第2.3讲 圆与圆的位置关系（暑假预习讲义）新高二数学苏教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2.3讲圆与圆的位置关系 了内容导航 01预习航标一析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解： 知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1判断圆与圆的位置关系 题型2根据两圆位置关系求参 题型3求两圆的公共弦方程或交点 题型4求两圆的公共弦长 题型5两圆的公切线条数 题型6求公切线的方程 题型7求公切线长 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 利用两圆心距与两半径之和、两半径之差比较：外离、外切、相交、内切、 1. 判断圆与圆的位置 内含。易错：混淆半径之和与半径之差的大小关系，或漏掉内切（等于差） 关系 的情况。 2.根据两圆位置关系 己知位置关系，利用圆心距与半径和差的不等关系列不等式或等式求参数。 求参 易错：参数使半径为正的条件遗漏，或位置关系对应的不等号方向写反。 3.求两圆的公共弦方两圆方程相减即得公共弦所在直线方程；再联立直线与任一圆方程求交点。 程或交点 易错：两圆不相交时相减得到的是根轴而非公共弦，需先判断位置关系。 利用垂径定理：求出公共弦心距（圆心到公共弦的距离），再结合半径与半 4.求两圆的公共弦长 弦长构成直角三角形求解。易错：公共弦心距计算时使用哪个圆心均可，但 需用正确半径。 根据位置关系判断公切线条数：外离4条，外切3条，相交2条，内切1 5.两圆的公切线条数 条，内含0条。易错：内切与内含的条数混淆，或忘记外切比相交多一条。 利用圆心到公切线距离等于半径列方程，解斜率与截距。常设斜截式或一般 6. 求公切线的方程 式，注意斜率不存在时竖直公切线需单独讨论。易错：漏掉斜率不存在情 1/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形，或两圆在同侧/异侧切线条件区分不清。 公切线长指两切点间的线段长度，可构造直角梯形或直角三角形，利用勾股 7.求公切线长 定理结合两圆半径与圆心距求解。易错：误将切线长当作切线段的长度（从 切点到切点)。 学习重点：掌握两圆位置关系的五种判断方法（利用圆心距与半径和差）；理解公共弦方程是通过两 圆方程相减得到；熟记公切线条数与位置关系的一对应；掌握公切线方程的列式思路（圆心到直线 距离等于半径)。 学习难点：求公切线方程时斜率不存在情形的讨论；外切与内切时公切线特殊位置的判断；已知位置 关系求参数时，圆心距与半径和差的不等式组中端点值（等于）需对应相切情况，容易漏解或范围不 完整：公共弦长计算中准确找到弦心距与半弦长的直角三角形关系。 02 教材全解 ◇ 知1识|框架 外离：d>R+r,联立方程无解，公切线4条 知识点 外切：d=R+r,联立方程有一解，公切线3条 01:圆与 位置关系判定（几何法与代数法对应） 相交：R-<d<R+r,联立方程有两解，公切 圆的位置 线2条 关系 内切：d=R-小，联立方程有一解，公切线1条 圆与圆的位置关系 内含：d<R-小，联立方程无解，公切线0条 公共弦所在直线方程 两圆方程相减（消去×和y项）即得公共弦方程 知识点 02:两圆 几何法（推荐）：先求公共弦方程，再求圆心到 公共弦长 公共弦的距离d,弦长=2「(2-d的 的公共弦 圆系方程 过两圆交点的圆系：C1+λC2=0(久≠-1) 知识点 求公切线方程 设切线为一般式Ax+By+C=0 03:两圆 外公切线长：J(d-R-rA 的公切线 公切线长 内公切线长：(d-R+r)) ◇ 知1识1精|讲 知识点01圆与圆的位置关系 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、圆与圆的位置关系 两圆相交，由两个公共点： 两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点 两圆相离，包括外离与内含，没有公共点外离 二、圆与圆的位置关系的判定方法 几何法：利用圆心距和两圆半径比较大小，设圆O1与圆02的圆心距为d,则有 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r+r2 四条 外切 d=r+r2 三条 d 相交 Ir-r2l<d<r+r2 两条 内切 d=ri-r2l d ra 一条 内含 d<ri-r2l 无 代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断： 当△>0时，两圆有两个公共点，相交： 3/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当△=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切： 当△<0时，两圆无公共点，包括内含与外离： 即时即练(25-26高二上安徽安庆期末)已知圆E:x2+y2-4x-6y+9=0,圆F: x2+y2-8x-10y+37=0,则这两圆的位置关系为() A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 【方法总结】 判断两圆位置关系，只需比较圆心距与半径和、半径差的大小：大于和则外离，等于和则外切，介于差与 和之间则相交，等于差则内切，小于差则内含。 知识点02 两圆的公切线 两圆公切线位置情况 位置关系 公切线条数 图示 外离 4 外切 02 相交 2 .O 内切 1 4/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 内含 0 02 二、 求两圆公切线方程 (1)判定两圆的位置关系，先确定公切线条数 (2)先判断公切线的斜率是否存在，若存在则设公切线方程y=k心+b,根据圆心到直线距离等于半 径得到方程组，求出k,b即可 三、求两圆公切线的长 1、外公切线长：外公切线长度等于圆心距d在切线方向上的投影，构造直角三角形，则有 L公=d2-(r1-r2月 2、内公切线长：内公切线与两圆心的连线相交，其长度等于圆心距d在切线方向上的投影，构造直角三角 形，则有L维=d-r1+r2月 即时即练(25-26高二上广东深圳阶段检测)已知两圆C:x2+y2-2axr+4y+a2-5=0和 C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0有2条公切线，则a的取值范围为（） A.（-0,-2)U(-1,+oo) B.(-0,-5)U(2,+0) C.(-5,-2)u(-1,2) D.(-5,2) 【易错提醒】 ①注意内公切线与外公切线区分，外离时有4条(2内2外)，外切有3条(1内2外)，相交仅2条外公 切线；②设切线方程时，斜率不存在的情况极易遗漏，需单独验证：③利用圆心到切线距离等于半径列方 程时，绝对值处理易出错，需根据切线位置判断符号。 知识点03 两圆的公共弦 一、两圆相交弦长 (1)公共弦所在的直线方程 若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则两圆公共弦所在直线 的方程为D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长 ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾 股定理求解。 二、圆系方程 若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交于A,B两点，则过A,B 两点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+入x2+y2+D2x+E2y+F2=0(1≠-1，不包含圆C2)】 即时即练 (2026江苏南京模拟预测)（多选）已知圆0：x2+y2=4与圆0：x2+y2-4x+4y-12=0。 则() A.圆O的圆心坐标为(2,2) B.圆心距|00，=2V2 C.圆0与圆0相交 D.圆0与圆0的公共弦的长为2W2 【方法总结】 ①两圆方程相减得公共弦方程，前提是两圆必须相交或相切，否则所得直线无意义；②相减时需将两方程 化为同形式标准式或一般式，且对应系数一致，否则相减结果错误；③若两圆半径相等，公共弦方程为两 圆圆心连线的垂直平分线，注意验证弦长是否存在；④求弦长时，优先用几何法（圆心到公共弦距离）， 避免联立方程计算冗长。 03 题型突破 题型1判断圆与圆的位置关系 【例1)(25-26高二下·上海期中)圆0：x2+y2-2x=0与圆0：x2+y-4y=0的位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 【例2】(25-26高二下上海黄浦期中)圆G:x+y=4与圆℃：X+y-2x+4y=0的位置关系为 () A内含 B.外切 C.相交 D,内切 【技巧归纳】 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 判断圆与圆位置关系，关键是比较圆心距d与两圆半径和R+r、半径差|R-r 【变式11】(25-26高二下上海闵行期中)圆C:(x-2}+(y+3=8与圆C,:(x-3)+(y+2}=2的 位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 【变式1-2】(25-26高二下浙江开学考试)圆G:(x-1)+y2=2与圆C,:(x-)+(y-4}=1(teR)的位 置关系是() A.外离 B.相交 C.相切 D.内含 题型2根据两圆位置关系求参 【例1】(25-26高二下湖北襄阳期中)己知m,neR,若两圆x2+y2-4mx+4m2-1=0和 x2+y2-2y-4+n2=0外切，则2m+n的最大值为() A号 B.5 C.22 D.32 【例2】(2026陕西榆林三模)已知两点A(0,-),B(0,1),若圆C:(x-12+y2=m上存在点P使得 APBP=0,则实数m的取值范围是() A.(0,4 B.[4,+∞) c.(0,2] D.[2,+o) 【技巧归纳】 若告诉两圆相切，则需要考虑内切与外切两种情况，内切的话也需要考虑两种情况。 【变式2-1】(25-26高二上广东深圳期中)已知圆M:(x-32+0y-4}=4,点4(a,0),B(-a,0(a>0), 在圆M上存在点P,使得∠APB为钝角，则a的取值范围为 【变式22】(2026高二全国专题练习)己知圆C:(x-4)2+(0y+3}=4和两点A(-a,0),B(a,0(a>0),若 圆C上存在点P,使得∠APB=90°，则a的最小值为() A.6 B.5 C.4 D.3 题型3求两圆的公共弦方程或交点 【例1)(25-26高二上全国期中)圆x2+y2-10x-10y=0和圆x2+y-6x+2y-40=0的交点坐标是 () A.(10,-2)和(0,4) B.(10,0)和(-2,4)C.(0,-2)和(10,4)D.(4,-2)和 7/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (0,10) 【例2】(25-26高二上安徽合肥期末)设圆+y-2x-3=0与圆x2+y+2x-4y-4=0的交点为4、B, 则线段AB的垂直平分线的方程是() A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.4x-4y-1=0 【技巧归纳】 求两圆公共弦方程，直接相减两圆方程（消去x,y项）即得公共弦所在直线方程。若需求两交点，将公 共弦方程与任一圆联立解方程组即可；若只需判断公共弦存在，比较圆心距与两圆半径关系（相交或相切 时存在)。注意两圆方程需同系数（标准化），相减后若所得直线方程不唯一时需检查。 【变式31】(2026-陕西榆林模拟预测)已知圆x2+y-2x+2y-6=0与圆x2+y-6x+4y-4=0交于 A,B两点，则直线AB的方程为() A.x-y+3=0B.2x+y-2=0 C.x-2y+1=0D.2x-y-1=0 【变式32】(2026陕西榆林三模)己知圆C:(x-)+y2=1与圆C,:x2+(0y-3)=16相交于AB两点， 则直线AB的方程为. 题型4求两圆的公共弦长 【例1】(2026高三下四川成都专题练习)己知圆C:x+y=4,圆C,:x-2)+0-2)=8,则圆C和 圆C2的公共弦长为. 【例2】(2026天津滨海新区三模)圆℃：x2+少-4x+4y=12与圆C,:x+y-4=0的公共弦长为 【技巧归纳】 公共弦长用几何法：先求公共弦所在直线方程（两圆方程相减），再计算圆心到该直线距离d,最后用 2Vr-d(r为该圆半径)即得弦长。 【变式41】(25-26高三下·河南驻马店阶段检测)已知圆C:x2+y2-4x-2y=0与 C2:x2+y2-2x-5=0,则圆G与圆C的公共弦长为 【变式42】(25-26高二下·上海期中)已知圆x+y-4y-1=0与x+y+4x-1=0相交于A、B两点， 则公共弦AB的长为() A.3 B.25 C.√23 D.223 8/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型5两圆的公切线条数 【例1】(2026河北保定二模)已知⊙C,:(x-2+(0-a=16关于直线x+y-5=0对称， ⊙C2:(x-1)+(+1)}=1,则⊙C与⊙C,的公切线的数量为() A.1 B.2 C.3 D.4 【例2】(25-26高二下安徽马鞍山期中)若圆C:x+(y+2=4与圆D:(c+4+(0-°=9的公切线条 数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【技巧归纳】 公切线条数由位置关系决定：外离4条，外切3条，相交2条，内切1条，内含0条。先由公切线条数反 推位置关系，再用圆心距d与两圆半径和R+r、半径差|R-r|的不等式/等式建立含参方程，解出参数范 围。注意含参时需验证两圆方程本身表示圆的条件 【变式51】(2026山东模拟预测)已知圆C:?+y=4与圆C:x+y-8x-6y+m=0有且仅有三条 公切线，则m的值为 【变式52】(2026福建泉州模拟预测)已知圆0：(x-a+y=9与0，：x2+(0y-2b)=1恰有一条公切线， 则a+b的最大值为() A.√2 B.3 C.5 D.2W5 题型6求公切线的方程 【例1】(2026新疆鸟鲁木齐二模)（多选）已知圆G:x+y=1和圆C2:(x-V22+y-V22=1,则下 列直线与两圆都相切的是() A.x+y+2=0 B.x+y-√2=0 C.x-y+V2=0 D.x-y-√2=0 【例2】(25-26高三下天津南开阶段检测)设直线：y=c+bk<0),圆G:x2+y2=1,C2:(x-4)2+y2=1 若直线1与C,C2都相切，则1方程为 【技巧归纳】 求公切线方程，关键是设切线为一般式Ax+By+C=0,利用圆心到切线距离等于各自半径建立方程组求 解。若两圆外离或外切，公切线有4条或3条，注意内公切线和外公切线的区分，计算量大，需先判断位 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 置关系再确定切线类型。可先求外公切线（斜率存在时），再处理内公切线，斜率不存在的情况单独验证。 【变式61】(25-26高二上：广东广州期末)己知圆C:x+y=1与圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0相内切， 则C1与C,的公切线方程为() A.3x-4y-5=0 B.3x+4y-5=0 C.4x-3y-5=0 D.4x-3y+5=0 【变式62】(25-26高二上重庆期中)写出与圆x+y=1和(x-22+(y-2=4都相切的一条直线 的方程 题型7求公切线长 【例1】（多选）(25-26高二上吉林长春阶段检测)己知圆C:(x-1)+y2=8和圆 C2:(x-5)}2+(y-4)=8,下列说法正确的是() A,两圆相内切 B.两圆相外切 C.x+y-5=0是两圆的公切线 D.x-y+3=0是两圆的公切线 【例2】(25-26高二上江苏常州期中)已知圆G:(c-)2+y=1和圆C2:x2+y-4x-4y+4=0,则圆 C与C,公切线段的长度为 【技巧归纳】 公切线长指两圆外公切线切点间距离或内公切线切点间距离，利用勾股定理或平移直线法计算：两圆半径 差与圆心距构成直角三角形求外公切线长，半径和与圆心距构成直角三角形求内公切线长。注意区分内、 外公切线，并确保两圆位置关系对应（外离或外切时公切线存在）。 【变式7-1】(25-26高二上天津南开阶段检测)已知圆0：x+y2-2x=0和圆 0,:x2+y2-6x-2y+6=0,则下列结论中正确的是（） A.圆O2与x轴相切 B.两圆公共弦所在直线的方程为2x-y-3=0 C.有且仅有一个点P,使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 D.两圆的公切线段长为√7 【变式7-2】(2025高三·全国专题练习)圆C:x2+y2=4与圆C,:(x-4)+y2=1的一条公切线长为 (填入一个答案即可)， 10112 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 04 过关检测 1.(25-26高三下山西太原·阶段检测)在平面直角坐标系x0y中，已知圆O:x2+y2=r2(0<r<V10)与圆 C:(x-1)2+(y-2)2=10的两条公切线互相垂直，则r=() 10 B 5 2 C.2 D.5 2.(25-26高二上江西赣州期末)若圆0：x2+y2=16与圆0：(x-5+y2=r2(>0)外切，则r= () A.1 B.2 C.9 D.1或9 3.(25-26高三·全国一轮复习)经过点M(3,-1),且与圆C:x2+y2+2x-6y+5=0相切于点N(1,2)的圆 的方程为 4.(2026重庆模拟预测)设圆M:x2+y2=1与圆N:(x-1)+(y-=2交于P,9两点，则线段 P0的长度为() A B. 2 C.5 D.via 2 5.(25-26高二上江苏南京期末)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2y-6=0(a>0)的公共弦长为25，则 a=() A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 6.(2026新疆乌鲁木齐·二模)（多选）已知圆C:x2+y2=1和圆C2:(-V2)2+(y-V2)=1,则下列直 线与两圆都相切的是() A.x+y+V2=0 B.x+y-V2=0 C.x-y+V2=0 D.x-y-V2=0 7.(25-26高二上山东菏泽阶段检测)写出与圆(x-4)+(y+3=16和圆x2+y2=1都相切的所有直线 的方程 (写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分) 8.(25-26高二上四川资阳期末)己知圆C经过点A(2,2),半径小于5，圆心在直线x+y-1=0上，直 线1：3x-4y+5=0与C相切；圆C,与圆C关于直线y=x对称. (1)求圆C的方程： (2)求圆C与圆C,的公切线的条数，并求公切线段的长度： 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(2026福建福州三模)己知⊙0：x2+y2=4与⊙C交于A,B两点，且四边形0ACB的面积为2V3, 则⊙C的方程不可能是() A.(x+3}+b+5=4 B.（x-5+(y+3)2=4 c.(x+2)+0-2=4 D.(x-12+y+2=4 10.(2026河南信阳模拟预测)已知点M(a,0),V(4,6)到同一直线的距离分别为7,3，若这样的直线恰 有2条，则a的取值范围为() A.（-12,4)B.（6,4) C.（-4,12) D.（-6,12) 12112 第2.3讲 圆与圆的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断圆与圆的位置关系 题型2 根据两圆位置关系求参 题型3 求两圆的公共弦方程或交点 题型4 求两圆的公共弦长 题型5 两圆的公切线条数 题型6 求公切线的方程 题型7 求公切线长 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 判断圆与圆的位置关系 利用两圆心距与两半径之和、两半径之差比较：外离、外切、相交、内切、内含。易错：混淆半径之和与半径之差的大小关系，或漏掉内切（等于差）的情况。 2. 根据两圆位置关系求参 已知位置关系，利用圆心距与半径和差的不等关系列不等式或等式求参数。易错：参数使半径为正的条件遗漏，或位置关系对应的不等号方向写反。 3. 求两圆的公共弦方程或交点 两圆方程相减即得公共弦所在直线方程；再联立直线与任一圆方程求交点。易错：两圆不相交时相减得到的是根轴而非公共弦，需先判断位置关系。 4. 求两圆的公共弦长 利用垂径定理：求出公共弦心距（圆心到公共弦的距离），再结合半径与半弦长构成直角三角形求解。易错：公共弦心距计算时使用哪个圆心均可，但需用正确半径。 5. 两圆的公切线条数 根据位置关系判断公切线条数：外离4条，外切3条，相交2条，内切1条，内含0条。易错：内切与内含的条数混淆，或忘记外切比相交多一条。 6. 求公切线的方程 利用圆心到公切线距离等于半径列方程，解斜率与截距。常设斜截式或一般式，注意斜率不存在时竖直公切线需单独讨论。易错：漏掉斜率不存在情形，或两圆在同侧/异侧切线条件区分不清。 7. 求公切线长 公切线长指两切点间的线段长度，可构造直角梯形或直角三角形，利用勾股定理结合两圆半径与圆心距求解。易错：误将切线长当作切线段的长度（从切点到切点）。 学习重点：掌握两圆位置关系的五种判断方法（利用圆心距与半径和差）；理解公共弦方程是通过两圆方程相减得到；熟记公切线条数与位置关系的一一对应；掌握公切线方程的列式思路（圆心到直线距离等于半径）。 学习难点：求公切线方程时斜率不存在情形的讨论；外切与内切时公切线特殊位置的判断；已知位置关系求参数时，圆心距与半径和差的不等式组中端点值（等于）需对应相切情况，容易漏解或范围不完整；公共弦长计算中准确找到弦心距与半弦长的直角三角形关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系 两圆相交，由两个公共点； 两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点 两圆相离，包括外离与内含，没有公共点外离 二、圆与圆的位置关系的判定方法 几何法：利用圆心距和两圆半径比较大小，设圆与圆的圆心距为，则有 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 四条 外切 三条 相交 两条 内切 一条 内含 无 代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当时，两圆有两个公共点，相交； 当时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切； 当时，两圆无公共点，包括内含与外离. 即时即练（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】C 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 【方法总结】 判断两圆位置关系，只需比较圆心距与半径和、半径差的大小：大于和则外离，等于和则外切，介于差与和之间则相交，等于差则内切，小于差则内含。 知识点02 两圆的公切线 1、 两圆公切线位置情况 位置关系 公切线条数 图示 外离 4      外切 3    相交 2      内切 1    内含 0    2、 求两圆公切线方程 （1） 判定两圆的位置关系，先确定公切线条数 （2） 先判断公切线的斜率是否存在，若存在则设公切线方程,根据圆心到直线距离等于半径得到方程组，求出即可 三、求两圆公切线的长 1、外公切线长：外公切线长度等于圆心距在切线方向上的投影，构造直角三角形，则有 2、内公切线长：内公切线与两圆心的连线相交，其长度等于圆心距在切线方向上的投影，构造直角三角形，则有 即时即练（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对，可化为，圆心，半径 对，可化为，圆心，半径 圆心距的平方 因为两圆有2条公切线，所以得，平方得 左不等式： ，解得或 右不等式： ，解得 综上 【易错提醒】 ①注意内公切线与外公切线区分，外离时有4条（2内2外），外切有3条（1内2外），相交仅2条外公切线；②设切线方程时，斜率不存在的情况极易遗漏，需单独验证；③利用圆心到切线距离等于半径列方程时，绝对值处理易出错，需根据切线位置判断符号。 知识点03 两圆的公共弦 一、两圆相交弦长 （1）公共弦所在的直线方程 若圆与圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程为 （2）公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 二、圆系方程 若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为 即时即练（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 【方法总结】 ①两圆方程相减得公共弦方程，前提是两圆必须相交或相切，否则所得直线无意义；②相减时需将两方程化为同形式标准式或一般式，且对应系数一致，否则相减结果错误；③若两圆半径相等，公共弦方程为两圆圆心连线的垂直平分线，注意验证弦长是否存在；④求弦长时，优先用几何法（圆心到公共弦距离），避免联立方程计算冗长。 题型1 判断圆与圆的位置关系 【例1】（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 【例2】（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 【技巧归纳】 判断圆与圆位置关系，关键是比较圆心距与两圆半径和、半径差 【变式1-1】（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 【变式1-2】（25-26高二下·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【答案】A 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 所以， 即，所以圆与圆外离. 题型2 根据两圆位置关系求参 【例1】（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两圆的圆心和半径，再依据两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式法即可得答案. 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 【例2】（2026·陕西榆林·三模）已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，点在以为直径的圆上，根据圆与圆的位置关系可得的范围. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 又因为点在圆上，所以， 即， 所以，解得. 【技巧归纳】 若告诉两圆相切，则需要考虑内切与外切两种情况，内切的话也需要考虑两种情况。 【变式2-1】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】设圆，在圆上存在点，使得为钝角，意味着点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含，利用圆与圆的位置关系，列方程可得答案. 【详解】如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角， 所以点 在圆内，等价于圆与圆 相交，内切或内含， ，得. 所以的取值范围为.    【变式2-2】（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 题型3 求两圆的公共弦方程或交点 【例1】（25-26高二上·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先求得公共弦所在直线的方程，联立直线方程与其中一个圆的方程可得交点坐标. 【详解】圆和圆, 两圆方程相减可得公共弦方程为， 联立方程，解得或， 可得两圆的交点坐标为和， 故选：B． 【例2】（25-26高二上·安徽合肥·期末）设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两圆心连线即是两圆公共弦的垂直平分线，结合两点式直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线， 所以直线方程为，即， 故选：A. 【技巧归纳】 求两圆公共弦方程，直接相减两圆方程（消去项）即得公共弦所在直线方程。若需求两交点，将公共弦方程与任一圆联立解方程组即可；若只需判断公共弦存在，比较圆心距与两圆半径关系（相交或相切时存在）。注意两圆方程需同系数（标准化），相减后若所得直线方程不唯一时需检查。 【变式3-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 【变式3-2】（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 题型4 求两圆的公共弦长 【例1】（2026高三下·四川成都·专题练习）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【分析】先用两圆方程相减得到公共弦方程，再用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后用勾股定理即可求解. 【详解】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 【例2】（2026·天津滨海新区·三模）圆与圆的公共弦长为__________． 【答案】 【分析】两圆的方程相减，求得公共弦所在的直线方程为，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆与圆， 两圆的方程相减，可得，即， 即圆与的公共弦所在的直线方程为， 又由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 【技巧归纳】 公共弦长用几何法：先求公共弦所在直线方程（两圆方程相减），再计算圆心到该直线距离，最后用​（为该圆半径）即得弦长。 【变式4-1】（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 【变式4-2】（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 题型5 两圆的公切线条数 【例1】（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 【例2】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 【技巧归纳】 公切线条数由位置关系决定：外离4条，外切3条，相交2条，内切1条，内含0条。先由公切线条数反推位置关系，再用圆心距与两圆半径和、半径差的不等式/等式建立含参方程，解出参数范围。注意含参时需验证两圆方程本身表示圆的条件 【变式5-1】（2026·山东·模拟预测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 【变式5-2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合辅助角公式，正弦函数的性质即可求解． 解法二：先根据圆与圆的位置关系得到，令，从而得到关于的一元二次方程，再结合，求解即可． 解法三：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合求解即可． 【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 题型6 求公切线的方程 【例1】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 【例2】（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 【技巧归纳】 求公切线方程，关键是设切线为一般式，利用圆心到切线距离等于各自半径建立方程组求解。若两圆外离或外切，公切线有4条或3条，注意内公切线和外公切线的区分，计算量大，需先判断位置关系再确定切线类型。可先求外公切线（斜率存在时），再处理内公切线，斜率不存在的情况单独验证。 【变式6-1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二上·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 【答案】，，，(写一条即可） 【分析】设公切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径，列方程，解方程即得答案. 【详解】圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 圆心距， 两圆外离，因此存在四条公切线. 设所求直线的方程为 ，化为一般式为：， 依题意得：， 解得：或或或， 故公切线方程为：，，，. 故答案为：，，，（写一条即可）. 题型7 求公切线长 【例1】（多选）（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知圆和圆，下列说法正确的是（   ） A．两圆相内切 B．两圆相外切 C．是两圆的公切线 D．是两圆的公切线 【答案】BCD 【分析】求出圆心距与半径之和比较即可判断A，B选项；分别求出两圆圆心到直线和的距离，与半径比较，即可判断C，D选项. 【详解】由题可得,,,，所以，所以两圆相外切，故A错误，B正确； 对于C选项，圆心到的距离为, 同理圆心到的距离为,所以是两圆的公切线，故C正确； 对于D选项,圆心到的距离为, 同理圆心到的距离为,所以是两圆的公切线，故D正确； 故选：BCD 【例2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 【技巧归纳】 公切线长指两圆外公切线切点间距离或内公切线切点间距离，利用勾股定理或平移直线法计算：两圆半径差与圆心距构成直角三角形求外公切线长，半径和与圆心距构成直角三角形求内公切线长。注意区分内、外公切线，并确保两圆位置关系对应（外离或外切时公切线存在）。 【变式7-1】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】C 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆与圆之间的位置关系、勾股定理等知识逐项计算即可. 【详解】将圆和圆化成标准方程为： 圆和圆， 所以两个圆的圆心坐标和半径分别为. 因为与轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆与轴不相切，A错误； 因为，所以两圆相交， 所以两圆的公共弦所在直线方程为两个圆的方程相减，得到方程， 即，所以B错误； 因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线，C正确； 根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误； 故选：C. 【变式7-2】（2025高三·全国·专题练习）圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 1．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，结合两圆的位置关系，可得四边形与四边形均为正方形，结合勾股定理，列式求解，即可得答案 【详解】圆C的圆心为，半径，圆O的圆心为， 因为，所以在圆C内部， 因为两圆有两条公切线，且垂直，所以两圆相交， 设圆C与两切线分别交于点A、B，圆O与两切线分别交于点D、E，两切线交于点F， 连接CA、CB、OD、OE、OC，过O作，如图所示， 则四边形与四边形均为正方形， 则四边形为矩形，且，， 在中，，所以， 则，即，解得或（舍）， 2．（25-26高二上·江西赣州·期末）若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 【答案】A 【分析】利用两圆外切的性质列方程求解即得. 【详解】圆：的圆心为，半径为， 而圆：的圆心为，半径为， 因两圆外切，则，解得. 故选：A. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）经过点，且与圆相切于点的圆的方程为______． 【答案】 【分析】先设圆的方程，求出已知圆的圆心坐标与半径，再根据条件圆过点且与圆相切于点，列出方程组可求相应参数，从而可求方程． 【详解】设所求圆方程为， 圆即的圆心为，半径为， 由题意得，所以，解得， 所以 所以所求圆的方程为． 故答案为：． 4．（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆，圆. 展开圆：，即. 两圆方程相减得公共弦：. 圆心到直线的距离：. 圆半径，弦长. 5．（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】圆：，圆：. 两式相减得公共弦所在直线方程：，即 圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离 由公共弦长，得弦长一半为，由，即 解得，又，故. 代入圆：.得圆心，半径 圆心距，因为所以 所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. 6．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 7．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 【答案】，和 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1； 圆的圆心为，半径为4， 圆心距为，所以两圆外切， 如图，有三条切线，可得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以； 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上取点，设其关于的对称点为，则， 解得，则， 所以直线，即， 综上，切线方程为，和. 8．（25-26高二上·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【答案】(1) (2)条， 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆心到切线的距离等于半径，圆上点到圆心的距离也等于半径，列出方程，得出圆心坐标及半径，再根据对称得出答案； （2）先确定两圆的位置关系，再利用公切线长度公式即可求得答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. 9．（2026·福建福州·三模）已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据选项分析得两圆半径相等，四边形为菱形，相交弦与圆心连线垂直平分，由面积公式和几何关系解得圆心距只能为2或，计算各选项圆心到原点的距离，只有D不满足，故D不可能. 【详解】所有选项中的半径均为2，已知半径也为 2，因此四边形 是边长为2的菱形，如图所示，四边形 面积为， 其中，设， 代入 得方程解得 或 . 选项 A：圆心 ，，符合条件； 选项 B：圆心 ，，符合条件； 选项 C：圆心 ，，符合条件； 选项 D：圆心 ，，不符合条件，因此，的方程不可能是D. 10．（2026·河南信阳·模拟预测）已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为由圆与圆相交，求参数范围即可. 【详解】以为圆心，7为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为， 若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而， 所以，即，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $