1.1-1.2《认识特殊的平行四边形、菱形的性质与判定》同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.1-1.2《认识特殊的平行四边形、菱形的性质与判定》同步练习 一、选择题 1.下列说法错误的是() A.平行四边形的对角相等 B.正方形的对称轴有四条 C.矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D.菱形的对角线相等且互相平分 2.在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC=3,则该菱形的周长为() A.6 B.12 C.15 D.20 3.按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若∠1=50°，则∠2的大小为() A.60° B.50° C.45 D.40° 4.如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AD=5,则ADBC间的距离为() B A.3 B.4 C.5 D.6 5.在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又 是轴对称图形的一共有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AC,AB的中点，如果EF=4,那么菱形ABCD的周长为 E A.32 B.24 C.16 D.12 7.道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应 减速慢行，并需注意行人横过马路.若测得菱形标志ABCD的对角线AC+BD=14,边长AB=5, 则该标志的占地面积为() D A.12 B.20 C.24 D.48 8.菱形的面积为24cm2,一条对角线是12cm,那么菱形的另一条对角线长为() A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 9.菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm,则它的周长为( A.14cm B.20cm C.28cm D.40cm 10.菱形ABCD的边长为6，有一个内角为120°，则菱形ABCD的面积为() A.95 B.18V5 C.36 D.365 11.如图，菱形ABCD的周长为40cm,∠BAC=60°，则该菱形的面积是() A D A.50cm2 B.50v3cm2 C.100cm2 D.100V3cm2 12.如图，四边形ABCD为菱形，AC=8,DB=6,作DH⊥AB,垂足为H,交AC于G点，则 OG 的长度为() G A B 9 A.5 B.4 C.4-3 D.√10-1 二、填空题。 13.如图，在口ABCD中，AB=6,BC=8,将线段CD水平向左平移n个单位得到线段MN,若 四边形ABMN为菱形，则n的值为 B N D 14.如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形ABCD的形状，则矩形ABCD的内 角∠ABC的大小为 15.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=105°，AB的垂直平分线交AC于点N,点M为垂足，连接 DN 则<CDw 的大小是 A 少 B 16.如图，菱形ABCD的周长为4，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动 点，则PB+PE的最小值是 D E B 三、解容题. 17.已知如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点.求证：BE=CE. E D B I8.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AD,CD上，AE=CF.求证：BE=BF, A E D B C 19.如图，在边长为1的5×5正方形网格中，小正方形的顶点称之为格点，点A、点B均在格 点上，按照题目要求作图，只用无刻度的直尺，按要求在图中以AB为边画一个菱形.（要求： 菱形ABCD的顶点C、D均在格点上，且所画的三个菱形不全等) B 图① 图② 图③ 20.小美周末和妈妈逛家具市场，买回来一盏简单而精致的吊灯，吊灯的外框ABCD为菱形， E,F是对角线MC上的两点，且ME=C,连接BF,FD,DE,B.证：四边形 AC DEBF是 菱形. D B 21.如图，平行四边形ABCD的面积为24，点F、FG分别是边AB、BC、AD的中点，连接 EF、EGEF⊥EG EF+EG=7 ,垂足为E,且 G (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)求AB的长. 22.如图，小明想用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，首先他将∠A对折，得到折痕 MB,点E在边BC上，请你用尺规作图法作出菱形1DF,使得点D,F分别落在边B,1C BC 上.（保留作图痕迹，不写作法） 23.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,DE⊥BD交BC的延长线于点E. (I)求证：四边形ACED是平行四边形； (2)若AC=CE,DE=4,求BD的长. 24.如图，将边长为5的菱形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，BC边与 A0:B0=4:3 轴重合，且 (1)求D点的坐标； (2)求CD所在直线的函数表达式. 25.如图，已知菱形ABCD,∠ABC=60°，点P是射线BD上的动点，以AP为边向右侧作等边 △APE,连结· PC 图1 图2 备用图 (1)如图1，点P在线段BD上，若PC=3,则PE= (2)如图2，连结DE,当四边形APDE是菱形时，求证：C,P,E三点共线. (3)当CP⊥PE时，求AB与AP的数量关系. 参考答案 一、选择题 1.D 解：平行四边形的对角相等，A选项说法正确，不符合题意； ,正方形沿对边中点连线、两条对角线对折都能重合，共有4条对称轴，B选项说法正确， 不符合题意； ,矩形绕对角线交点旋转180°能与自身重合，沿对边中点连线对折能重合，因此矩形既是中 心对称图形又是轴对称图形，∴C选项说法正确，不符合题意； 菱形的对角线互相垂直平分，并不一定相等，D选项说法错误，符合题意. 2.B 解：如图， A B ,四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD, .∠B=60°， ∴.△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC=3, ∴.菱形ABCD的周长为4×3=12. 3.D 解：如图， 延长AE交CD于点F, .四边形ABCD是矩形， .ABI‖CD, .∠DFE=∠1=50°， .∠AED=∠DFE+∠2，∠AED=90°， .∠2=90°-50°=40° 4.A 解：，四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,AB⊥BC, ∴.AD,BC间的距离即为线段AB的长， AB=3, .AD,BC间的距离为3. 5.B 解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求； 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； 综上，符合要求的图形共3个. 6.A 解：：E、F分别是AC,AB的中点，EF=4, :EBF是△MBC 中位线， ∴.BC=2EF=8 在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD=8, 则菱形ABCD的周长为8×4=32. 7.C 解：四边形ABCD为菱形，AC+BD=14, AO-AC,80-BD,ACLBD 2 2 :A0+B0=2(4C+BD)=7, :.(A0+B0)2=49 即A02+2A0-B0+B02=49 AB=5 .AB2=A02+BO2 ,即402+B02=25 ∴.2A0.B0=24 1 S题形D=)4C:BD=)X240x2B0=2A0:B0=24 故该标志的占地面积为24. 8.B 解：设另一条对角线长为xcm, .菱形的面积为24cm,一条对角线是12cm, 1 ×12x=24 ·2 6x=24 x=4 9.B 解：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且AC=6cm,BD=8cm, BC-CD-AD:4-C-3cm,08-BD-cm.C D 2 在Rt△AOB中，AB=VOAP+OB2=V32+4平=5cm ∴.菱形的周长为4AB=4×5=20cm. 10.B 解：如图，设AC与BD交于点O, B .四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， ∴.∠ABD=∠CBD=60°，AC⊥BD, .∠A0B=90°， .∠0AB=30°， AB=6, 在RIAOB中，0B=)AB=3 2 :0A=VAB2-0B2=35 .BD=20B=6,AC=20A=6V5 S菱形MD=)AC.BD=18V3 1 11.B 解：如图，连接BD交AC于点O, y D B .菱形ABCD的周长为40cm, 4B=BC-4X40=19m,ACLBD:04=OC:08=OD .∠BAC=60° ∴.△ABC是等边三角形， .∠ABC=60° ∠ABD=)ABC=309 :0A=)4B=50m 2 ..OB-VAB-O-5=5/3cm .'.AC=204=10cm,BD=20B=10/3cm, 1 .菱形的面积为2 AC.BD=二×10×10V3=50V3cm2 2 12.B 解：如图，连接BG, D B ,四边形ABCD是菱形， ∴BD1AC,B0=D0=BD-3,40=C0=54C=4, ∴.AC是BD的垂直平分线， ∴.DG=BG, 在Ria1OB中，可得B=VA0+B0=5, ÷5DH=方4C-BD,即5DH= 2*6x8 解得DH=24 5, 在R△BDm中，由勾服定理可得M=D-0M-6-(-S 设DG=BG=x, 则HG=DH-DG=24 在Rt△BHG中，由勾股定理可得BG=HG2+BH, -+ 解袋只。 .DG=BG=x-15 , 在RAoG中，由匀股定理可待心=VG-0F-《)--}. 二、填空题。 13.2 解：.四边形ABMN是菱形，AB=6, ∴.AB=BM=6, .BC=8, ∴.n=MC=BC-BM=2. 14.90° 解：矩形ABCD的四个内角都是直角， 则∠ABC的大小为90°」 15.22.5° 解：连接BN, D M B ABCD 四边形 是菱形， :AB=AD、ABICD、∠BAC=∠D1C=∠BAD=)X105-525. 2 AB AC 的垂直平分线交心于点N .AN=BN .∴.∠ABN=∠BAN=52.5 .:.∠ABN=∠DAN AD=AB ∠DAN=∠ABN 在 和 中， ADAN△ABN AN=BN ∴.ADAN≌AABN(SAS) ∴.∠ADN=∠BAN=52.5° :AB∥CD .∠ADC=180°-∠BAD=180°-105°=75° ∴.∠CDN=∠ADC-∠ADN=75°-52.5°=22.5° 3 16.2 解：连接BD,DP,DE, D A B ,菱形ABCD的周长为4，∠DAC=30°， .AD=AB=BC=CD=1,∠DAB=2∠DAC=60°，AC垂直平分BD, .△DAB为等边三角形，BP=DP, .PB+PE=DP+PE≥DE, .当P,D,E三点共线时，PB+PE的值最小为DE的长， E是AB的中点， DE AR AE=BE=48 2 DE-VAD-AB= 2, 3 .PB+PE的最小值是2. 三、解答题。 17.证明：.四边形ABCD是矩形， ∴.AB=DC,∠A=∠D=90°， ,E为边AD的中点， .AE=DE, 在△ABE和△CDE中， (AB=DC ∠A=∠D=90° AE=DE △ABE≌aCDE(SAS) ∴.BE=CE 18.证明：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠A=∠C=90°， 在△BAE和△BCF中， AB=BC ∠A=∠C AE=CF △BAE≌△BCF(SAS) ∴.BE=BF. D 19. B D 图① 图② 图③ 20.证明：四边形ABCD是菱形， ∴，AB=BC=CD=AD ∠DAB=∠OCB AC C平分<DAB CA ∠DCB 平分 :∠DAC=∠BAC=∠DAB∠DCM=∠ACB=∠DCB ∴.∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB AE=CF AB=BC=CD=AD ∴.△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS) ∴DE=BE=BF=DF 六四边形DEB 是菱形. 21.(1)证明：连接AC,BD交于点O,如图 :点E、FG分别是边AB、BCAD的中点， ∴.EF是△ABC的中位线，EG是△ABD的中位线， .EF∥AC,EG∥BD, .EF⊥EG,EF∥AC, ∴.AC⊥EG, :EF∥AC, ∴.AC⊥BD, ∴.平行四边形ABCD是菱形. (2)解：设EF=m,EG=n, ∴.m+n=7, ,EF是△ABC的中位线，EG是△ABD的中位线， .AC=2EF=2m,BD=2EG=2n, :S美形有Cm-21C-BD=24, .12m-2n=24 .2 解得mn=12, ,四边形ABCD是菱形， :4A0=)AC=m,B0=)BD=n, 21 2 .AC⊥BD, :.AB=VA02+B0=Vm+r-m+n-2mm=7P-2x12=5 22.解：如图所示，菱形ADEF即为所求. E大 以点A为圆心，以大于AE长的一半为半径画圆，保持半径不变以点E为圆心画圆，连接两个 圆的交点，所连成的直线交AB于点D,AC于点F,AE于点O,此时DF垂直平分AE. ∴.∠AOD=∠AOF=90° .AE 平分DAF ∴.∠DAO=∠FAO 在△AOD和△AOF中 ∠DAO=∠FAO A0=A0 ∠AOD=∠AOF ∴.△AOD2AAOF(ASA) .DO=FO :E与DF互相垂直平分 六四边形MDEF 为菱形 23.(1)证明：四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BDAD∥BC DE⊥BD .AC∥DE 又：AD∥CE, 六四边形MC 是平行四边形： (2)解：由(1)可知，四边形ACED是平行四边形， AC=CE 四边形MC 是菱形， ∴.AC=CE=AD=DE=4 “四边形 ABCD 是菱形， BC=AD=4,04=OC= 24C=2,BD=20B,4C1BD, 在Rt△B0C中，OB=NBC2-0C=25】 .BD=43 24.(1)解：，A0:B0=4:3, ∴.设A0=4k,则B0=3k, .OA⊥OB, .A02+B02=AB2, .菱形ABCD的边长为5， :(4k)°+(3}=52 k=1, ∴.A0=4,B0=3, .四边形ABCD是菱形， ∴.ADMx轴，AD=5, :D(54) (2)解：由(1)可知点D5,4刊，0C=BC-B0=5-3=2. .C(2,0) 设直线CD的解析式为y=ax+b, 0=2a+b .4=5a+b, 4 a=- 3 解得 8 b=- 3 48 直线CD的解析式为y=3x-3· 25.(1)解：四边形ABCD是菱形，点P是射线BD上的动点， 由菱形的对称性可得PC=AP, :△APE 是等边三角形， ∴.AP=PE .PC=3 ∴.PE=PC=3 (2)(2)证明：如图所示： 图2 在菱形ABCD中，∠ADC=∠ABC=60,则由菱形的对称性可得∠ADB=∠CDB=)∠ADC=30°， “四边形MPDE是菱形， ∴.PA=PD ∴.∠PAD=∠PDA=30° :∠APB是△APD 的一个外角， ∴.∠APB=∠PAD+∠PDA=60° 则由菱形的对称性可得∠BPC=∠BPA=60°， .∠APC=120° :△MPE是等边三角形， ∴.∠APE=60° ∴.∠APC+∠APE=120°+60°=180° 即C,P,E三点共线； (3)解：当CP⊥PE时，∠CPE=90°，分两种情况： 当P在线段BD上时，过P作PF⊥AB于F,如图所示： D aMPE是等边三角形， .∠APE=60° .∠APC=∠APE+∠CPE=150° 由菱形ABCD的对称性可知∠APD=∠CPD-APC=75°，∠ABn=∠CBP-∠ABC=30 2 :∠APD是△MBP 的一个外角， ∴.∠PAB=∠APD-∠ABP=75°-30°=45° .△MPF是等腰直角三角形， 设AF=PF=m,则AP=V√2m, 在RtBPF中，∠ABP=30°，PB=2PF=2m,则由勾股定理可得BF=VPB-PF=V3m :.AB=BF+AF=(3+1)m AB(N5+m6+2 AP2m2 当P在线段BD延长线上时，连接AC交BD于O,如图所示： 5 E :∠ABC=60° ∴.△ABC 是等边三角形，即MB=BC=AC :△APE 是等边三角形， .∠APE=60° ∴.∠CPA=∠CPE-∠APE=30° 由对称性可知∠APD=∠CPD=)∠CPA=1S° 2 :∠ADB=∠ADC=30° 2 ∴.∠DAP=∠ADB-∠APD=15° ∴.∠DAP=∠APD .PD=AD ,四边形ABCD是菱形， .∠AOD=90° 设OA=n,则AB=AD=PD=2n, 在RtaM0D中，01=”，MD=2n,则由勾股定理可得OD=VAD-0M=V5n, ∴OP=OD+PD=N3+2n 在Rt△40P中，由勾殷定理可得P-=VO+OP=(V6+2)n AB 2n-6-V2 .AP(N6+2)n2, ABV6+√2ABV6-√2 综上所述，AB与AP的数量关系为AP2或AP2.