专题11.1 整式的乘法（1）幂的运算（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本讲义聚焦整式乘法中的幂的运算核心知识点，系统梳理同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三大性质。从幂的定义切入，通过性质推导明确算理，构建正向计算与逆向运用的知识脉络，辅以易错提醒和即学即练作为学习支架。 资料亮点在于强化性质的推导过程与逆用训练，如逆用积的乘方简化0.125²⁰¹⁹×(-8)²⁰¹⁹计算，培养学生推理能力与创新意识。题型涵盖基础理解到综合应用，助力教师课中分层教学，学生课后可通过变式练习查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

专题11.1 整式的乘法——幂的运算 教学目标 1. 理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算性质，能熟练进行幂的运算。 2. 熟练掌握三条幂的基本运算性质，明确各性质适用条件，能够正向计算、逆向灵活运用公式。 3. 学会利用幂的运算性质进行整体代换、幂的大小比较，能解决简单的代数式求值问题与基础应用题型。 教学重难点 1.重点 理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算性质，能熟练进行幂的运算 2.难点 性质的逆运用和灵活应用。 知识点01 同底数幂的乘法 1. 幂的定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 =，读作：（看成运算）a的m次方，（看成结果）a的m次幂。 2. 同底数幂乘法的性质： ===表示：共有（m+n）个a相乘 =（m,n为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相乘. 【易错提醒】 ①不要与幂的加法运算混淆，例如 ②指数不能相乘，例如 3. 性质的逆运用：（m,n为正整数） 乘法是加法的简便运算 乘方是乘法的简便运算 = 【即学即练】 1. 计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 2. 计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 知识点02 幂的乘方 1. 幂的乘方性质的推导 一般地，设m、n是正整数，则有 （乘方的意义） = （同底数幂的乘法） 2. 幂的乘方性质： = （m，n为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【易错提醒】 ①不要与同底数幂混淆；例如，（102）3105 ②注意符号；例如（23）2=[(2)3]2（23）2的区别； 3. 性则的逆运用： = = （m，n为正整数） 【即学即练】 1. 计算 ． 【答案】 【分析】直接利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则化简即可得出答案. 【详解】， 故答案为： 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则，掌握相应的运算法则是解答此题的关键. 2．（1）若，则 ． （2）若．则 ． （3）已知，则 ． 【答案】 8 8 8 【分析】本题考查同底数幂的运算法则，同底数幂的逆运算法则，幂的乘方逆运算法则；掌握相关法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方逆运算法则得到，再根据同底数幂的运算法则即可求解； （2）利用幂的乘方逆运算法则得到，再根据同底数幂的逆运算法则即可求解； （3）利用幂的乘方逆运算法则得到，即可求出，进而求出，代入即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点03 积的乘方 1. 积的乘方性质的推导 一般地，设m、n是正整数，则有 （乘方的意义） = （乘法的交换律、结合律） = （乘方的意义） 2. 积的乘方性质： =（m为正整数） 积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 3. 性则的逆运用：（m为正整数） 【易错提醒】 ①不要遗漏数字因数的乘方；例如， ②积的乘方性质不能用在和差乘方运算上；例如， 【即学即练】 1. 若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算，根据，然后把，代值计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 2. 计算：0.1252019×（﹣8）2019＝ ；（a﹣b）3•（b﹣a）4＝ 【答案】 ﹣1 （a﹣b）7． 【分析】根据幂的运算法则即可求解． 【详解】0.1252019×（﹣8）2019 ＝[0.125×（﹣8）]2019 ＝（﹣1）2019 ＝﹣1； （a﹣b）3•（b﹣a）4 ＝（a﹣b）3•（a﹣b）4 ＝（a﹣b）7． 故答案为﹣1，（a﹣b）7． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式． 题型01 对幂概念的理解 【典例1】的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 【变式1】计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 【变式2】对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 【变式3】（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘法和乘方的意义，只需根据定义分别化简分子和分母，即可得到结果，选出正确选项． 【详解】解：根据乘法的意义，个相同加数相加，可得 根据乘方的意义，个相同因数相乘，可得 原式． 4．计算的结果是（    ） 【变式4】已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 【答案】A 【分析】本题考查乘方运算中底数的概念和运算顺序．的底数是3，而 的底数是 -3，因此底数不同；计算结果分别为和9，不同，即可得到答案． 【详解】解：，底数为3； ，底数为． 则甲的说法正确，乙的说法错误， 故选：A． 题型02 同底数幂的乘法（底数相同） 【典例1】计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，根据同底数幂的乘法，合并同类项法则逐一排除即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【变式2】下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)错误，改正为 (2)错误，改正为 (3)错误，改正为 (4)正确 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂乘法法则是解题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】（1）解：不正确，应改为：， 答：原式错误，改正为． （2）解：不正确，应改为：， 答：原式错误，改正为． （3）解：不正确，应改为：， 答：原式错误，改正为． （4）解：，正确， 答：原式正确． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算法则．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为（、是正整数）．熟练掌握同底数幂的乘法运算法则以及负数的偶次幂为正、奇次幂为负的性质是解题的关键． （1）对于，根据同底数幂相乘的运算法则，底数不变，指数相加来计算． （2）对于，同样依据同底数幂相乘，底数不变，指数与相加进行计算． （3）对于，先根据同底数幂相乘的法则逐步计算，同时注意负号的运算规则． （4）按照同底数幂相乘，底数不变，指数与相加计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【变式4】1．计算下列各题，结果用幂的形式表示． (1)； (2)． (3)． (4)； 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键. （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ． （4）解：原式 题型03 同底数幂的乘法（底数相反） 【典例1】 计算： ______． 【分析】先根据积的乘方法则化简． 再依次利用同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则计算，确定结果的符号即可得到答案． 【详解】解： ． 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． （5） 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则及运算顺序是解答本题的关键，注意先算乘方，再算乘除，最后加减． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式. （5）解： ． 【变式1】． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算 【详解】解： ； 【变式2】计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （2）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】计算． (1)； (2)． 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及有理数的乘方运算，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，以及统一底数的技巧是解题的关键． （1）直接运用同底数幂的乘法法则，将指数相加进行合并化简； （2）先把底数统一，再运用同底数幂的乘法法则计算指数和，最后得出结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (6)． 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则及运算顺序是解答本题的关键，注意先算乘方，再算乘除，最后加减． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5） （6）解：原式 题型04 同底数幂乘法性质的逆用 【典例1】若，，则的值为（     ） A．84 B．243 C．486 D．729 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算是解题的关键． 需利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将待求式转化为已知幂的乘积形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选D． 【典例2】已知：，，，写出，，之间的一个等量关系． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，熟练掌握该法则是解题的关键． 观察数据，可得出，即可通过同底数幂的乘法法则得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式1】下列对幂的变形，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法逆运算法则，需根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”逐一验证选项的变形是否正确． 【详解】解：A、，则，变形正确，不符合题意； B、，则，变形不正确，符合题意； C、，则，变形正确，不符合题意； D、，，变形正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（1）已知，，则＝_____ ． （2）已知，，则的值为_________． 【分析】逆用同底数幂的乘法法则可进行计算． 【详解】（1）解：，， ． （2）解： 把，代入得：． 【变式3】计算_____________．______________.(答案写成幂的形式) 【答案】，- 【分析】此题考查了因式分解的应用，同底数幂的乘法的逆用 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式4】已知，且，能否求出的值？若能，请求出其值；若不能，请说明理由． 【答案】能，、 或 ． 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、分类讨论思想及代数式求值，熟练掌握同底数幂相等时底数和指数的多种可能情况是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则，将已知等式化简，分情况讨论底数和指数的取值共9种情形，逐一验证并求解的值． 【详解】解：能． ∵， ∴或或， ∵， ∴或或即， 情况1：， 解得 ，， ， 故该情况成立，结果为． 情况2：， 解得 ，， ， 故该情况成立，结果为． 情况3：， 解得 ， ， 故该情况成立，结果为0． 情况4：， 解得 ，， ， 故该情况成立，结果为1． 情况5：， 解得 ，， ， 故该情况成立，结果为． 情况6：， 解得 ， ， 故该情况成立，结果为0． 情况7：， 解得 ，， ， 故该情况成立，结果为． 情况8：， 解得 ，， ， 故该情况成立，结果为． 情况9：， 解得 ， （舍去）， 故该情况不成立． 综上， 的值可能为 、 或 题型05 幂的乘方 【典例1】式子可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方的定义，解题的关键是掌握幂的乘方法则． 根据相同因数相乘的表示方法将原式转化，再匹配正确选项即可． 【详解】解：， 故选：D． 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则计算，即幂的乘方，底数不变，指数相乘； 仿照（1）解答（2），（3），（4）即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式1】计算：___________．______．=___________； 【分析】先根据积的乘方计算小括号内的乘方运算，再根据积的乘方和幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 【变式2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，运用对应运算法则逐步计算即可． 【详解】解：原式， 故选：B． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算法则．幂的乘方，底数不变，指数相乘，用公式表示为（、是正整数）．熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】本题考查了幂的乘方运算，计算单项式乘多项式及求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 题型06 幂的乘方性质的逆用 【典例1】（1）已知，则的值为________． （2）若，则______． 【分析】（2）本题考查了幂的乘方运算法则，掌握利用幂的乘方法则将所求式转化为已知式的幂次形式是解题的关键． （2）本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方逆运算．将看作一个整体并求出其值，然后逆用幂的乘方，同底数幂相乘将变形为，再整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：由已知 ，根据指数法则 ，得 . （2）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 【变式1】如果，，则的值是（   ） A．12 B．14 C．36 D．72 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质，熟练掌握“幂的乘方公式、同底数幂的乘法公式”是解题的关键．利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算性质，将转化为含、的形式，再代入求值． 【详解】∵， ， ∴， 故选：D． 【变式2】（1）已知，求的值． （2）已知，（m，n是正整数），求的值． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则是解题的关键．逆用同底数幂的乘法和幂的乘方即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴. （2）解：． 【变式3】（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【分析】（1）本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，先得出，再得出即可得出答案． （2）本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法的逆用，根据题意得，，根据逆用幂的乘方与同底数幂的乘法得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式4】若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数大小的比较；熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：． 题型07 积的乘方的性质 【典例1】计算： （1）________． （2）________． （3）____________； （4） ________． 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方法则的应用． 【详解】解：（1）原式 ， （2）原式 ， （3）解：， （4）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2】（1）计算的结果是（　　） A． B． C． D． （2）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的运算性质，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据相关法则逐步计算即可． 【详解】（1）解：   ． 故选：D． （2）解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、不能用积的乘方的性质计算，不符合题意； 故选：A． 【变式3】计算：________．___________________． 【详解】（1）解：． （2）解： （3）， 【变式4】计算： (1)； (2)． (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查单项式的乘法及合并同类项，掌握相应的运算法则、公式及运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. （3）解：； （4）解：； （5）解：． 题型08 积的乘方的逆用 【典例1】计算：=______ ；___________；___________． 【分析】本题考查了积的乘方的逆用．观察指数相同，利用幂的运算性质将原式化为积的乘方形式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， （3）解：， 【变式1】简便计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】比一比谁算得快． (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，“积的乘方等于积中各个因式分别乘方”．逆用积的乘方运算法则，逐项进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】求的值的个位数字． 【答案】2 【分析】本题考查的是积的乘方及同底数幂的逆用，先计算得出结果，找出的个位数字规律，进而求出结论． 【详解】解： ． 的个位数是2， 的个位数字与的个位数字相同， 的个位数字是每四个数为一个循环． ， 的末位数字是6． ， 的值的个位数字为2． 【变式4】我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把，，用“”连接起来： ； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小； （）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解； （）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解； 本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ． 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ， ， ∵，， ∴原式， ， ； （3）解： ， ， ， ， ， ， ． 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项、幂的乘方的法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意． 2．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的基本运算法则，需根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘法、单项式乘法的法则逐一判断，找出错误选项． 【详解】解：选项A．与不是同类项，不能合并，，本选项计算错误． 选项B．根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可得，本选项计算正确． 选项C．根据同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，可得，本选项计算正确． 选项D．根据单项式乘单项式法则计算：，本选项计算正确． 3．已知，，则的值为（     ） A．8 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【分析】利用同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 4．已知，则的值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出和的值，再结合积的乘方的逆运算化简所求式子，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，． ∴， 代入，，可得， ∴原式． 5．计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 6．计算________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 7．已知，则与的数量关系为_____． 【答案】 【分析】将等式两边化为同底数幂，利用幂的乘方运算性质化简后，根据同底数幂相等则指数相等的性质，即可推导出． 【详解】解：， ∴． 8．计算：_____． 【答案】/ 【分析】逆用积的乘方进行求解即可. 【详解】解：原式. 9．计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得答案； （2）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得同类项，根据合并同类项，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．计算：． 【答案】． 【分析】先根据同底数幂的乘法法则，积的乘方与幂的乘方法则计算，最后合并同类项得到结果． 【详解】解： ． 11．先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 12．观察与思考： ①；②． (1)算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________． (2)计算 【答案】(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘 (2) 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等． （1）根据题干算式，直接写出其运用的幂的运算法则即可； （2）将算式中的幂化为同指数幂，再逆用积的乘方法则进行计算即可 【详解】（1）解：算式①的运算依据是同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 算式②的运算依据是幂的乘方，底数不变，指数相乘； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘； （2）解：． 1．若，是正整数，且满足，则下列和的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用合并同类项和同底数幂的乘法法则化简等式，再根据同底数幂相等则指数相等推导与的关系． 【详解】解：∵， ， ∵等式左右两边同底数幂相等， ∴对应指数相等， ∴． 2．下列各式中，计算过程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应运算法则逐一判断各选项的计算过程即可． 【详解】解：∵A选项中，是合并同类项，正确结果为，选项错误将合并同类项当作同底数幂乘法计算，过程错误； ∵B选项中，是同底数幂乘法，正确计算为，选项中间步骤错误合并系数得到，过程错误； ∵C选项中，，正确计算为，选项错误将的指数记为，过程错误； ∵D选项，正确计算过程为，计算过程正确． 3．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：与不是同类项，不能合并，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 4．已知，，则的值为（   ） A．18 B．30 C．54 D．50 【答案】C 【分析】利用幂的乘方，和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 5．_______． 【答案】 【分析】先根据幂的运算法则计算，再根据单项式乘单项式运算法则和同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 6．（1）若，，则_________； （2）若，则=__________； （3）若，则__________． 【答案】 60 64 1000 【分析】 解题思路为利用积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法法则对所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】（1） 解：根据同底数幂的乘法法则，得 ， 将，代入，得 原式； （2）解： 由，移项，得， 将原式变形，得 ， 将代入，得 原式； （3）解： 根据积的乘方法则化简，得 ，即， 根据幂的乘方法则变形，得 ， 将代入，得 原式． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）原式根据积的乘方与幂的乘方的运算法则进行计算即可； （2）原式根据积的乘方与幂的乘方的运算法则进行计算即可； （3）原式根据积的乘方与幂的乘方的运算法则进行计算即可； （4）原式根据积的乘方与幂的乘方的运算法则进行计算后再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 8．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂相乘及积的乘方运算，再合并同类项即可； （2）根据积的乘方逆运算进行化简求值． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 9．计算，结果用幂的形式表示： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 10．已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用，即可作答； （2）将等式两边都化为以2为底数的幂，问题即可得解； （3）等式左边逆用积的乘方，将其化为底数为15的幂，问题即可得解． 【详解】（1）解：，即； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ∴， 解得：． 11．定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ① ______； ② ______； (2)观察下列式子：． 请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①2；②4 (2)猜想：． 理由：设． ． ． ． ． ． (3)8 【详解】（1）解：，． ，． （2）略． （3）解：， ， ． 又， 由（2）可知． 12．幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是 ． (2)若，求的值． (3)比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？ （提示：， 为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可利用积的乘方的逆运算计算求解； （2）可利用幂的乘方逆运算及同底数幂的乘法的逆运算可求解值； （3）将，，，化为相同的指数，再比较大小即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，，，， 且， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 整式的乘法——幂的运算 教学目标 1. 理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算性质，能熟练进行幂的运算。 2. 熟练掌握三条幂的基本运算性质，明确各性质适用条件，能够正向计算、逆向灵活运用公式。 3. 学会利用幂的运算性质进行整体代换、幂的大小比较，能解决简单的代数式求值问题与基础应用题型。 教学重难点 1.重点 理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算性质，能熟练进行幂的运算 2.难点 性质的逆运用和灵活应用。 知识点01 同底数幂的乘法 1. 幂的定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 =，读作：（看成运算）a的m次方，（看成结果）a的m次幂。 2. 同底数幂乘法的性质： ===表示：共有（m+n）个a相乘 =（m,n为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相乘. 【易错提醒】 ①不要与幂的加法运算混淆，例如 ②指数不能相乘，例如 3. 性质的逆运用：（m,n为正整数） 乘法是加法的简便运算 乘方是乘法的简便运算 = 【即学即练】 1. 计算（   ） A． B． C． D． 2. 计算（   ） A． B． C． D． 知识点02 幂的乘方 1. 幂的乘方性质的推导 一般地，设m、n是正整数，则有 （乘方的意义） = （同底数幂的乘法） 2. 幂的乘方性质： = （m，n为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【易错提醒】 ①不要与同底数幂混淆；例如，（102）3105 ②注意符号；例如（23）2=[(2)3]2（23）2的区别； 3. 性则的逆运用： = = （m，n为正整数） 【即学即练】 1. 计算： ． 2．计算：（1）若，则 ． （2）若．则 ． （3）已知，则 ． 知识点03 积的乘方 1. 积的乘方性质的推导 一般地，设m、n是正整数，则有 （乘方的意义） = （乘法的交换律、结合律） = （乘方的意义） 2. 积的乘方性质： =（m为正整数） 积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 3. 性则的逆运用：（m为正整数） 【易错提醒】 ①不要遗漏数字因数的乘方；例如， ②积的乘方性质不能用在和差乘方运算上；例如， 【即学即练】 1. 若，，则 ． 2. 计算：0.1252019×（﹣8）2019＝ ；（a﹣b）3•（b﹣a）4＝ 题型01 对幂概念的理解 【典例1】的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【变式1】计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2】对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（） A． B． C． D． 【变式4】已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 题型02 同底数幂的乘法（底数相同） 【典例1】计算（   ） A． B． C． D． 【变式1】下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】1．计算下列各题，结果用幂的形式表示． (1)； (2)． (3)． (4)； 题型03 同底数幂的乘法（底数相反） 【典例1】 计算： ______． 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5) 【变式1】． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算． (1)； (2)． 【变式4】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (6)． 题型04 同底数幂乘法性质的逆用 【典例1】若，，则的值为（     ） A．84 B．243 C．486 D．729 【典例2】已知：，，，写出，，之间的一个等量关系． 【变式1】下列对幂的变形，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（1）已知，，则＝_____ ． （2）已知，，则的值为_________． 【变式3】计算_____________．______________.(答案写成幂的形式) 【变式4】已知，且，能否求出的值？若能，请求出其值；若不能，请说明理由． 题型05 幂的乘方 【典例1】式子可表示为（   ） A． B． C． D． 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算：___________．______．=___________； 【变式2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 题型06 幂的乘方性质的逆用 【典例1】（1）已知，则的值为________． （2）若，则______． 【变式1】如果，，则的值是（   ） A．12 B．14 C．36 D．72 【变式2】（1）已知，求的值． （2）已知，（m，n是正整数），求的值． 【变式3】（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【变式4】若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 题型07 积的乘方的性质 【典例1】计算： （1）________． （2）________． （3）____________； （4） ________． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】（1）计算的结果是（　　） A． B． C． D． （2）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】计算：________．___________________． 【变式4】计算： (1)； (2)． (3)； (4)； (5)． 题型08 积的乘方的逆用 【典例1】计算：=______ ；___________；___________． 【变式1】简便计算： (1)； (2)． 【变式2】比一比谁算得快． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】求的值的个位数字． 【变式4】我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把，，用“”连接起来： ； (2)若，，求的值； (3)计算：． 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（     ） A．8 B．16 C．6 D．4 4．已知，则的值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．3 5．计算：__________． 6．计算________． 7．已知，则与的数量关系为_____． 8．计算：_____． 9．计算． (1)； (2)． 10．计算：． 11．先化简，再求值：，其中， 12．观察与思考： ①；②． (1)算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________． (2)计算 1．若，是正整数，且满足，则下列和的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，计算过程正确的是（） A． B． C． D． 3．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为（   ） A．18 B．30 C．54 D．50 5．_______． 6．（1）若，，则_________； （2）若，则=__________； （3）若，则__________． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．计算 (1) (2) 9．计算，结果用幂的形式表示： (1)； (2)； 10．已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 11．定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ① ______； ② ______； (2)观察下列式子：． 请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，求的值． 12．幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是 ． (2)若，求的值． (3)比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？ （提示：， 为正整数，那么） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $