第一章 直角三角形的边角关系 单元测试 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 鲁教五四版2024九年级上第一章单元卷，通过选择（10）、填空（5）、解答（8）题梯度设计，覆盖三角函数定义、解直角三角形等核心知识，结合跷跷板、无人机测量等真实情境，培养数学眼光与应用能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|三角函数定义（1、2）、特殊角三角函数值（3、4）|网格图（7）、方位角（10）考查几何直观| |填空题|5小题|坡度（11）、网格三角函数（13、14）|生活场景（11斜坡问题）体现应用意识| |解答题|8小题|解直角三角形应用（19、21）、综合计算（16）|无人机测量（21）、抗战阅兵（23）等情境，发展数学思维与表达能力|

鲁教五四版（2024）九年级上第一章 直角三角形的边角关系 单元测试题 一．选择题（共10小题） 1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（　　） A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．tanB= 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．若AB=10，AC=6，则sinB=（　　） A． B． C． D． 3．若，则锐角α的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．已知∠A是锐角，且满足3tanA-=0，则∠A的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．无法确定 5．如图，在△ABC中，，BC=6，，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 6．给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（　　） A．AB=4cm,∠A=60°，∠B=30° B．AB=4cm,BC=3cm,∠A=30° C．AB=4cm,BC=6cm,∠B=30° D．AB=4cm,BC=5cm,AC=6cm 7．如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 8．如图，∠ABC=α，过点A作AC⊥BC于点C，过点C作CD⊥AB于点D，则下列不能表示tanα的是（　　） A． B． C． D． 9．为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板AB中点，支柱OC垂直于地面，垂足为点C，已知AB=4m,跷跷板的一端A落到地面时与地面的夹角∠OAC=20°，则支柱OC的高度是（　　） A． B．2tan20°m C．2sin20°m D． 10．如图，点B在点A北偏东40°方向，点C在点B北偏西50°方向，且BC=10m,则点C到直线AB的距离为（　　） A．5m B．10m C．15m D．20m 二．填空题（共5小题） 11．如图，一辆汽车在坡度i=1：2（即的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了______米． 12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosB=______． 13．如图中的每个小正方形的边长均相等，则tan∠BAC的值为______． 14．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，∠ACB的正切值是______． 15．如图1是一把休闲座椅，底座的长度为1m,椅背与底座的夹角为75°，抽象为平面图形如图2，BC=1m,若∠ACB=30°，则AC的长度为______m. 三．解答题（共8小题） 16．计算： （1）sin30°+cos60°-tan45°； （2）sin245°-3tan30°+|1-tan60°|． 17．如图，在△ABC中，AE⊥AB交BC于点E，D为BE的中点，连结AD，AD=4，AE=2EC=2． （1）作AH⊥BC，垂足为H，求AH的长； （2）求tan∠EAC的值． 18．已知：在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点，连接OB，过C点作CD⊥OB，交BO的延长线于垂足D，BC=8，sinα=． 求：（1）线段OC的长； （2）cos∠DOC的值． 19．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD长为26米，坡度为，高为DE．在斜坡底的点C处测得楼顶B的仰角为70°，在斜坡顶的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上． （1）求斜坡的高DE； （2）求大楼AB的高度．（参考数据：sin70°≈0.9，tan70°≈2.7，结果精确到个位） 20．（2026春•同步）如图，甲船从码头A出发，沿北偏东35°的方向行驶可以直达小岛C．码头B在码头A的正东方向，当乙船与甲船分别从码头B，A同时等速出发，并直接驶向小岛C时，两船可以同时到达．（水流速度忽略不计） （1）请在图中画出小岛C的位置． （2）如果AC=150km,那么应该如何用方位角和距离描述小岛C相对于码头B的位置呢？ 21．缅怀革命先烈，传承红色基因．人民英雄纪念碑是纪念近代革命先烈的标志性建筑（图1）．小辰利用无人机测量纪念碑的高度，具体过程如下： 如图2，EF是水平面，点A是纪念碑顶部一点，AB即为纪念碑的高度，且AB垂直于水平面．无人机在纪念碑上方点C处时，测得纪念碑顶部A处的俯角∠DCA=37°，底部B处的俯角∠DCB=54°，无人机沿水平方向由点C向前飞行105米到达点D处，在D处测得A处的俯角∠CDA=45°，已知图中各点均在同一竖直平面内．请根据以上数据求纪念碑AB的高度．（结果精确到1米．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 22．在某海域有A，B，C，D四个小岛，B在A的正东方向，D在A的正北方向，C在B的北偏东30°方向距离20海里处，C在D的南偏东60°方向距离20海里处，且C在A的东北方向．（参考数据：，， （1）求A，B两地之间的距离（结果保留根号）； （2）渔船甲从B处出发沿着B→A→D方向航行，渔船乙从D处出发沿着D→C方向航行，甲船速度是乙船速度的2倍，当两船相距15海里时，两船上的无线电可以互相接收信号，请问两船首次能相互接收信号时，乙船距离D处多少海里？（结果保留一位小数） 23．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，A，B，C，D是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知C位于A的正东方向且位于B的西北方向上，D位于C的北偏东75°方向上且位于B的北偏东30°方向上，B位于A的南偏东60°方向上．经测量C，B两点相距600米．（参考数据：，，）． （1）求AC的长度（结果保留整数）； （2）小雨从A出发沿A→C→D方向步行去往D处，求小雨走过的路程（结果保留整数）． 鲁教五四版（2024）九年级上第一章 直角三角形的边角关系 单元测试题 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、C 2、B 3、B 4、A 5、B 6、B 7、B 8、B 9、C 10、B  二．填空题（共5小题） 11、20； 12、； 13、1； 14、； 15、；  三．解答题（共8小题） 16、解：（1）原式=+-1 =1-1 =0； （2）原式=（）2-3×+-1 =-+-1 =-． 17、解：（1）∵AE⊥AB， ∴∠BAE=90°， ∵D为BE的中点，AD=4， ∴BE=2AD=8， 由勾股定理得到：， ∵AH⊥BE， ∴△ABE的面积=BE•AH=AB•AE， ∴8×AH=2×2， ∴AH=； （2）过点E作EF⊥AE，交AC于点F， ∵AB⊥AE，∴EF∥AB， ∴△CEF∽△CBA， ∴， ∵BE=8，EC=1， ∴BC=BE+EC=9， ∵， ∴， 在直角三角形AEF中，=． 18、解：（1）∵在Rt△ABC中，AB⊥BC， ∴sinα==， 设AB=3x,则AC=5x, ∵AB2+BC2=AC2， 即（3x）2+82=（5x）2， 解得：x1=2，x2=-2（不合题意舍去）， ∴AC=10， ∵点O是AC的中点， ∴OC=AC=×10=5； （2）∵在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点， ∴OB=OC=OA=AC=5， 设OD=y,则BD=OB+OD=5+y, ∵CD⊥OB， ∴CD2=BC2-BD2=OC2-OD2， ∴82-（5+y）2=52-y2， 解得：y=， ∴cos∠DOC===． 19、解：（1）∵斜坡CD坡度为1：，即DE：CE=5：12， 设DE=5x米，则CE=12x米， ∵CD=26米， 在Rt△CDE中，DE2+CE2=CD2，即（5x）2+（12x）2=262， 解得：x=-2（舍）或x=2， ∴DE=10米， 答：斜坡的高DE为10米； （2）如图，过点D作DF⊥AB于F，得矩形AFDE， ∴AF=DE=10米， ∵∠BDF=45°， ∴设BF=DF=a米， 由（1）知：CE=24米， 则AC=AE-CE=DF-CE=（a-24）米，AB=AF+BF=（10+a）米， 在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=， ∴=2.7， 解得：a=44， ∴AB=BF+AF=10+44=54（米）， 答：大楼的高AB为54米． 20、解：（1）如图1所示： （2）如图2，连接BC，过点B作BD⊥AB， ∵甲船与乙船分别从码头A，B同时等速向小岛C出发，同时到达， ∴BC=AC=150km, ∴∠CAB=∠CBA， ∴∠DBC=35°， ∴小岛C在码头B的北偏西35°方向，距离码头B为150km的位置． 21、解：延长BA交CD于点M，由题意知BM⊥CD， 设DM=x米，则CM=（105-x）米， ∵∠CDA=45°， ∴AM=DM=x米， ∵∠DCA=37°， ∴， ∴， 解得，x≈45（米）， ∴CM≈105-45=60（米），AM≈45（米）， ∵∠DCB=54°， ∴， ∴， 解得，AB≈38（米）， 答：纪念碑AB的高度约为38米． 22、解：（1）过C作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F， ∴∠CEA=∠EAB=∠CFA=90°， ∴四边形EAFC是矩形， ∵∠D=∠CBF=60°，∠CED=∠CFB=90°，CD=BC=20海里， ∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴CE=CF， ∴四边形EAFC是正方形， ∴AF=CF=BC•sin60°=10（海里），BF==10（海里）， ∴AB=AF-BF=（10-10）海里； （2）如图，当甲船到达点M，乙船到达点G时，两船相距15海里， 即MG=15海里， ∵甲船速度是乙船速度的2倍， ∴设DG=x海里，AM+AB=2x海里， 过G作GH⊥AD于H， ∴DH=DG=x海里，GH=x海里， 由（1）知AD=（10+10）海里， ∴HM=10+10-x-[2x-（10-10）]=（20-x）海里， ∵HG2+HM2=GM2， ∴（x）2+（20-x）2=152， 解得x=5≈8.7或x=（不合题意）， 答：两船首次能相互接收信号时，乙船距离D处约为8.7海里． 23、解：（1）延长AC交BH于H， 由题意AH⊥BH，∠EAB=60°，∠HBD=30°，∠FCD=75°，∠BCH=45°， ∵∠BCH=45°，∠BHC=90°，BC=600米， ∴米， ∴米， 在Rt△BHA中，∵∠EAB=60°， ∴∠BAH=90°-60°=30°， ∴米， ∴AC=AH-CH=300-300≈311（米）， 答：AC的长度为311米． （2）作BP⊥CD，垂足为点P， ∵∠FCD=75°，∠BCH=45°，∠HBD=30°， ∴∠DCH=90°-75°=15°，∠CBH=90°-45°=45°， ∴∠DCB=15°+45°=60°，∠CBD=45°+30°=75°， ∴∠D=180°-75°-60°=45°， 在Rt△BPC中， ∴（米）， （米）， 在Rt△BPD中，米， ∴米， ∴（米）， 答：小雨走过的路程为1131米． 学科网（北京）股份有限公司 $