2.3 圆与圆的位置关系（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

第二章 圆与方程 2.3 圆与圆的位置关系 课标要点 1.  能根据两个圆的圆心距、两圆半径，判断圆与圆的五种位置关系，理解几何判定依据。 2.会联立两圆方程，通过方程组解的个数，从代数角度判断两圆位置关系，体会数形结合思想。 3.能利用两圆位置关系解决公共弦、公切线、参数取值等简单综合问题，提升解析几何运算能力。 学习重难点 重点： 1. 掌握圆心距与两圆半径的数量关系，判定外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系。 2.会求两圆公共弦所在直线方程，以及公共弦长。 3.能根据两圆位置关系，求解参数的取值范围。 难点： 1. 区分代数法与几何法的优劣，理解联立方程无法区分内切与内含、外切与外离的局限。 2.处理含参数圆的动态问题，动态分析两圆位置变化，准确写出参数范围，漏掉临界值。 3.公共弦、公切线相关综合计算，容易出现坐标、距离公式计算失误，忽略题目隐含限制条件。 知识点 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2．圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 特别提醒 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 随学随练 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 2．（24-25高三上·湖南·阶段检测）圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 3．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 知识点 两圆公共弦长（重点） 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 特别提醒 求解两圆公共弦长优先把两圆一般方程直接相减得到公共弦直线方程，该方法只适用于两圆相交，若两圆相切、相离，相减得到的直线为公切线或根轴，不存在公共弦，做题务必先判断两圆相交。算出弦所在直线后，选取其中一个圆，求出该圆圆心到公共弦直线的距离，再结合垂径定理，利用半径、圆心距、半弦长勾股关系计算弦长，不要联立方程组求交点再算距离，这种方法计算量大极易算错。解题时注意方程相减前要把两圆二次项系数化为一致，同时答题不要遗漏检验两圆相交这一前提条件，避免出现无意义结果。 随学随练 1．（26-27高二上·河南·阶段检测）圆与圆的公共弦长为_________． 2．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为109 知识点 两圆公切线的条数（重点） 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 特别提醒 判断两圆公切线条数，先要依据圆心距与两圆半径大小关系区分五种位置。两圆外离存在四条公切线，外切有三条公切线，相交只有两条公切线，内切仅有一条公切线，内含没有公切线。做题一定要先分清两圆是等圆还是不等圆，等圆内含平移为相交时无内公切线，避免直接死记结论。代数法求公切线方程容易产生增根，求出直线之后务必代入圆心距离进行检验。注意区分外公切线与内公切线，涉及参数题型，不能忽略外切、内切两种临界情况，防止漏解，同时看清题目问的是公切线总条数，还是指定内、外公切线。 随学随练 1．（25-26高二上·山东威海·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 2．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 3．（26-27高二上·陕西渭南·开学考试）（多选）已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．直线必过点 B．直线与圆必相交 C．圆：与圆有3条公切线 D．当时，直线被圆截得的弦长为 拓展 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 活学活用 1．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 3．（2026·吉林通化·模拟预测）（多选）已知圆与圆，则下列说法正确的有（   ） A．若，则两圆外离 B．若两圆相交，则 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则直线为两圆的公切线 拓展 圆中范围与最值问题 圆中的范围与最值问题主要分为点与圆、直线与圆、圆与圆三大类，核心解题思想是数形结合，优先利用几何性质求解，尽量避免复杂代数运算。 第一类是定点和圆上动点之间的距离最值。先判断定点位置，定点在圆外或者圆上时，动点到定点的最大距离等于圆心到定点距离加上半径，最小距离等于圆心到定点距离减去半径；定点在圆内部，最大距离同样是圆心定点距离加半径，最小距离为半径减去圆心定点距离。解题一定要分清定点在圆内、圆上、圆外三种情况，不要直接套用公式忽略位置判断。 第二类是圆上动点到定直线的距离最值。先计算圆心到这条定直线的距离，圆上点到直线距离最大值等于圆心到直线距离加上半径，最小值等于圆心到直线距离减去半径。如果直线和圆相交，最小值就是零，此时圆上存在点落在直线上，这是高频易错点。 第三类圆与圆背景下的最值，多为两圆上各取一个动点，求两点距离的最值。先算出两圆圆心距，两点之间最大距离等于圆心距加上两个半径之和，最小距离要看两圆位置，两圆外离、外切时最小值是圆心距减去两半径之和；相交时最小值为零；内含、内切时最小值是大圆半径减小圆半径再减去圆心距。 除距离之外，还常考斜率、角度、面积类最值。斜率最值可以理解成圆上动点和定点连线斜率，转化为直线和圆相切临界状态求解；面积最值大多依托三角形，把底或者半径固定，转化求高的最值。代数方法可以设圆的参数方程，将变量转化为三角函数求值域，但计算量偏大，适合选择填空。 做题通用步骤，优先画图分析几何关系，找准临界相切、共线位置，优先几何法直接得出结果；只有几何思路不好处理时，再使用参数方程或者函数转化求解。同时注意看清题目条件，区分动点是圆上还是圆内，严格关注等号能否成立，避开临界值漏写错写的问题。 活学活用 1．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高一下·重庆·期末）（多选）已知点是圆上一动点，点，点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．点到直线的距离的最小值为 C．面积的最大值为 D．若点满足，则的最大值为 3．（2026·安徽滁州·二模）（多选）已知两条直线和交于点，则（   ） A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 题型 判断圆与圆的位置关系 解题贴士 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； ▌例1（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）（多选）已知圆的半径为2，则（    ） A． B．点在圆的内部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， ▌例2（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆的方程为 B．已知点，，圆上存在点，使得 C．圆上恰有一个点到直线的距离为2 D．在轴上存在异于，的两个定点，，使得 ▌对点练1-1．（26-27高三上·安徽·开学考试）（多选）已知圆：，圆：，直线：与圆、圆均相交，且截两圆所得的弦长分别为，，则（    ） A．圆与圆的公共弦所在直线方程为 B．若直线过点，则恒成立 C．满足的直线恰有2条 D．当时，的最大值为8 ▌对点练1-2．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知圆，则下列说法正确的有（    ） A．点在圆内 B．直线截圆所得的弦长为 C．圆与圆外离 D．圆在点处的切线方程为 ▌对点练1-3．（25-26高二下·广西梧州·期末）（多选）已知圆：，则下列说法正确的有（     ） A．点在圆内 B．直线截圆所得的弦长为 C．圆：与圆外离 D．圆在点处的切线方程为 题型 由圆的位置关系确定参数 解题贴士 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可． ▌例1（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（     ） A．圆的圆心在上 B．圆面积的最小值是 C．圆经过定点和 D．已知点，，则的最小值为5 ▌例2（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． ▌对点练1-2（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3（26-27高三上·广东湛江·开学考试）（多选）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 题型 公共弦与切点弦问题 解题贴士 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． （3）两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． ▌例1（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点▌例1（26-27高三上·河北唐山·开学考试）（多选）圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆的半径为2 B． C．直线与两圆都相切 D．两圆公共弦所在直线的方程为 ▌例2（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． ▌对点练1-1（第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为（    ） A．3 B． C． D． ▌对点练1-3（25-26高二上·江苏·期末）已知过原点O的直线与圆C：交于A，B两点，弦的中点为P，则点P的轨迹与圆C的公共弦长为______. 题型 公切线问题 解题贴士 解决两圆公切线问题优先先用圆心距与半径关系，确定两圆位置，直接判断公切线总条数，牢记外离 4 条、外切 3 条、相交 2 条、内切 1 条、内含 0 条。求切线方程优先分清外公切线与内公切线，不等圆外公切线交点、内公切线交点都在两圆圆心连线上，可利用三点共线简化计算。使用代数法设切线方程求解参数，极易产生增根，算出结果后一定要验证圆心到直线距离是否等于对应圆半径。遇到参数类题型，重点把握外切、内切临界状态，防止漏解。等圆不存在内公切线，这是高频易错点，做题不可死记硬背结论，结合图形分析，同时看清题干要求公切线总条数还是单独内、外公切线。 ▌例1（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. ▌例2（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. ▌对点练1-2（25-26高二上·安徽·期中）已知满足等式的有序数对有且仅有一个，则__________. ▌对点练1-3（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 题型 圆中范围与最值问题 解题贴士 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 ▌例1（25-26高二下·河北邢台·开学考试）（多选）若圆与圆N关于直线对称，则（   ） A．圆M与圆N相交 B．圆M与圆N外切 C．圆N上一点与点的距离的最小值为 D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为 ▌例2（24-25高二上·福建莆田·期末）（多选）点在圆上，点在圆上，则（ ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两圆的公切线有2条 ▌对点练1-1（25-26高二下·贵州·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为. (1)求直线AB的方程； (2)已知直线过点且与直线AB平行，为直线上的动点，求的最小值． ▌对点练1-2（25-26高二上·青海西宁·期末）（多选）已知圆，则（    ） A．与圆一定相交 B．圆与圆C的公共弦所在的直线方程为 C．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 D．过上一动点向圆引切线，则切线长的最小值为 ▌对点练1-3（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知点，圆：，点在圆上运动，点满足，动点在圆上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 基础通关 1．（26-27高二上·河南·阶段检测）（多选）过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A．可以是等边三角形 B．直线过定点 C．四边形面积的最小值是 D．的取值范围为 2．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线，圆． (1)若直线l恰好为圆C的切线，求圆C的半径； (2)设直线与轴的交点为，以为圆心，2为半径作圆，若过圆上一点能作圆的两条切线，切点分别为，且恰存在两个点满足，求的取值范围． 3．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 5．（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 7．（25-26高二下·广东·期末）已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 8．（25-26高二下·山西·期末）（多选）已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切 C．的取值范围为 D．面积的最大值为5 9．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）（多选）已知圆：，圆：，，则（    ） A．若圆过点，则圆过原点 B．当时，两圆有三条公切线 C．若两圆相交，相交弦所在直线过点，则 D．P为平面内一动点，若以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，则P到点距离的最小值为 10．（2026高三下·广西·竞赛）已知为直线上一点，分别为圆与圆上的点，则的最大值为_________. 素养提升 1．（26-27高二上·江西·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（   ） A．的最小值为 B．四边形的面积可能为 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 3．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 4．（25-26高二下·河南周口·期末）（多选）已知圆O：，则下列说法正确的有（     ） A．圆在点处的切线方程为 B．直线与圆相切 C．直线截圆所得的弦长为 D．圆C：与圆外离 5．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 迁移创新 1．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）已知动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点，是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（26-27高三上·安徽·开学考试）（多选）已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则（   ） A． B． C．当时， D．存在一条直线截三个圆所得的弦长相等 3．（25-26高二下·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆与方程 2.3 圆与圆的位置关系 课标要点 1.  能根据两个圆的圆心距、两圆半径，判断圆与圆的五种位置关系，理解几何判定依据。 2.会联立两圆方程，通过方程组解的个数，从代数角度判断两圆位置关系，体会数形结合思想。 3.能利用两圆位置关系解决公共弦、公切线、参数取值等简单综合问题，提升解析几何运算能力。 学习重难点 重点： 1. 掌握圆心距与两圆半径的数量关系，判定外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系。 2.会求两圆公共弦所在直线方程，以及公共弦长。 3.能根据两圆位置关系，求解参数的取值范围。 难点： 1. 区分代数法与几何法的优劣，理解联立方程无法区分内切与内含、外切与外离的局限。 2.处理含参数圆的动态问题，动态分析两圆位置变化，准确写出参数范围，漏掉临界值。 3.公共弦、公切线相关综合计算，容易出现坐标、距离公式计算失误，忽略题目隐含限制条件。 知识点 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2．圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 特别提醒 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 随学随练 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【分析】圆关于直线对称时，圆心必在该直线上．先由此求出 ，进而确定圆 的圆心和半径；再求两圆圆心距，与两圆半径之和、之差比较，判断两圆的位置关系． 【详解】圆 的圆心为 ． 因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ． 所以即 故圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ． 两圆圆心距 又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 2．（24-25高三上·湖南·阶段检测）圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距，两圆的半径之差为，所以两圆内含. 3．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对A，因为关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以.故A正确； 对B，根据两点式，直线的方程为：即.故B正确； 对C，因为，，，所以， 所以与相交，故两圆有2条公切线.故C错误； 对D，.故D正确. 知识点 两圆公共弦长（重点） 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 特别提醒 求解两圆公共弦长优先把两圆一般方程直接相减得到公共弦直线方程，该方法只适用于两圆相交，若两圆相切、相离，相减得到的直线为公切线或根轴，不存在公共弦，做题务必先判断两圆相交。算出弦所在直线后，选取其中一个圆，求出该圆圆心到公共弦直线的距离，再结合垂径定理，利用半径、圆心距、半弦长勾股关系计算弦长，不要联立方程组求交点再算距离，这种方法计算量大极易算错。解题时注意方程相减前要把两圆二次项系数化为一致，同时答题不要遗漏检验两圆相交这一前提条件，避免出现无意义结果。 随学随练 1．（26-27高二上·河南·阶段检测）圆与圆的公共弦长为_________． 【答案】 【详解】圆，圆的圆心为，半径， 圆，圆的圆心，半径， 因为，所以圆与圆相交， 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为， 则圆心到公共弦所在直线的距离为， 故所求弦长为． 2．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为109 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用点到直线的距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，圆，即， 所以其圆心和半径分别是； 圆的圆心和半径分别是. 则中点为. 点不在直线上，即直线不过的中点， 即不关于直线对称，故A错误； 对于B，圆与圆的公共点的坐标均满足两圆方程， 因此两圆相减可得其公共弦所在直线方程为， 即， 到直线的距离， 故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，C正确； 对于D，如图，设关于直线对称点为， 则，解得，即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D错误. 知识点 两圆公切线的条数（重点） 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 特别提醒 判断两圆公切线条数，先要依据圆心距与两圆半径大小关系区分五种位置。两圆外离存在四条公切线，外切有三条公切线，相交只有两条公切线，内切仅有一条公切线，内含没有公切线。做题一定要先分清两圆是等圆还是不等圆，等圆内含平移为相交时无内公切线，避免直接死记结论。代数法求公切线方程容易产生增根，求出直线之后务必代入圆心距离进行检验。注意区分外公切线与内公切线，涉及参数题型，不能忽略外切、内切两种临界情况，防止漏解，同时看清题目问的是公切线总条数，还是指定内、外公切线。 随学随练 1．（25-26高二上·山东威海·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 【答案】 【分析】先计算两圆的圆心距，结合两圆半径判断位置关系，再根据位置关系确定公切线条数可得. 【详解】由圆，得圆的圆心为，半径； 由圆，得圆的圆心为，半径. 由两圆的圆心距： . 因为，，所以， 所以圆与圆相交，因此圆与圆的公切线的条数为. 2．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【详解】因为两圆有四条公切线，故两圆相离， 而可化为，故此圆的圆心为，半径为， 可化为， 故此圆的圆心为，半径为， 所以，故. 3．（26-27高二上·陕西渭南·开学考试）（多选）已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．直线必过点 B．直线与圆必相交 C．圆：与圆有3条公切线 D．当时，直线被圆截得的弦长为 【答案】ABC 【分析】由直线方程确定过定点，判断定点与圆位置关系判断A、B；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断C；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长. 【详解】A：由：，则必过定点，正确； B：将定点代入圆，有， 故点在圆内，即直线与圆必相交，正确； C：由题设且半径为，而且半径为， 所以，即两圆外切，故两圆有3条公切线，正确； D：当时，，则到直线的距离， 故直线被圆截得的弦长为，错误. 拓展 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 活学活用 1．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 2．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 3．（2026·吉林通化·模拟预测）（多选）已知圆与圆，则下列说法正确的有（   ） A．若，则两圆外离 B．若两圆相交，则 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则直线为两圆的公切线 【答案】BD 【分析】根据圆与圆位置关系计算可判断AB；根据两圆公共弦所在直线方程求法计算可判断C；根据直线与圆的位置关系计算可判断D. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径． 对于A，若，，两圆外切，故A错误； 对于B，由两圆相交，得， 即，解得，故B正确； 对于C，若，则， 此时，所以两圆相交， 因为两圆方程作差得， 所以两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； 对于D，若，则到直线的距离， 到直线的距离， 所以直线为两圆的公切线，故D正确． 拓展 圆中范围与最值问题 圆中的范围与最值问题主要分为点与圆、直线与圆、圆与圆三大类，核心解题思想是数形结合，优先利用几何性质求解，尽量避免复杂代数运算。 第一类是定点和圆上动点之间的距离最值。先判断定点位置，定点在圆外或者圆上时，动点到定点的最大距离等于圆心到定点距离加上半径，最小距离等于圆心到定点距离减去半径；定点在圆内部，最大距离同样是圆心定点距离加半径，最小距离为半径减去圆心定点距离。解题一定要分清定点在圆内、圆上、圆外三种情况，不要直接套用公式忽略位置判断。 第二类是圆上动点到定直线的距离最值。先计算圆心到这条定直线的距离，圆上点到直线距离最大值等于圆心到直线距离加上半径，最小值等于圆心到直线距离减去半径。如果直线和圆相交，最小值就是零，此时圆上存在点落在直线上，这是高频易错点。 第三类圆与圆背景下的最值，多为两圆上各取一个动点，求两点距离的最值。先算出两圆圆心距，两点之间最大距离等于圆心距加上两个半径之和，最小距离要看两圆位置，两圆外离、外切时最小值是圆心距减去两半径之和；相交时最小值为零；内含、内切时最小值是大圆半径减小圆半径再减去圆心距。 除距离之外，还常考斜率、角度、面积类最值。斜率最值可以理解成圆上动点和定点连线斜率，转化为直线和圆相切临界状态求解；面积最值大多依托三角形，把底或者半径固定，转化求高的最值。代数方法可以设圆的参数方程，将变量转化为三角函数求值域，但计算量偏大，适合选择填空。 做题通用步骤，优先画图分析几何关系，找准临界相切、共线位置，优先几何法直接得出结果；只有几何思路不好处理时，再使用参数方程或者函数转化求解。同时注意看清题目条件，区分动点是圆上还是圆内，严格关注等号能否成立，避开临界值漏写错写的问题。 活学活用 1．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设出点，利用两点距离公式将转化为圆的方程，则条件等价为两圆有交点，再根据两圆相交求解即可. 【详解】设，由，得，化简整理，得. 由题意得，圆（）与有公共点，故， ，，解得，所以实数的最小值是3. 2．（25-26高一下·重庆·期末）（多选）已知点是圆上一动点，点，点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．点到直线的距离的最小值为 C．面积的最大值为 D．若点满足，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】将圆方程配方得到圆心坐标，选项A直接判断；选项B先求出直线 的方程，圆心到直线距离减去半径即得圆上点到直线距离的最小值；选项C以 为底，最大高为圆心到直线距离加半径，计算面积后与选项值比较；选项D由 得点 的轨迹圆，再求两圆上点距离的最大值（圆心距加两半径之和），与选项数值核对即可． 【详解】对于A选项，将圆化为标准方程，故圆心为，所以A正确； 对于B选项，直线的方程为，所以圆心到直线距离，半径，故点到直线的距离最小值，所以B正确； 对于C选项，，点到距离最大值为， 所以面积最大为，不是，所以C错误； 对于D选项，由，设， 所以 整理得，所以 所以点的轨迹是圆心为，半径的圆， 因为在圆上，在圆上， 两圆圆心距，两圆半径分别为，， 所以最大距离为：，所以D正确． 3．（2026·安徽滁州·二模）（多选）已知两条直线和交于点，则（   ） A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 【答案】ABD 【分析】将代入直线计算可得A；结合两直线位置关系及所过定点计算可得B；利用圆的性质及点到直线距离公式计算可得C；求出两圆圆心距离及半径之和可得两圆位置关系，即可得D. 【详解】对A：将代入，可得， 故直线必过点，故A正确； 对B：对，令，则，故过点， 又，故与垂直， 结合直线过点，可得点在以为直径的圆上， 圆心为，半径， 故点在圆上，故B正确； 对C：由B知，点在圆上， 由斜率存在，故的轨迹不过点， 故点的轨迹方程为，且不过点， 的轨迹所在圆的圆心为，半径， 到直线距离， 则点到直线距离最小值为， 由图可得，此时点不为，故C错误； 对D：圆的圆心为，半径， 则，， 故圆与圆相外切， 即有三条公切线，故D正确. 题型 判断圆与圆的位置关系 解题贴士 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； ▌例1（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）（多选）已知圆的半径为2，则（    ） A． B．点在圆的内部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 【答案】AC 【分析】根据圆的半径为，求得的值，判断A；根据点与圆的位置关系的判定方法，判断B；根据圆与圆的位置关系的判定方法，判断C；根据平分圆的周长时，得到圆心在直线上，求得的值，判断D. 【详解】对于A中，由圆的半径为， 可得，解得，即，所以A正确； 对于B中，由，可得点在圆外，所以B不正确； 对于C中，由圆，可得圆心，半径为， 又由圆的圆心，半径为， 可得两圆心距离为， 即两圆的圆心距等于半径之和，所以两圆相外切，所以C正确； 对于D中，当直线平分圆的周长时，圆心在直线上， 可得，解得，所以D错误． ▌例2（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆的方程为 B．已知点，，圆上存在点，使得 C．圆上恰有一个点到直线的距离为2 D．在轴上存在异于，的两个定点，，使得 【答案】ACD 【分析】设，根据题意运用两点间距离公式列出方程，化简得轨迹C的方程，可判断选项A；满足的点的轨迹是以为直径的圆，根据圆与圆的位置关系判断出圆和圆外离，可判断选项B；由距离公式判断直线与圆的位置关系，从而判断C；设，并由距离公式结合点P的轨迹方程，利用待定系数法解方程，从而判断D. 【详解】如图： 对于选项A，因为在平面直角坐标系中，，，点满足. 设，则，化简可得，故选项A正确； 对于选项B，若，则在以为直径的圆上. 因为中点，直径， 所以圆的半径，则圆的方程为， 设圆的半径为，则，圆心距， 则圆和圆外离，即圆上不存在点，使得，故B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离为， 则该直线与圆相离，因为，也就是圆上恰有一个点到直线距离等于（离直线最近那一点），故C正确； 对于选项D，假设存在这样的点，可设，可得， 两边平方并整理：， 由P的轨迹方程为，可得， 解得或（舍去），即存在，故D正确. ▌对点练1-1．（26-27高三上·安徽·开学考试）（多选）已知圆：，圆：，直线：与圆、圆均相交，且截两圆所得的弦长分别为，，则（    ） A．圆与圆的公共弦所在直线方程为 B．若直线过点，则恒成立 C．满足的直线恰有2条 D．当时，的最大值为8 【答案】BD 【分析】对于A，根据两圆外切判断；对于B，结合，半径相等即可判断；对于C，根据图象，当直线过点，则，直线方程为时，满足；当和时，满足，进而判断C；对于D，结合题意得，再求最值即可判断. 【详解】已知圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径， 弦长公式：，其中为圆心到直线的距离， 对于A选项，，故圆与圆外切，没有公共弦，故A选项错误； 对于B选项，直线过点，代入得，直线方程：， 圆心到直线距离： 圆心到直线距离： 所以，又两圆半径相等，故弦长恒成立，B选项正确； 对于C选项，由B知，当直线过点，则， 因为，故，又 所以，由弦长公式，，解得， 所以，当时，. 当直线为水平线时，， 因为，即，即， 整理得，解得或 所以，当和时，， 综上，满足条件的直线多于2条，故C错误； 对于D选项，当，直线，即，， 所以，， 因为，当时取得等号， 所以，，当时取得等号，即取得最大值， 此时直线，截两圆弦长均为直径，，故D选项正确. ▌对点练1-2．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知圆，则下列说法正确的有（    ） A．点在圆内 B．直线截圆所得的弦长为 C．圆与圆外离 D．圆在点处的切线方程为 【答案】ACD 【详解】圆的圆心为，半径. 选项：点到圆心的距离平方为， 故该点在圆内，正确. 选项：圆心到直线的距离，弦长为，错误. 选项：圆的圆心为，半径，圆心距，而，故两圆外离，正确. 选项：点满足，在圆上.，则切线斜率为， 则切线方程为，即，正确. ▌对点练1-3．（25-26高二下·广西梧州·期末）（多选）已知圆：，则下列说法正确的有（     ） A．点在圆内 B．直线截圆所得的弦长为 C．圆：与圆外离 D．圆在点处的切线方程为 【答案】ACD 【分析】对于A，将点代入圆方程，可判断选项正误；对于B，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；对于C，比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误；对于D，利用切线过且和垂直可得切线方程，从而判断选项正误. 【详解】对于A，将点代入圆方程得：，所以点在圆内，A正确； 对于B，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故B错误； 对于C，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故C正确； 对于D，易得在圆上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故D正确. 题型 由圆的位置关系确定参数 解题贴士 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可． ▌例1（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（     ） A．圆的圆心在上 B．圆面积的最小值是 C．圆经过定点和 D．已知点，，则的最小值为5 【答案】ACD 【分析】对A，求出圆的圆心坐标判断；对B，根据圆平分圆的圆周，可得公共弦过的圆心，推导得到关系，进而求出圆的半径最小值，得解；对C，将代入圆的方程，求出定点坐标得解；对D，作关于的对称点，根据将军饮马模型计算得解. 【详解】对于A，圆的圆心坐标为，因此圆心在直线上，故A正确； 对于B，由，两式相减得， 即圆与圆公共弦所在直线方程为， 又圆的标准方程为，圆心， 因为圆平分圆的圆周，所以公共弦所在直线过点， 所以，即， 圆的半径平方，将代入可得， 则，所以圆面积的最小值为，故B错误； 对于C，将代入圆的方程整理得， 令，解得或， 所以圆过定点和，故C正确； 对于D，因为圆心在直线上，作关于的对称点， 则，计算得， 所以最小值为5，故D正确. ▌例2（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定为钝角时点满足的几何条件，结合切线性质、直角三角形边角关系，推导得到点到圆心的距离的取值范围，由条件点到圆心的距离的范围可由点的距离范围结合两圆半径推导，利用两点间距离公式建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】设点到圆心的距离，由切线性质，平分， 在直角三角形中，， 已知为钝角，则，故， 解得， 故圆存在点，使得， 圆的圆心为，半径， 圆心到的距离， 故， 因为圆上的点到的距离范围为，要使该区间与有交集， 则需，即，故，解得， 故的取值范围是． ▌对点练1-1（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 【答案】 【详解】因为圆的圆心在轴上， 所以设圆C的圆心C坐标为，半径设为r, 因为圆过原点，所以有，即. 因为圆与圆外切，所以有， 所以有， 两边同时平方得：， 即， 当时，，即，不成立，舍去. 当时，，即， 则， 所以圆的标准方程为. ▌对点练1-2（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到以为圆心，以为半径的圆与圆相交，进而得到，转化为圆的圆心到直线的距离小于列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为圆上恰有两个点与点的距离都为2， 所以以为圆心，以为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为， 所以，即， 所以直线上至少存在一点使得， 所以点到直线的距离小于， 即，解得， 所以的取值范围是. ▌对点练1-3（26-27高三上·广东湛江·开学考试）（多选）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由圆，圆的方程确定两圆的圆心和半径，结合条件可得，解不等式求的范围即可. 【详解】由题得圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 因为圆与圆有公共点， 所以，又， 所以 由，可得， 由可得， 所以， 所以的最小值为，最大值为. 题型 公共弦与切点弦问题 解题贴士 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． （3）两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． ▌例1（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点▌例1（26-27高三上·河北唐山·开学考试）（多选）圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆的半径为2 B． C．直线与两圆都相切 D．两圆公共弦所在直线的方程为 【答案】AC 【详解】圆：，圆心，半径， 圆：，即， 圆心，半径，故选项A正确； ，故选项B错误； 直线与两圆都相切， 直线与圆相切圆心到直线距离等于半径， 点到直线距离：， 对：，相切， 对：，相切， 直线和两圆都相切，故选项C正确； 两圆公共弦所在的直线的方程： ，化简得：， 公共弦方程是，故选项D错误. ▌例2（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. ▌对点练1-1（第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. ▌对点练1-2（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】计算圆心距确定两圆相交，得到公共弦为，计算圆心到直线的距离，结合弦长公式求结论. 【详解】圆：，圆心为，半径为； 圆：，圆心为，半径为； 圆心距，，两圆相交. 公共弦为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. ▌对点练1-3（25-26高二上·江苏·期末）已知过原点O的直线与圆C：交于A，B两点，弦的中点为P，则点P的轨迹与圆C的公共弦长为______. 【答案】 【分析】首先设弦的中点，利用垂直关系，建立方程，求点的轨迹方程；再与圆联立，求出交点得到公共弦长. 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 设弦的中点，则，， 则，即. 联立两圆，解得：， 故所求弦长为：. 故答案为： 题型 公切线问题 解题贴士 解决两圆公切线问题优先先用圆心距与半径关系，确定两圆位置，直接判断公切线总条数，牢记外离 4 条、外切 3 条、相交 2 条、内切 1 条、内含 0 条。求切线方程优先分清外公切线与内公切线，不等圆外公切线交点、内公切线交点都在两圆圆心连线上，可利用三点共线简化计算。使用代数法设切线方程求解参数，极易产生增根，算出结果后一定要验证圆心到直线距离是否等于对应圆半径。遇到参数类题型，重点把握外切、内切临界状态，防止漏解。等圆不存在内公切线，这是高频易错点，做题不可死记硬背结论，结合图形分析，同时看清题干要求公切线总条数还是单独内、外公切线。 ▌例1（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 ▌例2（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. ▌对点练1-1（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 【答案】(1) (2)圆与圆外切，. 【分析】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为，线段的中垂线方程为，与已知直线联立，解得圆心，计算，得到半径； （2）圆心距，恰好等于两圆半径之和，因此两圆外切；设公切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程组：解得三组解即得. 【详解】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心. 由得即. 又， 所以圆的方程为. （2）由题可知， 所以， 两个圆的半径之和为， 所以圆与圆外切， 所以圆与圆有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为， 由圆心到切线的距离等于半径，得， 解得或或 所以公切线的方程为或或， 故其中一条公切线方程为：.（也可答另外两条中的其中一条） ▌对点练1-2（25-26高二上·安徽·期中）已知满足等式的有序数对有且仅有一个，则__________. 【答案】或 【分析】由已知等式变形得出，设直线的方程为，可知点到直线的距离为，点到直线的距离为，即是圆（半径为）和圆（半径为）的公切线，对圆、圆的位置进行分类讨论，数形结合可求得的值. 【详解】由变形得， 设直线的方程为， 该等式可理解为点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即是圆（半径为）和圆（半径为）的公切线，根据题意这样的公切线仅有一条.    情形一：圆与圆内切，则是两圆唯一的公切线，则，得， 情形二：圆与圆相交，一条公切线过原点，另一条公切线为， 因为直线不过原点，该情形下也是唯一的，如图，两条切线的交点为， 与两个圆的切点分别为、， 因为，所以，可得点，切线的方程为，即， 此时. 故答案为：或. ▌对点练1-3（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D. 【详解】根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径. 对于A：,故A正确； 对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去, 得到,整理化简得,故B正确； 对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误； 对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确. 故选：ABD. 题型 圆中范围与最值问题 解题贴士 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 ▌例1（25-26高二下·河北邢台·开学考试）（多选）若圆与圆N关于直线对称，则（   ） A．圆M与圆N相交 B．圆M与圆N外切 C．圆N上一点与点的距离的最小值为 D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为 【答案】BC 【分析】根据对称求出圆N的方程，根据两圆的方程可判断A,B，根据点和圆心的距离可判断C,D. 【详解】因为圆与圆N关于直线对称，所以圆. 圆心距，恰好等于两圆的半径和，所以两圆外切；A错误，B正确； 因为，所以圆N上一点与点的距离的最小值为，C正确； 因为，所以圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为，D错误. ▌例2（24-25高二上·福建莆田·期末）（多选）点在圆上，点在圆上，则（ ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两圆的公切线有2条 【答案】AB 【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心分别为、，半径分别为、r=1；根据两点间距离公式求出圆心距，与两圆半径之和或半径之差比较即可判断两圆的位置关系，判断选项D；的最小值为可判断A；的最大值为可判断B；根据经过两点直线斜率计算公式即可计算经过两圆圆心的直线斜率，从而判断C. 【详解】根据题意，圆，其圆心，半径， 圆，即， 其圆心，半径，圆心距>，故两圆外离，故公切线有4条，故D错误； 则的最小值为，最大值为，故A正确，B正确； 对于C，两个圆心所在的直线斜率，故C错误. 故选：AB. ▌对点练1-1（25-26高二下·贵州·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为. (1)求直线AB的方程； (2)已知直线过点且与直线AB平行，为直线上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造出辅助圆，通过两圆方程相减得到公共弦； （2）设出相关点坐标表示出向量数量积，再联立圆与直线方程，结合韦达定理得到坐标间关系，进而求出最小值. 【详解】（1）由得， 所以圆心，半径， 设切点，则， 即在以为直径的圆上， 又的中点为，， 所以以为直径的圆的方程为， 将两圆方程相减：， 整理并化简得：， 所以直线AB的方程为； （2）由（1）和题意可知直线的方程为：， 设，则，， 所以， 因为在圆上，所以，， 且在直线上，满足， 联立圆与直线的方程：， 消并化简可得：， 所以， 所以，， 所以 ， 所以当时，取得最小值为. ▌对点练1-2（25-26高二上·青海西宁·期末）（多选）已知圆，则（    ） A．与圆一定相交 B．圆与圆C的公共弦所在的直线方程为 C．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 D．过上一动点向圆引切线，则切线长的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项A，求出直线恒过定点，得到，则与圆相交；选项B，圆和圆这两个圆的方程相减得到公共弦所在的直线方程；选项C，根据点关于直线对称判断；选项D，切线长，要使切线长的最小值，需要最小，由的最小值为到的距离，从而得到切线长的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 选项A，，整理得到， 则，解得，故直线恒过定点， ，与圆相交，故选项A正确； 选项B，圆整理得到， 圆和圆这两个圆的方程相减 得到公共弦所在的直线方程为，故选项B正确； 选项C，若圆与圆关于直线对称， 则圆心关于直线的对称点为， 则的中点在直线上，但是不在直线上，得出矛盾， 所以若圆与圆关于直线对称， 圆的方程不是，故C错误； 选项D，如图，切线长， 要使切线长的最小值，需要最小， 的最小值为到的距离， 切线长的最小值为，故选项D正确. 故选：ABD.    ▌对点练1-3（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知点，圆：，点在圆上运动，点满足，动点在圆上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过向量关系确定动点的轨迹，判断与动点所在圆的位置关系，再利用圆上点的距离规律求出的最小值. 【详解】设，，则，， 因为，所以，即， 因为点在圆上运动，所以，即， 整理得，即点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 动点在圆上，该圆的圆心为，半径. 因为，所以两圆相离， 所以的最小值为两圆圆心距减去两圆半径之和， 即. 故选：A. 基础通关 1．（26-27高二上·河南·阶段检测）（多选）过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A．可以是等边三角形 B．直线过定点 C．四边形面积的最小值是 D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】结合圆的切点弦、切线性质、向量的数量积逐个分析选项：A选项利用特殊角进行反推验证；B选项根据切点弦方程判断定点；C选项四边形面积转化成切线长进行求解；D选项利用二倍角公式结合范围求解. 【详解】由题知圆O的圆心为，半径． 不妨取点，则，故，从而， 所以可以是等边三角形，故A正确； 设点，则，以为直径的圆的方程为， 又圆，两式作差可得直线的方程为， 又，代入可得 ，令解得故直线过定点，故B正确； 四边形的面积为，故当最小时，四边形的面积最小， 又的最小值为圆心到直线的距离，且， 因此四边形面积的最小值为，故C错误； ， 在四边形中，，所以， 又，所以， 则，故的取值范围为，故D正确． 2．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线，圆． (1)若直线l恰好为圆C的切线，求圆C的半径； (2)设直线与轴的交点为，以为圆心，2为半径作圆，若过圆上一点能作圆的两条切线，切点分别为，且恰存在两个点满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将圆的一般方程转化为标准方程从而得到圆心及半径，根据直线与圆相切列方程即可求出答案； （2）根据题意可得到以为圆心，为半径的圆与圆相交，根据两圆的位置关系列不等式即可求出答案. 【详解】（1）由圆，得圆， 所以圆心为，半径． 若直线恰好为圆C的切线， 则，解得，即圆C的半径为2． （2）是正方形， 故满足条件的点在以为圆心，为半径的圆上， 即点既在圆上又在圆上，“恰存在两个点”圆与圆相交． 由直线的方程，得，圆的半径，圆的半径，圆心距，相交的条件为．① 由不等式①右端，解得． 由，得． 由不等式①左端得或，结合得． 综上，a的取值范围为 3．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系，列不等式求解的取值范围． 【详解】圆化为标准式： 圆心，半径, 圆，圆心，半径， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距， 若两圆外离，则，即，解得或； 若两圆内含，则，无解． 因此两圆无公共点的条件是． 4．（25-26高一下·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得. 【详解】圆，即，则圆心为，半径为1，则， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为，所以， 得，解得，因此.    5．（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 6．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 【答案】2 【分析】利用两圆的相交关系，求出相交弦方程，再由已知及点线距离公式列方程求参数r. 【详解】由圆，得圆心为，半径， 由圆，得圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简得，则到直线的距离为， 要使两圆相交，需使,解得， ，可得，因，则， 由，解得，满足， 因此的值为. 7．（25-26高二下·广东·期末）已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由圆与相切，则圆心到直线l的距离，则或， 若，由圆与相切，则圆心到直线l的距离，不合题意； 若，由圆与相切，则， 由于圆心距（分别为两圆半径），此时两个圆外切， 如图，过点作，则,，    于是. 8．（25-26高二下·山西·期末）（多选）已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切 C．的取值范围为 D．面积的最大值为5 【答案】BD 【分析】由方程可知各圆圆心和半径，对于A：求得，即可判断两圆位置关系；对于B：可得圆心到x轴的距离，可知圆与x轴相切；对于C：根据圆的性质分析判断；对于D：可得点到直线的距离最大值为，即可得面积最值． 【详解】由题知圆的圆心，半径， 圆可化为16，故圆的圆心，半径， 则，所以两圆相交，故A错误； 因为圆心到x轴的距离，所以圆与x轴相切，故B正确； 由圆的性质可得，且， 所以的取值范围为，故C错误； 由圆的性质可知点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故D正确； 9．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）（多选）已知圆：，圆：，，则（    ） A．若圆过点，则圆过原点 B．当时，两圆有三条公切线 C．若两圆相交，相交弦所在直线过点，则 D．P为平面内一动点，若以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，则P到点距离的最小值为 【答案】AD 【分析】求出判断A；确定两圆位置判断B；求出公共弦所在直线方程判断C；分类求出点的轨迹求解判断D. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，， 对于A，由圆过点，得，圆：过原点，A正确； 对于B，当时，，圆内切于圆，两圆有一条公切线，B错误； 对于C，当圆与圆相交时，，即，两圆公共弦所在直线方程为， 由相交弦所在直线过点，得，解得，C错误； 对于D，由以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，得或或， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为1， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为， 因此P到点距离的最小值为，D正确. 10．（2026高三下·广西·竞赛）已知为直线上一点，分别为圆与圆上的点，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】先求圆关于直线对称圆：，则对于圆上的任意点，在圆上存在点，使得，进而只需求的最大值，结合图形判断可得. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以圆心关于直线对称点为，半径， 故圆：与圆：关于直线的对称. 对于圆上的任意点，在圆上存在点，使得. 因此只需求的最大值. 因为，则圆和圆外切， ， 当且仅当三点共线时等号成立. 因为当，，时等号成立， 所以所求最大值为.    素养提升 1．（26-27高二上·江西·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围. 【详解】设，则，. 因为，所以，即. 所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以. 即，解得. 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（   ） A．的最小值为 B．四边形的面积可能为 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 【答案】ABD 【分析】对A，根据条件得，再求出的最小值，即可求解；对B，利用A中结果，即可求解；对C，根据条件，直接求出直线的方程，再利用的取值范围，即可求解；对D，根据C可得直线的方程为，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 对于A，因为，又圆心到直线的距离， 则，所以的最小值为，故A正确， 对于B，因为四边形面积， 由选项A知，所以，故B正确， 对于C，设，则，， 以为圆心，为半径的圆的方程为，即①， 又在圆②上，由①②得到，即， 所以直线的方程为，又点在直线上运动， 当时，直线的斜率不存在，所以C错误， 对于D，由选项C知直线的方程为，且， 所以直线的方程为，即， 由，得到，所以直线恒过定点，故D正确. 3．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D. 【详解】对于A选项，联立两式相减，得到即为直线的方程， 故A错误； 对于B选项，联立，可得联立或， 则，故B正确； 对于C选项，设，，因为，为圆的切点， 所以直线的方程为， 直线的方程为，设，则， 所以直线的方程为， 又因为，所以， 由，得到， 即直线过定点，故C正确； 对于D选项，因为，所以当最小时，最小， 且的最小值为，此时，故D错误. 4．（25-26高二下·河南周口·期末）（多选）已知圆O：，则下列说法正确的有（     ） A．圆在点处的切线方程为 B．直线与圆相切 C．直线截圆所得的弦长为 D．圆C：与圆外离 【答案】AD 【分析】对于A，利用切线过且和垂直可得切线方程；对于B，比较直线到圆心距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误. 【详解】对于A，易得在圆O上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为，该距离小于圆O半径1，故直线与圆O相交，故B错误； 对于C，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故C错误； 对于D，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故D正确. 5．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 迁移创新 1．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）已知动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点，是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，以为圆心，半径为2的圆 (2)存在， 【分析】（1）根据两点间的距离公式及圆的标准方程求解. （2）根据四点共圆及作差法求出公共弦的方程及恒过的点，结合三角形面积公式、点到直线的距离及圆的性质求解即可. 【详解】（1）设，则，即， 所以， 整理得，即为以为圆心，半径为2的圆． （2）存在，，理由如下： 由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上， 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为， 又，在上，即为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． 由题设，易知在以为直径的圆（除去点）上，即以为圆心、半径为的圆（除去点）上，且轴， 则，且到直线的距离为， 故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时． 2．（26-27高三上·安徽·开学考试）（多选）已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则（   ） A． B． C．当时， D．存在一条直线截三个圆所得的弦长相等 【答案】ACD 【分析】A.由圆的弦长公式求解；B.先求出点A，B的坐标，利用切线的性质，在直角三角形中，再分别利用三角形的等面积法求出的一半的大小，从而得到的大小；C.利用二倍角的正切公式求解；D.假设存在一条直线截三个圆所得的弦长相等，可得三个圆的圆心到该直线的距离都相等，从而利用点到直线的距离公式求解方程. 【详解】选项 A,, , 两式相减得公共弦直线方程,即， ，半径，圆心到直线距离是, 所以，A 正确； 选项 B，联立与，解得；, 不妨设， 设与交于点， 因为，，，所以， 所以，故, 即，, ,, , , 由,得， 所以，所以， 设与交于点，同理可知, 即，, ,, , , 由,得， 所以，所以， , B错误； 选项 C, , 则 ，， ,, 在：，, , 所以, 因为，所以 ，C 正确； 选项 D，三个圆的半径都是1，若存在一条直线截三个圆所得的弦长相等， 由弦长公式，可得三个圆的圆心到该直线的距离都相等， 设存在直线，满足， 等价于 解方程：，去掉绝对值： 情况①：， 情况②：， 解方程：，去掉绝对值： 情况①：， 情况②： ， 联立与，得舍去， 联立与，令，则， 代入，直线的方程为：， 所以存在直线截三个圆所得的弦长相等，D 正确. 3．（25-26高二下·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 【答案】C 【分析】对于A，B选项，联立，化简即可求解，对于C，分别求出，，由四边形的面积等于即可求解；对于D，分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用圆的弦长公式化简可得，结合向量数量积不等式即可求出最大值. 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $