第二章 二次函数综合素质评价卷2026-2027学年鲁教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数核心素养，融合跨学科与生活情境，梯度设计提升综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|函数定义（第1题）、抛物线平移（第2题）、跨学科物理功率（第8题）|新定义“焦点”（第9题）、表格信息法（第3题）| |填空题|6/18|开口方向与对称轴（第11题）、整体代入（第12题）、平移与交点（第13题）|开放性试题（第11题）、阴影面积计算（第15题）| |解答题|7/72|销售利润（第18题）、矩形花圃最值（第20题）、生活情境建模（第22题）|数学建模（第22题）、最值探究（第21题）、综合几何（第23题）|

第二章 二次函数综合素质评价 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列图象中，表示y是x的函数的是(　　) A　 B　　　　C　　　　D 2．抛物线的函数表达式为y＝(x－2)2＋1，若将x轴向上平移3个单位长度，将y轴向左平移1个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为(　　) A．y＝(x－1)2＋4 B．y＝(x－1)2－2 C．y＝(x－3)2－2 D．y＝(x－3)2＋4 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x … －3 －2 0 1 3 5 … y … 7 0 －8 －9 －5 7 … 则当x＝2时，二次函数y＝ax2＋bx＋c对应的函数值为(　　) A．0 B．－8 C．－9 D．－5 4．已知二次函数y＝ax2(a≠0)和一次函数y＝bx＋c(b≠0)的图象如图所示，则函数y＝ax2＋bx－c的图象可能是(　　) 　 5.已知一次函数y1＝4x和二次函数y2＝2x2＋2在实数范围内对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是(　　) A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2 6．如图，已知抛物线y＝(x－2)2－1与y轴交于点D(0，3)，其顶点为点A，与x轴交于B，C两点(B在C的左侧)，连接DB，DC，若在抛物线上存在一点P，使得S△POC＝S△DBC，则点P的坐标是(　　) A．(2，－1) B．(0.5，1.25) C．(3＋，3＋2) D．(2－，2)或(2＋，2) 7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6 s；②小球运动中的高度可以是30 m；③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．其中，正确结论的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 8.某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图①，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图②所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为(　　) A．160 W B．180 W C．200 W D．220 W (第8题) 　(第9题)　(第10题) 9.如图①，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图②，抛物线上任意一点M到焦点A的距离AM的长，等于点M到一条平行于x轴的直线l的距离MN的长．若抛物线的表达式为y＝x2＋3，则此抛物线的焦点A的坐标为(　　) A．(0，3) B．(0，4) C. D. 10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中－1<x1<0，1<x2<2.下列结论：①abc<0；②2a＋b>0；③4a－2b＋c<0；④b>1；⑤当x＝m(1<m<2)时，m(am＋b)<2－c.其中正确结论的个数是(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题(每题3分，共18分) 11.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向上；②对称轴为x＝1，这个二次函数的表达式可以是________________． 12.已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式－3m2＋3m＋2 027的值为________． 13．将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________． 14．已知二次函数y＝ax2＋2ax＋1(a<0)，当m≤x≤0时，y有最大值1－a和最小值1，则m的取值范围是________． 15．如图，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝ax2＋bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是8，则抛物线y＝ax2＋bx的顶点坐标是____________． 16．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2，点P是线段AC上的一个动点(点P与点A，C不重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，则线段PE的最大值为________． 三、解答题(共72分) 17．(8分)某二次函数图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … －4 －3 －1 1 2 … y … － 0 2 0 － … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在图中画出此二次函数的图象； (3)结合图象可知当－4≤x<0时，y的取值范围为____________． 18．(8分)某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为每个10元的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关系，且当x＝12时，y＝96；当x＝20时，y＝80. (1)若该公司获得利润为W(元)，试写出利润W(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式． (2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元，那么销售单价定为多少元时才可获得最大利润？ 19．(10分)如图所示，抛物线y1的顶点为(3，2)，与x轴交于A，B两点，且A(1，0)． (1)求y1的表达式及A，B间的距离； (2)将x轴向下平移n个单位长度后得到新坐标系，此时x轴与抛物线交于C，D两点，且CD＝8.求新坐标系下抛物线y2的表达式及n的值． 20．(10分)小茗同学准备用一段长为50 m的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃(如图①中矩形ABCD)，墙长为25 m．设花圃的一边BC的长为x m. (1)花圃的面积能为300 m2吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． (2)如图②，为方便进出，小茗同学决定在BC边上留一处长为a m(0<a<4)的门，且最终围成的花圃的最大面积为325 m2，求出a的值． 21．(12分)如图，点A，B在二次函数y＝x2的图象上，已知点A，B的横坐标分别为－2和4，直线AB与y轴交于点C，连接OA，OB. (1)求直线AB的函数表达式； (2)求△AOB的面积； (3)在x轴上找一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标和PA＋PC的最小值． 22．(12分)【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4 m，宽AB＝1 m的长方形水池ABCD进行加长改造(如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1)．同时，再建造一个周长为12 m的长方形水池EFGH(如图②，以下简称水池2)，且EF＝DM. 【建立模型】设EF＝DM＝x m(0<x<6)，水池1的总面积为y1 m2，水池2的面积为y2 m2.y1与x和y2与x两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③，两个函数图象的交点分别是点C′和点D′. (1)分别求出y1与x，y2与x的函数表达式； (2)求水池2面积的最大值； (3)当水池1的面积大于水池2的面积时，求x的取值范围； (4)在图④的图象中，P是此抛物线上一点，Q是抛物线对称轴上一点，是否存在以点C′，D′，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点(不与点A，B，C重合)，过点D作y轴的平行线交BC于点E. (1)求抛物线的表达式； (2)当点D在直线BC下方的抛物线上时，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围； (3)连接AD交BC于点F，连接AE，求的最大值． 答案 一、1.A　2.C　3.B　4.C　5.D　6.D　7.C　8.D 9．C 【点拨】设抛物线y＝x2＋3与y轴的交点为C，l与y轴交于点B，A(0，a)，M，则AM2＝m2＋(m2＋3－a)2，OA＝a，根据“焦点”定义可知AC＝BC，AM＝MN，∵点C为抛物线的顶点，∴C(0，3)，∴OC＝3，∴AC＝BC＝a－3，∴OB＝6－a，∴N(m，6－a)，∴MN2＝.由AM＝MN，得AM2＝MN2，∴m2＋＝，整理，得m2(2a－7)＝0.∵m为任意实数，∴2a－7＝0，解得a＝，∴焦点A的坐标为. 10．B 【点拨】∵抛物线的开口向下，∴a<0.∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴－>0.∴b>0.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0.∴abc<0，故①正确．由题图可得0<－<1，∴b<－2a，∴2a＋b<0，故②错误．由题图可得，当x＝－2时，y<0，即4a－2b＋c<0，故③正确．由题图可得，当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，当x＝1时，y＝a＋b＋c＝2，∴－2b<－2，∴b>1，故④正确．由题图易知，当x＝m(1<m<2)时，y<2，∴am2＋bm＋c<2，∴am2＋bm<2－c，∴m(am＋b)<2－c，故⑤正确．综上，正确的结论有4个．故选B. 二、11.y＝2x2－4x(答案不唯一)　12.2 024　13.k≥3 14．－2≤m≤－1 15．(2，－4) 【点拨】如图，设平移后所得新抛物线的对称轴和两抛物线相交于点A和点B，连接OA，OB，由平移的性质和抛物线的对称性可知a＝1，b<0，S阴影＝S△OAB，∴y＝ax2＋bx＝x2＋bx＝－，∴点A的坐标为(－，－)，∴点B的坐标为.∴AB＝＋＝，点O到AB的距离为－，∴S△AOB＝ ·＝8，解得b＝－4.∴点A的坐标为(2，－4)，即抛物线y＝ax2＋bx的顶点坐标为(2，－4)． 16. 【点拨】对于y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴A(－1，0)．∵点C的横坐标为2，将x＝2代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝3，∴C(2，3)．设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，∴ 解得 ∴直线AC的函数表达式为y＝x＋1.设点P(m，m＋1)(－1<m<2)，则点E(m，－m2＋2m＋3)，∴PE＝－m2＋2m＋3－m－1＝－＋，∴当m＝时，PE的最大值为. 三、17.【解】(1)由题意，设二次函数的表达式为y＝a(x＋3)(x－1)，∵二次函数的图象经过点(－1，2)， ∴－4a＝2，∴a＝－， ∴该二次函数的表达式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋2. (2)画出图象如图所示． (3)－≤y≤2 18．【解】(1)设一次函数表达式为y＝kx＋b， ∴解得∴y＝－2x＋120， ∴W＝(x－10)(－2x＋120)＝－2x2＋140x－1 200. (2)W＝－2x2＋140x－1 200＝－2(x－35)2＋1 250. ∵－2＜0，∴在直线x＝35的左侧，y随x的增大而增大， ∵x≤30，∴当x＝30时，W有最大值． 答：销售单价定为30元时才可获得最大利润． 19．【解】(1)设y1＝a(x－3)2＋2，∴0＝4a＋2，解得a＝－， ∴y1＝－(x－3)2＋2. 根据函数图象的对称性，得B(5，0)，∴AB＝5－1＝4. (2)由题意得，y2＝－(x－3)2＋2＋n， 令y2＝0，则－(x－3)2＋2＋n＝0，解得x＝3±， ∴CD＝2＝8，解得n＝6，∴y2＝－(x－3)2＋8. 20．【解】(1)能．∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC. ∴AB＝CD＝ m．由题意，得x·＝300，解得x1＝20，x2＝30(舍去)．∴题图①中花圃的面积能为300 m2，此时x的值为20. (2)设花圃的面积为S m2.依题意，得S＝(50－x＋a)x＝－x2＋(50＋a)x(0<x≤25)．∵0<a<4，抛物线的对称轴为直线x＝25＋，∴25<25＋<27. 又∵－<0，抛物线开口向下，∴当x＝25时，S有最大值． ∴－×252＋(50＋a)×25＝325，解得a＝1.∴a的值为1. 21．【解】(1)∵A，B是抛物线y＝x2上的两点，且横坐标分别为－2和4，∴当x＝－2时，y＝×(－2)2＝1；当x＝4时，y＝×42＝4.∴A(－2，1)，B(4，4)．设直线AB的表达式为y＝kx＋b， ∴解得 ∴直线AB的表达式为y＝x＋2. (2)对于直线y＝x＋2，当x＝0时，y＝2，∴C(0，2)，∴OC＝2. ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×4＝6. (3)如图，作点C(0，2)关于x轴的对称点C′(0，－2)，连接AC′交x轴于点P，连接PC，则此时PA＋PC的值最小，最小值为AC′的长． 设直线AC′的表达式为y＝mx＋n， ∴解得 ∴直线AC′的表达式为y＝－x－2， 令y＝0，则0＝－x－2，解得x＝－，∴P. ∵AC′＝＝.∴PA＋PC的最小值为. 22．【解】(1)∵AD＝4 m，DM＝x m，∴AM＝(x＋4)m. 又∵AB＝1 m，∴y1＝1×(x＋4)＝x＋4(0<x<6)． ∵长方形水池EFGH的周长为12 m，∴EF＋EH＝6 m. ∴EH＝(6－x)m， ∴y2＝x(6－x)＝－x2＋6x(0<x<6)． (2)∵y2＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，0<x<6，∴当x＝3时，y2的最大值为9，∴水池2面积的最大值为9 m2. (3)令y1＝y2，则x＋4＝－x2＋6x， 解得x1＝1，x2＝4，∴C′(1，5)，D′(4，8)，由题图③知，当0<x<1或4<x<6时，水池1的面积大于水池2的面积． (4)存在，点P的坐标为(6，0)或(0，0)或(2，8)． 【点拨】∵y2＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，∴y2的对称轴为直线x＝3，即点Q的横坐标为3.设P(m，－m2＋6m)，分三种情况：当C′P为对角线时，则1＋m＝4＋3，解得m＝6，∴P1(6，0)；当C′Q为对角线时，则1＋3＝m＋4，解得m＝0，∴P2(0，0)；当C′D′为对角线时，则1＋4＝3＋m，解得m＝2，∴P3(2，8)．综上，满足条件的点P的坐标为(6，0)或(0，0)或(2，8)． 23．【解】(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，∴解得 ∴该抛物线的表达式为y＝x2－x－2. (2)在y＝x2－x－2中，令x＝0，则y＝－2，∴C(0，－2)． 设直线BC的表达式为y＝kx＋m. ∴解得∴直线BC的表达式为y＝x－2. ∵点D为直线BC下方的抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交BC于点E，且点D的横坐标为t， ∴D(t，t2－t－2)，E(t，t－2)， ∴l＝DE＝t－2－(t2－t－2)＝－t2＋2t. ∵点D在直线BC下方的抛物线上，∴0<t<2. (3)如图①，当0<t<2时，作AG∥DE，交BC于G， ∴△DEF∽△AGF，∴＝. 把x＝－1代入y＝x－2，得y＝－3， ∴G(－1，－3)，∴AG＝3， ∴＝＝－(t－1)2＋， ∴当t＝1时，＝. ∵＝，∴＝； 如图②，当t>2时，作AG∥DE，交BC于G. 此时DE＝t2－t－2－(t－2)＝t2－2t， 同理＝＝(t－1)2－. ∵当t>1时，随着t的增大而增大， ∴没有最大值，∴没有最大值； 如图③，当－1<t<0时，作AG∥DE，交BC于G. 同理＝＝(t－1)2－. ∵当－1<t<0时，随着t的增大而减小， ∴没有最大值，∴没有最大值； 如图④，当t<－1时，作AG∥DE， 交BC于G.同理可得，没有最大值． 综上所述，当0<t<2时，＝. 学科网（北京）股份有限公司 $