江苏苏州市某校2026-2027学年高三上学期滚动练习2数学试题

**基本信息** 高三数学周测试卷，聚焦集合、不等式等核心知识，通过基础题（如集合非空真子集元素和）与综合题（如三角形最值问题）的梯度设计，考查抽象能力、运算推理与数学应用，适配高三滚动复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|4/20|集合子集、不等式恒成立|第1题以集合非空真子集元素和为情境，考查抽象能力| |多项选择|3/18|不等式性质、基本不等式|第6题结合ab+a+b=8考查最值，体现运算推理| |填空题|6/30|集合运算、不等式参数范围|第13题含参不等式整数解问题，考查逻辑思维| |解答题|3/32|基本不等式、二次函数、三角形应用|第16题三角形中BD最值问题，融合几何直观与数学应用|

高三数学滚动练习2 一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合A＝{a，b，c}的所有非空真子集的元素之和等于12，则a＋b＋c的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．－3<k<0 B．－3≤k<0 C．－3≤k≤0 D．－3<k≤0 3．已知正实数a，b满足a2＋2ab＋4b2＝6，则a＋2b的最大值为(　　) A．2 B．2 C. D．2 4．已知<<0，则下列不等式正确的是(　　) A．ac2>bc2 B．a|a|<b|b| C．a－>b－ D．ln a2>ln b2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部作对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分.） 5．已知3<a<10,7<b＋2<32，则下列结论正确的是(　　) A.<<10 B．11<2a＋b<50 C．2<b－a<20 D.<<22 6．已知a，b为正实数，且ab＋a＋b＝8，则下列结论正确的是(　　) A．ab的最大值为4 B．(a＋1)2＋(b＋1)2的最小值为18 C．a＋b的最小值为4 D.＋的最小值为 7．下列命题正确的是(　　) A．∃x∈R,4x2＋9<12x B．∀x∈R,2sin2x－5sin x＋3≥0 C．若命题“∀x∈R，(2a＋3)x2－ax＋>0”为真命题，则实数a的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．若∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得log5(x＋1)≥－m，则实数m的最小值为 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 三、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.） 8．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}不含任何元素，则实数a的取值范围是________． 9．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________． 10．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为________． 11．已知正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，若对任意满足条件的x，y，都有(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围为________． 12．已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m＋n＝1，则＋的最小值为________． 13．若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是________． 四、解答题（本题共3小题，共32分.） 14．(10分)已知a>0，b>0，且ab-b+2=0. (1)求ab+的最小值； (2)求+2b的最小值． 15．（10分）(1)若关于x的不等式ax2-2x+3≤0在x∈R上有解，求实数a的取值范围； (2)若关于x的不等式-2≤ax2-2x+3≤2恰有一个实数解，求实数a的值(或取值范围)． 16．（12分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，求BD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学滚动练习2 一、单项选择题 1．已知集合A＝{a，b，c}的所有非空真子集的元素之和等于12，则a＋b＋c的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　因为集合A＝{a，b，c}的所有非空真子集为：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}， 所以有a＋b＋c＋a＋b＋a＋c＋b＋c＝12，即3(a＋b＋c)＝12，解得a＋b＋c＝4. 2．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．－3<k<0 B．－3≤k<0 C．－3≤k≤0 D．－3<k≤0 答案：D 解析：2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立， ①k＝0时，－<0恒成立， ②k≠0时，则解得－3<k<0， 综上可得，－3<k≤0.故选D. 3．已知正实数a，b满足a2＋2ab＋4b2＝6，则a＋2b的最大值为(　　) A．2 B．2 C. D．2 答案　B 解析　(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2 ＝6－2ab＋4ab＝6＋2ab， 又∵a2＋2ab＋4b2＝6， ∴6－2ab＝a2＋4b2≥4ab， ∴ab≤1，当且仅当a＝2b即a＝，b＝时等号成立． ∴(a＋2b)2＝6＋2ab≤6＋2＝8， ∴a＋2b≤2， 故a＋2b的最大值为2. 4．已知<<0，则下列不等式正确的是(　　) A．ac2>bc2 B．a|a|<b|b| C．a－>b－ D．ln a2>ln b2 答案　C 解析　<<0⇒b<a<0， 对于A，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，选项A错误； 对于B，由b<a<0⇒b2>a2⇒a|a|－b|b|＝－a2－(－b2)＝b2－a2>0，即a|a|>b|b|，选项B错误； 对于C，构造函数f(x)＝x－，显然函数f(x)＝x－在区间(－∞，0)上单调递增，由b<a<0，得f(b)<f(a)，即b－<a－，选项C正确； 对于D，由b<a<0，得a2<b2，即ln a2<ln b2，选项D错误． 二、多项选择题 5．已知3<a<10,7<b＋2<32，则下列结论正确的是(　　) A.<<10 B．11<2a＋b<50 C．2<b－a<20 D.<<22 答案　ABD 解析　对于A，∵3<a<10,7<b＋2<32，即5<b<30， ∴<<， ∴<<10，正确； 对于B，∵6<2a<20,5<b<30， ∴11<2a＋b<50，正确； 对于C，∵3<a<10,5<b<30， ∴－10<－a<－3，∴－5<b－a<27，错误； 对于D，∵3<a<10， ∴9<a2<100，又5<b<30， ∴<<， ∴<<20， ∴＝＋2∈，正确． 6．已知a，b为正实数，且ab＋a＋b＝8，则下列结论正确的是(　　) A．ab的最大值为4 B．(a＋1)2＋(b＋1)2的最小值为18 C．a＋b的最小值为4 D.＋的最小值为 答案　ABC 解析　由题意知，a，b为正实数，且ab＋a＋b＝8， 对于A，因为8＝ab＋a＋b≥ab＋2，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 解不等式得－4≤≤2，又因为>0所以ab≤4，故ab的最大值为4，所以A正确； 对于B，(a＋1)2＋(b＋1)2≥2(a＋1)·(b＋1)＝2(ab＋a＋b＋1)＝18， 当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝2时等号成立，此时(a＋1)2＋(b＋1)2取得最小值18，所以B正确； 对于C，由a＋b＝8－ab≥8－2，当且仅当a＝b＝2时，等号成立， 可得(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≥4，即a＋b的最小值为4，所以C正确； 对于D，＋≥2＝2＝， 当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝2时等号成立，此时＋取得最小值，所以D错误． 7．下列命题正确的是(　　) A．∃x∈R,4x2＋9<12x B．∀x∈R,2sin2x－5sin x＋3≥0 C．若命题“∀x∈R，(2a＋3)x2－ax＋>0”为真命题，则实数a的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．若∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得log5(x＋1)≥－m，则实数m的最小值为 答案　BD 解析　对于A，令y＝4x2－12x＋9，Δ＝144－144＝0，即∀x∈R,4x2－12x＋9≥0， ∴4x2＋9≥12x，故A错误； 对于B，令t＝sin x∈[－1,1]，则2sin2x－5sin x＋3≥0，即2t2－5t＋3≥0，而y＝2t2－5t＋3在[－1,1]上单调递减，故0≤y≤10，即∀x∈R,2sin2x－5sin x＋3≥0，故B正确； 对于C，显然2a＋3>0，且Δ＝a2－2a－3<0，解得－1<a<3，故C错误； 对于D，当x∈[0,3]时，[log5(x2＋1)]min＝0，当x∈[1,2]时，min＝－m，故0≥－m， ∴m≥，实数m的最小值为，故D正确． 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 三、填空题 8．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}不含任何元素，则实数a的取值范围是________． 答案：[0，4) 解析：当a＝0时，原方程无解． 当a≠0时，方程ax2＋ax＋1＝0无解， 则需Δ＝a2－4a<0， 解得0<a<4. 综上，0≤a<4. 9．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是_________________． 答案：(－∞，－2)∪ 解析：显然A＝{x|－1≤x≤6}，当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2符合题意；当B≠∅时， 得0≤m≤. 综上得m<－2或0≤m≤ 10．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为________． 答案：p≤q 解析：p－q＝(＋)－(a＋b)＝(－a)＋(－b)＝(－)(b2－a2)＝， 又a<0，b<0，所以b＋a<0，ab>0，(b－a)2≥0， 所以(＋)－(a＋b)≤0，所以p≤q. 11．已知正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，若对任意满足条件的x，y，都有(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围为______． 答案　 解析　∵正实数x，y满足x＋y＋3＝xy， 而xy≤2， ∴x＋y＋3≤2， ∴(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0， ∴x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)， ∴x＋y≥6. 又正实数x，y有(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，∴a≤x＋y＋恒成立， ∴a≤min， 令x＋y＝t(t≥6)，g(t)＝t＋， 由对勾函数的性质得g(t)在[6，＋∞)上单调递增， ∴min＝g(t)min＝g(6) ＝6＋＝， ∴a≤. 12．已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m＋n＝1，则＋的最小值为______． 答案　 解析　因为m≥0，n≥0，m＋n＝1， 所以m＋2>0，n＋1>0， 不妨设a＝m＋2>0，b＝n＋1>0， 则m＝a－2，n＝b－1，a＋b＝m＋n＋3＝4， 则＋＝＋ ＝＋＝a＋b－6＋＋ ＝＋－2＝(a＋b)－2 ＝－2≥－2＝， 当且仅当a＝2b，即m＋2＝2n＋2，m＝2n＝时取等号， 故＋的最小值为. 13．若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是__________________． 答案　 解析　令x2－(2a＋1)x＋2a＝0，解得x＝1或x＝2a.当2a>1，即a>时， 不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0的解集为{x|1<x<2a}，则3<2a≤4，解得<a≤2； 当2a＝1，即a＝时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0无解，所以a＝不符合题意； 当2a<1，即a<时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0的解集为{x|2a<x<1}， 则－2≤2a<－1，解得－1≤a<－. 综上，a的取值范围是. 四、解答题 14．已知a>0，b>0，且ab-b+2=0. (1)求ab+的最小值； (2)求+2b的最小值． 解析：(1)因为a>0，b>0，且ab-b+2=0，所以ab=b-2>0，所以b>2， 则ab+=b-2+=b+1+-3. 因为b>2，所以b+1>3，所以b+1+≥8， 当且仅当b+1=即b=3，a=时，等号成立， 则b+1+-3≥5，即ab+≥5， 故ab+的最小值是5. (2)因为a>0，b>0，且ab-b+2=0，所以a+=1， 所以+2b==2ab++5. 因为a>0，b>0，所以2ab>0>0， 则2ab+≥4， 当且仅当2ab=即a=b=3时，等号成立， 所以2ab++5≥9，即+2b≥9， 故+2b的最小值是9. 15．(1)若关于x的不等式ax2-2x+3≤0在x∈R上有解，求实数a的取值范围； (2)若关于x的不等式-2≤ax2-2x+3≤2恰有一个实数解，求实数a的值(或取值范围)． 解析：(1)①当a=0时，由-2x+3≤0， 解得x≥满足题意； ②当a<0时，令y=ax2-2x+3，则此二次函数的图象开口向下，满足题意； ③当a>0时，Δ=4-12a≥0，解得0<a≤ 综上所述，实数a的取值范围为. (2)当a=0时，-2≤-2x+3≤2， 即≤x≤不满足条件，舍去； 当a≠0时，令y=ax2-2x+3， 若a>0，则函数y=ax2-2x+3的图象开口向上， ∴函数的最小值为2，∴=2，∴a=1； 若a<0，则函数y=ax2-2x+3的图象开口向下， ∴函数的最大值为-2， ∴=-2，∴a=(舍去)， 综上所述，实数a的值为1. 16．已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，求BD. 答案　－1 解析　设BD＝k(k>0)， 则CD＝2k. 根据题意作出大致图形，如图． 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·＝k2＋2k＋4. 在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·＝4k2－4k＋4， 则＝ ＝ ＝4－＝4－ ＝4－. ∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立)， ∴≥4－＝4－2＝(－1)2， ∴当取得最小值－1时， BD＝k＝－1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $