23.【详解】解：过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D D∠B=45°∠BAC=15°∠ADC=90° ∴.∠DCA=60°，∠BAD=45 在RtAACD中， 15/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :cos∠DCM=CD c0s60°=1 2 sin∠DCM=D =sin60°= 2’AC=10: .CD=5,AD=55」 在RtAABD中， .·∠BAD=∠B. ÷BD=AD=55 ∴BC=BD-CD=(53-5jcm 24.C. 25.C 题型06 仰角、俯角、方位角问题 26.D 27.C 28.【详解】解：由题意得DB=20米，AC⊥DC,∠ADC=30°，∠ABC=45°， ∴.∠BAC=45°， ·BC=AC, 设AC=x米，则BC=x米，AD=2x米， .DC=(20+x)米， 在Rt△ADC中，AC2+DC2=AD2, .x2+(20+x}=(2x2,化简得2x2-40x-400=0, 两边同时除以2得x2-20x-200=0, ∴.b2-4ac=1200, x-20+205=10+10N5或x-20-205=10-105(会去). 2 2 .AC=10+10V3≈27.32（米）. 29.14 30.【详解】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E, 16/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B D E 由题意得：∠CAB=90°-30°=60°，∠CBA=90°-45°=45°，AC=120海里，∠ADC=90°-15°=75°， 、在RtAACE中，CE=AC·sin∠CAB=120sin60°=60W3(海里)， AE=AC.cos∠CAB=120cos60°=60（海里）， 在0s,k-am2名a-w5(海里 、.AB=AE+BE=(60+605)海里， ,在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=75°， .∠ACB=∠ADC, 在△ACD和△ABC中， '∠ADC=∠ACB ∠DAC=∠CABI .△ACD∽△ABC, AD AC AD 120 4CAB,即12060+60N3: 解得AD=120W3-120(海里)， 、BD=AB-AD=60+605-(120N5-120)=180-60√5≈76.2≈76（海里）， 答：巡逻船B与观测点D间的距离约为76海里. 颗型07 坡度、坡角以及其他夹角问题 31.10W10米. 0 32.9 33.【详解】(1)解：延长P9交AB的延长线于点C, 17/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ------ --- y B C 由题意得PC⊥AC ,在B处测得杆顶端点P的仰角是60°， ∠PBC=60°： ,电线杆PQ在坡度为1：V3的山坡BQ上， Co 1 3 ∴在RIABCO中，BC=3=3, tan∠CB0=C≌-3 BC3· ∴∠CB0=30° .∠PBQ=∠PBC-∠CBQ=60°-30°=30° (2)解：设BC=x米， 在Rt△PBC中，PC=BC·tan∠PBC=BC.tan6O°=V3x米， 在R4PC中，AC= PC 3x=5x米， tan∠PAC tan45° 又：AC=AB+BC=6+x, ∴6+x=V3x, 6_=33+0 解得x=5 在Ra0c,C0=cm40=cm30-r9-(+v)米 、Pg=5-3(V5+-(3+5)=(6+25)米 答：该电线杆PQ的高度为(6+2√5)米」 34.【详解】解：如图，过A作AD1P2,垂足为D,延长BC交P№于点E. 18/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B Ch\A 斜坡 的坡度 ED AP i=5:12 ∴.AD:DP=5:12 设AD=5k,DP=12k, AP=V(5k)2+(12k)2=13k, 又AP=26. k=2, ∴.AD=10 由题意得∠BAC=76°，BC⊥AC,AC∥PQ :m76=BC-C4,解得C20 AC 5 AD⊥P9,BC⊥AC, .∠ADE=∠ACE=90°， :AC∥P9 ∴.∠ACE+∠CED=180°， 又∠ACE=90°， ∴.∠CED=90°， ∴.四边形ADEC为矩形， ∴.AD=CE=10, ∴.BE=BC+CE=20+10=30 ∴建筑物顶部B到P的距离为30.0m. 35.【详解】(1)解：坡度i=3:2, BE 3 ·AE2, 设BE=3x,则AE=2x, 在R1△ABE中，AB=V26米，AB2=BE2+AE2, .(V26=(3x)2+(2x)2, 19/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=V2, ·BE=3V2米， 答：改造前坡B到地面的垂直距离BE的长为3√2米： (2)解：如图，连接AF,过点F作FH⊥AD于点H, R 口 D H :BC∥AD ·.∠HEB=∠EBF=∠FHE=90°， ∴，四边形BFHE为矩形， ·.FH=BE=3V2米，BF=HE, 当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡， .∠FAH=45°， .∠HFA=90°-∠FAH=45°=∠FAH, .AH=FH=3N2米， 由(1)可知AE=2W2米， ∴.BF=HE=AH-AE=3W2-2N2=V2(米)， 答：BF至少是V2米 颗型08 其他综合问题 36.23m 37.【详解】(1)解：如图，过点B作BE⊥AC于点E, D 由题意知，BD⊥CD,AC⊥CD」 20/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.四边形BECD是矩形， BD=CE=0.2米， ∴AE=AC-CE=0.6米 ,'∠ABE=37°， ..AB AE sin37=1米. (2)解：如图，过点N作NF⊥MO的延长线于点F, 4 B .FN∥EB .∠ABE=37° ∴.∠ONF=37°， ∴.0F=0Nsin37°=0.42米，FN=0N.cos37°=0.56米， ∴.MF=OF+OM=OF+ON=1.12米， .MN=√FEN2+MF2≈1.3米 38.【详解】解：由题意得P0=100m 在Rt△BOP中，∠PB0=45°，则BO=PO=100 在Rt△AOP中，，∠APO=60°，则AO=OP.tan60°=100N3, .AB=AO-B0=100V3-100 ∴.车辆的速度 1003-100≈73.2=24.4<25， 3 3 即此车速度没有超过25m/s的限制速度 39.【详解】(1)过A作AD⊥MN于点D,设AD=xm, 由题意得：∠ACD=10°，∠ABD=8, AD 5 在Rt△ACD中，tan∠ACD=CD-28, 解得：CD=5.6x(m), AD 1 在Rt△ABD中，tan∠ABD=BD7, 21/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：BD=7x(m), ∴.BC=7x-5.6x=1.4(m), .x=1, 答：大灯A与地面距离约是1m: M B C (2)该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求， ,以60km/h的速度驾驶， 50 速度可以化为：3m, 则最小安全距离为：902+片=8(m), 50 ,大灯能照到的最远距离是BD=7m, 该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求， AD 4 AD 4 当BD=8m时，BD25,即8=25 ∴.AD=1.28m, ∴.应该调整到A的高度为1.28m. 40. 【详解】(1)如图，作CG⊥AB,CH⊥AB, 由题可知AC=AD=AB=60cm, .∠BAD=45°，∠BAC=60°， :CG=4C-in∠B4C=60xs血60°=60x5-30N5em=5196em. DH=AD.sin∠BAD=60×sin45°=60x =30√2cm=42.42cm, :.EF=CG-DH=303-30v2=9.5cm (2)如图，延长AB交EF于点M处，假设此时“我”在点N处，∠AWM=80°， .AM=3m=300cm .NM = AM 300300 =52.08cm. tan∠4NM tan80°5.76 .52.08cm>51.96cm, 22/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴未站在灯掉落的危险区域。 A B E M B组 能力进阶 1.D 2.B 3.D B 4.A 5.27+95 2 6.【详解】解：在RIAABP中，∠B=90°，AP=50m,∠A=a, .AB=AP.cos∠A=50.cosa=50×0.97=48.5≈49m, ∴.A处到B处的距离为49m. 故答案为：49. 7.8.6 8.【详解】解：因为∠C=90°，∠A=30°，所以∠B=90°-∠A=90°-30°=60° 23/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为tanA=C 6, 所以a=ban1=33xtan30°=35x =3」 3 因为sinA=C 所以c=a 1 sinA sin30° =3÷。=6 2 24 9.【详解】解：如图，Rt△ABC,∠C=90°，cosA= 5: A 6 B a 设b=24x(x>0),c=25x. 根据勾股定理，得a2+b2=c2, i.a=vc2-b2=7x. sinA=d=Ix 7 225x=25,tanA=a=7x-7 Γb24x24· 1O.【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于点D, D B ”4B=3smA=BD-2 AB 3' ∴.BD=2, 1 .S.= ACxBD= -×4×2=4 2 24/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.3g 5 2.35-3或3W5+3, 3.4或4.8 1 4. 3或3/3或3 【详解】解：如图，AC交BD于点O,AB=6,BF=2, :四边形ABCD是矩形， .OA=OC=OB=OD,∠ADC=∠ABC=90°，AD∥BC, ∴.∠OAD=∠ODA=∠ACB, 根据折叠的性质得，AC⊥DE,∠ADE=∠AED,∠ACD=∠ACE,∠ADC=∠AEC=90°，∠DAC=∠EAC, 设∠ODA=a,则∠OAD=∠ACB=a,∠EAC=a. ∠EFC=∠EAC+∠ACB=2a,∠AED=90°-∠EAC=90°-a, ∴.∠BDE=∠ABD-∠ODA=90°-a-a=90°-2a, :∠AFB=∠EFC=2a, ∴.∠BAF=90°-∠AFB=90°-2a, ∴.∠BDE=∠BAF, ∴.tan∠BDE=tan∠BAF, 在Rt△ABF中， tan∠BAF-BF-l AB3 ∴.tan∠BDE= 3 25/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 即∠BDE的正切值是3： 如图，AC交BD于点O,AB=6,BF=2, D O E 同理得∠BDE=∠BCF, :AF AB-BF=4, ·∠BAC=∠DCA,∠ACE=∠DCA. ∴.∠ACE=∠BAC, .CF=AF=4, 在Rt△CBF中，CF=4,BF=2, ·.BC=VCF2-BF2=2V5, ∴.tan∠BDE=tan∠BCF, tan∠BAF BF 23 BC2W5=3, tan∠BDE= 3 即∠BDE的正切值是 : 1 综上，∠BD 的足浅兽。 5.V2+1 拓展 链接中考 1.V3-1/-1+3 2.【详解】(1)解：过点A作AE⊥BC于点E,则∠AEB=∠AEC=90°， 26/28 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B E .∠C=∠D=90 .∠C=∠D=∠AEC=90°， ∴四边形ADCE是矩形， AD=CD=4 ∴AD=CD=AE=CE=4, 在RAAB中，sinB=g=4 AB 5: (2)解：由对称可得，AB=A0=5,∠APB=∠AP?,BP=PQ, 由(1)知AE=4,∠AEB=90° .BE=AB2-AE2=3, ∴BC=BE+CE=3+4=7. 当点Q落在边BC上时，则∠APB+∠AP9=180° D ▣ E .∠APB=∠AP9=90°， ∴此时点P与点E重合， .BP=BE=3, 当点O落在边CD上时， EP 设BP=PO=x,则CP=BC-BP=7-x ,∠D=90°， ∴D0=VAQ2-AD2=3, ·.CQ=CD-DQ=4-3=1 27/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠C=90° ..PO2=CP2+CO2 ∴x2=(7-x2+1 解得x25 此时BP=25 当点Q落在四边形ABCD内部（合边家）时，B即长的取值范国为3≤BP 7 28/28 分层作业 29.2 解直角三角形 目 录 A组 巩固过关 题型01 选择合适边角关系进行变式 题型02 已知一边一角解直角三角形 题型03 已知两边解直角三角形 题型04 解等腰三角形 题型05 解任意三角形 题型06 仰角、俯角、方位角问题 题型07 坡度、坡角以及其他夹角问题 题型08 其他综合问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考/高考 选择合适边角关系进行变式 题型01 1．在Rt中，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义； 根据题意画出图形，然后根据锐角三角函数的定义得出答案． 【详解】解：如图，， ∴， 故选：B． 2．在中，，已知及边，则的斜边长应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键；因此此题可根据三角函数进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 3．如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质将俯角转化为直角三角形的内角，利用正弦函数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意可知，水平线与地面平行， 等于俯角，即， 在中，，， ， ， ． 4．如图，中，，斜边，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，斜边，， ∴， ∴， 故选：B． 5．在中，，、、所对的边分别为、、，下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握三角形的边角关系．根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：在中，，、、所对的边分别为、、， ∴，，，， ∴，，，，只有C符合题意， 故选：C． 已知一边一角解直角三角形 题型02 6．如图，在中，， ， ，求AC的长及的正切值． 【答案】5， 【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出AC，再利用勾股定理求出BC，最后利用直角三角形的边角间关系求出的正切值． 【详解】在中， ,， ． 【点睛】本题考查解三角形，熟练掌握直角三角形三边关系并使用勾股定理是本题解题的关键． 7．已知在中，，a，b，c分别是，，对应的边． (1)若，，求a，c的长； (2)若，，求a，b的长． 【答案】(1)； (2)； 【分析】利用特殊角三角函数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ，； （2）解：在中，，， ，． 8．如图，在正方形中，M是边上一点，，垂足分别为E，F． (1)求证：． (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由正方形的性质得到，再证明，，则可利用证明； （2）可证明，则可解直角三角形得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴． 9．如图，在中，，平分，，点F在上，，的延长线交的延长线于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形； (2)． 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形．掌握并能够灵活运用相关知识点，是解题的关键． （1）证明，得到，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，得到，结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，点E是中点．点F是中点．连接平分． (1)求证：四边形是菱形： (2)连接，与交于点O，连接．若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴， ∵F是AD中点，E是BC中点 ∴， ∴四边形AECF是平行四边形 ∵EF平分∠AEC ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形AECF是菱形 (2) 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形及F是AD中点，E是BC中点，可得四边形AECF是平行四边形，再根据EF平分∠AEC，易证得，则可得，继而证得结论； （2）过点O作于点G，由三角形面积公式可求的长，勾股定理可求，的长，的长即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形AECF是菱形 ∴，， ∵，， ∴ ∴， 过点O作于点G， ∵， 即 ∴， ∵ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形，三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，作出辅助线，用好数形结合的思想. 已知两边解直角三角形 题型03 11．在中，，根据下列条件求出的正确数值 (1)： (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，熟练掌握锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先根据正切的定义求出，再结合特殊角的三角函数值确定的度数； （2）先根据余弦的定义求出，再结合特殊角的三角函数值确定的度数． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴ 12．在中，，，，求的长和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形常用的有勾股定理和锐角三角函数，解决本题的关键是要熟练地记住三个特殊角的三角函数值．首先利用勾股定理求出的长度，再求出的余弦，根据余弦值求出的度数． 【详解】解：在中，，，， ， ， ． 13．如图，在矩形中，．动点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，以为直角顶点作，使得，且．设点的运动时间为与矩形重叠部分图形的面积为． (1)______°． (2)当点落在上时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】（1）计算即可． （2）当点落在上时，点落在上，四边形为矩形，利用勾股定理求得，即，求得． （3）分类讨论，根据图形求面积：如图，当时，重叠部分为，利用三角形面积公式计算； 当时，重叠部分的面积可看作矩形的面积减去的面积； 当时，重叠部分为矩形，由上面推导可得答案． 【详解】（1），∴． （2）当点落在上时，如图 在矩形中，， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 由已知得即， 解得． （3）当时，如图重叠部分为， ； 当时，重叠部分的面积可看作矩形的面积减去的面积， ∵ ∴，， ∵， ∴∽， ∴，即， ， ∴， 又， ∴， ∴， ， ∴； 当时，重叠部分为矩形， 由上面推导可得 ． 综上，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、矩形的性质，三角函数、勾股定理，三角形相似以及三角形面积的有关计算，根据动点的位置进行分类讨论是解决问题的关键． 14．如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动． 当点P与A、B不重合时，作点A关于点P的对称点，过作直线的垂线交直线于点D． 设点P的运动时间为秒． (1)的长为 ． (2)在点P运动过程中，求的长（用含t的代数式表示）． (3)当时，求t的值． (4)点P在上运动过程中，当到的某两边所在直线距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)或 (3)或 (4)或或3 【分析】（1）利用勾股定理求解即可． （2）过点P作于点E，当时，根据题意，得，， 利用，求解即可；当时，过点P作于点F，根据题意，得，，，利用，求解即可． （3）当时，得到，求解即可；当时，利用全等三角形的判定证明，得到点P在中点，求解即可． （4）根据角的平分线性质，分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：过点P作于点E， 当时，根据题意，得，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 当时，过点P作于点F，根据题意，得，，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． （3）解：当时，， ， ， 根据勾股定理，得， ， ∴．    当时，，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴点P在中点， ∴， ∴．   综上所述，当或时，． （4）解：当点在的平分线上时，如图，过点P作于点Q，根据题意，得，，， 根据角平分线性质定理，得， ， ， ， 解得； 当点在的平分线上时，如图，过点P作于点G，过点作于点T，根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ， ， ， 解得； ； 当点在的平分线上时，过点作于点N，于点M， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ； 综上所述，符合题意的t的值为或或3； 15． 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，，则的值为______； (2)如图2，在矩形中，，且，则的值为______； (3)如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，求的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； （2）设与交于点，运用三角函数求出的长即可得到结论； （3）过点作交的延长线于点，证明四边形为矩形，进而证明 ，列出比例式，即可得到答案． 【详解】（1）解：设与交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 即； （2）解：如图，设与交于点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ∵， ， ， 中，， ， ， ； （3）解：如图，过点作交的延长线于点， 则， ， ， ∵， ∴四边形为矩形， ，， ∵， ， ， ， ， ， ，， ， ． 解等腰三角形 题型04 16．如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于C，求出长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，作于C， ∵大桥主塔是一个轴对称图形， ∴， ∴(米)， ∵， ∴（米) ． 17．如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 18．已知锐角中，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长． 【详解】如图，过点作于点， 设， ，, ， 故答案为： 【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． 19．等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于____________ 【答案】30° 【分析】作底边上的高，根据底和腰的关系可求得底角的余弦值，可求得底角． 【详解】如图 ∵△ABC的周长为，腰长为1， ∴AB=AC=1,BC=， ∴过A作AD⊥BC于点D,则BD=， 在Rt△ABD中, ， ∴∠B=30°， 故填30°. 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质.解决此题时需注意①根据已知题意构造图形可以更加直观的观察线段与角之间的关系；②题中边BD，边AB和∠B满足邻边与斜边的关系，故用余弦解直角三角形. 20．已知直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC为腰，在△ABC外作顶角为30°的等腰三角形ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积． 【答案】①3②2-3③ 【分析】分四种情形分别求解即可解决问题； 【详解】①当CD=CA，∠DCA=30°时，作DH⊥AC于H． 在Rt△ACB中，∵∠CAB=30°，AB=4， ∴BC=2，AC=2， ∵∠ACD=∠CBA=30°， ∴CD∥AB， ∴S△BCD=S△ADC=•AC•DH=×2×=3． ②当AC=AD，∠CAD=30°时，作DH⊥AC于H． S△BCD=S△ABC+S△ADC﹣S△ABD =×2×2+×2×﹣×4×3 =2﹣3 ③当DA=DC，∠ADC=30°时，作DH⊥AC于H，连接BH． ∵DA=DC，DH⊥AC， ∴AH=CH=， ∵∠DHC=∠ACB=90°， ∴DH∥BC， ∴S△BCD=S△BCH=×2×=. 【点睛】考查作图-复杂作图、等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 解任意三角形 题型05 21．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 22．如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 23．中，，，，求边的长度． 【答案】 【分析】过点作，利用三角形的内角和定理先求出、，再利用直角三角形的边角间关系求出、的长，最后利用等腰三角形的性质、线段的和差关系得结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ，，， ，． 在中， ， ，， ，． 在中， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键． 24．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 25．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 【答案】C 【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标． 【详解】过点A作于点C． 在Rt△AOC中， ． 在Rt△ABC中， ． ∴　． ∵OA＝4，OB＝6，AB＝2， ∴． ∴． ∴点A的坐标是． 根据题意画出图形旋转后的位置，如图， ∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为； 将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）． 仰角、俯角、方位角问题 题型06 26．如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得，，在中可求出． 【详解】解：设， 在中，， ， ， 在中，， 解得． 27．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，，在中，，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴米． 28．如图，在广场上空用氢气球悬挂着“人文黔东南，和谐黔东南，美丽黔东南，热爱黔东南，建设黔东南”的大型宣传条幅，小明站在D处看条幅顶端A的仰角为，再往条幅方向前进米到B处，在B处看条幅顶端A的仰角为，求条幅的高度（小明的身高不计，条幅垂直于地面，结果精确到米，参考数据，） 【答案】米 【分析】利用直角三角形两个锐角互余，等角对等边，直角三角形中所对的边是斜边的一半，勾股定理以及公式法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：由题意得米，，，， ， ， 设米，则米，米， 米， 在中，， ，化简得， 两边同时除以得， ， 或（舍去）， （米）． 29．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼之间的水平距离为米，求教学楼的高度为_____米．（注：点、都在同一平面上，参考数据：，结果保留整数） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用（仰角俯角问题），通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题，进而求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， 由题意可知， ∴四边形是矩形， 由题意可得，米，米，，， ∵在中，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵四边形是矩形， ∴米，， ∵在中，，， ∴， ∴米， ∴（米）． 30．如图，在东西方向的海面线上，有A、B两艘巡逻船和观测点D（A、B、D在直线上），两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号．测得渔船分别在巡逻船A、B北偏西和北偏东方向，巡逻船A和渔船C相距120海里，渔船在观测点D北偏东方向．求巡逻船B与观测点D间的距离．（结果取整数．参考数据：，．） 【答案】巡逻船与观测点间的距离约为76海里 【分析】过点作于点，先解直角三角形求出，，的长，则可得的长，再证出，则可得的长，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，，海里，， ∴在中，（海里）， （海里）， 在中，（海里）， ∴海里， ∵在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得（海里）， ∴（海里）， 答：巡逻船与观测点间的距离约为76海里． 坡度、坡角以及其他夹角问题 题型07 31．如图，为方便行人过天桥，市政府在米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡的坡度，则斜坡的长度是_________． 【答案】米 【分析】根据坡度定义求出水平宽度，再利用勾股定理计算斜边的长． 【详解】解：由题意可知，在中，，． 斜坡的坡度， ， 在中，由勾股定理得：， 故斜坡的长度是米． 32．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯射出的光线、与地面所夹的锐角分别是和．大灯离地面的距离为米，则该车大灯照亮地面的宽度是______．（不考虑其他因素）（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】作于D点，则．在中， 根据，可得，同理可得，进而可得．本题主要考查了利用三角函数的定义解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，作于D点，则． 在中，， ∴， 即， ∴． 在中，， ∴， 即， ∴． ∴． 33. 如图，电线杆在坡度为的山坡上，在A处测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P的仰角是． (1)求的度数； (2)求该电线杆的高度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）延长交的延长线于点，根据题意可得 ，，解直角三角形求出，再由角的和差关系可得答案； （2）设米，解直角三角形可得米，根据，得到，解方程求出的值，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点， 由题意得． ∵在B处测得杆顶端点P的仰角是， ∴； ∵电线杆在坡度为的山坡上， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． （2）解：设米， 在中，米， 在中，米， 又∵， ∴ ， 解得． 在中，米 ∴ 米， 答：该电线杆的高度为米． 34．如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长． 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质，解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． 35．某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，，斜坡长米，坡度．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡B到地面的垂直距离的长； (2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿削进到F处，问至少是多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）根据坡度，可设，则，然后利用勾股定理建立方程求解即可； （2）连接，过点作于点，则米，，由题意可知此时，则有米，即可由线段的和差求得答案． 【详解】（1）解：∵坡度， ∴， 设，则， 在中，米，， ∴， 解得， ∴米， 答：改造前坡B到地面的垂直距离的长为米； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵当坡角不超过时，可确保山体不滑坡， ∴， ∴， ∴米， 由（1）可知米， ∴（米）， 答：至少是米． 题型08 36．如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是______m． 【答案】 【分析】先利用正弦定义求得，再利用正弦定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 由题意，， 在中，， 故露在水面上的鱼线的长度是． 37．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点作于点，可得四边形为矩形，利用锐角三角函数即可求出的长； （2）过点作的延长线于点，利用锐角三角函数和勾股定理即可求出M、N两点的距离． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意知，，， 四边形是矩形， 米， 米． ， 米． （2）解：如图，过点作的延长线于点， ， ， ， 米，米， 米， 米． 38．2023年12月2日是第十二个“全国交通安全日”，今年以“文明交通你我同行”为主题，旨在从源头上预防和减少道路交通事故，进一步增强公众出行的安全感、幸福感和获得感，超速行驶是引发交通事故的主要原因．交警部门在近年来事故多发的危险路段设立了固定测速点．观测点设在到高速公路的距离为100m的处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3s，并测得．试判断此车是否超过了的限制速度？． 【答案】此车速度没有超过的限制速度 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意，先求出和的长度，再根据求出，最后求出速度即可． 【详解】解：由题意得 在中，∵，则， 在中，∵，则， ∴， ∴车辆的速度为， 即此车速度没有超过的限制速度． 39．某厂家一种摩托车如图所示，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°． （1）该车大灯照亮地面的宽度BC是1.4m，求大灯A与地面距离约是多少？ （2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离，某人以60km/h的速度驾驶该车，突然遇到危险情况，立即刹车直到摩托车停止，在这个过程刹车距离是m，请判断（1）中的该车大灯A的地面高度是否能满足最小安全距离的要去，若不能该如何调整A的高度？（参考数据：sin8°≈，tan8°≈，sin10°≈，tan10°≈） 【答案】（1）大灯A与地面距离约是1m；（2）该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求，应该调整到A的高度为1.28m． 【分析】（1）过A作AD⊥MN于D，设AD＝xm，解直角三角形求出BD，CD，根据BC＝1.4m构建方程即可解问题． （2）本题可先计算出最小安全距离是多少，然后与大灯能照到的最远距离进行比较，即可得出是否合格的结论；再利用三角函数求出满足最小安全距离时AD的值即可 【详解】（1）过A作AD⊥MN于点D，设AD＝xm， 由题意得：∠ACD＝10°，∠ABD＝8°， 在Rt△ACD中，tan∠ACD＝ ， 解得：CD＝5.6x（m）， 在Rt△ABD中，tan∠ABD＝， 解得：BD＝7x（m）， ∴BC＝7x﹣5.6x＝1.4（m）， ∴x＝1， 答：大灯A与地面距离约是1m； （2）该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求， ∵以60 km/h的速度驾驶， ∴速度可以化为：m/s， 则最小安全距离为：×0.2+＝8（m）， ∵大灯能照到的最远距离是BD＝7m， ∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求， 当BD＝8m时，，即 ∴AD＝1.28m， ∴应该调整到A的高度为1.28m． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题得以解决． 40．地震会导致房间内吊灯剧烈摇晃而掉落．在一间高3米（点A至地面）的房间内有一盏吊灯，吊绳长厘米，当吊绳摆动与铅垂方向夹角处于至范围时，灯可能会垂直掉落．    (1)灯垂直掉落至地面的危险区域长度为多少厘米？（精确到0.1） (2)机智的你正在房间内愉快地玩耍，忽然收到温馨提示将发生地震，你冷静地仰望静止的灯（点B），测得仰角为，请计算并说明你是否站在灯掉落的危险区域？（参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2)未站在灯掉落的危险区域 【分析】（1）作由，，即可求解； （2）延长交于点M处，假设此时“我”在点N处，，由即可求解； 【详解】（1）如图，作 由题可知， ∵， ， ∴， ， ∴． （2）如图，延长交于点M处，假设此时“我”在点N处，， ∵， ∴， ∵， ∴未站在灯掉落的危险区域．      【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确画出辅助线是解本题的关键． 1．某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角，若米，则树高为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．根据题意可知，在中，米，，利用三角函数即可求出的高度． 【详解】解：∵，米，， ∴， ∴（米）． 故选：D． 2．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，将绕点逆时针旋转，点B的对应点的坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，解直角三角形等知识如图，过点作轴于．解直角三角形求出，H即可． 【详解】解：如图，过点作轴于． ∵，． ∴ ∵旋转， ∴ 在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 3．在直角三角形中，，，，则的长为（    ） A．5 B．10 C．12 D．24 【答案】D 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 故选D． 4．小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的相关知识后，尝试利用所学知识测量小河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿水平面向着大树的方向走米到达小河近岸边的点处（点，，在同一条直线上），在点处测得大树顶端的仰角为，则大树的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】分别在和中，通过解直角三角形得到，，根据列出关于的式子，变形即可求解． 【详解】解∶∵在中，，， ∴． ∵在中，，， ∴． ， ． 米． 5．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，测得杆底端点Q的仰角是，．则点A到山坡底部点C的距离为_________m．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设，在中，求得 ，在中，求得，由列方程求解即可． 【详解】解：设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴，解得， 故答案为：． 6．无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离约为______m．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】49 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴A处到B处的距离为． 故答案为：49． 7．教学楼前有一棵大树，小强用一块含有的直角三角尺测量这棵树的高度，示意图如图所示，已知，小强的眼睛与地面之间的垂直高度为，小强与树之间的水平距离为，则这棵树的高度约为______．（结果精确到，参考数据：） 【答案】8.6 【分析】本题考查解直角三角形的应用，在中，利用三角函数求出的长，再利用进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：8.6． 8．在中，，a，b，c分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题主要考查解直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得度数，根据正切的定义求得，再根据正弦的定义求得，即可求解． 【详解】解：因为，，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 9．已知为锐角， ，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边．设，，根据勾股定理得，然后利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，，，，    设，． 根据勾股定理，得， ∴． ∴，． 10．如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 1．（25-26九年级上·上海静安·期末）在中，，，（如图），将绕点旋转后，点落在斜边上的点，点落在点，与边相交于点，那么的值为______． 【答案】 【分析】过作于，根据勾股定理和正切的定义得到，，根据三角形面积得到，再根据旋转的性质和相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：过作于， ， ， 设，则， 在中，， 解得， ，， 则， 即， 解得， 则， ， 将绕点旋转后，点落在斜边上的点，点落在点， ，， ， ， ∴， ， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，旋转的性质：旋转前后两图形全等，相似三角形的判定与性质；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 2．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）已知中，，，将绕点旋转使点落在边上，点的对应点为点，直线交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】或， 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的应用，全等三角形的应用，分母有理化，作辅助线构造直角三角形是解题关键．①当时，过点作交于点，令点的对应点为，根据角的正切值，设，，则，再利用正切值和勾股定理求出，利用旋转的性质，推出，得到，再根据即可求解；②当时，过点作交于点，结合旋转的性质，证明，得到，则，，从而得到，再利用角的正切值求解即可． 【详解】解：①如图，当时，过点作交于点，令点的对应点为， ， ， ， 设，， ， 在中，， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，即； ②如图，当时，过点作交于点， 在中，， 由旋转的性质可知，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 3．（2025·上海普陀·二模）在中，，（如图）．点在边上，，为垂足，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、分别与点、对应，，射线与边交于点．如果，那么的长是________． 【答案】4或4.8 【分析】先过点A作交与点F，利用等腰三角形的性质以及余弦的定义得出，然后分两种情况，当P在的延长线上时和当P在线段上时想，证明四边形为平行四边形，根据设出， ，有旋转的性质得出，得出，最后根据余弦的定义求出x，进而可得出答案． 【详解】解：过点A作交与点F， ∵， ∴，， ∴， 分两种情况：当P在的延长线上时，如下图： 由旋转的性质得出， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴设，则， 则，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则； 当P在线段上时，如下图： 同理可设，则， 则， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则， 综上：的值为4或4.8， 故答案为：4或4.8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，解直角三角形的计算，平行四边形的判定和性质，旋转的性质等知识，学会分类思考是解题的关键． 4．（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果，，那么的正切值是______． 【答案】或/或 【分析】分两种情况讨论，根据矩形的性质得出，，则，根据折叠的性质得出，，设，则，根据直角三角形的性质及三角形外角性质推出，则，或，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，交于点O，，， ∵四边形是矩形， .∴，， ， 根据折叠的性质得，，， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 即的正切值是； 如图，交于点O，，， 同理得， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 即的正切值是； 综上，的正切值是或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 5．新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 【答案】 【分析】如图所示，作，使，，再延长到点D，使，连接，可证，设，则，，，再由进行求解即可．本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等边对等角，正确理解题意构造的角是解题的关键． 【详解】解：如图，作，使，，再延长到点D，使，连接， 则， 又， ， 设，则，， ， ， 在中，． 1．（2026年上海市中考数学试题）如图，在等边中，点是边的中点，连接，将绕点旋转（），得到，边交于点，当时，的值为________． 【答案】/ 【分析】根据等边三角形的性质得出，，结合求出，利用旋转的性质得到，，判定为等边三角形，从而得出，最后在中求出与的数量关系即可求解． 【详解】解：是等边三角形，是的中点， ，，， ， 在（设交于点）中， 由旋转的性质可知， ，， 在中，，， 是等边三角形 ， 在中，， ， ． 2.（2026·广东广州·中考真题）如图，在四边形中，，，． (1)求的值； (2)点为边上异于点的动点，关于对称的图形为． 当点落在四边形内部（含边界）时，求长的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，可得四边形是矩形，再由矩形的性质以及正弦的定义求解即可； （2）先求出，然后找出两个临界位置，即点落在边和上，再求出此时的长即可； 【详解】（1）解：过点作于点，则， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴在中，； （2）解：由对称可得，，，， 由（1）知 ∴， ∴， 当点落在边上时，则 ∴， ∴此时点P与点E重合， ∴, 当点落在边上时， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得， ∴此时 ∴当点落在四边形内部（含边界）时，长的取值范围为； 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 29.2 解直角三角形 目 录 A组 巩固过关 题型01 选择合适边角关系进行变式 题型02 已知一边一角解直角三角形 题型03 已知两边解直角三角形 题型04 解等腰三角形 题型05 解任意三角形 题型06 仰角、俯角、方位角问题 题型07 坡度、坡角以及其他夹角问题 题型08 其他综合问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考/高考 选择合适边角关系进行变式 题型01 1．在Rt中，，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．在中，，已知及边，则的斜边长应为（   ） A． B． C． D． 3．如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 4．如图，中，，斜边，则的长度是（    ） A． B． C． D． 5．在中，，、、所对的边分别为、、，下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 已知一边一角解直角三角形 题型02 6．如图，在中，， ， ，求AC的长及的正切值． 7．已知在中，，a，b，c分别是，，对应的边． (1)若，，求a，c的长； (2)若，，求a，b的长． 8．如图，在正方形中，M是边上一点，，垂足分别为E，F． (1)求证：． (2)若， ，求的长． 9．如图，在中，，平分，，点F在上，，的延长线交的延长线于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 10．如图，在中，点E是中点．点F是中点．连接平分． (1)求证：四边形是菱形： (2)连接，与交于点O，连接．若，，求的长． 已知两边解直角三角形 题型03 11．在中，，根据下列条件求出的正确数值 (1)： (2)． 12．在中，，，，求的长和的度数． 13．如图，在矩形中，．动点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，以为直角顶点作，使得，且．设点的运动时间为与矩形重叠部分图形的面积为． (1)______°． (2)当点落在上时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 14．如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动． 当点P与A、B不重合时，作点A关于点P的对称点，过作直线的垂线交直线于点D． 设点P的运动时间为秒． (1)的长为 ． (2)在点P运动过程中，求的长（用含t的代数式表示）． (3)当时，求t的值． (4)点P在上运动过程中，当到的某两边所在直线距离相等时，直接写出t的值． 15． 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，，则的值为______； (2)如图2，在矩形中，，且，则的值为______； (3)如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，求的长． 解等腰三角形 题型04 16．如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（     ） A． B． C． D． 17．如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 18．已知锐角中，，，则的长为_______． 19．等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于____________ 20．已知直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC为腰，在△ABC外作顶角为30°的等腰三角形ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积． 解任意三角形 题型05 21．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 22．如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 23．中，，，，求边的长度． 24．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 25．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 仰角、俯角、方位角问题 题型06 26．如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（     ） A． B． C． D． 27．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 28．如图，在广场上空用氢气球悬挂着“人文黔东南，和谐黔东南，美丽黔东南，热爱黔东南，建设黔东南”的大型宣传条幅，小明站在D处看条幅顶端A的仰角为，再往条幅方向前进米到B处，在B处看条幅顶端A的仰角为，求条幅的高度（小明的身高不计，条幅垂直于地面，结果精确到米，参考数据，） 29．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼之间的水平距离为米，求教学楼的高度为_____米．（注：点、都在同一平面上，参考数据：，结果保留整数） 30．如图，在东西方向的海面线上，有A、B两艘巡逻船和观测点D（A、B、D在直线上），两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号．测得渔船分别在巡逻船A、B北偏西和北偏东方向，巡逻船A和渔船C相距120海里，渔船在观测点D北偏东方向．求巡逻船B与观测点D间的距离．（结果取整数．参考数据：，．） 坡度、坡角以及其他夹角问题 题型07 31．如图，为方便行人过天桥，市政府在米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡的坡度，则斜坡的长度是_________． 32．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯射出的光线、与地面所夹的锐角分别是和．大灯离地面的距离为米，则该车大灯照亮地面的宽度是______．（不考虑其他因素）（参考数据：，，，） 33．如图，电线杆在坡度为的山坡上，在A处测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P的仰角是． (1)求的度数； (2)求该电线杆的高度（结果保留根号）． 34．如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 35．某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，，斜坡长米，坡度．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡B到地面的垂直距离的长； (2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿削进到F处，问至少是多少米？ 题型08 36．如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是______m． 37．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 38．2023年12月2日是第十二个“全国交通安全日”，今年以“文明交通你我同行”为主题，旨在从源头上预防和减少道路交通事故，进一步增强公众出行的安全感、幸福感和获得感，超速行驶是引发交通事故的主要原因．交警部门在近年来事故多发的危险路段设立了固定测速点．观测点设在到高速公路的距离为100m的处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3s，并测得．试判断此车是否超过了的限制速度？． 39．某厂家一种摩托车如图所示，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°． （1）该车大灯照亮地面的宽度BC是1.4m，求大灯A与地面距离约是多少？ （2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离，某人以60km/h的速度驾驶该车，突然遇到危险情况，立即刹车直到摩托车停止，在这个过程刹车距离是m，请判断（1）中的该车大灯A的地面高度是否能满足最小安全距离的要去，若不能该如何调整A的高度？（参考数据：sin8°≈，tan8°≈，sin10°≈，tan10°≈） 40．地震会导致房间内吊灯剧烈摇晃而掉落．在一间高3米（点A至地面）的房间内有一盏吊灯，吊绳长厘米，当吊绳摆动与铅垂方向夹角处于至范围时，灯可能会垂直掉落．    (1)灯垂直掉落至地面的危险区域长度为多少厘米？（精确到0.1） (2)机智的你正在房间内愉快地玩耍，忽然收到温馨提示将发生地震，你冷静地仰望静止的灯（点B），测得仰角为，请计算并说明你是否站在灯掉落的危险区域？（参考数据：，，，，） 1．某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角，若米，则树高为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，将绕点逆时针旋转，点B的对应点的坐标是(　　) A． B． C． D． 3．在直角三角形中，，，，则的长为（    ） A．5 B．10 C．12 D．24 4．小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的相关知识后，尝试利用所学知识测量小河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿水平面向着大树的方向走米到达小河近岸边的点处（点，，在同一条直线上），在点处测得大树顶端的仰角为，则大树的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，测得杆底端点Q的仰角是，．则点A到山坡底部点C的距离为_________m．（结果保留根号） 6．无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离约为______m．（结果精确到，参考数据：，，）． 7．教学楼前有一棵大树，小强用一块含有的直角三角尺测量这棵树的高度，示意图如图所示，已知，小强的眼睛与地面之间的垂直高度为，小强与树之间的水平距离为，则这棵树的高度约为______．（结果精确到，参考数据：） 8．在中，，a，b，c分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． 9．已知为锐角， ，求，的值． 10．如图，在中，已知，，，求的面积． 1．（25-26九年级上·上海静安·期末）在中，，，（如图），将绕点旋转后，点落在斜边上的点，点落在点，与边相交于点，那么的值为______． 2．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）已知中，，，将绕点旋转使点落在边上，点的对应点为点，直线交直线于点，若，则的长为_____． 3．（2025·上海普陀·二模）在中，，（如图）．点在边上，，为垂足，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、分别与点、对应，，射线与边交于点．如果，那么的长是________． 4．（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果，，那么的正切值是______． 5．新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 1．（2026年上海市中考数学试题）如图，在等边中，点是边的中点，连接，将绕点旋转（），得到，边交于点，当时，的值为________． 2. （2026·广东广州·中考真题）如图，在四边形中，，，． (1)求的值； (2)点为边上异于点的动点，关于对称的图形为． 当点落在四边形内部（含边界）时，求长的取值范围； 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $