2.3.4 圆与圆的位置关系（题型专练）数学人教B版选择性必修第一册

2.3.4 圆与圆的位置关系 题型一 判断圆与圆的位置关系 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 题型二 求两圆的交点坐标 1．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 2．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 题型三 由圆的位置关系求参数（范围） 1．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高二下·河南周口·期末）已知圆C：，若圆心在圆O：上且半径为1的圆与圆C相交于M，N两点，则最大时，=（   ） A．4 B． C． D．2 题型四 由圆与圆位置关系求圆的方程 1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）写出一个半径为，且与圆：及直线：都相切的圆的方程 只需写出符合条件的一个方程即可 2．（2025高三·全国·专题练习）已知圆的方程为，试写出一个圆心在原点且与圆相切的圆的方程为 ．（写出一个即可，若写出多个答案，以第一个答案判分） 题型五 求相交圆的公共弦方程 1．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 2．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ． 3．（24-25高三下·云南·阶段练习）直线过圆与圆的公共弦中点，且与两坐标轴围成面积为2的三角形，则的方程为 . 题型六 两圆公共弦长的计算与应用 1．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 2．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 题型七 确定圆的公切线条数 1．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两点到直线的距离分别是2与3，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型八 求圆的公切线方程 1．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 2．（2024·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程 ． 题型九 圆公切线长的计算问题 1．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 题型十 直线与圆、圆与圆位置关系的最值或范围问题 1．（2025·湖北·三模）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 2．（多选）（2025·重庆·二模）已知直线，圆，下列结论正确的是（   ） A．直线与圆总有公共点 B．点到直线的距离的最大值为 C．若圆与圆有交点，则的取值范围是 D．当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则实数的取值范围为 3．（多选）（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知与，以下结论正确的有（    ） A．与有且仅有2条公切线 B．若直线与分别切于相异的两点，则 C．若分别是与上的动点，则的最大值为10 D．与的一条公切线斜率为 题型一 圆与圆位置关系的对称问题 1．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点关于直线的对称点在圆上，则 . 题型二 根据圆公切线的条数求参数范围 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三 根据两圆的公共弦长求参数问题 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 2．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 题型四 已知公切线求参数或范围 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 题型五 圆与圆的轨迹问题 1．（2025高二上·全国·专题练习）已知P为圆上一点，则点到P点的距离的最大值为（   ） A．4 B．8 C． D． 2．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知圆． (1)过直线上点P作圆的两条切线，若两条切线的夹角是，求点P的坐标；注：两条直线相交所形成的小于等于的正角称为这两条直线的夹角 (2)点，，动点P始终满足，试判断动点P的轨迹与圆的位置关系； 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.当点运动时，直线AB经过定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 4．（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 5．（多选）（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知圆与直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，，则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦直线方程为 D．直线过定点 6．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知圆，直线． (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)求圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值； (3)圆心为的圆与圆C相切，求圆的方程． 7．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 8．（24-25高二上·四川巴中·期中）已知圆，直线与圆交于两点. (1)求； (2)点，过点向圆引切线，切点为，求直线的方程； (3)设过点的直线交圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明：直线过定点. 9．（24-25高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆和圆． (1)求圆O与圆C的外公切线的长； (2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 10．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 11．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 12．（24-25高二上·四川泸州·期末）已知直线过定点，圆的方程为． (1)求的坐标，并判断与圆的位置关系； (2)已知，圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． (3)已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．若为线段，求点集所表示的图形面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.4 圆与圆的位置关系 题型一 判断圆与圆的位置关系 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 2．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案. 【详解】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 题型二 求两圆的交点坐标 1．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案. 【详解】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出已知两圆的交点，求线段的中垂线，联立待求圆圆心所在直线，即可得出圆心坐标. 【详解】设圆与圆的交点为A，B 联立两圆方程，得，解得，或． 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得的垂直平分线方程为 ，即， 联立与，得解得， 即圆心坐标为． 故选：D． 题型三 由圆的位置关系求参数（范围） 1．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先判断圆与圆外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可. 【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆外切， 因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为. 故选：A. 2．（24-25高二下·河南周口·期末）已知圆C：，若圆心在圆O：上且半径为1的圆与圆C相交于M，N两点，则最大时，=（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据已知判断圆与圆C可能位置情况，数形结合判断最大对应长度，在应用几何法求即可. 【详解】由题设，则，故， 由圆半径为1，易知圆与圆C可能内切、相交、外切，三种情况， 要使最大，只需弦最长，如下图， 最长是圆的直径，即时，最大，此时. 故选：B 题型四 由圆与圆位置关系求圆的方程 1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）写出一个半径为，且与圆：及直线：都相切的圆的方程 只需写出符合条件的一个方程即可 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意列式计算即可. 【详解】设圆心，由已知圆与直线：相切，圆与圆：相切， 可得，解得或或， 圆的方程为或或．（写其中一个即可） 故答案为：（答案不唯一） 2．（2025高三·全国·专题练习）已知圆的方程为，试写出一个圆心在原点且与圆相切的圆的方程为 ．（写出一个即可，若写出多个答案，以第一个答案判分） 【答案】（答案不唯一） 【分析】计算圆心距，分析两圆外切和内切时圆的半径可得结果. 【详解】由题意得，，圆的半径为1， ∴，即两圆圆心距为5. 设圆的半径为， 当两圆外切时，，，圆方程为， 当两圆内切时，，，圆方程为， ∴圆心在原点且与圆相切的圆的方程为或. 故答案为：（答案不唯一）. 题型五 求相交圆的公共弦方程 1．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【详解】由题设可得的方程为：， 整理得：， 故答案为： 2．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】因为两点是两圆公共的交点，即满足两圆方程，联立求解即可求得直线方程. 【详解】由题意可知两点均在两个圆上，即两点均满足两圆的方程， 也即是两个圆方程共同的解，故联立两个圆方程，得 ，解得或， 故或， 两种情况下公共弦所在的直线方程均为. 故答案为：. 3．（24-25高三下·云南·阶段练习）直线过圆与圆的公共弦中点，且与两坐标轴围成面积为2的三角形，则的方程为 . 【答案】或 【分析】由解出公共弦的交点，求出中点坐标，设直线的方程为，得解出即可. 【详解】由，又或， 设公共弦的中点为，所以，即中点为， 设直线的方程为， 则或， 代入化简整理有： 或， 故答案为：或 题型六 两圆公共弦长的计算与应用 1．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长. 【详解】    如图，由圆与圆相减， 整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：， 由圆的圆心到直线的距离为， 由弦长公式，可得两圆的公共弦长为. 故答案为：. 2．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 【答案】9 【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积； 法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积. 【详解】由已知，圆，圆， 圆心，半径，圆心，半径， 法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9； 法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为： 到距离为，所以，即， 又， 所以，四边形的面积. 故答案为：9. 题型七 确定圆的公切线条数 1．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 2．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两点到直线的距离分别是2与3，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】把距离转化为两个圆，再结合圆与圆相外切，最后得出切线个数即可. 【详解】 如图，分别以为圆心，以2，3为半径画圆，即为两圆的公切线， 因为， 所以两圆外切，两圆有三条公切线，即满足条件的直线共有3条， 故选：C. 3．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由圆的方程表示出圆心与半径，求得圆心距以及半径的和差，并进行比较，可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的方程可化为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距， 因为，，， 所以两个圆的位置关系是相交，公切线共有2条. 故选：B. 题型八 求圆的公切线方程 1．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 2．（2024·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据圆的方程判断两圆位置关系，即外切，进而求切点，结合已知求公切线方程，即可得答案. 【详解】由题设，圆心、，则，即两圆外切， 设切点为，，得，所以， 又过与垂直的直线为两圆的内公切线，斜率为， 该公切线方程为，整理得． 设两圆的一条外公切线与两圆的切点分别为， 连接，作，垂足为（如图）， 则， 所以， 所以直线，即直线的斜率为， 设直线为，则， 所以，故为． 由图易知，另一条外公切线的方程为． 故两圆的公切线方程为或或（填其中之一即可）． 故答案为：（答案不唯一） 题型九 圆公切线长的计算问题 1．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 2．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 题型十 直线与圆、圆与圆位置关系的最值或范围问题 1．（2025·湖北·三模）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】A 【分析】先求出两直线所过的定点，进而确定交点的位置，再结合圆的性质求出的最值. 【详解】对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 因为，所以，已知，，则中点坐标为. ，所以半径. 则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为， 已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为. 的最大值为圆心加上两圆半径，即. 由于轨迹不包含点，故不存在最小值. 故选：A． 2．（多选）（2025·重庆·二模）已知直线，圆，下列结论正确的是（   ） A．直线与圆总有公共点 B．点到直线的距离的最大值为 C．若圆与圆有交点，则的取值范围是 D．当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则实数的取值范围为 【答案】BC 【分析】对于A，由圆心到直线的距离公式与半径关系即可判断，对于B，求直线的定点，则圆心到直线的最大距离为圆心到定点的距离即可判断，对于C，根据圆心距与两圆半径的关系即可求解，对于D，当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，可知直线和圆相离或相切，即由圆心到直线的距离公式与半径关系即可求解. 【详解】对于A：圆 的圆心到直线的距离为 ， 故当时，直线与圆没有公共点，故A错误； 对于B：直线恒过定点， 则圆心到直线的最大值为，故B正确； 对于C：圆的圆心为，半径为， 圆，圆心，半径为， ，由圆与圆有交点， 所以，即，所以， 即r的取值范围是，故C正确； 对于D：当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则直线和圆相离或相切， 所以圆心到直线的距离为， 解得，所以实数k的取值范围为，故D错误. 故 选：BC. 3．（多选）（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知与，以下结论正确的有（    ） A．与有且仅有2条公切线 B．若直线与分别切于相异的两点，则 C．若分别是与上的动点，则的最大值为10 D．与的一条公切线斜率为 【答案】BCD 【分析】分别求两圆的圆心和半径，对于C：根据圆的性质分析求解；对于A：根据两圆位置关系分析求解；对于BD：根据公切线的性质结合图形分析求解. 【详解】由题意可知：的圆心，半径，的圆心，半径， 对于选项C：因为， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以的最大值为10，故C正确； 对于选项A：因为，则与外切， 所以与有且仅有3条公切线，故A错误； 对于选项B、D：若直线与分别切于相异的两点，显然直线的斜率存在且不为0， 根据对称性，不妨设直线的与x轴交点为，斜率为，如图所示， 连接，过作，垂足为，    可知四边形为矩形，且， 在中，可得， 所以，直线的斜率，故B、D正确； 故选：BCD. 题型一 圆与圆位置关系的对称问题 1．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆关于原点的对称圆圆的方程，分析可知，圆与圆无公共点，可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围. 【详解】圆：关于原点的对称圆为：， 则， 由已知得与无公共点，所以或， 所以或，解得：或， 又因为，所以，故C正确. 故选:C. 2．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点关于直线的对称点在圆上，则 . 【答案】/ 【分析】分析出点在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而联立与，求出，根据的中点在上得到方程，求出答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 显然在上， 由对称性可知，，故点在以原点为圆心，2为半径的圆上， 即， 联立与得， 故点，显然的中点在上， 即，解得. 故答案为：. 题型二 根据圆公切线的条数求参数范围 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 2．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆恰有两条公切线时两圆相交，即圆心距满足，列不等式即可求出的取值范围． 【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则 ， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 3．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设两圆相离，圆心且半径，圆心且半径，利用求参数范围. 【详解】由两圆的公切线恰有四条，即两圆相离， 对于，圆心，半径， 对于，圆心，半径， 所以，则，即或. 故选：D 题型三 根据两圆的公共弦长求参数问题 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 2．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）设圆心，其中，根据圆与圆的位置关系可得出，可求出的值，即可得出点的坐标，同理可得出点的坐标； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用几何法求出直线截三个圆所得的弦长，可得出关于的方程，解出的值，即可求出的值. 【详解】（1）圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为，则，解得， 即点，同理可得点. （2）若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为，所以，直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，.    题型四 已知公切线求参数或范围 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D 题型五 圆与圆的轨迹问题 1．（2025高二上·全国·专题练习）已知P为圆上一点，则点到P点的距离的最大值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】由点坐标知道点的轨迹是以原点为圆心的单位圆圆周，本题求两定圆上两动点距离的最大值，利用几何关系求解. 【详解】由知圆心为，半径为， 又，所以Q点的轨迹方程为， 则圆心为，半径， 故，所以．故选：B． 2．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知圆． (1)过直线上点P作圆的两条切线，若两条切线的夹角是，求点P的坐标；注：两条直线相交所形成的小于等于的正角称为这两条直线的夹角 (2)点，，动点P始终满足，试判断动点P的轨迹与圆的位置关系； 【答案】(1) (2)两圆相离 【分析】（1）设，根据两条切线的夹角是，得到，列出方程，求得，进而得到点的坐标； （2）设点，结合，求得点P的轨迹，根据圆与圆的位置关系的判断方法，即可得到两圆的位置关系. 【详解】（1）解：由点在直线上，可设， 又由圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线的距离为，可得，则直线与圆相离， 因为两条切线的夹角是，所以， 则，即，解得， 所以点的坐标为. （2）解：设，且，， 因为，可得，化简得， 可得圆心距，此时， 所以圆与圆相离. 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，C正确. 故选：C 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.当点运动时，直线AB经过定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，在以PC为直径的圆上，求出圆的方程，与已知圆相减得直线AB的方程，从而可求定点. 【详解】圆，则圆心，半径， 点为直线上一动点，设， 由题意知在以PC为直径的圆上， 且圆心为，半径为， 则此圆的方程为， 化简得：， 与圆相减，得直线AB的方程：， 即，由，解得， 所以直线过定点. 故选：A. 3．（多选）（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，进而判断圆的位置关系确定切线条数，两圆方程作差求相交弦方程，应用几何法求相交弦长，垂直关系求斜率并应用点斜式求直线方程. 【详解】由，则圆心，半径， 由，则圆心，半径， 所以，即，故两圆相交， 所以圆与圆有两条公切线，A对； 两圆作差有，整理得，B对； 由到的距离，则，C错； 由B知，则线段的垂直平分线的斜率， 故线段的垂直平分线的方程为，D对. 故选：ABD 4．（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【详解】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 5．（多选）（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知圆与直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，，则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦直线方程为 D．直线过定点 【答案】ACD 【分析】A选项，根据面积公式得到当时四边形的面积最小，然后求面积；B选项，利用等面积的思路求；C选项，根据，得到为以为直径的圆上的点，然后根据圆的方程求弦所在直线的方程；D选项，设，借助圆的方程得到直线的方程为，然后求定点. 【详解】 由题意得四边形PAMB的面积，， 因为，，所以当长度最小时，四边形的面积最小， 最小为点到直线的距离，所以， 所以四边形的面积最小值为，故A正确； 由圆的性质得， 由A选项可得，最短时，四边形的面积最小，， 所以，故B错； 由题意得，，所以为以为直径的圆上的点， 所以直线为两圆公共弦所在的直线， ，直线：，即， 联立得，所以最短时，，中点坐标为， 此时以为直径的圆的方程为， 联立得，所以弦所在直线的方程为，故C正确； 设，则，即， 以为直径的圆的方程为， 联立得， 所以直线的方程为， 将代入得， 令，解得， 所以直线过定点，故D正确. 故选：ACD. 6．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知圆，直线． (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)求圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值； (3)圆心为的圆与圆C相切，求圆的方程． 【答案】(1)相离 (2)最大值为，最小值为 (3)或 【分析】(1)判断圆心到直线的距离与半径的大小即可； (2)由(1)可知直线与圆相离，此时圆上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，利用公式即可求解； (3)圆与圆相切，分为内切和外切两种情况去求出半径，再写出圆的标准方程即可. 【详解】（1）圆可化为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离； （2）由(1)可知圆心到直线的距离， 圆上的点到直线距离的最大值为，最小值为； （3） 设圆的半径为， 两圆相切，且， 当圆与圆外切时，，当圆与圆内切时，， 圆心为， 圆的方程为或. 7．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【分析】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 8．（24-25高二上·四川巴中·期中）已知圆，直线与圆交于两点. (1)求； (2)点，过点向圆引切线，切点为，求直线的方程； (3)设过点的直线交圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定点为 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可求得弦长； （2）根据圆外点作圆的两条切线，切点所在直线即为两圆相交弦所在直线即可求解； （3）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合根与系数的关系，表示出直线SN的方程，从而确定定点. 【详解】（1）易知圆心，半径，圆心到直线的距离， 所以弦长. （2）根据题意，点在圆外，则过点向圆有两条切线，切点分别为, 则,所以在以为直径的圆上， 则圆的圆心为，半径, 所以圆的方程为，则圆与圆相交弦即为直线， 联立，得， 所以直线的方程为. （3）当直线的斜率不存在，即轴时，直线的方程为，代入圆方程得：或， 设，则直线方程为， 代入直线得：，故， 因为，所以是的中点，得， 所以，所以直线的方程为：， 即，直线过点. 当直线的斜率存在时，如图所示： 设直线方程为：，即， 设，联立得：， ，解得或， 由韦达定理得： ①，， 所以③，④，且⑤， 将代入直线得：，所以， 是的中点，得，所以， 所以直线的方程为：， 将点的坐标代入并整理，化简得：， 将①③④⑤代入上式得：，显然成立. 综上可得：直线过定点. 9．（24-25高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆和圆． (1)求圆O与圆C的外公切线的长； (2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求解两圆的半径和圆心，即可根据外公切线的性质，结合勾股定理求解， （2）①根据两点距离公式，即可代入化简求解，②根据相切求解经过切点的圆，即可两圆方程相减得相交弦方程，即可根据点到直线的距离公式，结合对勾函数的性质求解. 【详解】（1）圆心，半径为, 圆心，半径为， 故， 所以外公切线长为． （2）①设点，则满足，得， 所以 ， 而，得，所以． ②设点，以为直径的圆方程为， 即， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为． 圆心到直线AB的距离为， 又因为点在圆上，即，， 所以， 设，且， 由对勾函数在单调递减，在单调递增， 得的最小值为，， , 最大值为， 所以的取值范围为． 10．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，曲线是以为圆心，2为半径的圆 (2)（i）证明见解析，；（ii）存在， 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得轨迹的方程；（2）（i）先判断出点、在以为直径的圆上，然后根据两个圆的位置关系来证得结论成立；（ii）求得的面积的表达式，进而求得的面积最大值以及此时点的坐标. 【详解】（1）设，由题意得，化简整理得①， 故曲线是以为圆心，2为半径的圆； （2）如图： （i）证明：因为，，所以点、在以为直径的圆上， 可求得圆的方程为②， 所以直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 由，整理得，即直线的方程为， 故直线恒过定点； （ii）当时，点、重合， 当时，因为，点、在直线上，所以， 综上，点在以为直径的圆上，圆方程为， 因为，又， 所以当时，的面积最大，此时， 又由，，三点共线，得，即，， 所以存在点，使的面积最大，此时点坐标为. 11．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要先求出圆心坐标和半径.可通过设圆心坐标，利用圆上点到圆心距离等于半径列方程求解. （2）判断两圆的位置关系，求出两圆的公切线，结合图形，得到满足条件的切线斜率. 【详解】（1）设圆的圆心坐标为，半径为. 因为圆过点和，根据圆的标准方程. 对于点有，即 ①. 对于点有，即 ②. 将②代入①可得：. 展开得. 移项化简得，即，解得. 把代入②得. 所以圆的标准方程为. （2）如图所示，两圆外离，公切线有四条，由于第二象限内的点在圆上显然满足题意的是.下面求公切线斜率.显然斜率存在，设切线. 圆心到切线（即）的距离（∗）， 圆心到切线（即）的距离（∗∗）， 两个式子比，得到由 .化简得到， 则或者.即或者. 当时，代入方程（∗），得到，两边平方整理得，解得或. 当时，代入方程（∗），同样得到，解得. 由于且由图知道，因此，. 故满足题意的的斜率为.    12．（24-25高二上·四川泸州·期末）已知直线过定点，圆的方程为． (1)求的坐标，并判断与圆的位置关系； (2)已知，圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． (3)已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．若为线段，求点集所表示的图形面积． 【答案】(1)点的坐标为，直线与圆相交 (2)不存在 (3) 【分析】（1）将直线的方程变形，可求出点的坐标，然后判断点与圆的位置关系，即可得出直线与圆的位置关系； （2）设点，根据求出点的轨迹方程，可知点在圆上，判断圆和圆的位置关系，即可得出结论； （3）确定点集所对应的平面区域，数形结合可求出点集对应的平面区域的面积. 【详解】（1）将直线变形为， 令，解得：，所以点的坐标为， 将圆的方程转化为标准方程， 则圆心，半径，点到圆心的距离， 因为，即点到圆心的距离小于圆的半径， 所以点在圆内部，直线与圆相交． （2）设点，已知、， 由，可得：， 整理得，即，即， 所以，点在圆上，且圆心，半径为， 圆的方程为，， 所以，，所以，两圆外离， 所以，圆上不存在点，使得成立. （3）已知、，则线段的方程为， 点集所表示的图形是由两条平行于且与距离为的线段， 以及以、为圆心，半径为的两个半圆所围成的图形，两条平行线段的长度为， 两个半圆可拼成一个半径为的圆， 所以该图形的面积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$