专题07 勾股定理 压轴四大题型突破-2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题07 勾股定理压轴四大题型突破 【题型1勾股树问题】 【题型2以弦图为背景的计算】 【题型3垂美四边形问题】 【题型4最短路径问题】 【题型1勾股数（树）问题】 1．“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第6个图形里的正方形比第4个图形多_______个． 2．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2027次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 3．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，其中是互质的奇数，则为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据规律写出第⑩个等式为__________． 4．如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为______；的值为______；的值为______． 5．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中 ，现把图2中的直角三角形继续作下去如图3所示，若 的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数： 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 … 4，3，5 n，15，17 12，p，37 16，63，65 … 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 … m，8，10 10，24，26 14，48，50 18，80，82 … (1)请补全上表中的勾股数：________，________，________． (2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形． ①已知格点三边长度为、、，计算的面积． ②请在下面的网格中画出三边长度为、、的格点三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型2以弦图为背景的计算】 7．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 9．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（     ） A．20 B．21 C．22 D．24 10．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形组成的大正方形，两条直角边分别记为a，b（），现在此图形中连接四条线段得到呈“风车”形状的阴影图形，面积记为S．已知的面积为3，大正方形的面积为13，则S的值为（   ） A． B．4 C． D．8 11．【教材变式】 【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程； 【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值； 【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积． 【题型3垂美四边形问题】 12．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 13．如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 14．规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解 如图1，在四边形中，对角线，交于点，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究 如图2，四边形是垂美四边形，其对角线，交于点． 猜想：与有什么关系？并证明你的猜想； （3）解决问题 如图3，在中，，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，连接，，．已知，，求的长． 【题型4最短路径问题】 15．如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部处，它想到箱体顶部点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（   ）． A． B． C． D． 16．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（     ） A． B． C． D． 17．某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为，底面边长为，则灯带的长度最短为（     ） A． B． C． D． 18．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 19．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是多少米？（　　） A．15 B． C．13 D．10 20．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　） A． B． C． D． 21．如图，小河的同一侧有，两个村庄，它们到小河所在的直线的距离分别为千米，千米，千米，要在小河上，之间修建一座小型发电站，使它到，两个村庄的距离之和最短．    (1)请在图中画出的位置； (2)求这个最短距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 勾股定理压轴四大题型突破 【题型1勾股树问题】 【题型2以弦图为背景的计算】 【题型3垂美四边形问题】 【题型4最短路径问题】 【题型1勾股数（树）问题】 1．“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第6个图形里的正方形比第4个图形多_______个． 【答案】 【分析】由已知图形得到第n个图形中正方形有个，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知：第1个图形中正方形有个， 第2个图形中正方形有个， 第3个图形中正方形有个， 第4个图形中正方形有个， ……， 由此推出第n个图形中正方形有个， ∴第6个图形中正方形有个， ∴第6个图形里的正方形比第4个图形多个． 2．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2027次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 【答案】2028 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， ∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形， ∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， ∴“生长”了2027次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2028． 3．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，其中是互质的奇数，则为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据规律写出第⑩个等式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一些常用的勾股数，通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑩个等式． 【详解】解：∵， ∴第一个数的底数是，指数是2， ∵， ∴第二个数的底数是，指数是2， ∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， ∴第n个等式为， ∴第⑩个等式为， 故答案为：． 4．如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为______；的值为______；的值为______． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2，1，． 5．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中 ，现把图2中的直角三角形继续作下去如图3所示，若 的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用勾股定理可求出OA2，OA3，OA4，即可得到OA3·OAn=，再根据OA3·OAn是整数及1≤n≤30，由此可求出n的值的个数． 【详解】由题意得 ； ； ； ∵ 1≤n≤30， ∴OA3·OAn的值是整数， ∴·OAn的值可以是，， 是整数的有3个． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键． 6．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数： 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 … 4，3，5 n，15，17 12，p，37 16，63，65 … 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 … m，8，10 10，24，26 14，48，50 18，80，82 … (1)请补全上表中的勾股数：________，________，________． (2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形． ①已知格点三边长度为、、，计算的面积． ②请在下面的网格中画出三边长度为、、的格点三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)6，8，35 (2)①24；② 【分析】（1）根据勾股定理列方程可分别求出的值； （2）①根据三角形面积公式进行计算即可； ②在线段所在网格线上，且在点的右侧取格点，使，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； ∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； ∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； （2）解：①的面积； ②略 【题型2以弦图为背景的计算】 7．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应边相等求出、的长，结合图形得出的长及，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，，都是全等三角形， ，、， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 9．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（     ） A．20 B．21 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用与勾股定理的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形（）是解题的关键． 先根据已知条件求出的值，再结合阴影部分面积与正方形、三角形面积的关系计算阴影面积． 【详解】解：如图2， ， ， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选： 10．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形组成的大正方形，两条直角边分别记为a，b（），现在此图形中连接四条线段得到呈“风车”形状的阴影图形，面积记为S．已知的面积为3，大正方形的面积为13，则S的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用、解二元一次方程组、完全平方公式等知识． 先求出，，可得①，②，解得，即可求出． 【详解】解：∵的面积为3，大正方形的面积为13， ∴，则，， ∵正方形的面积， ∴①， ∵， ∴②， 由①②解得，， ∴， 故选：B 11．【教材变式】 【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程； 【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值； 【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积． 【答案】操作： 大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积又可以表示为， ， ． 应用：； 拓展：飞镖状图案的面积为24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活利用面积法和勾股定理是解答本题的关键． [操作]利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； [应用]运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； [拓展]可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】[操作]略 [应用] 是边上的高， ， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得； [拓展] 飞镖状图案的面积为24． 飞镖模型的周长为24，观察可知， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得， ， 飞镖状图案的面积． 【题型3垂美四边形问题】 12．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 13．如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 14．规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解 如图1，在四边形中，对角线，交于点，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究 如图2，四边形是垂美四边形，其对角线，交于点． 猜想：与有什么关系？并证明你的猜想； （3）解决问题 如图3，在中，，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，连接，，．已知，，求的长． 【答案】（1）是， 理由：，， ， ∴四边形是垂美四边形； （2），理由如下： 四边形是垂美四边形， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ； （3） 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而根据垂美四边形的定义即可求证； （）由垂美四边形的定义可得，进而根据勾股定理即可求解； （）设交于点，交于点，由勾股定理得，再根据等腰直角三角形的性质可得，，再证明四边形是垂美四边形，进而根据（）的结论解答即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，设交于点，交于点， 在中，，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 与都是等腰直角三角形， ，，， ， 即， ， ， 又， ， ， ∴四边形是垂美四边形， 由（）得：， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解新定义是解题的关键． 【题型4最短路径问题】 15．如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部处，它想到箱体顶部点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况，展开长方体的侧面，分别利用勾股定理求出的长，比较大小即可． 【详解】解：展开长方体的侧面（如图），连接， 由勾股定理得， 图（1）中， 图（2）中， 图（3）中， ， 它沿长方体的侧面爬行的最短距离是10． 16．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，则即为最短距离， 在直角中，由勾股定理得：． 17．某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为，底面边长为，则灯带的长度最短为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱柱展开，连接，则的长度就是灯带的最短长度，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：将三棱柱展开如图，连接，则的长度就是灯带的最短长度， 三棱柱的高为，底面边长为， ∴灯带的长度至少为：． 18．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 19．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是多少米？（　　） A．15 B． C．13 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 最短路径为：（米． 故选：D． 20．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度． ∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm， ∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm， ∴AC2＝22+22＝4+4＝8， ∴AC＝2dm， ∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4dm． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 21．如图，小河的同一侧有，两个村庄，它们到小河所在的直线的距离分别为千米，千米，千米，要在小河上，之间修建一座小型发电站，使它到，两个村庄的距离之和最短．    (1)请在图中画出的位置； (2)求这个最短距离． 【答案】(1) 如图点P即为所求，    (2)的最小值千米 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，掌握轴对称的性质：“对应点到对称轴的距离相等”是解题的关键． （1）作点关于的对称点，连接交于点，连接，则，根据“两点之间线段最短”可知点即为到，距离之和最短的点； （2）作的延长线于点，然后根据勾股定理即可得结果． 【详解】（1）解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时的值最小； （2）解：如（1）图，作的延长线于点， 则， ∵千米，千米，千米， ∴千米， 千米， 在中，， 千米， 的最小值千米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $