2.3 圆与圆的位置关系（分层作业练题型）数学苏教版高二选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.3圆与圆的位置关系 参考答案 A组 巩固过关 题型01 判断圆与圆的位置关系 1.(1)x2+y2=25 (2)圆心坐标为07)，半径为5 (3)相交，5V2 2.B 3 ABD 题型02 求两圆的交点坐标 4.ACD 5.ABD 6.A 题型3 由圆的位置关系确定参数或范围 7.A 8.A 9.D 题型0☑ 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 10.(1)x2+y2=4 (2) (i)证明：由(1)知，C(0,0) 记N(1,0),因为CW=1<2,所以点N在圆内： 当直线！的斜率不存在时，直线方程为x=1, 1/4 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB两点的坐标分别为，V)L,-V5),关于x轴对称，所以∠CM4=∠CMB: 当直线1的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-),代入圆C的方程，得x2+[k(x-)]了=4， 化简得（K2+)x2-2k2x+2-4=0 2k2 k2-4 设A,y),B(6,)则x+名=+西=+i 设直线MA的斜率为k,直线MB的斜率为k, 由M40:得6+场=”4+2身-西--4+-5-4到_25-56+5)+8] x-4x2-4 (x-4)(x2-4) （x-4)(x2-4) 因%245-5k+)482作-52++80，所以5+6-0 k2+1 所以直线MA与直线MB关于x轴对称，所以∠CMA=∠CMB; 综上，∠CMA=∠CMB. (i)2. 1.(刨k= 3 2)3x-2y-V5=0 3)(x-4)}+y2=4或x2+y-45=36 顯型05 相交圆的公共弦方程 13.(1)57 (2)4x+3y-22=0, 14.2x-6y-7=0 15.BD 题型0% 两圆的公共弦长 V390 16. 5 17.BD 18.(1)a=-4,b=-2 2/4 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)4 题型07 圆的公切线条数 19.B 20.-11 21.CD 题型n8 圆的公切线方程及公切线长 22.B 23.(1)(x+1)}+(y-2=1 (2)x=0或y=0或3x-4y+12=0或4x+3y-4=0 (3) 设过点P的直线I的方程为y=m(x+4),整理为mx-y+4m=0, G线，-6短装4- Vm2+1 可得4=2d2 又由AB=2V4-d=24-4d=4V1-d5,DE=2V1-d, 所以AB=2DE. D 24.(1)(x+)2+(y-2)2=9 (2)V5 (3)(3,0) B组 能力进阶 1.BC 2.C 3.D 314 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.A 5.B 6.((x+1)2+(y+1)2=9 (2)(i)x2+y2=7 (ii)W(0,7) 7.C 81 m>6 9.ABC 10.D C组 思维拔高 1.BC 2.D 3.（-4,-3)U(5,+∞) 4.D 5.BCD 414 分层作业 2.3 圆与圆的位置关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断圆与圆的位置关系 题型02求两圆的交点坐标 题型03 由圆的位置关系确定参数或范围 题型04 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型05 相交圆的公共弦方程 题型06两圆的公共弦长 题型07 圆的公切线条数 题型08 圆的公切线方程及公切线长 B组 能力进阶 C组 思维拔高 判断圆与圆的位置关系 题型01 1．圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.例如，在平面直角坐标系中，（表示以为圆心的圆）的圆心的坐标为，半径，根据两点间的距离公式有，两边平方得到的方程为.已知在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5，的方程为. (1)求的方程； (2)求的圆心坐标和半径； (3)判断与是否相交，若相交，请求出相交弦长. 2．已知圆，，，，则直线与这四个圆的公共点个数的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（多选）已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 求两圆的交点坐标 题型02 4．（多选）在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C．内的点到轴距离的最大值为 D．与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 5．（多选）已知平面内两点，动点满足，则（   ） A．点到点的距离为定值 B．|PB|的最小值为1 C．点到直线的距离的最大值为2 D．满足的点有且仅有两个 6．设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 由圆的位置关系确定参数或范围 题型03 7．已知，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 8．在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 9．若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型04 10．已知圆经过点，且与圆相切于点． (1)求圆的方程； (2)过的直线与圆交于两点，点的坐标为． （i）证明：； （ii）求外接圆圆心的横坐标． 11．已知直线，圆，圆与圆相外切，且与直线相切于点. (1)求实数的值； (2)求过点且被圆所截的弦长最长的直线方程； (3)求圆的标准方程. 12．经过点，且与圆相切于点的圆的方程为______． 相交圆的公共弦方程 题型05 13．已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 14．已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 15．（多选）记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．当时，圆与圆的相交弦方程为 两圆的公共弦长 题型06 16．已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________. 17．（多选）已知圆，圆则（    ） A．当时，圆与内含 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．若圆与相交，则公共弦长的最大值为2 18．已知圆与圆的公共弦所在的直线为． (1)求，的值； (2)若与交于，两点，求四边形的面积． 圆的公切线条数 题型07 19．已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 21．（多选）已知直线，圆，点为直线上的动点，点为圆上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若为，则直线斜率的取值范围为 B．面积的最小值为 C．存在点，使得 D．若点与点到某直线的距离分别为1和，当运动时，这样的直线有4条 圆的公切线方程及公切线长题型08 22．满足的实数对共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 23．已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. (1)求圆的标准方程； (2)求圆和圆的公切线的方程； (3)过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. 24．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 1．（多选）已知点P为圆上的一个点，点，，则（    ） A．过点A一定存在两条直线与圆C相切 B．存在实数a，使得 C．存在实数a，使得 D．存在实数a，使得 2．一个半径为的圆，周围环绕着12个半径为1的圆，如图所示，这12个圆都与中心圆外切，且相邻的两个圆也互相外切．此时可表示为的形式，其中均为整数．问是多少？（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 E．11 3．已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（   ） A． B． C． D．6 6．已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 7．已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆，则圆C的半径为________；若M是圆C上任意一点，且点满足是钝角，则正数的取值范围是________． 9．（多选）已知曲线，圆，曲线由，，组成，则（    ） A．当时，与圆O无公共点 B．当与圆O有6个公共点时， C．不存在过原点的直线与无公共点 D．上仅有4个点到直线的距离为 10．已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 1．（多选）对于曲线：，下列说法中正确的是（    ） A．曲线过原点 B．曲线关于轴对称 C．曲线上点的纵坐标的取值范围是 D．若点为曲线上一动点，，，则的面积最大值为6 2．已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．已知线段的长为4，所有满足（为常数，）的点始终在以为圆心1为半径的圆外，则的范围是___________． 4．已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）记圆，圆，点，已知圆和圆相内切，且圆的半径大于圆的半径，是圆上两点，直线与圆相切，设与圆的另一个交点分别为，则（    ） A． B．​ C．当且仅当 D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3 圆与圆的位置关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断圆与圆的位置关系 题型02求两圆的交点坐标 题型03 由圆的位置关系确定参数或范围 题型04 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型05 相交圆的公共弦方程 题型06两圆的公共弦长 题型07 圆的公切线条数 题型08 圆的公切线方程及公切线长 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )判断圆与圆的位置关系 1．圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.例如，在平面直角坐标系中，（表示以为圆心的圆）的圆心的坐标为，半径，根据两点间的距离公式有，两边平方得到的方程为.已知在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5，的方程为. (1)求的方程； (2)求的圆心坐标和半径； (3)判断与是否相交，若相交，请求出相交弦长. 【答案】(1) (2)圆心坐标为，半径为5 (3)相交， 【分析】（1）由两点间的距离公式得到的方程； （2）由圆的定义及两点间的距离公式判断的圆心坐标和半径； （3）两圆联立方程组，利用交点判断位置关系并求弦长. 【详解】（1）因为以原点为圆心，5为半径， 根据两点间的距离公式有，两边平方得的方程为. （2）因为的方程为， 圆上的点到定点的距离等于定长5，所以的圆心坐标为，半径为5. （3）将两圆方程联立得，解方程组得或， 即两圆相交于点，， 进而两圆的相交弦长为. 2．已知圆，，，，则直线与这四个圆的公共点个数的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】在同一平面直角坐标系中，作出图象，再作出直线观察公共点个数，由于整体图象关于原点对称，先作出平行于轴的直线判断出最多个数，再验证7，8个公共点的存在性，即可求解． 【详解】根据四个圆的方程，在同一平面直角坐标系中，作出图象： 易知这四个圆两两相切，记直线与这四个圆的公共点个数为． 当直线的方程为时，； 当直线的方程为时，； 考虑证明不合题意．注意到圆与直线最多有两个公共点， 故当时，直线必与其中三个圆有两个公共点， 且与另外一个圆有至少一个不同的公共点． 若存在这样的直线，显然其斜率存在，设直线的方程为． 不妨设与，，均有两个公共点， 则，，， 此时，， 两式相加得，即， 而，解得， 于是，即与相离，矛盾，故的最大值为6． 3．（多选）已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程、圆心距、圆与圆的位置关系逐项计算判断即可. 【详解】对于A，将的方程化简得，所以圆心坐标为. 可知直线经过的圆心，所以对任意正整数，直线平分的面积，A正确； 将的方程化简得， 可知圆心到直线的距离为，与轴相切， 故直线关于直线的对称直线也与相切，所以B正确； 结合B选项可知圆心到直线的距离，所以直线与相离，所以C错误； 将的方程化简得，其圆心坐标为，半径为. 的方程为，化简为，其圆心坐标为，半径为. 所以与的圆心距始终为，而对任意正整数与的半径之和， 对任意正整数有，半径之差，所以对任意正整数与相交，D正确. ( 题型0 2 )求两圆的交点坐标 4．（多选）在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C．内的点到轴距离的最大值为 D．与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 【答案】ACD 【分析】A选项利用直径的性质进行计算；B选项设，用表示，再利用三角函数求最值即可，C选项，将用表示，再利用二次函数即可求出最大值； D选项利用点到直线的距离即可求解. 【详解】对于A选项，设与轴交于、，连接 ，，    因为为的直径，所以轴， 由题意可知，所以， 所以，则，所以公共点的坐标为和，故A正确； 对于B选项，如图：    连接并延长交于， 由垂径定理：，就是上到原点距离最远的点， 下面我们求的最大值： 设，则， 因为，则， 当时，取得最大值，即该圆的半径最小为，面积最小值为，故B错误； 对于C选项，如图：过作轴于，另交于，过作轴于，    因为，所以，所以， 则， 所以，令 ， 则， 所以 ，即内的点到轴距离的最大值为，故C正确； 对于D选项，如图：    设与轴交于点（图中为上方的点），则，反面想， 对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点， 当离轴最远时，与有且仅有一个公共点． 设，则，， 原点到的距离：，解得， 故与轴的公共部分上的点到轴距离的最大值为， 即与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为，故D正确． 5．（多选）已知平面内两点，动点满足，则（   ） A．点到点的距离为定值 B．|PB|的最小值为1 C．点到直线的距离的最大值为2 D．满足的点有且仅有两个 【答案】ABD 【分析】先根据得到点 P 的轨迹是以为圆心、半径 的圆方程为可验证A，，再利用圆上的点到定点、到定直线的距离的最值求法即可验证B、C，以得到点 P 满足圆方程，两圆方程联立即可验证D. 【详解】设 ，由，得到， 化简得到，因此，点 P 的轨迹是以为圆心、半径 的圆， 所以点到点的距离为定值，选项A正确； 圆心到点的距离为 , 因为点B在圆内，所以|PB|的最小值为，选项B正确； 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为，选项C错误； ， 因为，所以，即； 化简得到， 联立方程，即， 代入，得到，解得， 得到两个解，故D正确. 故选：ABD. 6．设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两圆心连线即是两圆公共弦的垂直平分线，结合两点式直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线， 所以直线方程为，即， 故选：A. ( 题型0 3 )由圆的位置关系确定参数或范围 7．已知，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程结合两点间距离得出圆的位置关系计算求解即可. 【详解】点在以为圆心，1为半径的圆上，点在以为圆心，7为半径的圆上， 两圆心距，则两圆内含， ，， 则． 8．在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，结合两圆的位置关系，可得四边形与四边形均为正方形，结合勾股定理，列式求解，即可得答案 【详解】圆C的圆心为，半径，圆O的圆心为， 因为，所以在圆C内部， 因为两圆有两条公切线，且垂直，所以两圆相交， 设圆C与两切线分别交于点A、B，圆O与两切线分别交于点D、E，两切线交于点F， 连接CA、CB、OD、OE、OC，过O作，如图所示， 则四边形与四边形均为正方形， 则四边形为矩形，且，， 在中，，所以， 则，即，解得或（舍）， 9．若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆有两个交点，再由圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 由题意可知，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或． 所以实数b的取值范围是． ( 题型0 4 )由圆与圆的位置关系确定圆的方程 10．已知圆经过点，且与圆相切于点． (1)求圆的方程； (2)过的直线与圆交于两点，点的坐标为． （i）证明：； （ii）求外接圆圆心的横坐标． 【答案】(1) (2) （i）证明：由（1）知，. 记，因为，所以点N在圆C内. 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 两点的坐标分别为，关于轴对称，所以； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入圆的方程，得， 化简得. 设，则. 设直线的斜率为，直线的斜率为. 由，得. 因为，所以. 所以直线与直线关于轴对称，所以； 综上，. （ii）. 【分析】（1）设圆C的标准方程，根据题意列出方程，求解即可； （2）易知点在圆C内，所以直线与圆相交.（i）分直线的斜率存在与否两种情形分析，根据直线与直线的斜率互为相反数，可得两直线关于轴对称，即；（ii）求出线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点的横坐标，即可求得外接圆圆心为的横坐标. 【详解】（1）设圆的半径为，圆心为则圆的方程为. 由题可得，解得. 所以圆的方程为:. （2）（i）略 （ii）当直线的斜率为零时，三点共线，不能构成三角形，所以直线与直线的斜率均不为零. 由（i）知，当直线的斜率不存在时，两点的坐标分别为. 线段的中点为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为. 所以线段的垂直平分线为. 线段的垂直平分线与线段的垂直平分线（轴）的交点为， 即外接圆圆心坐标为，其横坐标为. 当直线的斜率存在时，线段的中点为， 直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为. 线段的垂直平分线为. 线段的中点为， 直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为. 线段的垂直平分线为. 由，得. 整理得，， 即， 所以. 因为，且. 所以. 即线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点的横坐标为， 即外接圆圆心的横坐标为. 综上，外接圆圆心的横坐标为.    11．已知直线，圆，圆与圆相外切，且与直线相切于点. (1)求实数的值； (2)求过点且被圆所截的弦长最长的直线方程； (3)求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入直线方程可直接求得结果； （2）根据最长弦为圆的直径可知所求直线过圆心，进而得到直线斜率，结合直线点斜式可求得直线方程； （3）设圆心，根据直线与直线垂直可求得关系，根据两圆外切和可构造方程求得圆心坐标和半径，由此可得圆的方程. 【详解】（1）圆与直线相切于点，则点在直线上， ，解得：. （2）圆的圆心为， 过点且被圆所截的弦长最长的直线过圆心， ，所求直线方程为：，即. （3）设圆的圆心，半径为， 直线与圆相切，，即， ， 圆与圆外切，且点在圆上， ， 当时，，， 解得：，，，圆的标准方程为：； 当时，，， 解得：，，，圆的标准方程为：； 综上所述：圆的标准方程为或. 12．经过点，且与圆相切于点的圆的方程为______． 【答案】 【分析】先设圆的方程，求出已知圆的圆心坐标与半径，再根据条件圆过点且与圆相切于点，列出方程组可求相应参数，从而可求方程． 【详解】设所求圆方程为， 圆即的圆心为，半径为， 由题意得，所以，解得， 所以 所以所求圆的方程为． 故答案为：． ( 题型0 5 )相交圆的公共弦方程 13．已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 14．已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 15．（多选）记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．当时，圆与圆的相交弦方程为 【答案】BD 【详解】对A：易知，，所以，故A错误； 对B：因为坐标原点在圆上，所以，所以圆：，由，所以点在圆上，故B正确； 对C：若圆与圆内切，则，故C错误； 对D：当时，圆：，圆：，两圆相交， 所以圆与圆的相交弦方程为， 化简得，故D正确. ( 题型0 6 )两圆的公共弦长 16．已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________. 【答案】 【分析】先求出公共弦的方程，求出点到直线的距离，结合勾股定理可得答案. 【详解】两圆的方程相减可得：， 如图，圆心到直线的距离为， 所以. 故答案为：      17．（多选）已知圆，圆则（    ） A．当时，圆与内含 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．若圆与相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】BD 【分析】过圆心距判断两圆位置关系分析A；利用点的对称变换求圆的对称方程分析B；根据公切线条数对应的位置关系求解分析C；结合圆的弦长性质与直线过圆心条件求，验证相交关系分析D. 【详解】由题意得：圆，所以圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A，当时，，所以圆与圆外离，故A错误； 对于B，圆心关于直线的对称点为，半径保持不变，所以对称的圆的方程为，故B正确； 对于C，若圆与圆恰有三条公切线，所以圆与圆外切，所以，解得，故C错误； 对于D，由圆，圆， 两方程相减得公共弦所在直线方程为， 当公共弦长最大时，公共弦为圆的直径（长度为2）， 所以直线过圆心，所以，解得， 所以，所以， 所以两圆相交，公共弦存在，故公共弦长的最大值为2，故D正确. 故选：BD. 18．已知圆与圆的公共弦所在的直线为． (1)求，的值； (2)若与交于，两点，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）两圆方程作差得到公共弦方程，从而得到方程组，解得即可； （2）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出公共弦长，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）圆与圆, 两圆方程作差可得，即， 因为圆与圆的公共弦所在的直线为， 所以，解得，所以，. 经检验当，时，两圆相交，符合题意. （2）圆即，所以圆心为，半径， 则到直线的距离，所以； 由（1）可得圆，即， 所以圆心为，半径， 所以到直线的距离， 所以. ( 题型0 7 )圆的公切线条数 19．已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 20．已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 【答案】 【详解】由圆，得圆， 所以圆心，半径， 由，可得，半径为， 所以， 因为圆与圆恰有3条公切线，所以圆与圆相外切， 所以，解得. 21．（多选）已知直线，圆，点为直线上的动点，点为圆上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若为，则直线斜率的取值范围为 B．面积的最小值为 C．存在点，使得 D．若点与点到某直线的距离分别为1和，当运动时，这样的直线有4条 【答案】CD 【分析】借助点到直线距离公式计算可得A；借助切线性质及切线长定理计算可得B；由切线长定理可得，则可借助、的关系得到最小值，即可得范围，即可得C；利用圆与圆的位置关系与公切线条数的关系计算可得D. 【详解】由可得，故、； 对A：由为，则与圆相切或相交， 故有，解得，故A错误； 对B：，， 则， 故面积的最小值为，故B错误； 对C：由切线长定理可得，又, 故， 又，故，当且仅当， 即时，等号成立，故存在点，使得，故C正确； 对D：由，故直线与圆相切， 则直线为圆与以为圆心，半径为的圆的公切线， 由，故以为圆心，半径为的圆与圆外离， 故两圆恒有条公切线，即这样的直线有4条，故D正确. 故选：CD. ( 题型0 8 )圆的公切线方程及公切线长 22．满足的实数对共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】先将已知等式转化为点与点到直线：的距离均为1，以为圆心作半径的圆，以为圆心作半径的圆，判断两圆的位置关系，作出切线，从而可得解. 【详解】由题知，，即点与点到直线：的距离均为1. 以为圆心作半径的圆，以为圆心作半径的圆， 则，即两圆外切，共有三条公切线（如图）， 因为，的中点为， 所以有一条切线的斜率为，且过点，其方程为，即，经过原点， 另外两条不过原点. 又因为：不过原点（过原点的切线不符合）， 所以有2组这样的实数对（另外两条切线符合），使得点与点到直线：的距离均为1. 故选：B. 23．已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. (1)求圆的标准方程； (2)求圆和圆的公切线的方程； (3)过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. 【答案】(1) (2)或或或 (3) 设过点的直线的方程为，整理为，     点到直线的距离为，点到直线的距离为， 可得.     又由，， 所以.    【分析】（1）根据题意可得圆的圆心坐标为，即可写出圆的标准方程； （2）先判断圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，易得轴和轴与圆和圆均相切，再根据直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线，求另外两条公切线； （3）设过点的直线的方程为，利用几何法求弦长可证. 【详解】（1）由圆与两条坐标轴均相切，圆的圆心在第二象限，半径为1， 可得圆的圆心坐标为， 故圆的标准方程为. （2）由，，有， 又由，可得圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，     又由，，圆和圆的半径分别为1，2， 在平面直角坐标系中画出圆和圆的图象，可知轴和轴与圆和圆均相切，    直线的方程为，整理为， 可得直线与轴的交点为. 设直线的倾斜角为，有，有， 由于直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线， 可得圆和圆的另一条公切线的斜率为， 可得另一条公切线的方程为，整理为， 轴与直线的交点为，可知点在圆和圆的另一条公切线上， 设另一条公切线的方程为，整理为， 有，解得.     可得另一条公切线方程为，整理为， 故圆和圆的公切线的方程为或或或. （3）略 24．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可得出圆的方程； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时的条件，再结合求出点的坐标. 【详解】（1）由题意，设，关于直线对称． ，且， ，圆心为，半径为，圆的方程． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 两圆相交，有两条公切线． 又公切线的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 当四边形面积最小时，的坐标为. 1．（多选）已知点P为圆上的一个点，点，，则（    ） A．过点A一定存在两条直线与圆C相切 B．存在实数a，使得 C．存在实数a，使得 D．存在实数a，使得 【答案】BC 【分析】分别确定各选项中P点的轨迹（都是圆），利用圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆心C在直线上， 选项A，当时，，即在圆内，过点A不存在圆C切线，A错误； 选项B，，则在以为圆心，2为半径的圆上， 当时，，， 因此圆B与圆C相交，即圆C上有点P，满足，B正确； 选项C，，则P在以为直径的圆上，圆心为，半径为， 取，即，， 显然，即圆M与圆C相交， 所以圆C上有点P，满足，C正确； 选项D，，设，则， 化简得，即在以为圆心，2为半径的圆上， 由于， 从而取任意实数，都有圆N与圆C外离，所以不存在P，满足，D错误. 2．一个半径为的圆，周围环绕着12个半径为1的圆，如图所示，这12个圆都与中心圆外切，且相邻的两个圆也互相外切．此时可表示为的形式，其中均为整数．问是多少？（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 E．11 【答案】C 【分析】由圆与圆相切的性质以及两角差的正弦公式求解，再由可表示为的形式即可求解. 【详解】如图所示，设半径为的圆的圆心为，在12个小圆中任取两个小圆，两个小圆的切点为， 其中一个小圆的圆心为，连接，，，由圆与圆相切可得， 所以，，， 所以， 所以解得，所以. 3．已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 4．已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 5．已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】先设直线上点，由切线长公式写出以为圆心的圆半径平方；两圆有公共点等价于，化简发现恒成立，只需保证对任意成立，整理得到含根号的不等式，分与讨论，平方后转化为开口向上的二次函数在恒非负，由判别式求得，即最小值为． 【详解】设，记， 点P到圆O的切线长为，则， 圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于， 因为， 所以. 又，所以，所以恒成立， 由，得，整理得， 即①对任意实数成立， 当时，①式成立； 当时，①式两边平方，得， 即，也即②， 若，则②式成立，且圆心到直线的距离为，满足题意； 若，取，此时，②式不成立， 综上所述，实数的最小值为． 6．已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据，得出动点的轨迹方程； （2）（i）两圆作差，得出公共弦所在直线的方程，求出圆心和半径，从而得出圆的方程； （ii）先假设存在这样的点，根据条件得，通过根与系数的关系，求出的值. 【详解】（1）圆，圆心，半径， 对圆外一点，点在圆上，则：， 由题意，即，所以. 设，则， 整理得，. （2）（i）点的轨迹圆方程：，即① 圆，即② ①②得公共弦所在直线方程：， 点的轨迹圆圆心、圆圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心就是直线与的交点， 联立，解得. 将代入， 得，即，所以， 所以圆的方程为. （ii）假设存在点，满足，设，， 则，将代入， 得，即.    联立，得，. 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入式，得， 即，因为对任意，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件. 7．已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为由圆与圆相交，求参数范围即可. 【详解】以为圆心，7为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为， 若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而， 所以，即，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 8．已知圆，则圆C的半径为________；若M是圆C上任意一点，且点满足是钝角，则正数的取值范围是________． 【答案】 1 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解半径；由是钝角得出M点在以为直径的圆内，列出不等式求解即可． 【详解】圆化为， 所以圆的半径为1，圆心； 是钝角，表示M点在以为直径的圆内， 设以为直径的圆为圆O，则两圆内含，圆C在内部， 两圆心距离，圆C的半径为1，圆半径为， 由． 9．（多选）已知曲线，圆，曲线由，，组成，则（    ） A．当时，与圆O无公共点 B．当与圆O有6个公共点时， C．不存在过原点的直线与无公共点 D．上仅有4个点到直线的距离为 【答案】ABC 【分析】根据圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系即可求出. 【详解】依题意可知为圆， 为圆，为圆， 这3个圆的半径均为2，且． 当时，，则圆O与这3个圆都外离，所以与圆O无公共点，A正确． 当与圆O有6个公共点时，圆O与这3个圆都相交，则解得，B正确． 设过原点的直线为直线，若直线曲线，，都相交， 即，无解，不存在过原点的直线与无公共点，C正确． 因为到直线的距离为且与其平行的直线为：，：， 且到直线的距离为，到直线的距离为， 到直线的距离为，到直线的距离为， 到直线的距离为，到直线的距离为， 所以直线，与共有6个公共点，即上有6个点到直线的距离为，D错误． 10．已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据选项分析得两圆半径相等，四边形为菱形，相交弦与圆心连线垂直平分，由面积公式和几何关系解得圆心距只能为2或，计算各选项圆心到原点的距离，只有D不满足，故D不可能. 【详解】所有选项中的半径均为2，已知半径也为 2，因此四边形 是边长为2的菱形，如图所示，四边形 面积为， 其中，设， 代入 得方程解得 或 . 选项 A：圆心 ，，符合条件； 选项 B：圆心 ，，符合条件； 选项 C：圆心 ，，符合条件； 选项 D：圆心 ，，不符合条件，因此，的方程不可能是D. 1．（多选）对于曲线：，下列说法中正确的是（    ） A．曲线过原点 B．曲线关于轴对称 C．曲线上点的纵坐标的取值范围是 D．若点为曲线上一动点，，，则的面积最大值为6 【答案】BC 【分析】检验是否在曲线上后可判断A的正误，将方程中的换成后观察方程的变化情况后可判断B的正误，根据方程的形式可得，故可判断C的正误，根据C选项，可判断D的正误. 【详解】记． A，由于，于是点不在曲线C上，故A错误； B，由于，于是曲线C关于x轴对称，故B正确； C，根据题意，， 于是，等号当时取得， 结合连续性可知曲线C上的点的纵坐标的取值范围是，故C正确； D，由C可知， 从而点P到的距离的最大值为2，， 从而面积取得最大值为，故D错误． 2．已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 3．已知线段的长为4，所有满足（为常数，）的点始终在以为圆心1为半径的圆外，则的范围是___________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，；根据得到点的轨迹方程，结合点始终在以为圆心1为半径的圆外，得到的轨迹方程与圆的位置关系，将位置关系转化为关于的不等式，从而得到的范围. 【详解】以所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则； 由线段的长为4，可设，. 则，. ，得. ，； 点在以为圆心，为半径的圆上. 又点始终在以为圆心， 为半径的圆外， 圆和圆外离或者内含. 或； 或，解得或； ，或， 即的范围是. 4．已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 5．（多选）记圆，圆，点，已知圆和圆相内切，且圆的半径大于圆的半径，是圆上两点，直线与圆相切，设与圆的另一个交点分别为，则（    ） A． B．​ C．当且仅当 D． 【答案】BCD 【分析】对A直接由两圆相内切得，所以A错误；对B由圆的弦长公式及三角形的中位线定理可得；对D由圆心角与圆周角的关系可得；对C由正弦定理并结合BD选项解析可得. 【详解】对于A，圆，圆心，半径， 整理圆， 圆心，半径. 两圆相内切且半径大于半径，圆心距，得， 因此，解得，故选项A 错误； 对于B，由A选项分析知时，圆方程为，点在圆上， 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 则圆到直线的距离，所以， 则圆到直线的距离，， 所以，即为的中点， 同理得为的中点，得，所以. 若直线的斜率不存在，则，点仍为的中点， 同理得为的中点，得，所以. 综上所述，，所以B正确； 对于D，根据圆周角与圆心角的关系，且（当直线过圆心时，）， 所以，故D正确； 对于C，当时，由B选项解析知， 在中，由正弦定理得， 得或， 由D选项解析可知，所以. 当时，在中由正弦定理|， 得，故，故C正确. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $