3.1.1 第2课时 椭圆的定义与标准方程的应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦椭圆定义与标准方程的应用，系统梳理直线与椭圆公共点问题（联立方程用判别式判断）、椭圆方程参数取值范围（焦点位置与参数关系）、焦点三角形计算（定义、余弦定理、面积公式），构建从方程到几何的学习支架。 资料通过母题探究（如变角度条件）和规律方法总结，培养学生数学思维（逻辑推理、方程转化）与数学语言表达（规范解题步骤），课中辅助教师系统教学，课后练习题助力学生巩固提升，查漏补缺。

第2课时　椭圆的定义与标准方程的应用 题型一　直线与椭圆的公共点问题 （链接教科书第85页例4）已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个不同的公共点； 解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，　③ 关于x的一元二次方程的判别式Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144. （1）由Δ＞0，得－3＜m＜3. 于是，当－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. （2）有且只有一个公共点； 解：由Δ＝0，得m＝±3， 也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. （3）没有公共点. 解：由Δ＜0，得m＜－3或m＞3. 从而当m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点. 规律方法 　　直线与椭圆的公共点问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组的实数解或实数解的个数问题.即将直线方程与椭圆方程联立的方程组通过消元后变为关于x（或y）的一元二次方程，判断该方程的判别式与0的大小关系. 直线＋＝1与椭圆＋＝1（a＞b＞0）的公共点有（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 解析：C　易知直线＋＝1和椭圆＋＝1均过点（a，0），（0，b），如图所示，结合图形可知直线＋＝1与椭圆＋＝1（a＞b＞0）的公共点有2个. 题型二　椭圆标准方程的识别 （链接教科书第86页习题8题）已知方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则t的取值范围为　（3，）　. 解析：因为方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以解得3＜t＜.所以t的取值范围是（3，）. 规律方法 根据椭圆方程求参数的取值范围 （1）给出方程＋＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0； （2）若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况. 1.〔多选〕（2026·淮安开学考试）若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（　　） A.曲线C可能是圆 B.若1＜t＜3，则C为椭圆 C.若C为椭圆，且焦点在x轴上，则2＜t＜3 D.若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2＜t＜3 解析：AD　当3－t＝t－1＞0即t＝2时，方程＋＝1为x2＋y2＝1，表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误；若C为椭圆，且焦点在x轴上，则3－t＞t－1＞0，解得1＜t＜2，故选项C错误；若C为椭圆，且焦点在y轴上，则t－1＞3－t＞0，解得2＜t＜3，故选项D正确.故选A、D. 2.（2026·南通质检）已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0（k≠0），焦距为4，则k＝　1或5　. 解析：将方程kx2＋3y2－6k＝0化为＋＝1.∵焦距为4，∴2c＝4，即c＝2.当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1；当焦点在y轴上时，2k－6＝4，解得k＝5.综上，k＝1或5. 题型三　椭圆中与焦点三角形有关的计算问题 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 解：由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝＝3， 从而｜F1F2｜＝2c＝6， 在△F1PF2中，F1＝P＋P－2PF1·PF2cos 60°， 即36＝P＋P－PF1·PF2.　① 由椭圆的定义得PF1＋PF2＝4， 即48＝P＋P＋2PF1·PF2.　② 由①②得PF1·PF2＝4. 所以＝PF1·PF2·sin 60°＝. 【母题探究】 　（变条件）若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积. 解：由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝＝3. 从而F1F2＝2c＝6. 在△F1PF2中，由勾股定理可得P＝P＋F1，　 即P＝P＋36， 又由椭圆定义知PF1＋PF2＝2×2＝4， 所以PF2＝4－PF1. 从而有（4－PF1）2＝P＋36， 解得PF1＝. 所以△F1PF2的面积S＝·PF1·F1F2＝××6＝， 即△F1PF2的面积是. 规律方法 1.椭圆上的点P（x0，y0）（点P不在x轴上）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，解关于焦点三角形的问题时要充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理等知识. 2.焦点三角形的常用公式 （1）焦点三角形的周长L＝2a＋2c； （2）在△PF1F2中，由余弦定理可得F1＝P＋P－2PF1·PF2·cos θ（θ＝∠F1PF2）； （3）焦点三角形的面积＝PF1·PF2·sin θ（θ＝∠F1PF2）. 设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若PF1∶PF2＝3∶4，那么△GPF1的面积为（　　） A.24 B.12 C.8 D.6 解析：C　∵P为椭圆C：＋＝1上一点，PF1∶PF2＝3∶4，PF1＋PF2＝2a＝14，∴PF1＝6，PF2＝8.又F1F2＝2c＝2＝10，∴易知△PF1F2是直角三角形，＝PF1·PF2＝24.∵△PF1F2的重心为点G，∴＝3，∴△GPF1的面积为8. 1.已知椭圆＋＝1（m＞0）的左焦点为F1（－4，0），则m＝（　　） A.2　　　　　　　　　　 B.3 C.4 D.9 解析：B　由4＝（m＞0），解得m＝3. 2.（2026·常州质检）已知椭圆＋＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为　　. 解析：由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而F1F2＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得P＝P＋F1－2PF1·F1F2cos∠PF1F2，即P＝P＋4＋2PF1①.由椭圆定义得PF1＋PF2＝2a＝4②.由①②联立可得PF1＝.所以＝PF1·F1F2·sin∠PF1F2＝××2×＝. 3.若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，求m的取值范围. 解：∵＋＝1表示椭圆，∴m＞0且m≠3. 由得（m＋3）x2＋4mx＋m＝0， ∴Δ＝16m2－4m（m＋3）＞0，解得m＞1或m＜0. ∴m＞1且m≠3， ∴m的取值范围是（1，3）∪（3，＋∞）. 1.若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　） A.（3，6） B.（，6） C.（3，） D.（1，6） 解析：B　方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则解得＜m＜6.故选B. 2.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，3PF2＝5PF1，则△PF1F2的面积为（　　） A.　　　 B.6 C.8　　　 D.2 解析：B　由＋＝1，得a＝4，c＝2，即PF1＋PF2＝2a＝8，F1F2＝4，又3PF2＝5PF1，则PF1＝3，PF2＝5，所以△PF1F2为直角三角形，∠PF1F2＝90°，所以＝PF1·F1F2＝×3×4＝6，故选B. 3.经过点P（1，）且与椭圆＋y2＝1有唯一公共点的直线方程是（　　） A.x＋2y－4＝0 B.x－2y－4＝0 C.x＋2y－2＝0 D.x－2y＋2＝0 解析：A　显然当斜率k不存在时，直线方程为x＝1，此时直线与椭圆有两个交点，不符合题意；当斜率k存在时，设直线方程为y－＝k（x－1），与椭圆的方程联立得得到（1＋4k2）x2＋4k（－2k）x＋4k2－4k－1＝0，由直线与椭圆有唯一公共点，得Δ＝0，即[4k（－2k）]2－4×（1＋4k2）×（4k2－4k－1）＝0，解得k＝－，∴切线方程为x＋2y－4＝0. 4.如图，F1，F2是平面上的两点，且F1F2＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，….A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，则（　　） A.点B和C都在椭圆M上 B.点C和D都在椭圆M上 C.点D和E都在椭圆M上 D.点E和B都在椭圆M上 解析：C　因为AF1＋AF2＝3＋9＝12，所以椭圆M中2a＝12，因为BF1＋BF2＝5＋9≠12，CF1＋CF2＝5＋6≠12，DF1＋DF2＝5＋7＝12，EF1＋EF2＝11＋1＝12，所以点B，C不在椭圆M上，点D，E在椭圆M上. 5.〔多选〕已知曲线C：＋＝1（λ＞0），则（　　） A.当λ＝3时，C是圆 B.当λ＝2时，C是椭圆且一焦点为（2，0） C.当λ＝4时，C是椭圆且焦距为2 D.当0＜λ＜3时，C是焦点在y轴上的椭圆 解析：AC　对于A项，当λ＝3时，方程可化为x2＋y2＝6，曲线C是圆，A正确；对于B项，当λ＝2时，方程可化为＋x2＝1，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，B错误；对于C项，当λ＝4时，曲线C：＋＝1是椭圆，且c2＝13－7＝6，所以2c＝2，C正确；对于D项，当λ＝1时，曲线C不是椭圆，D错误.故选A、C. 6.〔多选〕设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1－PF2＝2.则下列说法中正确的是（　　） A.PF1＝5，PF2＝3 B.△PF1F2为直角三角形 C.△PF1F2的面积为6 D.△PF1F2的面积为12 解析：ABC　由＋＝1，得a2＝16，b2＝12，则a＝4，b＝2，c＝＝2，因为P是椭圆上一点，所以PF1＋PF2＝2a＝8，因为PF1－PF2＝2，所以PF1＝5，PF2＝3，所以A正确；对于B，因为F1F2＝2c＝4，所以P＋F1＝P，所以△PF1F2为直角三角形，所以B正确；对于C、D，因为△PF1F2为直角三角形，PF2⊥F1F2，所以＝×3×4＝6，所以C正确，D错误. 7.椭圆x2＋ky2＝1的焦距为，则k的值为　2或　. 解析：因为2c＝，所以c2＝.因为椭圆的标准方程为x2＋＝1，所以当焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝，那么c2＝1－＝，所以k＝2；当焦点在y轴上时，a2＝，b2＝1，那么c2＝－1＝，所以k＝.综上可得k＝2或. 8.已知以F1（－2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的标准方程为　＋＝1　. 解析：由题意可设椭圆的方程为＋＝1（a＞2），与直线方程x＋y＋4＝0联立，得4（a2－3）y2＋8（a2－4）y＋（16－a2）（a2－4）＝0，由Δ＝0，得a＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 9.已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，A，B是C上关于原点对称的两点，且∠AFB＝90°，则△ABF的周长为　14　. 解析：设椭圆的右焦点为F1，连接AF1，BF1，易知∠AF1B＝90°，即四边形AFBF1为矩形，所以BF＝AF1，AB＝FF1＝2c＝2＝6，由椭圆的定义可得AF＋AF1＝2a＝8，所以AF＋BF＝8，所以△ABF的周长为AF＋BF＋AB＝8＋6＝14. 10.对不同的实数m，讨论直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋y2＝1的公共点的个数. 解：由消去y并整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0　①， 此方程的实数解的个数由它的判别式Δ决定，Δ＝（8m）2－4×5×（4m2－4）＝16（5－m2）， 当－＜m＜时，Δ＞0，方程①有两个不相等的实数根，此时直线l与椭圆有两个公共点； 当m＝－或m＝时，Δ＝0，方程①有两个相等的实数根，此时直线l与椭圆有一个公共点； 当m＜－或m＞时，Δ＜0， 方程①没有实数根，此时直线l与椭圆没有公共点. 综上可得：当－＜m＜时，直线l与椭圆有两个公共点； 当m＝－或m＝时，直线l与椭圆有一个公共点； 当m＜－或m＞时，直线l与椭圆没有公共点. 11.设P为椭圆＋＝1上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则PF1·PF2＝（　　） A.　　　B.　 　　D. 解析：B　椭圆＋＝1，则a＝3，b＝2，c＝，F1F2＝2c＝2，PF1＋PF2＝2a＝6，两边平方得P＋P＋2PF1·PF2＝36　①，在△PF1F2中，由余弦定理得F1＝P＋P－2PF1·PF2·cos 60°，即P＋P－PF1·PF2＝20　②，由①②得PF1·PF2＝.故选B. 12.〔多选〕（2026·连云港质检）椭圆C的方程为＋＝1，F1，F2是椭圆的两个焦点，点M为椭圆上一点且在第一象限.若△MF1F2是等腰三角形，则下列结论正确的是（　　） A.MF2＝2 B.cos∠MF2F1＝ C.点M到x轴的距离为 D.＝9 解析：AC　如图，因为椭圆的标准方程为＋＝1，所以a＝4，b＝，c＝＝＝3.因为点M在第一象限，且△MF1F2是等腰三角形，MF2＋MF1＝2a＝8，所以必是F1F2＝MF1.根据椭圆的定义，MF2＝2a－MF1＝2a－F1F2＝2a－2c＝2，故A正确；在△MF1F2中，MF1＝F1F2＝6，MF2＝2，由余弦定理：cos∠MF2F1＝＝＝，故B错误；sin∠MF2F1＝，M到x轴的距离为MF2·sin∠MF2F1＝2×＝，故C正确；＝×6×2×＝，故D错误.故选A、C. 13.已知圆C：（x－2）2＋y2＝64，F（－2，0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为　＋＝1　. 解析：由题知，F（－2，0），C（2，0），记点F关于折痕l的对称点为A，折痕l与AC相交于点P，则点A在圆周上，折痕l为线段AF的垂直平分线，如图所示，则有PA＝PF，可知PF＋PC＝PA＋PC＝AC＝8＞FC＝4，所以点P的轨迹是以F，C为左、右焦点的椭圆，其中2a＝8，2c＝4，所以a＝4，c＝2，b＝2，所以点P的轨迹方程，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为＋＝1. 14.如图所示，F是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点，直线AB：x－2y＋2＝0与椭圆C相切于点A. （1）若a＝，求b； （2）若｜｜＝｜｜，·＝0，求椭圆C的方程. 解：（1）由消去y， 整理得（b2＋）x2＋a2x＋a2－a2b2＝0（*）， 因为直线与椭圆相切，所以Δ＝0， 整理得＋b2＝1，又a＝，所以b＝. （2）将＋b2＝1代入（*）式， 整理得x2＋a2x＋＝0， 所以xA＝－，yA＝＝1－＝b2， 即A（－，b2）. 如图所示，过A，B作x轴的垂线段，垂足分别为E，D. 因为AF＝BF，∠AFB＝90°， 所以△AEF≌△FDB， 设F（c，0）（c＞0），所以FD＝AE＝b2，BD＝EF＝＋c， 所以B（c＋b2，＋c），代入x－2y＋2＝0， 得c＋b2－（a2＋2c）＋2＝0， 即a2－b2＋c－2＝0，即c2＋c－2＝0， 因为c＞0，所以c＝1， 由＋b2＝1及a2＝b2＋c2，解得a2＝，b2＝. 因此椭圆C的方程为＋＝1. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $