专题12.2.1 公式法分解因式（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

专题12.2.1 公式法分解因式 教学目标 1.理解公式法因式分解本质为整式乘法公式的逆变形，能够准确区分整式乘法与因式分解两种运算。 2.熟练熟记平方差、完全平方两组核心逆用公式，可直接套用公式对简单多项式进行因式分解。 3.精准判断多项式结构特征，掌握二项式优先使用平方差公式、二次齐次三项式优先使用完全平方公式的基本规律。 教学重难点 1.培养观察多项式结构特征的能力，建立代数整体思想，提升代数变形思维。 2.规范解题步骤书写，规避漏项、符号错误、分解不彻底等常见问题，养成严谨的解题思维。 知识点01 平方差公式 因式分解 乘法公式 ①公式左边是个二项式，每一项都是一个数或一个式子的平方，切两项符号相反； ②公式右边是这两个数的和与差的积。 【即学即练】 1．下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式的形式为，多项式需是两个平方项的差（一正一负）． 【详解】解：A、符号相同，不能用平方差公式因式分解； B、，能用平方差公式因式分解； C、，符号相同，不能用平方差公式因式分解； D、为三次两项式，不能用平方差公式因式分解． 2．．因式分解。 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 知识点02 完全平方公式 因式分解 乘法公式 ①公式左边是个二次三项式，首尾是两个数的平方和，中间是两个积的2倍； ②公式右边是这两个数的和或差的平方。 【即学即练】 3．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解． B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解． C、，能用完全平方公式分解． D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解． 4．将下列各式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型01 公式法辨析 【典例1】1．下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式因式分解的条件，平方差公式因式分解要求多项式能写成两个平方项的差的形式，即的形式，逐个判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：① 是两个平方项的和，不符合要求，不能用平方差公式因式分解； ② 符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ③ ，符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ④ ，本质是两个平方项的和的相反数，不符合要求，不能用平方差公式因式分解． 【变式1】下列多项式中不能因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，可提公因式进行因式分解，不符合题意； 对于选项B：，可利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； 对于选项C：，不能因式分解，符合题意； 对于选项D：，可利用完全平方公式进行因式分解，不符合题意． 【变式2】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用完全平方公式分解因式，解题关键是掌握完全平方公式的结构特征，根据公式结构逐一判断选项即可． 【详解】解：∵完全平方公式的结构为， 对于选项A：，符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解因式，符合题意； 对于选项B：的常数项为负数，无法写成正平方项，不符合完全平方公式结构，不能分解，不符合题意； 对于选项C：只符合平方差公式结构，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式分解，不符合题意； 对于选项D：中，若符合完全平方公式，常数项应为，不是1，因此不符合结构，不能分解，不符合题意． 【变式3】已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求； 对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求； 对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求； 对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求． 【变式4】下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 题型02 运用平方差公式因式分解 【典例1】分解因式：=______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解：． 【变式1】因式分解多项式___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解，直至无法继续分解即可． 【详解】解：先提取多项式的公因式，得， 再对用平方差公式分解，得， 因此． 【变式2】( )． 【答案】 【分析】原式符合平方差公式的形式，利用平方差公式分解因式即可得到另一个因式． 【详解】解：． 【变式3】因式分解：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式分解因式，再进一步提取公因式分解因式即可. 【详解】解： ． 【变式4】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式直接运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式提取公因式后运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型03 运用完全平方公式因式分解 【典例1】分解因式：__________． 【答案】 【分析】观察多项式符合完全平方和公式的结构，直接套用公式分解因式即可． 【详解】解：． 【变式1】因式分解：____________． 【答案】 【详解】解：． 【变式2】若是完全平方式，则的值为____________． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的结构得到的两个可能值，再代入所求代数式计算结果． 【详解】解：是完全平方式， ， 可得：， 比较系数可得， 当时， 解得：， 可得：； 当时， 解得：， 可得：； 综上所述，的值为或． 【变式3】将下列各式分解因式： 【答案】 【分析】先变形，然后运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 【变式4】因式分解： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型04 综合运用公式法因式分解 【典例1】因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式a，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】因式分解：． 【答案】 【详解】解：           ． 【变式4】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先将原式变形为平方差的形式，用平方差公式分解后，再用完全平方公式分解彻底． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型05 综合提公因式法和公式法因式分解 【典例1】先因式分解，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先提公因式，然后用完全平方公式分解因式，最后将数据代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【变式1】因式分解 【答案】 【分析】变形为平方差形式后，利用平方差公式分解，合并同类项后提取公因式即可得到结果． 【详解】解：原式       【变式2】把下列各式因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解 （3）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （4）利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式4】先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 题型06 因式分解的应用 【典例1】用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【典例2】若，，求的值． 【答案】6 【分析】把提公因式后，再根据完全平方差公式分解因式得，最后把，代入化简后的式子计算即可得答案． 【详解】解： ， ，， ∴原式． 【变式1】利用因式分解简便计算：． 【答案】10000 【详解】解：原式 ． 【变式2】利用因式分解计算： (1)；； (2)． 【答案】(1)280000； (2)40000 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】已知 ，求代数式 的值． 【答案】 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ . 【变式4】把下列各式因式分解或简便计算： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)简便计算：； (4)简便计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （）先变形提取公因式，再用平方差公式因式分解； （）利用平方差公式变形后进行简便计算； （）将原式变形后，利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1．下列多项式：①，②，③，④．其中有一个相同因式的多项式是（    ） A．①和② B．①和④ C．①和③ D．②和④ 【答案】C 【分析】分别利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：①； ②； ③； ④． 故分解因式后，结果含有相同因式的是：①和③． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式分解因式是解题的关键． 2．已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（    ） A．2ab B．－2ab C．3b2 D．－5b2 【答案】D 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式， 则单项式M可以是−5b2． 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 3．利用因式分解可以知道能够被某个数整除，这个数是（   ） A．18 B．28 C．36 D．64 【答案】D 【分析】使用平方差公式对 进行因式分解，找出其因子． 本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵ 又 ∵ ∴ ∴ 能够被 64 整除． 故选：D． 4．填空： （1），第一个横线填写：______，第二个横线填写：______；           （2），第一个横线填写：______，第二个横线填写：______； （3），第一个横线填写：______，第二个横线填写：______；         （4），第一个横线填写：______，第二个横线填写：______． 【答案】 9 3 1 1 【分析】本题考查完全平方公式进行配方，将二次三项式转化为完全平方公式． （1）将二次项系数与一次项系数进行比较，求出常数项，进而得到完全平方式； （2）将二次项系数与一次项系数进行比较，求出常数项，进而得到完全平方式； （3）将二次项系数与一次项系数进行比较，求出常数项，进而得到完全平方式； （4）将二次项系数与一次项系数进行比较，求出常数项，进而得到完全平方式． 【详解】（1）， 故答案为：9；3； （2）， 故答案为：；； （3）， 故答案为：1；1； （4）， 故答案为：；． 5．因式分解：______． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 6．利用因式分解计算：_____． 【答案】36 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算，正确计算是解题的关键． 观察表达式，发现其符合完全平方公式的形式，通过完全平方公式进行因式分解简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 7．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）直接公因式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．当为整数时，能被4整除吗？请说明理由． 【答案】解：能被4整除．理由如下：因为，所以当为整数时，能被4整除． 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，因式分解的应用，先按照平方差公式分解因式，再计算即可进行判断． 【详解】略 9．分解因式：． 【答案】 【分析】利用加法的结合律和交换律，把整式的第一项和第三项，第四项和第二项分组，提取公因式后再利用公式． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握分组分解法、提取公因式法和公式法是解决本题的关键．解决本题亦可第一与第四、第二与第三项分组． 10．某工地修建供暖设施，需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内半径，外半径，每节长．求浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土．（，结果保留一位小数） 【答案】 【分析】此题考查圆柱体体积，利用圆柱的体积公式，浇制一节这样的管道需要的混凝土为，把，，代入计算，把结果的单位换算成立方米，并保留一位小数即可． 【详解】解：由题可知所需混凝土为： ． 答：浇制一节这样的管道需要立方米的混凝土． 1．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（    ） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【答案】A 【分析】用M与N作差，然后进行判断即可． 【详解】解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1， ∵M-N=(3x2-x+3)-(2x2+3x-1) =3x2-x+3-2x2-3x+1 =x2-4x+4 =(x-2)2≥0， ∴M≥N． 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答题的关键． 2．若，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题利用平方差公式分解，代入已知的的值，即可求出的值． 【详解】∵， 已知 ，， ∴， ∴． 3．已知，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】第一个等式左边利用平方差公式分解因式，把代入求出的值，联立求出与值，即可求出答案． 【详解】解：，， ， 联立解得：， 解得，， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，，以及解二元一次方程组，熟练掌握公式是解本题的关键． 4．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式法因式分解以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且， 、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为正整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C． 5．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 6．若，则__________． 【答案】36 【分析】先利用平方差公式和已知条件求得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36 【点睛】本题考查了平方差公式和代数式求值，其中先利用平方差公式和已知条件求得的值是解本题的关键． 7．（1）若，，则的值为__________． （2）已知，，则的值为__________． （3）若，则的值为__________． 【答案】 12 0.36/ 3 【分析】（1）利用平方差公式分解因式进行计算即可； （2）先根据已知条件求出，再利用完全平方公式分解因式进行计算即可； （3）先分解因式，然后再代入求值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴． 故答案为：12； （2）∵，， ∴，即， ∴． 故答案为：0.36； （3）∵， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算，注意整体思想的应用． 8．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果：______________． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题关键． 根据平方差公式分解因式有两种情况：①当的值为2时，②当的值为4时，利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：①当的值为2时，则； ②当的值为4时，则； 故答案为：或． 9．利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解； （1）先交换位置可得，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （3）先整理为，然后利用平方差公式进行分解可得结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ; （3）解： ． 10．把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）先进行提公因式，然后将括号内进行合并同类项即可； （2）应用公式法（平法差公式），进行分解因式即可； （3）应用公式法（完全平方公式），进行因式分解即可； （4）应用公式法（完全平方公式），进行因式分解即可； （5）应用公式法（完全平方公式），进行因式分解即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ； （3）， ， ； （4）， ， ； （5）， ， ． 【点睛】题目主要考查因式分解中的提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的方法是解题关键． 11．甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数，然后乙根据的值计算代数式的值． (1)填空： ①___________； ②___________． (2)求证：总能被4整除． 【答案】(1)①36，②144 (2) 证明： ， ∵n为正整数， ∴当时，（k为正整数），则， ∵一定能被4整除， ∴能被4整除； 当时，则（k为正整数），则， ∵一定能被4整除， ∴能被4整除； 综上所述，能被4整除． 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）①先计算乘方，再计算乘法即可得到答案；②先计算乘方，再计算乘法即可得到答案． （2）把原式分解因式得到，再分n是奇数和偶数两种情况进行证明即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）略 12．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____________；（填序号） ①；②；③ (2)请你应用从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值； ②琳琳家有一块正方形地，因为修路，把这块地的东边缩短了．村长建议在这块地（缩短后）的南边加长，变成长方形地．琳琳的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而琳琳却提出了反对意见，认为这样她家这块地的面积减少了．你认为琳琳的说法正确吗？为什么？ 【答案】(1)② (2)①； ②琳琳的说法正确， 理由：根据题意，原来地边长为，则面积为， 后来地的面积为， 所以她家这块地的面积减少了． 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，平方差公式与几何图形，平方差公式分解因式，因式分解的应用，列代数式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据图1、2分别写出阴影部分面积，再得出等式即可； （2）①将第一个式子的左边分解因式，再将代入求得； ②根据题意列出算式，用平方差公式进行计算，再合并同类项，然后作出判断． 【详解】（1）解：由图1得阴影部分面积为，由图2得阴影部分面积为， 所以可得到的等式是， 故答案为：②； （2）解：， 又，， 所以， 所以； 略 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.2.1 公式法分解因式 教学目标 1.理解公式法因式分解本质为整式乘法公式的逆变形，能够准确区分整式乘法与因式分解两种运算。 2.熟练熟记平方差、完全平方两组核心逆用公式，可直接套用公式对简单多项式进行因式分解。 3.精准判断多项式结构特征，掌握二项式优先使用平方差公式、二次齐次三项式优先使用完全平方公式的基本规律。 教学重难点 1.培养观察多项式结构特征的能力，建立代数整体思想，提升代数变形思维。 2.规范解题步骤书写，规避漏项、符号错误、分解不彻底等常见问题，养成严谨的解题思维。 知识点01 平方差公式 ①公式左边是个二项式，每一项都是一个数或一个式子的平方，切两项符号相反； ②公式右边是这两个数的和与差的积。 【即学即练】 1．下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．．因式分解。 (1) (2) 知识点02 完全平方公式 ①公式左边是个二次三项式，首尾是两个数的平方和，中间是两个积的2倍； ②公式右边是这两个数的和或差的平方。 【即学即练】 3．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 4．将下列各式分解因式： (1) (2) 题型01 公式法辨析 【典例1】1．下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列多项式中不能因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式4】下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型02 运用平方差公式因式分解 【典例1】分解因式：=______． 【变式1】因式分解多项式___________． 【变式2】( )． 【变式3】因式分解：． 【变式4】因式分解： (1)； (2)． 题型03 运用完全平方公式因式分解 【典例1】分解因式：__________． 【变式1】因式分解：____________． 【变式2】若是完全平方式，则的值为____________． 【变式3】将下列各式分解因式： 【变式4】因式分解： (1) (2) (3)． 题型04 综合运用公式法因式分解 【典例1】因式分解 (1) (2) 【变式1】因式分解： (1) (2) 【变式2】因式分解： (1)； (2)． 【变式3】因式分解：． 【变式4】分解因式： (1) (2) 题型05 综合提公因式法和公式法因式分解 【典例1】先因式分解，再求值：，其中． 【变式1】因式分解 【变式2】把下列各式因式分解 (1) (2) (3) (4) 【变式3】分解因式： (1)； (2)． 【变式4】先因式分解，再求值：，其中，． 题型06 因式分解的应用 【典例1】用简便方法计算：． 【典例2】若，，求的值． 【变式1】利用因式分解简便计算：． 【变式2】利用因式分解计算： (1)；； (2)． 【变式3】已知 ，求代数式 的值． 【变式4】把下列各式因式分解或简便计算： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)简便计算：； (4)简便计算：． 1．下列多项式：①，②，③，④．其中有一个相同因式的多项式是（    ） A．①和② B．①和④ C．①和③ D．②和④ 2．已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（    ） A．2ab B．－2ab C．3b2 D．－5b2 3．利用因式分解可以知道能够被某个数整除，这个数是（   ） A．18 B．28 C．36 D．64 4．填空： （1），第一个横线填写：______，第二个横线填写：______；           （2），第一个横线填写：______，第二个横线填写：______； （3），第一个横线填写：______，第二个横线填写：______；         （4），第一个横线填写：______，第二个横线填写：______． 5．因式分解：______． 6．利用因式分解计算：_____． 7．分解因式： (1) (2) 8．当为整数时，能被4整除吗？请说明理由． 9．分解因式：． 10．某工地修建供暖设施，需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内半径，外半径，每节长．求浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土．（，结果保留一位小数） 1．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（    ） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 2．若，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．已知，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 6．若，则__________． 7．（1）若，，则的值为__________． （2）已知，，则的值为__________． （3）若，则的值为__________． 8．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果：______________． 9．利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 10．把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 11．甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数，然后乙根据的值计算代数式的值． (1)填空： ①___________； ②___________． (2)求证：总能被4整除． 12．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____________；（填序号） ①；②；③ (2)请你应用从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值； ②琳琳家有一块正方形地，因为修路，把这块地的东边缩短了．村长建议在这块地（缩短后）的南边加长，变成长方形地．琳琳的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而琳琳却提出了反对意见，认为这样她家这块地的面积减少了．你认为琳琳的说法正确吗？为什么？ 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $