1.2菱形的性质与判定（分层作业，15大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 1.2 菱形的性质与判定 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用菱形性质求角度 题型02 利用菱形性质求线段长 题型03 与菱形面积有关的计算 题型04 利用菱形的性质证明几何关系 题型05 添加条件使四边形是菱形 题型06 证明四边形是菱形 题型07 利用菱形的判定与性质求角度大小 题型08 利用菱形的判定与性质求线段长度 题型09 利用菱形的判定与性质求图形面积 题型10 菱形的概念与性质辨析 B组 能力进阶 题型01 利用菱形的判定与性质解决最值问题 题型02 利用菱形的判定与性质解决折叠问题 题型03 利用菱形的判定与性质解决尺规作图问题 题型04 菱形的性质与判定综合运用 题型05 菱形中的旋转问题 C组 思维拔高 题型 利用菱形的判定与性质解决动点与存在性问题 利用菱形性质求角度题型01 1．如图，在菱形ABCD中，，则（    ） A．120° B．125° C．130° D．150° 【答案】D 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补求解即可． 【详解】解：∵在菱形ABCD中，， ∴∠DAB＝， ∴∠B＝180°－∠DAB＝180°－30°＝150°， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补是解题的关键． 2．已知如图，菱形中，对角线与相交于点O，于E，交于点F，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出，进而利用互余解答. 【详解】∵四边形是菱形, ， ， ， ， ， ， ， 故选: C. 3．已知菱形的周长是48cm一条较小的对角线的长是12cm，则该菱形较大的内角是_______度． 【答案】120 【分析】先根据菱形的性质求出菱形的边长，然后根据对角线长为12cm，可判断出菱形一个角的度数，继而可求得该菱形较大的内角度数． 【详解】∵菱形的周长为48cm， ∴菱形的边长为：48÷4=12cm， ∵一条对角线的长是12cm， ∴这条对角线跟相邻的两边组成的三角形为等边三角形， 则菱形的较小的内角为60°， 则较大内角为180°-60°=120°． 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质及等边三角形的判定和性质的综合运用，难度一般，如果不熟练菱形的性质，解答本题的时候可以先画出草图． 4．如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是________．    【答案】或 【分析】根据题意画出图形，结合菱形的性质可得，再进行分类讨论：当点E在点A上方时，当点E在点A下方时，即可进行解答． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴， 连接， ①当点E在点A上方时，如图， ∵，， ∴， ②当点E在点A下方时，如图， ∵，， ∴， 故答案为：或．    【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及三角形的外角定理，解题的关键是掌握菱形的对角线平分内角；等腰三角形两底角相等，三角形的内角和为；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 5．（24-25八年级下·江西上饶·期中）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，由题意得，，，推出；根据，得出，即可求解； 【详解】解：∵是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 利用菱形性质求线段长题型02 1．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在菱形中，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据菱形的四条边都相等，即可解答． 【详解】解：在菱形中，， ∴． 故选A． 2．如图，菱形的周长为28，对角线交于点O，E为的中点，则的长等于（   ） A．2 B．3.5 C．7 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，由条件确定出为的中位线是解题的关键．由菱形的周长可求得的长，再利用三角形中位线定理可求得答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，且O为的中点． ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选B． 3．（2025·贵州贵阳·模拟）菱形的两条对角线分别是和，则菱形的边长是（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握对角线垂直且互相平分是解题的关键． 由菱形得到，，，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：设菱形的两条对角线交点点O，如图， ∵菱形中，，， ∴，，， 在中，， 故选：B． 4．（2025·四川泸州·二模）如图，四边形是菱形，，，于点，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，，，再根据勾股定理得到，最后根据得到，再代入计算即可． 【详解】解：设菱形对角线交点为， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 【答案】(1)①证明：连接， 四边形是菱形，， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ． ② (2)或 【分析】（1）①连接，利用菱形的性质，证明为等边三角形，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可证明； ②连接交于点，利用菱形的性质和等边三角形性质得到，利用勾股定理得到，证明，利用等腰三角形性质得到，最后根据求解，即可解题； （2）根据与射线交于点E，分以下两种情况讨论，①当在线段上时，作于点，作于点，②当在延长线上时，作于点，以上两种情况分别结合勾股定理和直角三角形性质，以及角平分线性质求解，即可解题． 【详解】（1）①略 ②解：连接交于点， 四边形是菱形， 于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：①当在线段上时， 作于点，作于点， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ； ②当在延长线上时，作于点， ，， ， ， ，， 由①同理可知，，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，勾股定理，直角三角形性质，角平分线性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理并灵活运用． 与菱形面积有关的计算题型03 1．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查菱形面积的计算，已知对角线长度，由菱形面积等于对角线乘积的一半做计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：B． 2．菱形ABCD的边长为13cm，其中对角线BD长10cm，菱形ABCD的面积为（    ） A．60cm2 B．120cm2 C．130cm2 D．240cm2 【答案】B 【分析】由菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求得AE或CE的长，从而求得AC的长；利用菱形的面积公式：两条对角线的积的一半求得面积． 【详解】解：如图，设AC，BD的交点为E ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，BE＝DE＝5，AE＝CE 在Rt△ABE中，AE＝＝＝12 ∴AC＝24cm ∴S菱形ABCD＝AC×BD＝120cm2 故选：B． 【点睛】主要考查菱形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用菱形的性质进行求解． 3．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可． 【详解】解：记AC与BD的交点为， 菱形, 菱形的面积 菱形的面积 故选D． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键． 4．如图，菱形ABCD中，，边，则菱形ABCD的面积是______． 【答案】 【分析】连接BD，过点D作DE⊥AB于点E，根据已知条件可得△ABD是等边三角形，在Rt△ADE中利用勾股定理，求出DE的长，利用菱形面积等于边长×边上的高求解． 【详解】解：连接BD，过点D作DE⊥AB于点E．如图所示， ∵四边形ABCD是菱形． ∴AD=AB=6． ∵∠A=60°． ∴△ABD是等边三角形． ∵DE⊥AB． ∴AE=AB=3． 在Rt△ADE中，DE=， ∴S菱形ABCD=AB•DE=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质与等边三角形的判定，掌握有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形是解题的关键． 5．（25-26九年级上·上海·月考）如图，点E、F分别在菱形边、上，，如果的面积是6，的面积为9，那么的面积为______． 【答案】15 【分析】本题考查了三角形中线的性质，菱形的性质．连接，，利用三角形中线的性质求得，，推出，再证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 的面积为， 故答案为：15． 利用菱形的性质证明几何关系题型04 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，是四边形的对角线．点E，F分别是的中点，点M，N分别是的中点，若四边形是菱形，则原四边形应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理以及菱形的性质，由题意得分别是的中位线，推出且；四边形是平行四边形；根据四边形是菱形，得到，推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴且；且；且；且； ∴且； ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，在菱形中，M，N分别是和上的点，且．求证：．    【答案】 证明：∵四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】考查了菱形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用证得三角形全等．根据四边形是菱形得到，从而证得，进一步得到，然后利用等边对等角证得结论即可． 【详解】略 3．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在菱形中，，分别为上的动点，，点从点向点运动的过程中，试判断的长度是否发生变化？并说明理由． 【答案】 的长度不变，理由如下， 如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，即，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的长度不会发生变化． 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识得到是解题的关键． 如图所示，连接，由菱形的性质得到是等边三角形，再证，得到，即可求解． 【详解】略 4．菱形ABCD中，，E，F分别是射线BC，CD上一点，． (1)如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，写出线段BE，DF，AB之间的数量关系并证明； (2)如图2，当点E，F分别在线段BC，CD延长线上时，写出线段BE，DF，AB之间的数量关系并证明； 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）连接AC ，推出和是等边三角形，通过证明≌得到，即可得到结论； （2）方法思路同（1），但因CE在三角形之外，故得到． 【详解】（1）．理由如下： 如图1，连接AC． ∵四边形ABCD是菱形． ∴，，AC平分，． ∴． ∴和是等边三角形． ∴， ∵， ∴． 即． ∴． ∴≌（ASA）． ∴． ∴． （2）． 证明：如图，连接AC． ∵四边形ABCD是菱形． ∴，，AC平分，． ∴． ∴和是等边三角形． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴．   即． ∴． ∴≌（ASA）． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及三角形全等的相关知识，此类题型比较灵活，但围绕的知识点是固定的，解题时注意结合图形寻找已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向． 5．如图，在菱形中，，对角线、交于点，过作交于． （1）如图1，已知，求线段的长度； （2）如图2，在上任取一点，连接，以为边作等边△，连接交于点，求证：. 【答案】（1） ； （2）证明：过N作EA的垂线与EA的延长线交于点G， ∵菱形ABCD， ∴,AC⊥BD于O，AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形， ∴∠CAD＝∠BAD＝60°， ∵△AMN是等边三角形， ∴AM＝AN，∠MAN＝60°， ∴∠CAD＝∠MAN， ∴∠OAM＝∠DAN， ∵∠NGA＝∠AEB＝90°，   ∴， ∵ ∴， ∴∠GNA＝∠NAD， ∴∠GNA＝∠OAM， ∴△GNA和△OAM中， ∴， ∴GN＝AO， ∵AO＝AC， ∵△ABC是等边三角形且AE⊥BC， ∴AO＝BC＝BE， 在△GNH和△EBH中， ， ∴， ∴HN＝BH. 【分析】(1)根据题意可求出∠BAE＝30°，从而得，在Rt△BEF中，由勾股定理易求线段的长度； （2）过N作EA的垂线与EA的延长线交于点G，通过证明和即可得证. 【详解】（1）因为AE⊥BC ， ∴∠AEB＝90°， ∵∠ABC＝60°，   ∴∠BAE＝30°，   ∴. ∵∠DBC＝∠ABC＝30°， ∴在Rt△BEF中， EF＝BF设EF＝x，则BF＝2x， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （2）略 【点睛】本题考查了菱形的性质：四边相等、对角线互相垂直平分和勾股定理以及全等三角形的判定与性质，综合性较强，作辅助线是解决第（2）问的难点和关键. 添加条件使四边形是菱形题型05 1．（25-26八年级·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【详解】解：A、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形，，不能证明平行四边形是菱形，故选项C符合题意； D、四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在四边形A中，对角线与相交于点．现有五组条件：①；②；③；④；⑤．以下选项能判定四边形是菱形的是（   ） A．①③ B．②④ C．③⑤ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判定条件，逐一分析各选项组合即可求解． 【详解】解：菱形判定条件包括：① 平行四边形且邻边相等；② 平行四边形且对角线互相垂直；③ 四边均相等． 选项A（①③）： ① 给出两组对边平行，说明四边形为平行四边形． ③ 对角线互相垂直．根据判定条件，平行四边形的对角线垂直则为菱形．故选项A正确，符合题意． 选项B（②④）： ② 对角线相等，④ 一个角为直角．对角线相等的四边形可能是矩形，但无法确定四边相等，故不一定是菱形，不符合题意． 选项C（③⑤）： ⑤ 一组对边平行且另一组对边相等，可能为等腰梯形．即使对角线垂直，无法成为菱形．因此条件⑤无法确保平行四边形，选项C不成立，不符合题意． 选项D（①②）： ① 为平行四边形，② 对角线相等，此时四边形为矩形而非菱形，不符合题意． 故选：A． 3．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定知识点，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据菱形的判定定理，在平行四边形的基础上，添加一组邻边相等或对角线互相垂直的条件即可判定为菱形． 【详解】解：添加条件： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一） ． 4．（24-25八年级下·湖北老河口·期中）如图，在中，点D，E，F分别是的中点． (1)只添加一个条件 ，使四边形是菱形； (2)根据（1）中添加的条件，证明四边形是菱形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 证明：∵点D，E，F分别是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先由三角形的中位线得到，继而可证明四边形是平行四边形，当添加条件时，根据中点得到，即可证明为菱形； （2）证明分析见（1）． 【详解】（1）解：添加条件：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）； （2）略 5．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．    若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 【答案】 赞成小洁的说法，补充 证明：∵OB＝OD， 四边形是平行四边形， AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 【分析】先由OB＝OD，证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键． 证明四边形是菱形题型06 1．如图，为等腰三角形．如果把它沿底边翻折后，得到，那么四边形为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】此题主要考查了菱形的判定，以及等腰三角形的性质，关键是掌握四边相等的四边形是菱形． 根据等腰三角形的性质可得，再根据折叠可得，，进而得到，根据四边相等的四边形是菱形可得到答案． 【详解】解：∵等腰沿底边翻折得到， ，， ， ， ∴四边形为菱形． 故选：B． 2．如图，在平行四边形中， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形(________)(请在横线上填上理由)    【答案】有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【分析】根据菱形的判定定理即可解答． 【详解】有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 【点睛】此题考查菱形的判定定理，解题关键在于掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 3．如图，四边形中，的平分线交于点E，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【分析】根据，可得，再由平分，可得，从而得到，进而得到，再由，可得，可证得四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的判定，等腰三角形的判定是解题的关键． 4．如图，在□ABCD中，平分交于点，平分交于点. 求证：（1）； （2）若，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论. 【答案】 （1）∵四边形是平行四边， ∴ ∵平分 平分 ∴ ∴ （2）由得 在平行四边形中， ∴ ∴四边形是平行四边形 若则四边形是菱形 【分析】（1）由平行四边形ABCD可得出的条件有：①AB=CD，②∠A=∠C，③∠ABC=∠CDA；已知BE、CD分别是等角∠ABD、∠CDA的平分线，易证得∠ABE=∠CDF④；联立①②④，即可由ASA判定所求的三角形全等； （2）由（1）的全等三角形，易证得DE=BF，那么DE和BF平行且相等，由此可判定四边形BEDF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出EBFD的形状． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，在菱形中，四条边的垂直平分线、、、交于M、N、P、Q四点．    (1)连接，求证：点M在的垂直平分线上； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：连接、、，    ∵点M在的垂直平分线上， ∴， ∵点M在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点M在的垂直平分线上． (2) 四边形是菱形，理由如下： 设直线交于点L，连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形， 连接、、， ∵点N在的垂直平分线上， ∴， ∵点N在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴点N在的垂直平分线上， 同理，点Q在的垂直平分线上， ∵垂直平分， ∴点N、点Q都在上， 由（1）得，点M在的垂直平分线上， 同理，点P在的垂直平分线上， ∵垂直平分， ∴点M、点P都在上， ∴， ∴四边形是菱形．    【分析】（1）连接、、，由线段的垂直平分线的性质得，，则，所以点M在的垂直平分线上； （2）设直线交于点L，连接，根据中垂线的定义可得，再根据，可得，随即可证明，同理，，即四边形是平行四边形，连接、、，根据垂直平分线的性质可证明点N在的垂直平分线上，同理，点Q在的垂直平分线上，即可得点N、点Q都在上，结合（1）证明点M、点P都在上，则有，即四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题重点考查菱形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行线的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 利用菱形的判定与性质求角度大小题型07 1．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 2．如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形的四边都相等，可证得四边形是菱形，又由等边的顶点、分别在、上，且，可设，根据三角形的内角和定理得出方程，解此方程的解即可求出答案． 【详解】解：四边形的四边都相等， 四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形，， ，， ，， 由三角形的内角和定理得：， 设， 则， ， ， 解得：， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及平行线的性质等知识点．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键． 3．则在中，的平分线交直线于点，交直线于点，若，，，分别连接、、，的大小是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长、交于，连接．得出四边形为平行四边形，根据已知条件可得为等腰三角形，进而证明平行四边形为菱形，证明)，进而即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于，连接．   ，， 四边形为平行四边形， ，平分， ，，， 为等腰三角形， ， 平行四边形为菱形， ，为全等的等边三角形， ，， ，，， ， 在和中， )， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 【答案】或62度 【分析】首先证明出四边形是菱形，然后根据菱形的性质求解． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形 ∴平分和 ∴． 5．如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连结，． (1)【基础巩固】 求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形； (2)【操作思考】 如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长； (3)【拓展探究】 如图3，连结，若四边形为菱形，且，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ，， ， 四边形是平行四边形； (2) (3) 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）设，根据勾股定理，建立方程求解即可； （3）延长交于点，证明，得，所以是等腰直角三角形，然后根据菱形的性质即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， 如图2，连接交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 整理得， 解得：或（舍去）， ． 当时，四边形能成为菱形； （3）解：如图3，连结，延长交于点， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形为菱形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用菱形的判定与性质求线段长度题型08 1．（25-26九年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】C 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形， ∴四边形为菱形， ∴四边形的周长为． 2．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，根据菱形的对角线互相垂直且平分和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设与相交于点，如图： ， 四边形是菱形， ，， ， ，， 又， 故选B 3．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得，之间的距离为，，之间的距离为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由DE=DF得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O， 由题意知，AD//BC，AB//CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵两张纸条等宽， ∴DE=DF． ∵DE•AB=DF•BC， ∴AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 在Rt△AOD中，OA=4cm，OB=3cm， ∴AB==5cm， 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键． 4．在中，的平分线交边于点E，于点M，N是的中点，连接．若，，，则的长度为______． 【答案】或 【分析】根据题意画出示意图，当点G在线段上时，延长交于点F，连接过点B作于点G，过点A作于点H，证明，进而证明四边形是菱形，得到，点M是的中点，由N是的中点，易得是的中位线，从而得到，，再根据，利用勾股定理，利用勾股定理求出，从而得到，由三角形面积公式，求出，由等腰三角形的性质得到，从而得到，利用勾股定理即可求出的长；当点G在延长线上时，同理进行解答即可． 【详解】解；如图，当点G在线段上时，延长交于点F，连接过点B作于点G，过点A作于点H， 在中，， 四边形是平行四边形， 是的平分线，， ，， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，点M是的中点， N是的中点， 是的中位线， ， ， ，， ， ， （负值舍去）， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当点G在延长线上时， 同理，得到， ， ， ， ， ， ， ； 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，根据题意画出示意图并正确作出辅助线是解题的关键． 5．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD． ∵E，F分别是BC，AD的中点， ∴． ∴BE＝AF． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵BC＝2AB， ∴AB＝BE． ∴平行四边形ABEF是菱形． （2）. 【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）过点O作OG⊥BC于点G．分别在Rt△OEG，Rt△OCG中解直角三角形即可； 【详解】（1）略 （2）过点O作OG⊥BC于点G． ∵E是BC的中点，BC＝8， ∴BE＝CE＝4． ∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠OBE＝30°，∠BOE＝90°． ∴OE＝2，∠OEB＝60°． ∴GE＝1，OG＝． ∴GC＝5． ∴OC＝2． 【点睛】考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、解直角三角形、直角三角形中30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 利用菱形的判定与性质求图形面积题型09 1．一个平行四边形的一条边长为，两条对角线的长分别为和，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平行四边形的性质求出OA，OB的长，进而利用勾股定理的逆定理得到AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形，利用菱形面积公式即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在平行四边形ABCD中，，AB=3， ∴， ∵， ∴△AOB为直角三角形，即∠AOB=90°， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理的逆定理，正确得到AC⊥BD，进而证明四边形ABCD是菱形是解题的关键． 2．（24-25九年级下·贵州遵义·联考）如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是___________． 【答案】16 【分析】本题主要考查了菱形的判定及性质，熟练掌握菱形的面积计算公式，是解题的关键．根据四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，再由菱形的两条对角线，求出菱形的面积即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴该四边形的面积是：． 故答案为：16． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线，交于点O，，则的面积等于______． 【答案】24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据题意判定是菱形；在直角中，利用勾股定理求得的长度，继而利用菱形的面积公式作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，对角线，交于点O，， ∴是菱形， ∵， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积为：． 故答案为：24． 4．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1) 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，根据平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边可得，再根据直角三角形的性质证明是等边三角形可得；易证四边形为平行四边形，再结合即可证明结论； （2）先说明，由菱形的性质可得，，进而得到，最后根据菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图：设相交于点O， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 5．（24-25八年级下·河北唐山·期末）老师布置了一项作业：利用所学知识在一张长，宽的矩形纸片上作出一个菱形． ①嘉嘉的方案，如图1： 1．连接； 2．作的垂直平分线，交，，于点E，F，O； 3．连接，； 4．四边形即为所作的菱形． ②淇淇的方案，如图12-2： 1．利用刻度尺找到四条边的中点E，F、G、H； 2．顺次连接E、F、G、H； 3．四边形即为所作的菱形． 【解答问题】 (1)方案设计正确的是______（写出序号即可）； (2)请选择一种正确的方案进行证明； (3)直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少． 【答案】(1)① ② (2) 方案1： 四边形为菱形，理由如下： ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵四边形是一张矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 方案2： 四边形为菱形，理由如下： 连接 ∵矩形四条边的中点E，F、G、H； ∴，都是三角形的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． (3)①， 【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形，结合三角形中位线定理，判定两种方案都是正确的，解答即可； （2）根据四边相等的四边形是菱形，进行证明即可； （3）计算出两种情况下菱形的对角线长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半计算，比较大小即可． 本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，熟练掌握判断和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据作图，四条边相等的四边形是菱形，可以判定，两种方案都是中正确的， 故答案为：① ② ． （2）略 （3）解：方案1：∵四边形是一张矩形纸片，，， ∴，， 设， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 故菱形的面积为：． 方案2：连接， ∵矩形四条边的中点E，F、G、H； 则四边形都是矩形， 故， 故菱形的面积为：． 故方案1面积最大． 菱形的概念与性质辨析题型10 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）菱形不具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：菱形的邻边相等，对边相等，对角线互相垂直，对角线不一定相等， 故选：D． 2．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．每条对角线平分一组对角 D．对角互补 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、菱形、平行四边形的对边平行且相等，故A选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，故B选项不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；平行四边形的对角线互相平分，故C选项符合题意； D、菱形、平行四边形的对角相等，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，掌握平行四边形与菱形的性质是解题的关键． 3．下列命题的逆命题中，是真命题的为（    ） A．矩形是对角线相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．在中，如果三边满足，那么这个三角形是直角三角形 D．全等三角形的对应角相等 【答案】B 【分析】先把原命题的结论和题设互换写出对应命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A、原命题的逆命题为对角线相等的四边形是矩形，该命题是假命题，例如等腰梯形的对角线也相等，但它不是矩形，不符合题意； B、原命题的逆命题为菱形的对角线互相垂直，该命题是真命题，符合题意； C、原命题的逆命题为直角三角形中，三边满足，该命题是假命题，只有c对应的边是斜边时才是真命题，不符合题意； D、原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，该命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，菱形的性质，矩形的判定定理，勾股定理，全等三角形的判定等等，正确写出对应命题的逆命题是解题的关键． 4．如图，在四边形中，，且，则下列说法：①四边形是平行四边形；②；③；④平分；⑤若，则四边形的面积为24．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】由AB∥CD，BC∥AD，可知四边形ABCD是平行四边形，可判断①的正误；由AD＝DC，可知平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可判断②③④⑤的正误． 【详解】解：∵AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵AD＝DC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确； ∵AC＝6，BD＝8， ∴，故⑤正确； ∴正确的个数有5个． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质，解题的关键在于证明四边形ABCD是菱形． 5．如图，平行四边形中，与交于点O，点E是边上的中点，连接，，，．有下列结论：①是等边三角形；②的周长是20，③的边上的高是，④是菱形，⑤的面积是48．其中正确的是（    ）    A．②③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到，，根据中位线定理求出，根据已知线段求出，即可证明，得到是菱形，再根据菱形的性质求出面积和周长，利用等积法求出边上的高，分别算出的三边，可证明不是等边三角形． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∵点E是中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是菱形，故④正确； ∴的周长是，故②正确， ∵， 故⑤错误； ∴， 即边上的高是，故③正确； ∵，，， ∴不是等边三角形，故①错误； ∴正确的有②③④， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，三角形中位线的性质，四边形的面积，解题的关键是根据特殊四边形的性质求相应线段的长度，掌握面积法的应用． 利用菱形的判定与性质解决最值问题题型01 1．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 (    ) A．17 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可． 【详解】解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x， 在Rt△ABC中， 由勾股定理：x2＝（8−x）2＋22， 解得：x＝， ∴4x＝17， 即菱形的最大周长为17． 故选：A． 【点睛】考查了菱形的性质，本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程． 2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（      ）.    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可． 【详解】如图所示：    ∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时， 过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点， ∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°， ∴FD=MD=， ∴FM=DM×cos30°=， ∴MC=， ∴A′C=MC-MA′=-1． 故选B． 3．菱形的周长是20cm，则此菱形面积的最大值是______cm2． 【答案】25 【分析】根据菱形的面积计算公式求得最大值即可． 【详解】∵菱形的周长为20cm， ∴菱形的边长为5cm， 设菱形的高为hcm， 所以面积为5h， 所以当h最大时面积最大， 当邻边垂直也就是菱形变成正方形时面积最大，为52=25， 故答案为25． 【点睛】考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的两种不同的面积计算方法，难度不大． 4．如图，菱形的周长为，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则的最小值是___________． 【答案】3 【分析】由于A、C两点关于BD对称，P在BD上，则连接AC，EC，与BD的交点即为点P，此时PA＋PE的值最小，再根据等边三角形的性质和勾股定理，即可求解． 【详解】如图，∵菱形ABCD的周长为24， ∴AB＝6， 连接EC，与BD交于点P，连接AC，此时PA＋PE＝CP＋EP＝CE，值最小． ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴∠CAB＝∠BAD＝60°， ∵AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝6， ∵E是AB中点， ∴∠ACE＝30°，CE⊥AB， ∴CE＝＝＝3， ∴AP＋EP＝CE＝3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定，难度适中，确定点P的位置是解题的关键． 5．如图，四边形中，，，并且平分，，．点是上的动点，点在射线上． (1)如图1，求证：四边形为菱形； (2)如图2，连接，若，求的度数； (3)如图3，若，连接，求的最小值． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，即， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； (2) (3) 【分析】（1）根据，，可得四边形为平行四边形，根据角平分线的性质可得，结合平行四边形的性质可得，由此即可求证； （2）连接，根据四边形为菱形，可得，，根据，，， 可得，根据平行四边形的性质可得； （3）过点作，且取，连接，，，可得则，，根据四边形为菱形，，可得是等腰直角三角形，则，根据三角形三边关系得，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵四边形为菱形， ∴，是公共边， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是菱形，，是对角线， ∴，则， 如图所示，过点作，且取，连接，，， 在，中， ， ∴， ∴， ∵四边形为菱形，则，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由得， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，掌握菱形的判定和性质，合理构造辅助线是解题的关键． 利用菱形的判定与性质解决折叠问题题型02 1．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将沿直线AE翻折，使点B落在上，连接，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的度数，证明出，即可利用等边对等角，以及三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， 将沿直线翻折，使点落在上，， ，， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弄清题意，灵活运用相关图形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·福建泉州南安·期末）如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 【答案】24 【分析】本题考查剪纸问题，矩形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是求出菱形的对角线的长．由折叠可知，得到的四边形是菱形，求出菱形的对角线，可得结论． 【详解】解：由折叠可知，得到的四边形的对角线互相垂直平分， ∴这个四边形是菱形， ∵原来矩形的长为，宽为， ∴可得菱形的对角线分别为和， ∴菱形的面积， 故答案为：24． 3．（24-25八年级下·河北保定·质检）把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为______； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为______． 【答案】 ；度 或 【分析】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 翻折变换的性质及正方形的判定进行可得四边形是是菱形，据此分析从而得到最后答案． 【详解】解：（1）一张矩形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形． （2）有一个内角为的菱形，出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 故，a的值等于， 或是， 故答案为：（1）；（2）或. 4．如图，菱形纸片，，，将该菱形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点、，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠性质，解直角三角形，勾股定理，方程思想，关键是作辅助线构造直角三角形． 过点作，与的延长线交于点，解直角三角形得，设，用表示，再用勾股定理列出的方程进行解答． 【详解】解：过点作，与的延长线交于点， 四边形是菱形， ， 是的中点， ， ， ， ， 由勾股定理可得，， 设，则， 由折叠性质知，， 由勾股定理得， ， 解得，， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·山西朔州·期中）综合与探究 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，． 成果展示 （1）第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处，折痕分别交，于点F，E．判断四边形的形状，并加以证明． （2）第二小组：将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P，折痕交于点E，交于点G． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点 M．若M恰好是的中点，且，请直接写出线段的长． 深入探究 （3）在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转（点E的对应点为，点P的对应点为），当与所在的直线垂直时，且，请直接写出点到直线的距离． 【答案】 （1）四边形是菱形，证明如下： 设与交于点， AI∵菱形纸片， ∴， ∵折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处， ∴，，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①，证明如下： 如图，连接、、 ∵菱形，， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②；（3）点到直线的距离 【分析】（1）设与交于点，先由菱形纸片得到，再由折叠得到，，，即可证明，得到，推出，则四边形是菱形； （2）①连接、、由菱形，，得到，由折叠得到，，则，根据，得到，利用等角对等边得到； ②由M恰好是的中点，得到， ，则，则，，根据，求出，则，最后根据求解即可； （3）设直线与直线交于点，与直线交于点，由（2）可得和之间的距离为，即，，，则，然后根据当在左边或右边分情况画出图形求出点到直线的距离的值即可． 【详解】解：（1） 略 （2）① 略 ②∵， ∴， ∵M恰好是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）设直线与直线交于点，与直线交于点， ∵在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转，， ∴，， ∵与所在的直线垂直， ∴，， ∴， ∴， 由（2）可得和之间的距离为，即， 当在左边时，如图，此时点到直线的距离； 当在右边时，如图，此时点到直线的距离； ∴点到直线的距离． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，折叠问题，直角三角形，勾股定理，旋转等知识点． 利用菱形的判定与性质解决尺规作图问题题型03 1．（24-25八年级下·山东·期末）已知，按以下步骤作图，如图1~图3． （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点， （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点 （3）分别连接，． 则可以直接判定四边形是菱形的依据是（   ） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定，尺规作图作线段．根据作图可知，即可解答． 【详解】解：由作图可知：， ∴四边形为菱形， 故选：D． 2．（24-25八年级下·天津·期末）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接、则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图；线段垂直平分线的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，根据菱形的性质得到，由等边对等角和三角形的内角和定理求出的度数，根据作图得到在的中垂线上，得到，等边对等角，得到的度数，利用角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 由作图可知点E在线段的垂直平分线上， ∴， ， ． 故选：C． 3．如图，，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，由题意可证明四边形是菱形，则，，由勾股定理可得，据此根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：由作图方法可知， ∴四边形是菱形， 如图所示，连接交于O，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知四边形是矩形， (1)请用尺规作图法，分别在、边上求作点、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，，试求出（1）中所作菱形的面积． 【答案】(1) 如图，    (2)20 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交，于点E，F，则四边形为菱形；由是的垂直平分线得，，，再证和全等得，进而得，据此可判定四边形为菱形； （2）设菱形的边长为x，在中由勾股定理求出x即可．再根据． 【详解】（1）解：连接，利用直尺和圆规作线段的垂直平分线交，于点E，F，则点E，F为所求． 证明如下：设与交于点O， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点E，F为所求作的点． （2）解：设菱形的边长为x， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴菱形的的边长为5， ∴ 【点睛】此题主要考查了基本尺规作图，菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等，解答此题的关键熟练掌握利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线的方法与步骤，理解四条边都相等的四边形是菱形． 5．（2026·甘肃兰州·二模）小嵊与小州两位八年级的同学结合尺规作图展开了以下探究： 素材提供：圆规是常用的作图工具，如图1，圆规的两脚，． 实践操作：小嵊利用尺规作图作出了过直线外一点作已知直线的垂线． 步骤如下： ①如图2，以点为圆心，以为半径画弧，交直线于，两点． ②再以，两点为圆心，以为半径分别画弧，两弧交于点． ③连接，则直线即为所作的直线的垂线． 问题解决： (1)如图1，若，则所画圆的面积为________． (2)如图2，的理由是： ∵由作图可知，四边形是________， ∴． (3)探究提升： 小州认为以下问题也可以借助尺规作图解决：如图3，在矩形中，，，点是上一动点，点关于直线的对称点为点，当落在直线上时，用尺规作图作出点．（保留作图痕迹，要求：先尺规作图，再把痕迹用中性笔描黑） 【答案】(1) (2)菱形 (3)点如图所示： 【分析】（1）容易判断是等边三角形，则，直接计算圆的面积即可； （2）由可判定四边形是菱形，因此； （3）连接，以点为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线与的交点即为点． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴所画圆的面积为； （2）解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴； （3）解：如图，连接、，连接交射线于点， 由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点与点关于直线对称． 菱形的性质与判定综合运用题型04 1．如图，的对角线相交于点O，点E为边的中点，连接并延长交边于点F，，．下列结论错误的是（   ）    A． B． C．四边形为菱形 D． 【答案】D 【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：点E为边的中点， ， 又， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即，故选项A正确； 在中，，， ， 在和中， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形，故选项C正确； ， 在中，， ， ，故选项B正确； 在中，， 又点E为边的中点， ，故选项D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，三角形的中线性质，掌握菱形的判定是解题关键． 2．（24-25八年级下·安徽铜陵·期中）如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接，则下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的有（   ） A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由证明，②正确；得出，证出是的中位线，得出，根据，推出，故③正确；先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，因此，则四边形是菱形，④正确；由菱形的性质得，结合，推出，①正确． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，，， ，， ， ， 在和中， ， ，故②正确 ， 是的中位线， ， ， ，故③正确； ，， 四边形是平行四边形， ， 、是等边三角形， ，， ，四边形是菱形，故④正确； ， ∵， ，故①正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 3．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是___．    【答案】 【分析】连接于相交于，根据已知和菱形的性质可分别求得，，的长，从而可发现规律根据规律不难求得第个菱形的边长． 【详解】解：连接，    四边形是菱形， ．， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 同理可得，， 按此规律所作的第个菱形的边长为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力，解题的关键掌握菱形的性质． 4．已知：如图，平分，交于E，交于F． 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等角对等边等知识，利用菱形的判定与性质是解题的关键；由可得四边形是平行四边形，再由平行与平分易得，从而得，由此即可得四边形是菱形，再由菱形的性质即可证明． 【详解】略 5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，为上方一个点，且，过点作直线交线段于点，交线段于点，且使得． (1)的度数为______； (2)探究线段，，的数量关系； (3)如图2，画出关于直线的对称图形，得到，连接，． ①若长为、长为，求四边形的周长（用含，的式子表示）； ②若，，请直接写出的面积（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)    【分析】（1）由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数； （2）由三角形的内角和定理可得，由邻补角互补可得，，进而可得，由三角形的内角和定理可得，由平角的定义可得，进而可得，再结合，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，再利用等量代换即可得出结论； （3）①由已知条件可得为等边三角形，由轴对称的性质可得为等边三角形，于是可得，，由（2）得，，则，进而可得，利用可证得，于是可得，，则，即，于是可得为等边三角形，则，进而可得四边形的周长，于是得解；②连接，由（2）得，因而设，可得，，于是可得为等边三角形，则，进而可得，于是可得四边形是菱形，则，由全等三角形的性质可得，进而可得，即，由轴对称的性质可得，于是可得，解方程即可求出的值，进而可得的面积． 【详解】（1）解：，， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 即：； （3）解：①，， 为等边三角形， 与关于直线对称， 为等边三角形， ，， 由（2）得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ，， 四边形的周长 ； ②如图，连接， 由（2）得：， 设， ，， ， 又， ， 为等边三角形， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 与关于直线对称， ， ， 解得：， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（、），等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，列代数式，解一元一次方程，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键． 菱形中的旋转问题题型05 1．（2025·广东江门·三模）如图，在菱形中，，将线段绕点顺时针旋转到对角线上得到线段，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．先由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形，， ， 将线段绕点顺时针旋转到对角线上得到线段， ， ， ， 故选：B． 2．如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． (1)求证： (2)试判断四边形的形状，并说明理由 【答案】(1) 证明：∵是由在平面内绕点B旋转而得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)四边形是菱形， 由（1）可知：， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由旋转的性质可知，，则有，，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）略 3．如图所示，点是线段上一点，和都是等边三角形. （1）连结，，求证：； （2）如图所示，将绕点顺时针旋转得到. ①当旋转角为______度时，边落在上； ②在①的条件下，延长交于点，连结，.当线段、满足什么数量关系时，与全等？并给予证明. 【答案】 （1）证明：和都是等边三角形． ，，， ， 即， 在和中， ， ≌， ； （2）①；②当时，与全等. 【分析】根据等边三角形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； 求出，即可得到旋转角度数； 当时，与全等根据旋转的性质可得，然后得到四边形是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得，菱形的对边平行可得，根据等边三角形的性质求出，，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出，从而得到，然后利用“角边角”证明与全等． 【详解】略 当旋转角为60°时，边落在上. 理由如下：， ， 边落在AE上， 旋转角． 故答案为60． 当时，与全等． 理由如下：由旋转可知，与AD重合， ， 四边形是菱形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， 在与中， ， ≌． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质，综合性较强，但难度不大，熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定时提到过． 4．综合与实践课上，智慧星小组三名同学对含角的菱形进行了以下探究． 【背景】 在菱形中，，作，，分别交，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系：____________________． 【探究】 （2）如图2，当为边上任意一点时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）如图3，在菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点．当时，求线段的长． 【答案】（1）； （2）仍然成立，理由如下： 连接， ∵四边形是菱形 （3）或 【分析】本题考查菱形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用． （1）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则，即；根据，求出；根据全等三角形的判定和性质，，即可； （2）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，根据，等量代换则，根据全等三角形的判定和性质，即可； （3）过点作交于点，连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，求出，；根据勾股定理求出，；根据全等三角形的判定和性质，，；分类讨论：当点在点的右侧；当点在点的左侧，即可． 【详解】解：（1），理由如下： 连接， ∵四边形是菱形 ∴， ∴和是等边三角形 ∵是边的中点 ∴，即 ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）略 （3）过点作交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 当点在点的右侧， ∴， 当点在点的左侧， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 5．（1）如图1，在菱形中，，，则菱形的面积为______． （2）如图2，某湿地公园打算修建一个菱形花园，并且使，点是菱形内部一点，连接，，，，其中，，，现计划在和内种植郁金香，已知郁金香的种植单价为200元/平米，请你求出种植郁金香的总价． 【答案】（1）；（2）元 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）过点作于，证出是等边三角形，得出，由菱形的面积公式可得出答案； （2）证出，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则，，过作于点，于点，求出，的长，过点作于点，求出，的长，则可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ，， 菱形的面积为， 故答案为：； （2）四边形是菱形，， ，， ，， ，， ， ， 将绕点顺时针旋转，得到，连接，则，， ， 过作于点，于点，则 m，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， 菱形的面积， 和的面积和为， 种植郁金香的总价为（元． 利用菱形的判定与性质解决动点与存在性问题题型 1．（25-26九年级上·福建宁德·质检）如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长是，面积是．则的值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】连接，根据菱形的性质得，，然后利用三角形面积公式，由，得到，再整理即可得解． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形的周长为， ∴，， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·河南南阳·月考）如图1，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（   ） A． B．12 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到图形的面积、菱形的选择等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 时，时，，则时，，则，进而求解． 【详解】时，， 时，，则， 时，，则， 如图，过点作交于， 在中， ， ∴，而，故， 当时，点与点重合，即， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·江西吉安·月考）如图，在菱形中，已知，点E为的中点，点F为射线上的一动点，以为边向上作等边，若为直角三角形时，的长为____________________________．    【答案】或4或 【分析】分两种情况：①，此时点F在中点或与点B重合；②当时，又分点M与点B重合，点M在延长线上两种情况． 【详解】解： ①当点F在中点或与点B重合时，；      如图1，当点F在中点，点M与点D重合时， ∵四边形是菱形，， ∴，； ∵E、F分别是的中点， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2，当点F与点B重合时，， ∴， ∴， 由勾股定理得：； ②当时， 当点M与点B重合，且时，如图3； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：； 如图4，当是等边三角形时，则， ∵， ∴， ∵，， 由勾股定理得：， ∴；    综上，的长为或4或． 故答案为：或4或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，分类讨论思想．关键是分类讨论思想的运用． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A、C的坐标分别为、．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，设运动时间为秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)当以为邻边的平行四边形是菱形时，求的值； (3)当点在线段的垂直平分线上时，求的值； (4)若另一个动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当时，点停止运动，点也随之停止运动．当以P、C、Q、A为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3) (4)的值为0或或或16 【分析】（1）分两种情况：当时；当时，即可求解； （2）先由菱形的性质得出，进而得出即可得出结论； （3）由线段的垂直平分线的性质得出，再利用勾股定理即可求出结论； （4）分类讨论点在往返运动的代数式，通过求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 当时，由题意得，， 当时，由题意得，； （2）解：如图， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ∵以、为邻边的平行四边形是菱形， ， ， ， 故答案为：16； （3）如图，连接， ∵点是的垂直平分线上， ， ， 在中，， 根据勾股定理得，， ， ； （4）∵以、、为顶点的四边形是平行四边形，， ， 当时，由题意得，，解得； 当时，由题意得，，解得； 当时，由题意得，，解得； 当时，由题意得，，解得． 当时，由题意得，，解得(舍去)． 综上所述，当的值为0或或或16时，以、、为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 5．探究1： （1）如下图，在菱形中，点为射线上一动点，于，连接．当时， _________；   探究2： （2）如下图，在矩形中，为射线上一点，于，连接．当时， _________；   拓展探究： （3）如下图，在中，，点为射线上一点，于，连接．(数据：)    ①若，则____；(填“＞”或“＝”或“＜”) ②若，求的长． 【答案】（1）或；（2）或（3）①，②的长为或． 【分析】（1）分两种情况：当点与点重合时；当点在的延长线上时；分别根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，进行计算即可得出答案； （2）分两种情况：当点在上时；当点在的延长线上时，分别利用矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，分别计算即可； （3）①延长交于点，连接，证明四边形为平行四边形得到，从而得到，，再由，，得到，即可得解；②分两种情况：当P点在线段BC上时，延长交于点，过点作交，的延长于点，过点作于点；当点射线上时，延长交至点，使，过点作交于点，过点作于点，连接，分别进行求解即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ， ，点为射线上一动点， 如图，当点与点重合时，，连接，交于点， 则， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 如图，当点在的延长线上时， ，四边形是菱形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ； 综上所述，或， 故答案为：或； （2）如图，当点在上时， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ； 如图，当点在延长线上时， ， 同理可得：， ， ， ， ； 综上所述，或， 故答案为：或； （3）①延长交于点，连接， 四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：； ②分两种情况分析： 当P点在线段BC上时，延长交于点，过点作交，的延长于点，过点作于点， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， 在中，，， 在中，， ， ， ， 在中，，， 在中，， ； 当点射线上时，延长至点，使，过点作交于点，过点作于点，连接，   ，， ， ， ， ，， ， 在中，， 在中，， 在中，，， 在中，， ； 综上可知：的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2 菱形的性质与判定 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用菱形性质求角度 题型02 利用菱形性质求线段长 题型03 与菱形面积有关的计算 题型04 利用菱形的性质证明几何关系 题型05 添加条件使四边形是菱形 题型06 证明四边形是菱形 题型07 利用菱形的判定与性质求角度大小 题型08 利用菱形的判定与性质求线段长度 题型09 利用菱形的判定与性质求图形面积 题型10 菱形的概念与性质辨析 B组 能力进阶 题型01 利用菱形的判定与性质解决最值问题 题型02 利用菱形的判定与性质解决折叠问题 题型03 利用菱形的判定与性质解决尺规作图问题 题型04 菱形的性质与判定综合运用 题型05 菱形中的旋转问题 C组 思维拔高 题型 利用菱形的判定与性质解决动点与存在性问题 利用菱形性质求角度题型01 1．如图，在菱形ABCD中，，则（    ） A．120° B．125° C．130° D．150° 2．已知如图，菱形中，对角线与相交于点O，于E，交于点F，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 3．已知菱形的周长是48cm一条较小的对角线的长是12cm，则该菱形较大的内角是_______度． 4．如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是________．    5．（24-25八年级下·江西上饶·期中）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 利用菱形性质求线段长题型02 1．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在菱形中，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的周长为28，对角线交于点O，E为的中点，则的长等于（   ） A．2 B．3.5 C．7 D．14 3．（2025·贵州贵阳·模拟）菱形的两条对角线分别是和，则菱形的边长是（    ）． A．2 B． C． D． 4．（2025·四川泸州·二模）如图，四边形是菱形，，，于点，则（   ） A．2 B． C．4 D． 5．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 与菱形面积有关的计算题型03 1．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．菱形ABCD的边长为13cm，其中对角线BD长10cm，菱形ABCD的面积为（    ） A．60cm2 B．120cm2 C．130cm2 D．240cm2 3．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　） A． B． C．4 D． 4．如图，菱形ABCD中，，边，则菱形ABCD的面积是______． 5．（25-26九年级上·上海·月考）如图，点E、F分别在菱形边、上，，如果的面积是6，的面积为9，那么的面积为______． 利用菱形的性质证明几何关系题型04 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，是四边形的对角线．点E，F分别是的中点，点M，N分别是的中点，若四边形是菱形，则原四边形应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，M，N分别是和上的点，且．求证：．    3．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在菱形中，，分别为上的动点，，点从点向点运动的过程中，试判断的长度是否发生变化？并说明理由． 4．菱形ABCD中，，E，F分别是射线BC，CD上一点，． (1)如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，写出线段BE，DF，AB之间的数量关系并证明； (2)如图2，当点E，F分别在线段BC，CD延长线上时，写出线段BE，DF，AB之间的数量关系并证明； 5．如图，在菱形中，，对角线、交于点，过作交于． （1）如图1，已知，求线段的长度； （2）如图2，在上任取一点，连接，以为边作等边△，连接交于点，求证：. 添加条件使四边形是菱形题型05 1．（25-26八年级·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在四边形A中，对角线与相交于点．现有五组条件：①；②；③；④；⑤．以下选项能判定四边形是菱形的是（   ） A．①③ B．②④ C．③⑤ D．①② 3．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 4．（24-25八年级下·湖北老河口·期中）如图，在中，点D，E，F分别是的中点． (1)只添加一个条件 ，使四边形是菱形； (2)根据（1）中添加的条件，证明四边形是菱形． 5．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．    若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 证明四边形是菱形题型06 1．如图，为等腰三角形．如果把它沿底边翻折后，得到，那么四边形为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对 2．如图，在平行四边形中， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形(________)(请在横线上填上理由)    3．如图，四边形中，的平分线交于点E，连接，求证：四边形是菱形． 4．如图，在□ABCD中，平分交于点，平分交于点. 求证：（1）； （2）若，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论. 5．如图，在菱形中，四条边的垂直平分线、、、交于M、N、P、Q四点．    (1)连接，求证：点M在的垂直平分线上； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 利用菱形的判定与性质求角度大小题型07 1．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．则在中，的平分线交直线于点，交直线于点，若，，，分别连接、、，的大小是(   )    A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 5．如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连结，． (1)【基础巩固】 求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形； (2)【操作思考】 如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长； (3)【拓展探究】 如图3，连结，若四边形为菱形，且，求的度数． 利用菱形的判定与性质求线段长度题型08 1．（25-26九年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 2．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 3．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得，之间的距离为，，之间的距离为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 4．在中，的平分线交边于点E，于点M，N是的中点，连接．若，，，则的长度为______． 5．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长． 利用菱形的判定与性质求图形面积题型09 1．一个平行四边形的一条边长为，两条对角线的长分别为和，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·贵州遵义·联考）如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是___________． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线，交于点O，，则的面积等于______． 4．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 5．（24-25八年级下·河北唐山·期末）老师布置了一项作业：利用所学知识在一张长，宽的矩形纸片上作出一个菱形． ①嘉嘉的方案，如图1： 1．连接； 2．作的垂直平分线，交，，于点E，F，O； 3．连接，； 4．四边形即为所作的菱形． ②淇淇的方案，如图12-2： 1．利用刻度尺找到四条边的中点E，F、G、H； 2．顺次连接E、F、G、H； 3．四边形即为所作的菱形． 【解答问题】 (1)方案设计正确的是______（写出序号即可）； (2)请选择一种正确的方案进行证明； (3)直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少． 菱形的概念与性质辨析题型10 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）菱形不具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．每条对角线平分一组对角 D．对角互补 3．下列命题的逆命题中，是真命题的为（    ） A．矩形是对角线相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．在中，如果三边满足，那么这个三角形是直角三角形 D．全等三角形的对应角相等 4．如图，在四边形中，，且，则下列说法：①四边形是平行四边形；②；③；④平分；⑤若，则四边形的面积为24．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，平行四边形中，与交于点O，点E是边上的中点，连接，，，．有下列结论：①是等边三角形；②的周长是20，③的边上的高是，④是菱形，⑤的面积是48．其中正确的是（    ）    A．②③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．②③④⑤ 利用菱形的判定与性质解决最值问题题型01 1．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 (    ) A．17 B．16 C． D． 2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（      ）.    A． B． C． D．2 3．菱形的周长是20cm，则此菱形面积的最大值是______cm2． 4．如图，菱形的周长为，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则的最小值是___________． 5．如图，四边形中，，，并且平分，，．点是上的动点，点在射线上． (1)如图1，求证：四边形为菱形； (2)如图2，连接，若，求的度数； (3)如图3，若，连接，求的最小值． 利用菱形的判定与性质解决折叠问题题型02 1．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将沿直线AE翻折，使点B落在上，连接，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建泉州南安·期末）如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 3．（24-25八年级下·河北保定·质检）把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为______； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为______． 4．如图，菱形纸片，，，将该菱形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点、，则的长为______． 5．（24-25九年级下·山西朔州·期中）综合与探究 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，． 成果展示 （1）第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处，折痕分别交，于点F，E．判断四边形的形状，并加以证明． （2）第二小组：将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P，折痕交于点E，交于点G． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点 M．若M恰好是的中点，且，请直接写出线段的长． 深入探究 （3）在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转（点E的对应点为，点P的对应点为），当与所在的直线垂直时，且，请直接写出点到直线的距离． 利用菱形的判定与性质解决尺规作图问题题型03 1．（24-25八年级下·山东·期末）已知，按以下步骤作图，如图1~图3． （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点， （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点 （3）分别连接，． 则可以直接判定四边形是菱形的依据是（   ） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 2．（24-25八年级下·天津·期末）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接、则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接，则四边形的面积为________． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知四边形是矩形， (1)请用尺规作图法，分别在、边上求作点、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，，试求出（1）中所作菱形的面积． 5．（2026·甘肃兰州·二模）小嵊与小州两位八年级的同学结合尺规作图展开了以下探究： 素材提供：圆规是常用的作图工具，如图1，圆规的两脚，． 实践操作：小嵊利用尺规作图作出了过直线外一点作已知直线的垂线． 步骤如下： ①如图2，以点为圆心，以为半径画弧，交直线于，两点． ②再以，两点为圆心，以为半径分别画弧，两弧交于点． ③连接，则直线即为所作的直线的垂线． 问题解决： (1)如图1，若，则所画圆的面积为________． (2)如图2，的理由是： ∵由作图可知，四边形是________， ∴． (3)探究提升： 小州认为以下问题也可以借助尺规作图解决：如图3，在矩形中，，，点是上一动点，点关于直线的对称点为点，当落在直线上时，用尺规作图作出点．（保留作图痕迹，要求：先尺规作图，再把痕迹用中性笔描黑） 菱形的性质与判定综合运用题型04 1．如图，的对角线相交于点O，点E为边的中点，连接并延长交边于点F，，．下列结论错误的是（   ）    A． B． C．四边形为菱形 D． 2．（24-25八年级下·安徽铜陵·期中）如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接，则下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的有（   ） A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 3．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是___．    4．已知：如图，平分，交于E，交于F． 求证：． 5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，为上方一个点，且，过点作直线交线段于点，交线段于点，且使得． (1)的度数为______； (2)探究线段，，的数量关系； (3)如图2，画出关于直线的对称图形，得到，连接，． ①若长为、长为，求四边形的周长（用含，的式子表示）； ②若，，请直接写出的面积（用含，的式子表示）． 菱形中的旋转问题题型05 1．（2025·广东江门·三模）如图，在菱形中，，将线段绕点顺时针旋转到对角线上得到线段，则(   ) A． B． C． D． 2．如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． (1)求证： (2)试判断四边形的形状，并说明理由 3．如图所示，点是线段上一点，和都是等边三角形. （1）连结，，求证：； （2）如图所示，将绕点顺时针旋转得到. ①当旋转角为______度时，边落在上； ②在①的条件下，延长交于点，连结，.当线段、满足什么数量关系时，与全等？并给予证明. 4．综合与实践课上，智慧星小组三名同学对含角的菱形进行了以下探究． 【背景】 在菱形中，，作，，分别交，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系：____________________． 【探究】 （2）如图2，当为边上任意一点时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）如图3，在菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点．当时，求线段的长． 5．（1）如图1，在菱形中，，，则菱形的面积为______． （2）如图2，某湿地公园打算修建一个菱形花园，并且使，点是菱形内部一点，连接，，，，其中，，，现计划在和内种植郁金香，已知郁金香的种植单价为200元/平米，请你求出种植郁金香的总价． 利用菱形的判定与性质解决动点与存在性问题题型 1．（25-26九年级上·福建宁德·质检）如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长是，面积是．则的值是（    ） A．4 B． C．6 D． 2．（24-25八年级下·河南南阳·月考）如图1，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（   ） A． B．12 C．20 D．24 3．（24-25九年级上·江西吉安·月考）如图，在菱形中，已知，点E为的中点，点F为射线上的一动点，以为边向上作等边，若为直角三角形时，的长为____________________________．    4．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A、C的坐标分别为、．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，设运动时间为秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)当以为邻边的平行四边形是菱形时，求的值； (3)当点在线段的垂直平分线上时，求的值； (4)若另一个动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当时，点停止运动，点也随之停止运动．当以P、C、Q、A为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 5．探究1： （1）如下图，在菱形中，点为射线上一动点，于，连接．当时， _________；   探究2： （2）如下图，在矩形中，为射线上一点，于，连接．当时， _________；   拓展探究： （3）如下图，在中，，点为射线上一点，于，连接．(数据：)    ①若，则____；(填“＞”或“＝”或“＜”) ②若，求的长． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $