1.4 解直角三角形（分层作业）数学北师大版九年级下册

1.4 解直角三角形 1．（22-23九年级上·上海·期中）在中，，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西北海·期末）在中，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东潍坊·阶段练习）如果中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角的三角比的值（    ） A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半 C．没有变化 D．不能确定 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知中，，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·全国·期中）在中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 6．（2024·广东深圳·三模）如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东深圳·二模）如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（    ）          A． B． C． D． 8．（2025九年级·全国·专题练习）在下列中，可解的直角三角形是（   ） A．已知 B．已知 C．已知 D．已知 9．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在中，，，，那么长为 ． 10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则 ． 11．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为 ． 12．（2025·江苏南通·三模）如图所示，，，，则为 ． 13．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，斜边上的高，则 ． 14．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图①是教室门锁的局部图，图②是其示意图，其中门把手，点到门框的距离为，且，当开门时，握住门把手绕点顺时针旋转，点到达点的位置，此时点到门框的距离为 ． 15．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 16．（2025·浙江金华·三模）如图，在菱形中，作，连结． (1)求菱形的面积； (2)求的长． 1.（25-26九年级上·全国·期中）如图，矩形的对角线相交于点O．若，则（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，将直角边绕点C逆时针旋转至，连接，且A、B、D三点共线，若，则的长为（   ） A． B． C．6 D．2 4．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．已知小正方形的面积为9，，则大正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点E，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 6.（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，则的长为 ． 8.（2025九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，，，菱形的顶点在反比例函数 的图象上，则的值为 ． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当直线时， ． 10．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在中，于点，是上一点，且，点为对角线中点，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 11.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．类似的：可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）． 如图2，在中，，顶角A的正对记作，这时， 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的；根据上述角的正对的定义，解答下列问题： (1)直接写出的值为 ； (2)若为钝角，则的正对值的取值范围是 ； (3)已知其中为锐角，求的值； (4)在中，，，求的值． 12．（2025·广东深圳·三模）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求． 1.（2021·广西贵港·一模）如图，在平行四边形中，，，，点E为边上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，点D、E分别在、上，、交于，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，的顶点A，P在反比例函数的图像上，已知P的坐标为，（的自然数）；当，3，4…2010时，A的横坐标相应为，…，，则（　　） A． B．2021054 C．2022060 D． 4．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在线段上，且的延长线与边相交于点． (1)求证：； (2)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)如果，求线段的长． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，直角三角形木板，面积为． (1)直接写出该三角形木板的三边长 (2)小聪、小慧同学分别按图2、图3用该木板设计了一个正方形桌面，请说明哪个同学设计的正方形面积较大； (3)小智同学按图4用该木板设计一个长方形桌面，该桌面的面积能否为，若能求出该长方形桌面的长和宽，若不能，请说明理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 解直角三角形 1．（22-23九年级上·上海·期中）在中，，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．根据题意画出示意图，再利用锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：如图，   ， 在中，， ． 故选：D． 2．（24-25九年级上·广西北海·期末）在中，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义以及特殊角三角函数值即可得到答案． 【详解】解：∵在中，若，， ∴， 故选；B． 3．（23-24九年级上·山东潍坊·阶段练习）如果中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角的三角比的值（    ） A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半 C．没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键．根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答． 【详解】解：各边的长度都扩大两倍， 扩大后的三角形与相似， ∴扩大后的三角形三个角与原来三角形三个角分别相等， 锐角A的各三角函数值都不变． 故选：C． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知中，，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选B． 5．（24-25九年级上·全国·期中）在中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握，求出，再根据勾股定理，即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．（2024·广东深圳·三模）如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键 【详解】在中, ， ∴的长为， 故选A 7．（2024·广东深圳·二模）如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（    ）          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中， ， ∴， ∵， ∴桌沿（点A）处到地面的高度． 故选：A． 8．（2025九年级·全国·专题练习）在下列中，可解的直角三角形是（   ） A．已知 B．已知 C．已知 D．已知 【答案】C 【分析】可解的直角三角形是指已知除直角外的两个元素（至少有一个是边），从而可以求出其他所有元素的直角三角形． 【详解】解：A、已知，只已知除直角外的一个元素（边），不满足可解条件，不符合题意； B、已知：，只已知除直角外的一个元素（角），不满足可解条件，不符合题意； C、已知：，知道两条直角边，可根据勾股定理求出斜边，再根据三角函数求出两个锐角，符合题意； D、已知：，仅知道三个角，没有边的长度，无法求出边的长度，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了可解直角三角形的判定，解题关键是明确可解直角三角形需要已知除直角外的两个元素且至少有一个是边． 9．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在中，，，，那么长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握正切函数的定义和勾股定理是解题的关键． 先根据正切函数的定义求出的长度，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ ， 解得， ∵ ∴ 故答案为：． 10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，根据以及已知条件求得，进而勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图，在中，，，， ， ， ． 故答案为：6． 11．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解直角三角形，由题意得是等边三角形；得出，根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等边三角形； ∴； ∵， ∴， 故答案为：． 12．（2025·江苏南通·三模）如图所示，，，，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作交的延长线于．解直角三角形求出，，即可解答，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于． ， ． ， ，， ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，斜边上的高，则 ． 【答案】 【分析】先利用等角的余角相等证明，然后在中利用的余弦求的长． 【详解】解：∵为高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，即 ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是证明． 14．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图①是教室门锁的局部图，图②是其示意图，其中门把手，点到门框的距离为，且，当开门时，握住门把手绕点顺时针旋转，点到达点的位置，此时点到门框的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，，垂足分别为点，则可得四边形为矩形，那么，然后解求出，再由即可求解． 【详解】解：过点作，，垂足分别为点 ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∴ 故答案为：． 15．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系是解答的关键． （1）利用勾股定理求出的长，进而求出的值即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵， ∴在中，； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴． 16．（2025·浙江金华·三模）如图，在菱形中，作，连结． (1)求菱形的面积； (2)求的长． 【答案】(1)80 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据菱形的性质得，结合，，则，即可作答． （2）先运用勾股定理算出，则，再运用勾股定理列式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积； （2）解：由（1）得，， ∵ ∴， 则， ∴． 1.（25-26九年级上·全国·期中）如图，矩形的对角线相交于点O．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、正切的定义等知识点，求出是解答本题的关键． 根据矩形性质得出，推出则得等边三角形，即，然后运用正切的概念即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵． 故选：D． 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再根据相似三角形的性质列出比例式，根据正切的定义式求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，将直角边绕点C逆时针旋转至，连接，且A、B、D三点共线，若，则的长为（   ） A． B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，先结合将直角边绕点C逆时针旋转至，得，根据，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将直角边绕点C逆时针旋转至， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 故选：D． 4．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．已知小正方形的面积为9，，则大正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形的性质得到，求得，设， ，得到，求得，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在小正方形中，， ∴， ∵， ∴， ， ∴设， ， ∴， ∵小正方形的面积为9， ∴， ∴， ∴，， ， 故选：C． 5．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点E，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度计算，锐角三角函数表示等．根据题意可知，继而利用三角函数即可求出本题答案． 【详解】解：∵矩形， ∴， 又∵为深度， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6.（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键． 由题意可知，，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 故树的高度为， 故选：C． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于点，设，根据题意可得，进而解直角三角形得出，，即可求解． 【详解】解：如图， 作于点， 设， ， ， ， ，． ． ． ． ． 故答案为：． 8.（2025九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，，，菱形的顶点在反比例函数 的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质、特殊角的三角函数值，解题关键是求出点坐标． 根据可得，再结合菱形的性质可求得点坐标，从而求出的值． 【详解】解：过点作于点， 在菱形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点坐标为， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当直线时， ． 【答案】1或 【分析】先求出，，再分两种情况：①如图1所示，当点在上方时，连接，②如图2所示，当点在下方时，延长交于点H，连接，分别画图求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， 根据翻折可得， 分两种情况：①如图1所示，当点在上方时，连接， ∵， ∴， ∴， 此时点与点重合时， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； ②如图2所示，当点在下方时，延长交于点H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， 此时， 故答案为：1或． 【点睛】该题考查了折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是分类讨论． 10．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在中，于点，是上一点，且，点为对角线中点，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质以及矩形的判定与性质． （1）先由平行四边形结合已知可得，则可得四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）分别解求出，，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ∵O是中点， ∴ ， ． 11.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．类似的：可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）． 如图2，在中，，顶角A的正对记作，这时， 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的；根据上述角的正对的定义，解答下列问题： (1)直接写出的值为 ； (2)若为钝角，则的正对值的取值范围是 ； (3)已知其中为锐角，求的值； (4)在中，，，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了新定义下的三角函数比，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解新定义的三角函数比． （1）根据顶角度数确定是等边三角形，然后求比值即可； （2）取和时的值即可确定取值范围； （3）画出图形，令，利用勾股定理求出相关线段的长度，然后求的值即可； （4）画出图形，得出相等的边和角，假设出未知数，利用相似三角形的判定和性质，利用对应边成比例，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：1； （2）解：如图3所示， 当时，； 当时，点为线段的中点，此时，接近于2； ∴的取值范围是， 故答案为：； （3）解：如图所示， 由得，， 令， 则由勾股定理得， 延长至点，使， ∴， 由勾股定理得， ∴； （4）解：如图所示，在上截取， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 令，设， 则， 即， 解得，（负值已舍）， ∴． 12．（2025·广东深圳·三模）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形的性质得到边的关系，进而证明是平行四边形，结合直角条件证明是矩形； （2）过作于点，利用菱形的性质得到相关线段的长度，结合三角形面积公式和勾股定理求线段长度，根据三角函数定义求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， 平行于且， ， ， 即， ， 平行于， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：过作于点， 则平行于， ， ∵四边形是菱形，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定、勾股定理以及三角函数，解题的关键在于正确画出辅助线． 1.（2021·广西贵港·一模）如图，在平行四边形中，，，，点E为边上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，三角形三边关系，关键是通过作辅助线构造直角三角形，得到，由三角形三边的关系得到． 作交延长线于，由平行四边形的性质得到，因此，由锐角的正弦得到，因此，由，得到当时，最小，此时的值最小，由锐角的正弦求出长即可． 【详解】解：作交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ∴当时，最小，此时的值最小， ， ， ， 的最小值为， 故选：C． 2.（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，点D、E分别在、上，、交于，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质（），解直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用证明，从而可得，再证明，列出比例式求得，然后结合，求得，从而可求得的值． 【详解】解：如图，过A作，交的延长线于点G， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ， 解得：， ， 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，的顶点A，P在反比例函数的图像上，已知P的坐标为，（的自然数）；当，3，4…2010时，A的横坐标相应为，…，，则（　　） A． B．2021054 C．2022060 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，关键是根据三角函数值设直角三角形的边长，表示A点坐标，根据A点在双曲线上，满足反比例函数解析式，从而得出一般规律． 设，由得，则，将A点坐标代入中，得出的表达式，寻找运算规律． 【详解】解：依题意设， ∵P点横坐标为1，则C点横坐标为， 即， 又∵， ∴， 则， 将A点坐标代入中， 得， ∴， ∴， 则， ， 则， 即， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在线段上，且的延长线与边相交于点． (1)求证：； (2)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)如果，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)关于的函数解析式是，定义域为 (3) 【分析】（1）由，得，而，可得，再加上公共角可得，写出比例式即可． （2）由，得，得到，有，而，得到．而，即可得到． （3）过点、分别作、，垂足分别为、，则，而，．可计算出，在中利用勾股定理计算出，再在利用勾股定理即可计算出． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， 又 ∵， ， ， 即． （2）解：∵， ， 又， ， ， ， ， ， ， ∵， 解得：， ∴关于的函数解析式是，定义域为． （3）解：过点、分别作、，垂足分别为、，如图 ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：若两个三角形有两组角对应相等，则这两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了求函数解析式、勾股定理以及三角函数的定义． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，直角三角形木板，面积为． (1)直接写出该三角形木板的三边长 (2)小聪、小慧同学分别按图2、图3用该木板设计了一个正方形桌面，请说明哪个同学设计的正方形面积较大； (3)小智同学按图4用该木板设计一个长方形桌面，该桌面的面积能否为，若能求出该长方形桌面的长和宽，若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)小聪设计的正方形面积较大，理由见解析； (3)该桌面的面积不能为，理由见解析． 【分析】（1）利用三角函数定义和勾股定理，结合三角形面积公式求三边； （2）分别设两个图中正方形边长，通过相似三角形列方程求边长，比较大小； （3）设长方形的长和宽，根据相似三角形列方程，结合面积判断是否存在． 【详解】（1）解：在中，，，设，． ∴ 由勾股定理得． 又∵ ，即， ， ， （）． ∴ ，，． （2）解：小聪设计的正方形面积较大，理由如下： 设图2中正方形的边长为，则． ∵ ， ∴ ． ∴ ，即， ， 解得． 设图3中正方形的边长为，过作于，交于． ∵ ，， ∴ ，则． ∵ ， ∴ ． ∴ ，即， ， ， ， ， ． ∵ ， ∴ 小聪设计的正方形面积较大． （3）解：该桌面的面积不能为，理由如下： 设，，过点作于，交于，则，长方形的面积为， ∴， ， ， 即， ， 化简得． ∵， ∴方程没有实数根即该桌面的面积不能为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、一元二次方程的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $