第一章 直角三角形的边角关系 章检测 2026—2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

2026—2027学年第一学期九年级数学第一章直角三角形的边角关系章检测 （鲁教版） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A D C B A C D 1．C 【分析】先计算出各选项的三角函数值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，，， ∴，即最大． 2．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正弦函数的定义，正确理解正弦函数的定义是解题的关键． 变化后的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，可得的大小不变，即得答案． 【详解】解：在中，，若的三边都缩小到原来的，则变化后的三角形与原三角形相似， ∴的大小没有发生变化， ∴的值不变． 故选C． 3．D 【分析】本题主要题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】解：在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 4．A 【分析】延长，交于点，设米，在中，可得米，在中，，求出的值，进而可得出答案．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：延长，交于点， 由题意得，米，米， 设米， 则米， 在中，， ， 米， 在中，， 解得， （米． 故选：A． 5．D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数等知识点，属于基础题型，在图形中找到的等角是解题的关键．先利用同角的余角相等，证出，再求出的正弦值，即可得出答案． 【详解】解：， ． ． ， ． ． ． ． 故选：． 6．C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，关于x轴对称的点的坐标特征，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键，先计算点P坐标 求其关于x轴对称点Q，再将Q绕原点顺时针旋转，利用全等得点R坐标． 【详解】解：∵， ， ∴ ， ∵点关于轴的对称点为点， ∴， ∵点绕原点按顺时针方向旋转后的对应点为点， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握直角三角形中三角函数与边的对应关系是解题关键．利用锐角三角函数的定义及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，，且，， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故选∶B． 8．A 【分析】本题主要考查菱形的性质和三角函数．解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度． 四边形是菱形，由图象可得和的长，从而求出、和．当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，此时连线过O点且垂直于．根据三角函数和已知线段长度，求出P、Q两点的运动路程之和． 【详解】解：由图可知，， ∵四边形为菱形 ∴ ∴ P在上时，Q在上，距离最短时，连线过O点且垂直于． 此时，P、Q两点运动路程之和 ∵（厘米） ∴（厘米） 故选：A． 9．C 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，过点作于，由三角形的面积可得，即得，再根据余弦的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由网格得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．D 【分析】作于C，求出长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，作于C， ∵大桥主塔是一个轴对称图形， ∴， ∴(米)， ∵， ∴（米) ． 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．3 【分析】此题考查了求角的正切值，勾股定理，如图所示，取格点E，F，连接，，利用勾股定理求出，，由得到，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，取格点E，F，连接，， 设格点之间的长度为1， ∴，， 由网格特点得，，， ∴ ∴． 故答案为：3． 12． 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，设塔高，利用，表示出，利用，表示出，再根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 设塔高， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即：； 故答案为：． 13．米 【分析】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，掌握相关知识是解决问题的关键．此题可根据楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过作于， ∴， 由题意， ∴， 米， 米． ∴米． 故答案为：米． 14．140 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题．正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键． 如图：过作于，在中解直角三角形可得、，再在中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过作于， 在中，，海里， （海里），（海里）， 在中，， 海里， （海里）． 15．128 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为，则四边形为矩形，再分别解，求出即可． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为， 则， 由题意得， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵斜坡的坡度， ∴在中，， ∴， ∵斜坡的坡角为， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为：128． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16． 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、特殊角的正弦值，关键是熟练应用运算法则进行计算；利用负整数指数幂、零指数幂、度的正弦值求解即可； 【详解】解：原式． 17．（1） （2）， 【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握相关解法是解答的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再求负整数指数幂，然后二次根式的加减运算即可求解； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）原方程化为 ∴，． 18． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键． 先解得到，再解，，即可求解． 【详解】解：延长交于点G，由题意得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：吉塔的高度约为． 19． 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形的相关计算，弧长计算，连接，，，过点O作于点F，根据垂径定理得出，，根据勾股定理得出，解直角三角形得出，求出，得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，，，过点O作于点F，如图所示： 则，，在中，由勾股定理， 得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 20．(1)与相切，理由如下： 如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵点在上， ∴与相切； (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线以及等边对等角得出内错角相等，证明，得出直角，即可得出结论； （2）连接，根据直径定理得出直角，得出平行线，证明，利用锐角三角函数比求出半径长，最后利用锐角三角函数进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 假设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 21．(1) 证明：是的直径， ，即， ， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 与相切； (2) 【分析】（1）根据“直径所对的圆周角是直角”，易证，再根据等腰三角形的性质，易证，，利用等量代换，可证，即，最后根据切线的判定，即可求证； （2）设半径，则，，根据圆周角定理的推论，可得，从而，利用余弦的定义，列方程求解，可得、的值，最后根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设半径，则，， ，， ， 在中，，即， ，解得， ，， 在中，， ， ． 22．该风力发电机塔杆的高度为28米． 【分析】首先通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型；根据垂直关系证明是矩形，得到矩形对边相等；设长为未知数x，分别在和中，利用三角函数推出和的长；在中，根据已知的值，推导出；根据联立方程求出x，得到的值，从而求出． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，过点B作于点G． 由题意可知，，， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴米，． 在中，，（米）， ∴（米）． 设（米）， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴， ∴． 观察图形可知，， 代入数值：， 解得． ∴（米）． 答：该风力发电机塔杆的高度为28米． 23．(1) 如图， (2) 证明：过点作于点， ， 由旋转得，， ，， ， ， ， ， ， ； (3)①② 【分析】（1）按要求补图即可； （2）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可得证； （3）①解直角三角形得，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，在证明即可求解； ②由相似三角形的性质得，，解得， ，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， ①， ， 设，， ， 解得， ，， ， ， 解得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得； ②如图， 由①得，， ，， ， 是的中点， ， ， 解得， ， ， ， 由（2）得，， ， ， ， ． 【点睛】熟练利用相似三角形的判定及性质，解直角三角形进行求解是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期九年级数学第一章直角三角形的边角关系 章检测（鲁教版） 满分120分 考试用时120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．以下四个特殊三角函数值中，最大的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，若的三边都缩小到原来的，则的值（    ） A．缩小到 B．放大3倍 C．不变 D．无法确定 3．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 4．数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测角仪在处测得点的仰角，然后在处测得点的仰角，已知点，，在同一条直线上，测角仪离地面高度，，则高（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，， 于，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．点关于轴的对称点为点，点绕原点按顺时针方向旋转后的对应点为点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图①，菱形的对角线与相交于点，，两点同时从点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为，设运动的时间为秒，，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图②所示，当点在段上运动且，两点间的距离最短时，，两点的运动路程之和为（ ）厘米． A． B． C．8 D． 9．如图，点在正方形网格点上，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在正方形网格中，点都在格点处，与相交于点，则的值是_____． 12．如图，婷婷想测量“青云塔”的高度．她在处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至处，测得仰角为，那么塔高约为________． 13．如图所示，小明家住在米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午时太阳光线与水平面的夹角为．如果A，B两楼相距米，那么A楼落在B楼上的影子有___________． 14．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离A处的距离是__________海里．（参考数据：，，） 15．如图，某水库大坝的横截面为梯形，已知坝顶宽8米，坝高40米，斜坡的坡度，斜坡的坡角为，则坝底的长度为_________米． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．（9分）计算： 17．（9分）（1）计算： （2）解方程： 18．（9分）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 19．（9分）如图是一个半径为的铁球放入工件槽内的截面图，已知工件槽内侧水平距离为（即），工件槽的右边比左边高（即），且，求该截面图中铁球落在槽内的的长度．（参考数据：，，）． 20．（9分）如图，中，，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 21．（9分）是的直径，点D在半径上，点C在上，，连接并延长至点E，使得，与的另一个交点为F． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 22．（9分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方63米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 23．（12分）在中，，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接交于点E，过点作交于点． ①若，求的长； ②若为的中点，则______． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $