2.4.2 圆的一般方程（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“圆的一般方程”为核心，通过A、B、C组及高考拓展的分层设计，实现从基础巩固到思维拔高的递进，注重数学抽象与逻辑推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|圆心半径确定、二元二次方程条件等7个核心知识点|基础题型为主，配知识点速记，强化概念理解与基本运算| |B组能力进阶|轨迹方程、最值问题等综合应用|含多选、应用题，注重知识迁移与逻辑推理| |C组思维拔高|数学文化、新定义问题等创新题型|结合直观想象与数学建模，培养探究能力| |拓展链接高考|高考真题及模拟题|对接高考考点，提升应试能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.4.2 圆的一般方程 目录 A组巩固过关 知识点01由圆的一般方程确定圆的圆心和半径 知识，点02二元二次方程表示圆的方程的条件（易错点) 知识点03点与圆的位置关系 知识，点04求圆的方程（重，点） 知识，点05圆过定点 知识点06与圆有关的轨迹方程问题（难，点） 知识点07定点到圆上点的距离的最值（难点） B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组 巩固过关 知识点01 由圆的一般方程确定圆的圆心和半径 知识点速记： 圆的一般方程与标准方程的互化： 当D2+E2-4F>0时，二元二次方程x2+y+Dx+y+F=0叫做圆的一般方程. 购设方f+F0老+-D 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 心为》 圆的半径为，】D+E-F 题型巩固练： 1.(25-26高二下四川成都期中)圆x+y-2x-4y=0的半径为() 5 A.5 B.5 C.25 0.2 2.已知圆C的方程为x2+y2-2x-4=0,则圆C的圆心和半径分别是( ) A.C(1,0),r=5 B.C(1,0),r=5 C.C(2,0),r=5 D.C(2,0),r=V5 3.(25-26高二下广东深圳期中)已知圆C:x2+y2-2x+4y=0,则该圆的面积为（) A.5 B.5 c.5π D.5元 4.(2026山西忻州模拟预测)圆C:x2+y2-4x+2y=0的圆心到直线x-y+1=0的距离为() A.√2 B.2 c.22 D.3 5.(25-26高二上浙江阶段检测)已知圆M:r2+y-ax+3=0关于直线x+y-2=0对称，则a=() A.4 B.-4 C.2 D.-2 6.(25-26高二上山东济南期末)已知圆C:x2+y+4y+3=0,则圆C的半径r= 7.(25-26高二上·上海闵行期末)已知圆x2-2x+y2+4y=0,则圆心坐标为 8.在平面直角坐标系中，圆2的方程为x2+y2-20x-22y-2022=0,则圆2的面积为一 知识点02 二元二次方程表示圆的方程的条件 知识点速记： 二元二次方程Ax+By+Cy+Dx+Ey+F=0表示圆的方程的条件： ①x2与y项的系数相同且不为零： ②不含y项： ③D2+E2-4F>0,D2+E2-4F叫做圆的方程x2+y2+Dr+y+F=0的判别式. 对方程r2+y2+Dx+y+F=0: OD2+E2-4F>0时表示圆.。 ②0+E-4F0时表示店司分号引 D 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③D2+E2-4F<0时，不表示任何图形 题型巩固练： 9. (2026高三下陕西咸阳专题练习)若方程x2+y2-4x+2y+m2-2m+5=0表示圆，则整数m的值为 () A.2 B.1 C.0 D.-1 10.(25-26高二下·河南周口阶段检测)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+2x+4a=0表示圆，则圆心的 坐标为() A.1,0) B.(-1,0) .(威-0 11.(25-26高二上·上海青浦阶段检测)方程x2+y+2x+4y+a=0表示圆，则a的取值范围为 12.(25-26高二下·云南玉溪期末)若方程2x2+2y2+3+2+k=0表示圆，则实数k的取值范围是 13.(25-26高二下上海黄浦期中)若方程x2+a2y2+2x-a=0为圆的方程，则a的值为 14.(25-26高二上上海松江阶段检测)方程x2+y+4x-2y+5m=0表示圆，m的取值范围为， 知识点03 点与圆的位置关系 知识点速记： 平面上的一点M(,%)与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0之间存在着下列关系： (1)MC>r台M在圆外，即x,2+2+Dx,+Ey+F>0台M在圆外： (2)MC=r台M在圆上，即x,2+y,2+Dx+Ey+F=0台M在圆上： (3)MC<r台M在圆内，即x,2+y,+Dx,+E+F<0台M在圆内. 题型巩固练： 15. (2026山东一模)点P(1,-)与圆x2+y2-2x+4y+1=0的位置关系是() A.点P在圆上 B.点P在圆外 C.点P在圆内且不是圆心 D.点P在圆内且是圆心 16.(25-26高二上江苏盐城期中)点P(m,2)与圆(x-)2+(0y+1)2=8的位置关系为() A.点在圆内 B.点在圆上 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.点在圆外 D.与m的值有关 17.(25-26高二上陕西西安期末)若点P(0,1)在圆C:x2+y2+3y+a=0外，则a的取值范围为() A 44 C.(4,+o） D.（-4,9) 18 (25-26高二上河南开封期末)己知点P(-1,1)为圆x+y2+2x-4y+a=0外一点，则a的取值范围为 知识点04 求圆的方程 知识点速记： 求圆的方程一般有两种方法： ()待定系数法（代数法）：先设出圆的标准方程(c-a}+y-b}=r2或圆的一般方程 x2+y+Dx+y+F=0,根据已知条件列方程组，解方程组得到未知参数，从而得到圆的方程； (2)圆的性质（几何法）：利用圆的性质（圆的弦的垂直平分线过圆心），可求出弦的垂直平分线， 通过求垂直平分线的交点坐标得到圆的圆心，再利用圆心到圆上的点即为半径求出圆的方程。 题型巩固练： 19.(25-26高二上天津阶段检测)经过三点A1,-),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程是() A.x2+y2-7x-3y+2=0 B.x2+y2+7x-3y+2=0 C.x2+y2+7x+3y+2=0 D.x2+y2-7x+3y+2=0 20.(25-26高二下·上海阶段检测)某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m,拱高OP是6 m,在建造时，每隔3m需要一个吊杆吊起桥面，则吊杆AP的长为 (精确到0.01 m). P6 -60 B 21.(多选)(25-26高二上·安徽毫州期中)已知圆E与y轴相切，且经过两点M(1,0),N(2,),则圆 E的方程可能是() A.x2+y2-2x-4y+1=0 B.x2+y2-10x+6y+9=0 C.x2+y2-2x-2y+1=0 D.x2+y2-6x+2y+1=0 22.(25-26高二上重庆大足阶段检测)曲线C与曲线x2+y2-3x+5y=1关于直线y=-x对称，则曲线 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C的一般式方程为 23.(25-26高二上：内蒙古包头阶段检测)A(4,0),B(6,6),C(0,4).三角形ABC的外接圆方程为 24.(25-26高二上江苏南通期中)已知圆C的圆心在直线3x+2y=0上，且圆C与x轴的交点分别为 (-2,0),(6,0),则圆C的方程为 知识点05 圆过定点 知识点速记： 圆过定点问题：将圆的方程（含有参数）整理成f(化，)+g(x,)=0的形式（其中入为参数） 令f(x,y)=0且g(x,)=0,联立两个方程求解，得到的(，y)即为圆恒过的定点坐标。 题型巩固练： 25.(25-26高二上河南阶段检测)己知圆x2+y2-2ax+2a四+2a-2=0经过原点，则a=（) A.2 B.1 C.-1 D.-2 26.(23-24高二上湖北荆州期末)圆C:2+y2+ax-2y-5=0恒过的定点为() A.（-2,1),(2,-1) B.（-1,-2),(2,1) c.（-1,-2),(1,2) 0.（-2,-1),(2,1) 27.(25-26高二上湖北武汉：阶段检测)对任意实数a≠-2，动圆(a+2)x2+(a+2)y2-4x-2a=0恒过两 个定点，请写出一个定点坐标 28.(25-26高二上河南驻马店开学考试)若圆x+y+mx+5y+2m=0(m∈R)恒过两个不同的定点A, B,则AB= 知识点06 与圆有关的轨迹方程问题 知识点速记： 求曲线的轨迹方程的方法： (①)直接法：设动点坐标为(x,y),根据己知条件列方程，并化简方程得到动点的轨迹方程（注意条 件对x或y的限制)： (2)定义法：当题目中的条件满足曲线的定义，则直接根据定义写出曲线方程： 3)转移代入法：当动点P随已知曲线上一动点Q的变化而变化，则可设Px,y),用七，y表示点Q 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的坐标，代入Q满足的方程即得动点P的方程。 题型巩固练： 29. (直接法)(25-26高二上辽宁大连期中)若两定点A(-1,0),B(1,0),动点P满足V5PA=P8, 则动点P的轨迹围成区域的面积为() A.√3π B.3π C.4π D.2π 30.(转移代入法)(25-26高二上广东东莞期中)已知圆C:(c-3)}+y2=9，D是圆C上的动点，点 E(2,4),若动点M满足DE=EM,则点M的轨迹方程为（) A.a+0-2-号 B.(x-12+(y-82=9 C.(x-5)2+(y-8)2=9 D.(x-8)2+0y-1)2=9 31.(转移代入法)(25-26高二下·宁夏银川开学考试)已知4(2,0)，P为圆x2+y2=4上一动点，则线段 AP的中点B的轨迹方程为_ 32.(定义法)己知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),则直角顶点C的轨迹方程为 33. (直接法)(25-26高二下·湖北武汉期末)在平面直角坐标系中，已知A(1,2),B(5,6),动点C满足 CA.CB=-1,且C到一定点的距离为定值，则该定值为 知识点07 定点到圆上点的距离的最值 知识点速记： 当定点在圆外时，最大距离为d+r,最小距离是d-r,d是定点到圆心的距离。 当定点在圆内时，最大距离为d+r,最小距离是”-d,d是定点到圆心的距离。 题型巩固练： 34. (25-26高二上安徽期中)已知点P(2,0),点Q是圆C:(x-1)+(y+1)=1上任意一点，则P的最 大值为() A.√2-1 B.2 C.V2+1 D.2+2 35.(25-26高二上甘肃武威期末)己知圆C:2+y2=1,定点B(3,0),点A为圆C上任意一点，若点P 满足AP=2PB,则PC的取值范围为() 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A到 c.[2,4] D.[L,3] 36. (25-26高二上江苏盐城期中)点P(-3,1)在动直线mx+四-m-n=0上的投影为点M,若点N(3,3), 那么MN的最小值为一 37.(25-26高二下浙江期中)设M是圆C:x+(y-4=4上的动点，N是圆C,:(x-4)+y2=1上的动 点，O为坐标原点，则OM+2MN最小值是 B组 能力进阶 1.(24-25高二上浙江期中)己知圆C:x2+y2+2x+a=0,其中a∈R,下列各点中一定在圆C内的是 () A（-1,0) B.(0,-1) c.(0,0) D.(1,0) 2.(2026-上海杨浦模拟预测)圆x2+y+4x-2y+1=0关于直线ax-by+2=0(a>0,b>0)对称，则 1+2 a+6的最小值为() A.2 B.3+2W2 C.4 D.8 3.(易错)(2026湖北省直辖县级单位模拟预测)若点P(2,1)在圆x2+y+4x-2y+k-1=0外，则实数 k的取值范围为() A.（-10,+0）B.(-10,6) C.（-0,-10) D.(6,+o) 4.(23-24高二上广西玉林期末)若直线1在x轴、y轴上的截距相等，且直线1将圆x2+y2-2x+4y=0 的周长平分，则直线的方程为() A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.x+y+1=0或2x+y=0 D.x+y-1=0或2x+y=0 5.(24-25高二上辽宁锦州期末)“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月 洞门如图，某园林中的圆弧形月洞门高为2.5m,底面宽为lm,则该月洞门所在圆弧的半径为() 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.5m m A.1.5m B.1.4m c.1.3m D.1.2m 6.(25-26高二上江苏镇江期中)已知4A(-3,0),B(3,0)动点C(飞，y)满足C8 图-2，则ABC西预的级 大值为() A.6 B.12 C.16 D.24 7.(2026四川广元三模)已知0为坐标原点，动点P在⊙0：x2+y2=4上，点Q的坐标为(1,0)，且线 段PQ的中点为M,则OM的取值范围是() A[引 B.[0,2] c.[1,3] 52 8.(25-26高二上河南驻马店阶段检测)已知A(2,0),B(-1,0),点P满足PA=2PB,点Q在圆 C:(x+1)+(y-4}=1上运动，点M在直线x-y-2=0上运动，则PM+QM的最小值为() A.5√2-3 B.6√2-3 c.V73-3 D.45-3 9.(多选)(25-26高二上黑龙江牡丹江阶段检测)已知x+y2-4x+6y+k=0表示圆，则下列结论正 确的是() A.圆心坐标为(-2,3) B.当k=0时，半径r=13 C.圆心到直线x+y-1=0的距离为V2 D.当k=4时，圆面积为16π 10.(多选)(25-26高二下宁夏银川开学考试)设点A(3,0)和B(0,1)均在⊙M上，圆心M在直线 2x+y-1=0上，则下列结论正确的是() A.圆心为（山，-） B.半径为5 C.一般方程为x2+y2-2x+2y-3=0D.点M到直线AB距离为V10 11.(多选)(25-26高二上广东梅州阶段检测)在平面直角坐标系中，已知点A(-2,0),B(1,0),动点 c满足C4=2C,则() 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.C的轨迹方程为x2+y2-4x=0 B.△ABC的面积最大值为3 3 C.∠CAB的最大值为π D.B到直线AC的距离最大值为2 12.(2425高二上四川南充期中)己知圆C的圆心在直线y=-x+5上，且圆C过点(2,6)、(5,3)，若圆 C与圆C关于直线x+2y-2=0对称，则圆C'的标准方程为， 13.(25-26高三上湖南长沙阶段检测)已知圆C:(-6)+y2=16,B(4,0),Q(5,-),若点P是圆C上的 动点，则2PB+PO的最小值为 14.(25-26高二上宁夏固原期末)己知点A(2,0),B(1,3): (1)求线段AB的垂直平分线的方程； (2)若圆C经过A、B两点，且圆心在直线x+2y-2=0上，求圆C的一般式方程. 15.(25-26高二上河北石家庄期中)三角形ABC的三个顶点分别是A(4,0)、B(0,2)、C(3,). (1)求三角形ABC的面积 (2)求三角形ABC的外接圆G(G为圆心)的标准方程，并写出圆心和半径. 16.(25-26高二上江西景德镇期末)已知圆C的圆心为点C,其在直线x-2y+4=0上，且与x轴交于 两点A(-5,0)、B(1,0). (1)求△ABC的面积： (2)求圆C的标准方程： (3)已知Q(2,1),点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程. 17.(25-26高二上吉林长春期中)己知圆C过4(2,2)，B(6,0),且圆心在直线x-y-4=0上. (1)求圆C的方程： 2若点p的坐标是16,0，点Q是圆C上的一个动点，点M满足PW=P0,求点M的轨迹方程，并说明 轨迹的形状. C组 思维拔高 1.【直观想象】(25-26高二上辽宁大连期末)由曲线x+y2x+y川围成的图形面积等于() 9112 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 C.2K D.2+T 2.【数学文化】(25-26高二上江西萍乡·期中)汉代初年成书的《准南万毕术》记载：“取大镜高悬， 置水盆于下，则见四邻矣”这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例在平面直角坐标系O少中， 由点P(3,5)出发的一束光线经直线：x-y-2=0反射后到达圆C:(x+1)2+0y-3)=9上某一点，则光线经 过的最短路程为() A.2W17-3 B.3+2W2 c.25-3 D.59 3.【知识雕合】(2026河北泰皇岛模拟预测)直角。BC中，斜边B=3,A-名，动点p满足 PA=2PB,则P.4C的最大值为() A.6+43 B.9+3V3 C.12+45 D.16+8V3 4.【数学建模】(25-26高二上广东广州期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米 德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作 《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A,B的距离之 比为入(1>0,11)，则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定点A(-2,0),B(2,0)的距离 之比为√2时的阿波罗尼斯圆为(：-6矿+y=32.我们来研究与此相关的一个问题：己知圆0： x2+y2=4上的动点M和定点A(-1,0),B(1,),则2M4+MB的最小值为() A.2+V10 B.√21 C.V26 D.V29 5.【知识融合】(25-26高二上浙江杭州期中)己知在矩形ABCD中，AB=1,AE=V2,如图，将AABE 沿着BE向上进行翻折，使得点A与点S重合，若点S在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内部（包含 边界)，则动点S的轨迹长度是 6.【存在性问题】(25-26高二上江苏苏州期中)在平面直角坐标系x0y中，已知点A(3,4)与B(6,0), 点C为线段OA上的动点，点D为线段OB上的动点， 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求过点O,A,B三点圆的标准方程. (2)若ACHBD,试问过点O,C,D三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点若不存在，请说明理由 7.【探索性问题】(25-26高二上河北沧州阶段检测)已知圆心在x轴上的圆C过A(-2,4),B(5,3)两点， 其中0为坐标原点， (1)求C的标准方程： PM 2)设p为c上的一动点，M(-24,0)探究P0是不是定值，若是定值，求出该定值：若不是定值，请说 明理由 8.【新定义问题】(25-26高二上湖北襄阳阶段检测)在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间 的距离若有最大值，将这个最大值记为对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若 P,Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点P为图形W的“关联点”· A ●P2 E D P3● FL ●P4 图1 图2 (1)如图1，图形W是矩形A0BC,其中点A的坐标为(0,3)，点C的坐标为(4,3)，求出d的值在点 R(-1,0),B(2,8),(3,1),P(V2,-2中，哪些点为矩形AOBC的“关联点”？ (2)如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG,其中点D的坐标为(L,)若直线y=x+b上存在点P,使 点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围： 3)已知点M(1,0),N(0,V⑤)图形W是以T(化，0)为圆心，1为半径的⊙T.若线段MN上存在点P,使点P 为⊙T的“关联点”，求的取值范围. 拓展 链接高考 1,(2024北京高考真题)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为() 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.√2 B.2 c.3 D.3v2 2.(2015新课标Ⅱ高考真题)己知三点A1,0,B(0,V5,C2,V5),则△ABC外接圆的圆心到原点 的距离为( A哥 V21 3 D.3 3.(2023上海高考真题)已知圆的方程为x2+y2-4y-m=0,其面积为元，则m=一 4.(2024上海高考真题)正方形草地ABCD边长1.2，E到AB,AD距离为0.2，F到BC,CD距离为0.4，有 个圆形通道经过E,F,且经过AD上一点，求圆形通道的周长一·（精确到O.01) D E B 5. (2023上海高考真题)已知圆C的一般方程为x2+2x+y=0,则圆C的半径为 6.(2004上海高考真题)圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于A(0,-4),B(0,-2)两点，则圆C 的一般方程为 12/12 分层作业 2.4.2 圆的一般方程 参考答案 由圆的一般方程确定圆的圆心和半径知识点01 1．B； 2．B； 3．C； 4．C； 5．A； 6．1； 7．； 8．； 二元二次方程表示圆的方程的条件知识点02 9．B； 10．B； 11．； 12．； 13．1； 14．； 点与圆的位置关系知识点03 15.C； 16．C； 17．B； 18．； 求圆的方程知识点04 19.A； 20．5.39 m； 21．BC； 22．； 23．； 24．； 圆过定点知识点05 25.B； 26．D； 27．或； 28．3； 与圆有关的轨迹方程问题知识点06 29.B； 30．B； 31．； 32.（且）； 33．； 定点到圆上点的距离的最值知识点07 34.C； 35．A； 36．； 37．8； 1．A； 2．C； 3．B； 4．C； 5．C； 6．B ； 7.A ； 8.C； 9． BC； 10．AC； 11.ABD 12．； 13．； 14.【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，， 所以AB中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. （2）由垂径定理得，圆心在的垂直平分线上， 联立方程得：，解得，所以圆心坐标为， 所以半径，所以圆的标准方程为， 所以圆的一般式方程. 15.【答案】(1)；(2)，圆心为，半径为. 【详解】（1）， 边所在直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 所以； （2）设圆的方程为（其中）， 因为，，三点都在圆上，可得， 解得，满足， 所以所求圆的方程为， 即，圆心为，半径为. 16.【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 17.【答案】(1)； (2)，轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 1． D； 2．A； 3. B ； 4.C； 5.； 6．【答案】(1)；(2)存在，和. 【详解】（1）已知点，则的中点坐标为， 由三点共圆，且，所以圆心在直线上， 设圆心，所以，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，设，所以，则， 设圆的一般方程为，圆过点， 令可得的两个根为0和，所以， 所以方程为，再代入，解得， 所以方程为， 所以， 所以，解得或. 所以过点三点的圆存在定点和. 7.【答案】(1)；(2)是定值，5 【详解】（1）设，圆的方程为， 圆过两点， ∴， 解得， 故的标准方程为. （2）设，则， ∴， ∵为上的动点，， ， 为定值5. 8. 【答案】(1)，是关联点；(2)；(3). 【分析】（1）先求出，再分别求出，，，到矩形中的点的距离最小值，根据定义判断即可； （2）根据图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为，写出，，的坐标，同时得到正方形的边长和对角线长，从而得到，根据直线与对角线平行，设，按照，，且分别讨论； （3）求出直线的方程，由圆半径为得到，从而点到圆上点的距离的最小值为2，则，分别讨论，，求出临界值从而得到的取值范围. 【详解】（1）如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为， 矩形的对角线长为，这也是矩形中任意两点距离的最大值，所以， 对，矩形中的点到它的距离最小为1，不满足关联点的定义， 不是关联点； 对，矩形中的点到它的距离最小为，满足关联点的定义，是关联点； 对，矩形中的点到它的距离最小为1，不满足关联点的定义，不是关联点； 对，矩形中的点到它的距离最小为， 满足关联点的定义，是关联点；因此，是关联点. （2）如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为. 若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”， 可知正方形的边长为2，对角线长为，因此正方形中，， 直线与对角线平行， 由已知，，，设， 当时，或时， 到正方形上点的距离的最小值为，满足关联点的定义，为关联点； 当时，或时， 到正方形上点的距离的最小值为，为关联点； 当且时，如果在第一象限， 则到正方形上点的距离的最小值为， 因此有， 即在圆的一段弧上. 同理点还在下列三段圆弧上： ，， ； 直线与正方形的一条对角线平行， 直线与图中正方形外围的图形（四段线段与四段圆弧组成）的公共点即为关联点； 当直线与第二象限的一段圆弧相切时，，（舍去）； 同理当直线与第四象限的一段圆弧相切时，； 所以的取值范围是. （3）由题线段所在直线方程为，即， 圆半径为，因此， 点到圆上点的距离的最小值为2，则， 当时，令点到线段所在直线距离为， 此时， 令，；当时，线段上存在点，使点为的“关联点”. 当时，令，， 令，， 当时，线段上存在点，使点为的“关联点”. 如图： 综上可知，的取值范围是. 1.D； 2．B； 3.； 4.； 5．1； 6.； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.4.2 圆的一般方程 目 录 A组 巩固过关 知识点01 由圆的一般方程确定圆的圆心和半径 知识点02 二元二次方程表示圆的方程的条件（易错点） 知识点03 点与圆的位置关系 知识点04 求圆的方程（重点） 知识点05 圆过定点 知识点06 与圆有关的轨迹方程问题（难点） 知识点07 定点到圆上点的距离的最值（难点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 由圆的一般方程确定圆的圆心和半径知识点01 知识点速记： 圆的一般方程与标准方程的互化： 当时，二元二次方程叫做圆的一般方程． 圆的一般方程化为标准方程为, 圆心为，圆的半径为. 题型巩固练： 1．（25-26高二下·四川成都·期中）圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原方程为，分组配方得， 整理为圆的标准方程， 对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 . 2．已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B. 3．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积. 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积. 4．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 5．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 6．（25-26高二上·山东济南·期末）已知圆，则圆的半径_________． 【答案】 【详解】将圆的方程转化为标准方程为， 所以圆的半径. 7．（25-26高二上·上海闵行·期末）已知圆，则圆心坐标为______． 【答案】 【详解】由题设，圆的标准方程为，故圆心为. 8．在平面直角坐标系中，圆的方程为，则圆的面积为_____. 【答案】 【详解】易知圆的标准方程为 所以圆的面积为. 二元二次方程表示圆的方程的条件知识点02 知识点速记： 二元二次方程表示圆的方程的条件： ①与项的系数相同且不为零； ②不含xy项； ③，叫做圆的方程的判别式． 对方程： ①时表示圆． ②时表示点. ③时，不表示任何图形． 题型巩固练： 9．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 10．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 11．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）方程表示圆，则的取值范围为___________ 【答案】 【详解】由题设表示圆，则，即. 故答案为： 12．（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 13．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 14．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 点与圆的位置关系知识点03 知识点速记： 平面上的一点与圆之间存在着下列关系： （1）在圆外，即在圆外 ； （2）在圆上，即在圆上； （3）在圆内，即在圆内． 题型巩固练： 15．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 16．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【详解】， 在圆外， 故选：C. 17．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 18．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题可得， 所以的取值范围为. 求圆的方程知识点04 知识点速记： 求圆的方程一般有两种方法： ⑴待定系数法（代数法）：先设出圆的标准方程或圆的一般方程，根据已知条件列方程组，解方程组得到未知参数，从而得到圆的方程； ⑵圆的性质（几何法）：利用圆的性质（圆的弦的垂直平分线过圆心），可求出弦的垂直平分线，通过求垂直平分线的交点坐标得到圆的圆心，再利用圆心到圆上的点即为半径求出圆的方程。 题型巩固练： 19．（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A 20．（25-26高二下·上海·阶段检测）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需要一个吊杆吊起桥面，则吊杆A2P2的长为________________（精确到0.01 m）． 【答案】5.39 m 【详解】以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为． 方法一：设圆拱所在的圆的方程是. 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得 故圆拱所在的圆的方程是. 方法二：设圆的半径为，则，得. 则圆心纵坐标为，. 将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即吊杆的长约为. 故答案为： 21．（多选）（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知圆与轴相切，且经过两点，，则圆的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，，中点坐标为，， 所以的垂直平分线方程为， 设圆心为，则半径为，故， 所以，即， 解得或， 所以方程为或． 故选：BC． 22．（25-26高二上·重庆大足·阶段检测）曲线与曲线关于直线对称，则曲线的一般式方程为______． 【答案】 【详解】在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为点在曲线上，则有， 即为. 故曲线的方程为. 23．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 【答案】 【详解】设的外接圆方程为， 依题意得，解得， 故所求圆的方程为. 24．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 【答案】 【详解】设圆的方程为，圆心坐标为， 因为圆的圆心在直线上， 所以， 因为圆与轴的交点分别为，， 所以， 所以有， 所以圆的方程为. 圆过定点知识点05 知识点速记： 圆过定点问题：将圆的方程（含有参数）整理成的形式（其中为参数），令且，联立两个方程求解，得到的即为圆恒过的定点坐标。 题型巩固练： 25．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【详解】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足， 故, 故选：B. 26．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 27．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 28．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 与圆有关的轨迹方程问题知识点06 知识点速记： 求曲线的轨迹方程的方法： ⑴直接法：设动点坐标为，根据已知条件列方程，并化简方程得到动点的轨迹方程（注意条件对或的限制）； ⑵定义法：当题目中的条件满足曲线的定义，则直接根据定义写出曲线方程； ⑶转移代入法：当动点随已知曲线上一动点的变化而变化，则可设，用表示点的坐标，代入满足的方程即得动点的方程。 题型巩固练： 29．（直接法）（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为定点，， ，化简得：，即. 点的轨迹为圆，半径为，所以圆面积为：. 故选：B 30．（转移代入法）（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 31．（转移代入法）（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【详解】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. 32．（定义法）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【答案】（且） 【详解】法一（定义法）：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点）， 直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二（直接法）：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 33．（直接法）（25-26高二下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 【答案】 【详解】设，则，， 由题意可知，则， 化简可得，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 到一定点的距离为定值，则该定值为. 定点到圆上点的距离的最值知识点07 知识点速记： 当定点在圆外时，最大距离为，最小距离是，是定点到圆心的距离。 当定点在圆内时，最大距离为，最小距离是，是定点到圆心的距离。 题型巩固练： 34．（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为圆，得圆心，半径， 又点，则， 又点在圆上，所以， 所以的最大值为． 故选：C 35．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知圆C：，定点，点A为圆C上任意一点，若点P满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，由得：， 即，解得：，即， 又因为点A为圆C上任意一点，所以， 化简整理得：．故点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， C点坐标， 而的取值范围为，经计算易知. 故选：A． 36．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为______. 【答案】 【详解】因为直线即过定点， 因为点在动直线上的投影为点M， 所以，所以M的轨迹是以为直径的圆， 且圆心为，半径， 由得，点N在圆C的外部， 如图：   ， 37．（25-26高二下·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 【答案】8 【详解】圆的方程为，其圆心，半径． 设，根据两点间距离公式，由可得：， 两边平方整理得， 因为在圆（即）上， 将代入得：， 即． 由于该式对圆上所有成立， 所以且，解得，即点，且满足． 所以， 而，所以. 1．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 3．（易错）（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 4．（23-24高二上·广西玉林·期末）若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心， 直线方程为，或，将点代入上式，解得 直线的方程为或. 故选：C. 5．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意可知、、， 设圆弧所在圆的方程为， 将、、三点的坐标代入圆的方程可得，解得， 所以圆弧所在圆的一般方程为，标准方程为， 故该圆的半径为. 故选：C. 6．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【详解】设，，因为， 所以，， 化简得：，， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点. 到轴的最大距离为4， 所以的面积最大值为. 故选：B 7．（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 8．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知，，点P满足，点Q在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由得，， 整理得，所以点P在以为圆心，半径为2的圆上． 点Q在圆上运动，该圆的圆心为，半径为1，如图， 有图可知，当，时，才有可能取得最小值， 设圆与圆关于直线对称，则， 连接，则， 当C，M，三点共线时，取得最小值． 设，则，解得，即， 所以，则的最小值为． 故选：C 9．（多选）（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BC 【详解】将方程配方化为， 所以圆心为，半径为，故A错误； 当时，半径为，B正确； 圆心到直线的距离为，C正确； 当时，半径为3，圆面积为，D错误． 故选：BC 10．（多选）（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 【答案】AC 【详解】对于A，因为点和均在上，则圆心在线段的中垂线上， 直线的斜率为，线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 又因为圆心在直线上，联立，解得， 故圆心为，A对； 对于B，圆的半径为，B错； 对于C，圆的标准方程为，其一般方程为，C对； 对于D，直线的截距式方程为，化为一般方程为， 故点到直线的距离为，D错. 11．（多选）（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，动点C满足，则（    ） A．C的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．B到直线AC的距离最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意求出点的轨迹方程；对于B，由，可由点的轨迹方程得当的最大值，从而求得的面积的最大值；对于CD，当共线时，，点到直线的距离为0，当不共线时，由余弦定理结合基本不等式，求得的取值范围，从而求得的最大值，同时根据点到直线的距离为，可求得点到直线的距离的最大值． 【详解】对于A，设，由，得， 整理得，故A正确； 对于B，因为点的轨迹方程为，即， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为的面积为，所以当取最大值2时， 的面积取得最大值，最大值为，故B正确； 对于C，当共线时，；当不共线时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以，结合共线情形，所以， 综上的最大值为，故C错误； 对于D，当共线时，点到直线的距离为0； 当不共线时，点到直线的距离， 由选项C知，此时，所以， 所以点到直线的距离，结合共线情况可知， 综上点到直线的距离的最大值为，故D正确． 12．（24-25高二上·四川南充·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆过点、，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为______． 【答案】 【详解】设圆的方程为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点、， 则，解得， 即圆的方程为， 所以，圆的标准方程为． 圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，因为圆与圆关于直线对称， 则有，解得，即． 所以，圆的标准方程为． 13．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，若点是圆上的动点，则的最小值为___________． 【答案】5 【详解】设存在使得恒成立， 因为，所以， 化简可得， 又因为点在圆上运动，所以， 两方程对比可得，，解得， 所以存在使得恒成立，即， 所以，如图所示， 当且仅当三点共线且点在两点之间时，取最小值， 此时，      14．（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，， 所以AB中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. （2）由垂径定理得，圆心在的垂直平分线上， 联立方程得：，解得，所以圆心坐标为， 所以半径，所以圆的标准方程为， 所以圆的一般式方程. 15．（25-26高二上·河北石家庄·期中）三角形ABC的三个顶点分别是、、. (1)求三角形ABC的面积 (2)求三角形ABC的外接圆（为圆心）的标准方程，并写出圆心和半径. 【答案】(1)；(2)，圆心为，半径为. 【详解】（1）， 边所在直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 所以； （2）设圆的方程为（其中）， 因为，，三点都在圆上，可得， 解得，满足， 所以所求圆的方程为， 即，圆心为，半径为. 16．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 17．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1)； (2)，轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 1．【直观想象】（25-26高二上·辽宁大连·期末）由曲线围成的图形面积等于 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在曲线方程中，以代，以代，方程不变， 所以该曲线关于原点、横轴、纵轴对称， 因此可以先考虑的情况， ， 表示圆心为，半径为的半圆， 所以第一象限围成的面积为， 所以曲线围成的图形面积. 故选：D      2．【数学文化】（25-26高二上·江西萍乡·期中）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设光线由点出发，经过直线上的点后反射后与圆交于点， ∴光线经过的路程为.    设是点关于直线的对称点， 则，即，∴，即， 由对称性可知，，即， 显然当四点共线时，最小， 此时. 故选：A. 3．【知识融合】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为， ，，， ， ， ， ， ， 即， 配方得：， 所以在以为圆心以2为半径的圆上， ，， ,其关于x单调递增， 所以取P为圆的最右边的点可取得最大， 此时，代入得. 4．【数学建模】（25-26高二上·广东广州·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（，），则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O：上的动点M和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，点在圆上，取点， 连接、，有， 当点、、不共线时，， 又，故，则有； 当点、、共线时，有； 故恒成立， 则， 当且仅当点是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 5．【知识融合】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知在矩形ABCD中，，如图，将沿着BE向上进行翻折，使得点A与点S重合，若点S在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内部（包含边界），则动点S的轨迹长度是_________． 【答案】 【详解】过点作于点，交于点， 则点在平面上的射影落在线段上. 在中，，，则， 由等面积法得. 翻折的过程中，动点满足， 则动点的轨迹是以点为圆心，为半径的一段圆弧. 易得，，，所以， 则，如图（2），在圆中，，， 所以点的轨迹是，且，则，， 从而点的轨迹长度为. 6．【存在性问题】（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，和. 【详解】（1）已知点，则的中点坐标为， 由三点共圆，且，所以圆心在直线上， 设圆心，所以，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，设，所以，则， 设圆的一般方程为，圆过点， 令可得的两个根为0和，所以， 所以方程为，再代入，解得， 所以方程为， 所以， 所以，解得或. 所以过点三点的圆存在定点和. 7．【探索性问题】（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1)；(2)是定值，5 【详解】（1）设，圆的方程为， 圆过两点， ∴， 解得， 故的标准方程为. （2）设，则， ∴， ∵为上的动点，， ， 为定值5. 8．【新定义问题】（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”. (1)如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，求出的值.在点，，，中，哪些点为矩形的“关联点”？ (2)如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围； (3)已知点，图形是以为圆心，1为半径的若线段上存在点，使点为的“关联点”，求的取值范围. 【答案】(1)，是关联点；(2)；(3). 【分析】（1）先求出，再分别求出，，，到矩形中的点的距离最小值，根据定义判断即可； （2）根据图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为，写出，，的坐标，同时得到正方形的边长和对角线长，从而得到，根据直线与对角线平行，设，按照，，且分别讨论； （3）求出直线的方程，由圆半径为得到，从而点到圆上点的距离的最小值为2，则，分别讨论，，求出临界值从而得到的取值范围. 【详解】（1）如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为， 矩形的对角线长为，这也是矩形中任意两点距离的最大值，所以， 对，矩形中的点到它的距离最小为1，不满足关联点的定义， 不是关联点； 对，矩形中的点到它的距离最小为，满足关联点的定义，是关联点； 对，矩形中的点到它的距离最小为1，不满足关联点的定义，不是关联点； 对，矩形中的点到它的距离最小为， 满足关联点的定义，是关联点；因此，是关联点. （2）如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为. 若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”， 可知正方形的边长为2，对角线长为，因此正方形中，， 直线与对角线平行， 由已知，，，设， 当时，或时， 到正方形上点的距离的最小值为，满足关联点的定义，为关联点； 当时，或时， 到正方形上点的距离的最小值为，为关联点； 当且时，如果在第一象限， 则到正方形上点的距离的最小值为， 因此有， 即在圆的一段弧上. 同理点还在下列三段圆弧上： ，， ； 直线与正方形的一条对角线平行， 直线与图中正方形外围的图形（四段线段与四段圆弧组成）的公共点即为关联点； 当直线与第二象限的一段圆弧相切时，，（舍去）； 同理当直线与第四象限的一段圆弧相切时，； 所以的取值范围是. （3）由题线段所在直线方程为，即， 圆半径为，因此， 点到圆上点的距离的最小值为2，则， 当时，令点到线段所在直线距离为， 此时， 令，；当时，线段上存在点，使点为的“关联点”. 当时，令，， 令，， 当时，线段上存在点，使点为的“关联点”. 如图： 综上可知，的取值范围是. 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2015·新课标Ⅱ·高考真题）已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 选B. 3．（2023·上海·高考真题）已知圆的方程为，其面积为，则______. 【答案】 【详解】由得，圆的半径为， 由圆的面积为得，，解得. 4．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到）    【答案】 【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，    不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 5．（2023·上海·高考真题）已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为____________ 【答案】 【详解】圆即， 所以圆的半径为. 故答案为： 6．（2004·上海·高考真题）圆心在直线上的圆与轴交于，两点，则圆的一般方程为___________. 【答案】 【详解】设圆的一般方程为. 因圆心在直线上， 所以，即.① 又因点，在圆上， 所以，② 由①②，解得，，， 所以圆的一般方程为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $