2.1 圆的方程（分层作业练题型）数学苏教版高二选择性必修第一册

分层作业 2.1 圆的方程 目 录 A组 巩固过关 题型01 由圆心求圆的方程 题型02已知三点求圆的方程 题型03 圆过定点问题 题型04 判断点与圆的位置关系 题型05 点与圆位置关系求参数 题型06 圆的对称性的应用 题型07 点与直线的最值问题 题型08 过圆内定点弦长最值问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 由圆心求圆的方程 题型01 1．已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 已知三点求圆的方程 题型02 4．已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 5．已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 圆过定点问题 题型03 7．在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 8．已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 9．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 判断点与圆的位置关系 题型04 10．（多选）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 11．已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选）在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（    ） A．当时，直线的方程为 B．当为的中点时，直线的斜率为 C．当面积最小时，其外接圆的方程为 D．点在的外接圆内 点与圆位置关系求参数 题型05 13．在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．已知点在圆：上，则圆的半径为__________． 15．若圆与曲线有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 圆的对称性的应用 题型06 16．由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 17．（多选）已知曲线，则（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线上任意一点到原点的最大距离为 C．曲线所围成图形的面积为 D．函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点 18．已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 点与直线的最值问题 题型07 19．已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 20．在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 21．已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 过圆内定点弦长最值问题 题型08 22．当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（   ） A． B． C． D． 23．已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（    ） A． B． C． D． 24．已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； 2．圆关于直线对称的圆的方程为___________． 3．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 6．（多选）已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 7．已知点在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点都有（   ） A． B． C． D． 8．已知方程表示圆，则a的值不可能为（     ） A． B． C． D． 9．的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 10．若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 2．圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 4．（多选）已知曲线E的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（   ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E围成的图形面积为 C．若点在曲线E上，则 D．若圆能覆盖曲线E，则的最小值为 5．已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为______． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.1圆的方程 参考答案 A组 巩固过关 题型01 由圆心求圆的方程 1.A 2.B 3. (x-1)2+y2=5 题型0 已知三点求圆的方程 4.C 5. C 6.B 题型03 圆过定点问题 2在00和3】 8.B 13 9. (0,1): 22 题型04 判断点与圆的位置关系 10.ABD 11.C 12.ABD 题型05 点与圆位置关系求参数 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.B 14.2V2 15.B 题型nk 圆的对称性的应用 16.B 17.BCD 18.42 题型07 点与直线的最值问题 19.7 20.[18,22] 21.A 瓶型OR 过圆内定点弦长最值问题 22.B 23.D 24.D B组 能力进阶 1.(1(x+2)2+(y+12=9 (2)(x-3)2+(y-2)2=2 2.(x-1)2+(y+2)2=5 3.D 4.A 5.(x-3)}2+(y-5}2=34 6.AC 7.D 8.D 9.(1)3x+5y-12=0 213 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)x2+0y+3)2=25 (3)x2+y+3)2=25 10.D C组 思维拔高 1.(1)x2+y2-4x-6y+4=0 p++*-9 2.A 3.65-2 4.ABC 5.-4 313 分层作业 2.1 圆的方程 目 录 A组 巩固过关 题型01 由圆心求圆的方程 题型02已知三点求圆的方程 题型03 圆过定点问题 题型04 判断点与圆的位置关系 题型05 点与圆位置关系求参数 题型06 圆的对称性的应用 题型07 点与直线的最值问题 题型08 过圆内定点弦长最值问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )由圆心求圆的方程 1．已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 2．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 3．经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 【答案】 【详解】设圆心为 ，因为圆心在直线 上，故. 圆经过 、，所以圆心到两点的距离相等，可得， 两边平方得， 展开得， 化简， 代入 ，得. 所以圆心为 ，半径. 故圆的标准方程为. ( 题型0 2 )已知三点求圆的方程 4．已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意建立直角坐标系，设外接圆的半径，从而求得所需各点坐标，进而利用向量相等求得点坐标，代入外接圆的方程得到，由此利用基本不等式即可得解. 【详解】以边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图，    （为边的中点），由外接圆的性质得， 因为为锐角且，所以， 设外接圆的半径，则， 因为，所以，， 所以，，，设， 则外接圆的方程为：， 因为， 所以. 则，解得， 则， 代入外接圆方程得： ，整理得：， 由基本不等式得：，当且仅当取等号. 化简得：，解得或， 由图知：，所以，故的最大值为. 5．已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 6．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点坐标公式求出三角形三边中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组求解出方程系数，进而得到九点圆方程. 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． ( 题型0 3 )圆过定点问题 7．在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，和. 【分析】（1）根据已知得到圆心在直线上，设圆心，利用半径列方程求参数，即可得； （2）设，得，根据三点共圆，应用待定系数法求得圆的方程为，进而求圆所过的定点. 【详解】（1）已知点，则的中点坐标为， 由三点共圆，且，所以圆心在直线上， 设圆心，所以，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，设，所以，则， 设圆的一般方程为，圆过点， 令可得的两个根为0和，所以， 所以方程为，再代入，解得， 所以方程为， 所以， 所以，解得或. 所以过点三点的圆存在定点和. 8．已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】将代入圆的方程进行求解． 【详解】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足， 故, 故选：B. 9．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 【答案】， 【分析】由题设，令其为，令则是的两个根，经过，，三点的圆为，将点代入得，，进而有，令求定点坐标. 【详解】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，. 故答案为：， ( 题型0 4 )判断点与圆的位置关系 10．（多选）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 11．已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点到圆心的距离与半径的大小关系判断即可。 【详解】因为圆的标准方程是，所以圆心在原点，半径， 选项A， ，所以点在圆外； 选项B， ,所以点在圆上； 选项C， ,所以点在圆内； 选项D， ,所以点在圆上； 故选：C 12．（多选）在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（    ） A．当时，直线的方程为 B．当为的中点时，直线的斜率为 C．当面积最小时，其外接圆的方程为 D．点在的外接圆内 【答案】ABD 【分析】由两直线垂直斜率关系和点斜式可得A；结合中点坐标和斜率公式可得B；设出截距式方程，代入点，由基本不等式确定直线方程，再得到外接圆方程可得C；将点代入外接圆方程可得D. 【详解】对于A，，，， 直线的方程为，即，A正确； 对于B，设，因为的中点，所以， 可得,，B正确； 对于C，依题意设， 过，，，， ，当且仅当，时等号成立． 外接圆方程为，即，所以C错误； 对于D，的外接圆方程为， 整理得（*）， 将点代入（*）左边，得 又因为，所以 ，当且仅当，时等号成立， 点在的外接圆内，D正确． 故选：ABD． ( 题型0 5 )点与圆位置关系求参数 13．在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，曲线C表示原点； 当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 同理，可在平面直角坐标系内作出曲线C的完整图形（如图），又曲线C上的点到原点距离的最大值为， 所以． 14．已知点在圆：上，则圆的半径为__________． 【答案】 【详解】由点在圆上，且， 则，解得． 所以圆的半径为． 15．若圆与曲线有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆的圆心和半径，再将问题转化为圆心到直线的距离不超过半径的不等式，分析求解得到的取值范围. 【详解】圆的方程为，可得圆心，半径， 又的值域为，圆与曲线有公共点，等价于存在，使得直线与圆有交点， 直线与圆有交点的条件为圆心到该直线的距离不大于半径，即， 问题转化为存在使该不等式成立。该不等式化为， 因，故，所以，即， 要使存在满足此条件，需区间与有交集，故，解得， 综上，的取值范围是. ( 题型0 6 )圆的对称性的应用 16．由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用曲线方程化简，取确定圆在第一象限的部分，再根据绝对值呈现出的对称性作图，由图计算面积即可. 【详解】曲线可化为， 当时，解析式为， 易知曲线关于轴，轴，原点对称， 由题意作出图形： 则此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成， 所以曲线围成的图形的面积为. 17．（多选）已知曲线，则（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线上任意一点到原点的最大距离为 C．曲线所围成图形的面积为 D．函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点 【答案】BCD 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图象，由图可得答案. 【详解】已知曲线， 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线为原点； 因此，画出曲线的图象，如图所示， 对于A，曲线的图象有条对称轴，故A错误； 对于B，曲线上任意一点到原点的距离为，则， 由于，所以，当且仅当时取等号， 则，解得，所以曲线上任意一点到原点的最大距离为，故B正确； 对于C，由图象可知，曲线所围成的图形是由个半径为的半圆和个边长为的正方形组成， 因此曲线所围成的图形的面积为，故C正确； 对于D，由于，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，且，，如图所示， 当时，，在上单调递减，此时与曲线有个交点； 当时，，在上单调递增，此时与曲线有个交点； 因此函数的图象与曲线的图象在第一象限有个交点， 根据函数的对称性，函数的图象与曲线的图象在第二象限也会有个交点， 所以函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点，故D正确. 18．已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 【答案】 【详解】由题意得，点在直线上， 因为原点到直线的距离为， 则圆心到原点的距离的最小值为， 则圆上任意一点到原点的距离的最小值为 ( 题型0 7 )点与直线的最值问题 19．已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 【答案】 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】圆心，半径为， 直线过定点， 圆心到直线的最大距离， 所以到直线的最大距离为. 20．在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用解析法求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， 设三角形内切圆半径为，则， 即，解得，所以圆心为， 故圆的方程为，设， 则 21．已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意求出圆的圆心到直线的距离，减半径得答案． 【详解】圆的圆心， 圆心到直线的距离, 故直线与圆相离． 的最小值为． ( 题型0 8 )过圆内定点弦长最值问题 22．当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的几何性质来判断最短弦长的位置关系. 【详解】直线过定点， 圆的标准方程为，则圆心为，半径为． 当时，直线与圆相交所得弦长最短，因为， 所以直线的斜率为，故，解得． 23．已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线所过的定点与圆的位置，结合圆的几何意义、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】 ，所以该直线恒过定点， 因为， 所以定点在该圆的内部， 圆的圆心为，半径为， 当直线与直线垂直时， 直线被圆截得的弦最小， 则有， 由， 所以，即， 化简为：. 因为圆心到直线的距离为， 因为，， 所以圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为. 24．已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】定点与圆心连线垂直于直线时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小. 【详解】因为圆，圆心，半径， 直线过定点， 则定点到圆心的距离， 故定点在圆内，定点与圆心连线垂直时，此时弦长最小， 故最小值为. 故选：D. 1．根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程即可. （2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程即可. 【详解】（1）由条件可知，圆心为， 所以圆的标准方程为. （2）由题意得，所以半径， 由中点坐标公式得圆心为， 所以圆的标准方程为. 2．圆关于直线对称的圆的方程为___________． 【答案】 【详解】由圆，将其化为标准式可得， 所以圆心坐标为，半径为， 由圆与圆关于直线对称，则可得圆心坐标为，半径为， 所以圆的标准方程为. 3．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 4．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意得，设，建立平面坐标系，由得四点共圆，进而得圆心的坐标，即得圆的方程，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意得：，又， 所以， 设，如图所示， 由，所以，所以， 所以，所以四点共圆， 又过点三点的圆的圆心在轴上，所以， 连接，由，所以，解得， 所以过点三点的圆的方程为， 由，令，连接， 所以， 又点在圆上，且满足，所以，， 所以. 5．已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 【答案】 【分析】利用待定系数法联立方程即可求解. 【详解】设圆心为，半径为r，则圆的标准方程为. 由题意可得方程组. 解此方程组，得， 故所求圆的方程为. 6．（多选）已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 【答案】AC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以，故的取值范围为，A正确； 由圆的标准方程知圆心为，半径为，故B错误； 当时，半径为，C正确； 当时，半径为，圆面积为，D错误． 7．已知点在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点都有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先识别曲线是，结合图象可知同一个张角可对应曲线上不同点，不能唯一确定m、n，判断选项A、C；同一个横坐标m，右半圆上有上下两个点，对应两个不同的，判断选项B；右半圆上同一个纵坐标n只对应唯一一点P，张角随之唯一确定，判断选项D． 【详解】曲线是以原点为圆心，半径的右半圆，即， 在曲线上，满足，， 当位于点或时，， 则，即当时，可取0或1，可取或0， 故都不是关于的函数，故A、C错误； 当时，可能位于点或点处， 而，故一个可能得到两个不同的，不是关于的函数，故B错误； 是点处对线段的张角， 在右半圆上，同一个只对应唯一的点，张角唯一确定， 即是关于的函数，即，故D正确． 8．已知方程表示圆，则a的值不可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，整理可得，解得， 且，，，， 故ABC不符合题意，D符合题意. 9．的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用点斜式求出方程即可； （2）根据直线的斜率，求出的中垂线斜率，结合的中点，得到的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心，即为半径，根据圆心半径写出圆的标准方程即可. （3）由（2）得圆心的坐标，结合的距离等于半径，判断得到的外接圆方程. 【详解】（1）边的中点．中线过与，斜率， 故：，即． （2）的中点为，的斜率为，故的垂直平分线方程为． 圆心在直线上，联立 解得．半径，故圆的标准方程为． （3）由（2）得圆心，又， ，， 故三点均在圆上，所以的外接圆就是圆，方程为． 10．若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，几何意义是点到原点的距离的平方. 【详解】，化为标准方程为， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 的几何意义是点到原点的距离的平方， 在平面直角坐标系中画出草图，分析可知， 当三点共线且在中间时， 距离取最小值为， 所以的最小值为. 1．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 2．圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定圆的圆心与半径，从而根据圆的标准方程进行求解. 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 3．已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】建系后由距离关系得的轨迹为圆，在定直线上，将对称转化，问题化为圆上点到定点距离的最小值，再减去半径可得结果. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，，设动点， 由平方得整理配方得 ，即的轨迹是以为圆心，半径的圆在矩形内的部分. 在直线上，作关于的对称点，由对称性质得， 因此，对圆上动点，的最小值为定点到圆心的距离减去半径. 由于，故，即的最小值为. 4．（多选）已知曲线E的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（   ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E围成的图形面积为 C．若点在曲线E上，则 D．若圆能覆盖曲线E，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，通过推理、计算判断即可． 【详解】1、曲线E上任意点满足：， 该点关于的对称点也满足：， 即由曲线E上任意点关于直线的对称点仍在曲线E上，故选项A正确； 2、因为点在曲线E上，点，点也都在曲线E上，则曲线E关于x轴，y轴对称， 当时，曲线E的方程为， 曲线E表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点）， 因此，曲线E是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成，如图，    所以曲线E围成的图形的面积是，故选项B正确； 3、若点在曲线E上，则，所以， 所以，故选项C正确； 4、曲线E上的点到原点距离最大值为， 圆能覆盖曲线E，则，故选项D不正确． 故选：ABC． 5．已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据阿波罗尼斯圆的性质得到三角形相似，进而得到比值和相应值． 【详解】如图所示，根据阿波罗尼斯圆的性质得，与相似， 于是有， 又，且阿波罗尼斯圆方程为， 所以，，因此，， 由于，因此，故的值为． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $