第一章 直角三角形的边角关系 单元诊断（基础） 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学九年级上 册

**基本信息** 鲁教五四版九年级上第一章“直角三角形的边角关系”基础单元卷，覆盖三角函数定义、特殊角计算及实际应用，适配单元复习，注重基础巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|三角函数定义（1-4题）、特殊角值（5-6题）、坐标应用（7题）|基础概念辨析，强化几何直观| |填空题|5小题|坡度计算（11题）、公式应用（12题）、格点图形（13题）|结合数学抽象与空间观念| |解答题|8小题|解直角三角形（17题）、实际测量（20-23题）|融入冬奥会滑雪（21题）、无人机测量（23题）等真实情境，体现模型意识与应用能力|

鲁教五四版（2024）九年级上 第一章 直角三角形的边角关系 单元诊断（基础） 一．选择题（共10小题） 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，那么cosB的值是（　　） A．2 B． C． D． 3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（　　） A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．tanB= 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=5，则sin∠A=（　　） A． B． C． D．1 5．与2sin30°的结果相同的是（　　） A．tan45° B．sin60° C．tan60° D．cos245° 6．已知∠A是锐角，且满足3tanA-=0，则∠A的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．无法确定 7．在平面直角坐标系中有一点B（5，12），过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接OB，设射线OB与x轴正半轴的夹角为θ，则下列说法正确的是（　　） A．OB=12 B． C． D． 8．如图，在△ABC中，，BC=6，，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在某次表演中，机器人需要从A处移动到北偏东45°的C处，机器人先向正东方向移动30m到达B处，再向北偏东30°方向移动到C处，则C处到AB的距离CD长为（　　） A． B．60 C． D． 10．如图，点B在点A北偏东40°方向，点C在点B北偏西50°方向，且BC=10m,则点C到直线AB的距离为（　　） A．5m B．10m C．15m D．20m 二．填空题（共5小题） 11．如图，滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度AC是9m,则高BC是______m. 12．已知公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．已知75°=30°+45°．则sin75°=______． 13．如图，点A、B、C均在6×6的方格纸的格点上，那么tan∠ABC的值为______． 14．如图，某渔船在A港观测到灯塔C在它的北偏东22°方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至B港时，观测到灯塔C在它的东北方向上，则灯塔C与B港之间的距离为______海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.41，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） 15．宁夏红寺堡风能资源丰富，风力发电发展迅速．在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．某校数学兴趣小组利用无人机测量风电塔筒AB的高度（如图2），具体测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面200m的C点，测得风电塔筒顶端A的俯角为21°，再将无人机沿水平方向飞行40m到达点D，测得风电塔筒底端B的俯角为45°，则风电塔筒AB的高度约为 ______m. （结果精确到1m,参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38） 三．解答题（共8小题） 16．（1）计算：2cos245°-tan30°•sin60°． （2）求中锐角α的值． 17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=4，解这个直角三角形． 18．已知：在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点，连接OB，过C点作CD⊥OB，交BO的延长线于垂足D，BC=8，sinα=． 求：（1）线段OC的长； （2）cos∠DOC的值． 19．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=12，，． （1）求∠B的度数； （2）求∠CAD的度数． 20．某数学兴趣小组以测量本校教学楼的高度为主题开展综合与实践活动，记录如下：请你从以上两种方法中任选一种，计算教学楼AB的高度（结果取整数）． 活动项目 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 皮尺，测角仪 方案 示意图 实施过程 ①选取与楼房底部A位于同一水平地面的C，D两处； ②测量C，D两点间的距离； ③在C，D两处，用测角仪分别测量楼顶B的仰角∠ACB，∠ADB． ①选取教学楼对面的实验楼C处； ②在C处用测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角∠ACE和教学楼顶部B点的仰角∠ECB； ③测量C到地面的高度CD． 测量数据 1．CD=4.2m； 2．∠ACB=38.7°，∠ADB=45°． 1．CD=7.4m； 2．∠ACE=30°，∠BCE=37°． 备注 ①图上所有点均在同一平面内，且点C，D，A在同一条直线上，测角仪高度忽略不计； ②AB与地面垂直； ③：参考数据tan38.7°≈0.80， ①图上所有点均在同一平面内，测角仪高度忽略不计； ②AB，CD均于地面垂直； ③参考数据：sin37°=0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，． 21．2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图所示为某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在点C测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在点A测得点B的俯角∠DAB=30°．雪道AB长为270m,雪道BC长为260m.求该滑雪场的高度h. 22．觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一．登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔AB的高度．如图，塔前有一座高为DE的观景台，已知CD=20m,∠DCE=30°，点E，C，A在同一条水平直线上．在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度．（结果精确到1m,参考数据：tan27°≈0.5，） 23．某数学兴趣小组用无人机测量某楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得此楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得此楼底端B的俯角为45°，求此楼AB的高度．（结果精确到1m；参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 鲁教五四版（2024）九年级上 第一章 直角三角形的边角关系 单元诊断（基础） (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、B 2、C 3、C 4、A 5、A 6、A 7、D 8、B 9、D 10、B  二．填空题（共5小题） 11、3； 12、； 13、； 14、28.2； 15、109；  三．解答题（共8小题） 16、解：（1）原式=2×（）2-×=1-=； （2）3tan（α-20°）=， 则tan（α-20°）=， ∴α-20°=30°， ∴α=50°． 17、解：由题知， ∵∠C=90°，∠B=60°， ∴∠A=90°-∠B=90°-60°=30°， 由sinA=及BC=4得， ， ∴AB=8， ∴AC=， ∴∠A=30°，，AB=8． 18、解：（1）∵在Rt△ABC中，AB⊥BC， ∴sinα==， 设AB=3x,则AC=5x, ∵AB2+BC2=AC2， 即（3x）2+82=（5x）2， 解得：x1=2，x2=-2（不合题意舍去）， ∴AC=10， ∵点O是AC的中点， ∴OC=AC=×10=5； （2）∵在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点， ∴OB=OC=OA=AC=5， 设OD=y,则BD=OB+OD=5+y, ∵CD⊥OB， ∴CD2=BC2-BD2=OC2-OD2， ∴82-（5+y）2=52-y2， 解得：y=， ∴cos∠DOC===． 19、解：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，AC=12，， ∴， ∴∠B=60°， 则∠B的度数为60°； （2）过点A作AE⊥BC于点E，如图所示： 则∠AEB=∠AED=90°， ∴∠BAE=90°-∠B=90°-60°=30°， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠DAE=45°， ∴∠CAD=90°-30°-45°=15°， 则∠CAD的度数为15°． 20、解：方案一： ∵， ∴∠ADB=45°， ∴AB=AD， ∵∠ACB=38.7°， ∴， 即AB=（AD+CD）•tan38.7°． 设AB=AD=x m, 可得x=（x+4.2）×0.8， 解得x=16.8≈17． 答：AB的高度约为17m； 方案二： 由题意，可知AE=CD=7.4m,CE⊥AB， ∵AE=7.4m,∠ACE=30°， ∴， ∵CE≈12.8m,∠BCE=37°， ∴BE=CE•tan∠BCE=12.8×tan37°≈9.6m, ∴AB=AE+BE≈7.4+9.6=17（m）， 答：教学楼的高AB约为17m； 21、解：如图，过点B作BE∥AD，过点A作AE⊥BE于点E，过点B作BF垂直地面于点F， 则∠ABE=∠DAB=30°，∠AEB=90°，∠BFC=90°， ∴AE=AB=×270=135（m）， ∵雪道BC的坡度i=1：2.4， ∴=， 设BF=x m,则CF=2.4x m, 在Rt△BFC中，由勾股定理得：BF2+CF2=BC2， 即x2+（2.4x）2=2602， 解得：x=100（负值已舍去）， ∴BF=100m, ∴h=AE+BF=135+100=235（m）， 答：该滑雪场的高度h为235m. 22、jie1：（1）∵∠DCE=30°，CD=20m, ∴． 答：DE的长为10m. （2）由勾股定理可得，． 设AB=x m.AC=AB=xm. ∴． 过点D作DF⊥AB，垂足为F． 由题意，得DE=FA=10m,． ∵AB=xm, ∴BF=AB-FA=（x-10）m. 由三角函数可知，． ∴，解得． ∴AB=37m. 答：塔AB的高度约为37m. 23、解：延长BA交PQ的延长线于点C，则∠BCQ=90°，BC=225m. 在Rt△BCQ中，∠BQC=45°， ∴CQ=BC=225m, ∴PC=PQ+CQ=200+225=425（m）， ∠CPA=15°，， ∴CA=PC•tan∠CPA=425×tan15°≈425×0.27≈115（m）， ∴AB=BC-CA=225-115=110（m）， 答：此楼AB的高度约为110m. 学科网（北京）股份有限公司 $