第12章 因式分解（复习讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

第12章 因式分解（复习讲义） 1.清晰梳理因式分解的定义本质，明确其与整式乘法的 “互逆关系”，能准确判断一个变形是否为因式分解；​ 2.熟练掌握因式分解的四种基本方法：提公因式法（含系数、字母、多项式公因式的提取）、公式法（平方差公式、完全平方公式的特征识别与灵活运用）、十字相乘法（二次项系数为 1 和不为 1 的二次三项式分解）、分组分解法（根据多项式结构合理分组，创造提公因式或用公式的条件）；​ 3.构建因式分解的 “方法选择逻辑”，能根据多项式的项数、次数、系数特征，快速匹配最优分解方法（如二项式优先尝试提公因式或平方差公式，三项式优先尝试提公因式或十字相乘法 / 完全平方公式）。 知识点01：因式分解的意义 1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中可以代表单项式，也可以代表多个项的整式，它是整式中各项都含有的因式，称为公因式． 知识点02：提公因式法 1、公因式：一个多个项的整式中每一项都含有的因式叫做这个整式的公因式． 2、提取公因式法：一个多个项的整式各项都含有公因式，可把公因式提到外面， 将一个多个项的整式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 3、提取公因式的步骤： （1）找出整式各项的公因式． （2）提出公因式． （3）写成与的乘积形式． 4、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1； （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变； （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 知识点03：公式法 1.平方差公式 ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 2.完全平方公式 ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 知识点04：十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 知识点05：分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 题型一 判断是否是因式分解 【例1】（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B.是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C.右边含分式，不是因式分解，不符合题意； D.是因式分解，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、把一个多项式化为几个整式的积的形式，此项正确； B、是整式的乘法，此项错误； C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，此项错误； D、是整式的乘法，此项错误， 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，从左到右的变形是整式的乘法，故此选项不符合题意； B．，从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意； C．，从左到右的变形是因式分解，故此选项符合题意； D．，从左到右的变形虽然是因式的积，但因式不全是整式，故此选项不符合题意． 故选：C． 题型二 已知因式分解的结果求参数 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【详解】解： ， ，， 故选：C． 【变式2-1】（22-23七年级上·上海松江·期中）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为（　　） A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 【答案】C 【详解】解：， ∵多项式分解因式得， ∴， 故选：C． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海闵行·期末）一个整式可因式分解为，那么这个整式是 ． 【答案】 【详解】解： ， 所以这个整式是， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得， 则，， ∵m、p，q都为整数， ∴，或，， 则或， 故答案为：． 题型三 提公因式法分解因式 【例3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：； 故答案为： 【变式3-3】（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：（n是正整数） ． 【答案】 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 题型四 平方差公式分解因式 【例4】（2024七年级上·上海·专题练习）分解因式：． 【答案】． 【详解】解： ． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、是y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 题型五 完全平方公式分解因式 【例5】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海松江·期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； B：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； C：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； D：，故此选项符合题意． 故选：D ． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）已知正方形的面积是，则正方形的边长为 ． 【答案】 由正方形的面积是可得，， ， ，则正方形的边长， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 【答案】 【详解】 ． 题型六 综合运用公式法分解因式 【例6】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）因式分解：． 【答案】 【详解】解： 【变式6-2】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 题型七 综合提公因式和公式法分解因式 【例7】（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【详解】解： 【变式7-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： ， 【变式7-2】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： 题型八 因式分解在有理数简算中的应用 【例8】（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 【答案】8016 【详解】解：， 故答案为：8016． 【变式8-1】（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 【答案】16 【详解】解：原式 ． 【变式8-2】（22-23七年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】80 【详解】解： ． 题型九 十字相乘法 【例9】（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【变式9-1】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解：． 【答案】 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式9-2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式9-3】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 题型十 分组分解法 【例10】（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式10-1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式10-2】（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ． 【答案】 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 【变式10-3】（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 【答案】 【详解】 ． 题型十一 因式分解的应用 【例11-1】（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】528 【详解】解：∵，， ∴ ． 【例11-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）矩形的周长是，两边x，y使，x，y是正整数．求矩形的面积． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∵x，y是正整数， ∴， ∴， ∴； ∵矩形周长为， ∴， ∴， ∴矩形面积为：． 【例11-3】（24-25七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）解： ， 则需应用上述方法2024次，结果是， 故答案为：2024，； （3）解： ． 【变式11-1】（24-25七年级上·上海·期中）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 【详解】（1）解：由题意得，十月份甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管； （2）解： ， 当，时，原式， ∴十月份甲区比乙区多铺60米排污管． 【变式11-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）阅读理解应用 待定系数法：设某一整式的全部或部分系数为未知数，利用当两个整式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值． 待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解，因为为三次整式，若能因式分解，则可以分解成一个一次整式和一个二次整式的乘积故我们可以猜想可以分解成展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边整式的同类项的对应系数相等，，，， 可以求出，，所以 (1)若x取任意值，等式恒成立，则 ； (2)已知整式有因式，请用待定系数法求出该整式的另一因式． 【详解】（1）∵恒成立， ∴ ∴； （2）设， ∴， ∴， 整式的另一因式是． 【变式11-3】（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：①根据长方形的周长为，可得： ，整列得： ，解得：． 答：的值为5； ②由图形可知：空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为，且阴影部分的面积表示为， ∴， ∵， ∴，解：， ∴． 答：空白部分的面积为． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由于3和9的公因数是3，和的公共部分为, 所以．和的公因式为. 故选A． 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 3．（22-23七年级上·上海·期中）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】． 故答案为：． 5．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：原式． 6．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：原式． 故答案为：． 7．（22-23七年级上·上海松江·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】． 故答案为：． 8．（22-23七年级上·上海青浦·期中）计算= ． 【答案】 【详解】解： 故答案为： 9．（22-23七年级上·上海宝山·期末）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为： 10．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 11．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为；． 12．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）因式分解： ． 【答案】 【详解】， 故答案为：． 13．（23-24七年级上·上海松江·期中）若可以用完全平方公式因式分解，则m的值是 ． 【答案】 【详解】解：可以用完全平方公式因式分解， 的值等于：． 故答案为：． 三、解答题 14．（22-23七年级上·上海长宁·期中）分解因式： 【答案】 【详解】原式=． 15．（22-23七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： 16．（22-23七年级上·上海松江·期中）分解因式：． 【答案】． 【详解】 ． 17．（22-23七年级上·上海松江·期中）分解因式：； 【答案】 【详解】解： 18．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解； 19．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）分解因式：． 【答案】 【详解】解： ． 20．（23-24七年级上·上海松江·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： 21．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式：． 【答案】 【详解】解： 22．（23-24七年级上·上海·单元测试）计算：． 【答案】 【详解】解： 23．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ； A、，左边不等于右边，故本选项错误，符合题意； B、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； C、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； D、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是因式分解，故本选项符合题意； B、原式分解错误，故本选项不符合题意； C、原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级上·上海金山·期末）下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 故选：B． 二、填空题 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： ， ． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 7．（22-23七年级上·上海普陀·期中）如果，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解： 将代入，得到． 故答案为：． 8．（22-23七年级上·上海闵行·期中）已知a，b，c是三个连续的正整数，，，那么 ． 【答案】33489 【详解】解：， ∵a、b、c是三个连续正整数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：33489． 9．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）分解因式：= 【答案】/ 【详解】 10．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）分解因式： = 【答案】 【详解】 11．（23-24七年级上·上海静安·期中）因式分解： ； 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知，则的值为 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知m，n为正整数，，且，则 ． 【答案】13 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都为正整数 ∴都是大于1的正整数， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：13． 14．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 【答案】 【详解】解：由题意得， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·上海静安·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ． 【答案】 【详解】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第9个智慧优数是， 故答案为：． 三、解答题 16．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 17．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： 18．（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式：． 【答案】 【详解】解： ． 19．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 【答案】 【详解】 ． 20．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 21．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）分解因式：． 【答案】 【详解】解： ． 22．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）因式分解： 【答案】 【详解】解； ． 23．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【详解】解： 24．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 【答案】． 【详解】解： ． 25．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【答案】． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 26．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界； （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 因式分解（复习讲义） 1.清晰梳理因式分解的定义本质，明确其与整式乘法的 “互逆关系”，能准确判断一个变形是否为因式分解；​ 2.熟练掌握因式分解的四种基本方法：提公因式法（含系数、字母、多项式公因式的提取）、公式法（平方差公式、完全平方公式的特征识别与灵活运用）、十字相乘法（二次项系数为 1 和不为 1 的二次三项式分解）、分组分解法（根据多项式结构合理分组，创造提公因式或用公式的条件）；​ 3.构建因式分解的 “方法选择逻辑”，能根据多项式的项数、次数、系数特征，快速匹配最优分解方法（如二项式优先尝试提公因式或平方差公式，三项式优先尝试提公因式或十字相乘法 / 完全平方公式）。 知识点01：因式分解的意义 1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中可以代表单项式，也可以代表多个项的整式，它是整式中各项都含有的因式，称为公因式． 知识点02：提公因式法 1、公因式：一个多个项的整式中每一项都含有的因式叫做这个整式的公因式． 2、提取公因式法：一个多个项的整式各项都含有公因式，可把公因式提到外面， 将一个多个项的整式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 3、提取公因式的步骤： （1）找出整式各项的公因式． （2）提出公因式． （3）写成与的乘积形式． 4、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1； （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变； （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 知识点03：公式法 1.平方差公式 ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 2.完全平方公式 ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 知识点04：十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 知识点05：分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 题型一 判断是否是因式分解 【例1】（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型二 已知因式分解的结果求参数 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 【变式2-1】（22-23七年级上·上海松江·期中）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为（　　） A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 【变式2-2】（24-25七年级上·上海闵行·期末）一个整式可因式分解为，那么这个整式是 ． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 题型三 提公因式法分解因式 【例3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式3-2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解： ． 【变式3-3】（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：（n是正整数） ． 题型四 平方差公式分解因式 【例4】（2024七年级上·上海·专题练习）分解因式：． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 题型五 完全平方公式分解因式 【例5】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海松江·期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）已知正方形的面积是，则正方形的边长为 ． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 题型六 综合运用公式法分解因式 【例6】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解： 【变式6-1】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）因式分解：． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）因式分解：． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）因式分解：． 题型七 综合提公因式和公式法分解因式 【例7】（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 【变式7-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式7-3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 题型八 因式分解在有理数简算中的应用 【例8】（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 【变式8-1】（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 【变式8-2】（22-23七年级上·上海青浦·期末）计算： 题型九 十字相乘法 【例9】（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： 【变式9-1】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解：． 【变式9-2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解：． 【变式9-3】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解： 题型十 分组分解法 【例10】（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解：． 【变式10-1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）因式分解： ． 【变式10-2】（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ． 【变式10-3】（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 题型十一 因式分解的应用 【例11-1】（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【例11-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）矩形的周长是，两边x，y使，x，y是正整数．求矩形的面积． 【例11-3】（24-25七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 【变式11-1】（24-25七年级上·上海·期中）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 【变式11-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）阅读理解应用 待定系数法：设某一整式的全部或部分系数为未知数，利用当两个整式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值． 待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解，因为为三次整式，若能因式分解，则可以分解成一个一次整式和一个二次整式的乘积故我们可以猜想可以分解成展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边整式的同类项的对应系数相等，，，， 可以求出，，所以 (1)若x取任意值，等式恒成立，则 ； (2)已知整式有因式，请用待定系数法求出该整式的另一因式． 【变式11-3】（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（22-23七年级上·上海·期中）分解因式： ． 4．（22-23七年级上·上海·期中）因式分解： ． 5．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）分解因式： ． 6．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）分解因式： ． 7．（22-23七年级上·上海松江·期中）因式分解： ． 8．（22-23七年级上·上海青浦·期中）计算= ． 9．（22-23七年级上·上海宝山·期末）分解因式： ． 10．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）因式分解： ． 11．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式： ． 12．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）因式分解： ． 13．（23-24七年级上·上海松江·期中）若可以用完全平方公式因式分解，则m的值是 ． 三、解答题 14．（22-23七年级上·上海长宁·期中）分解因式： 15．（22-23七年级上·上海·期中）因式分解： 16．（22-23七年级上·上海松江·期中）分解因式：． 17．（22-23七年级上·上海松江·期中）分解因式：； 18．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 19．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）分解因式：． 20．（23-24七年级上·上海松江·期中）因式分解： 21．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式：． 22．（23-24七年级上·上海·单元测试）计算：． 23．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解：． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海金山·期末）下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： ． 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 7．（22-23七年级上·上海普陀·期中）如果，那么的值是 ． 8．（22-23七年级上·上海闵行·期中）已知a，b，c是三个连续的正整数，，，那么 ． 9．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）分解因式：= 10．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）分解因式： = 11．（23-24七年级上·上海静安·期中）因式分解： ； 12．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知，则的值为 13．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知m，n为正整数，，且，则 ． 14．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 15．（23-24七年级下·上海静安·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ． 三、解答题 16．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 17．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 18．（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式：． 19．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 20．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解：． 21．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）分解因式：． 22．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）因式分解： 23．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 24．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 25．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 26．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$