江苏苏州市某校2026-2027学年高三上学期周测六数学试题

**基本信息** 高三数学周测试卷，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过青少年身高调查（正态分布）、莱莫恩定理（数学文化）创设情境，考查抽象能力与模型意识，适配高考复习限时训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合运算、二项式定理、向量夹角、正态分布、双曲线离心率|第4题结合身高调查体现数据观念，第7题莱莫恩定理培养创新意识| |填空题|3/15|解三角形、三角函数性质、轨迹方程|第14题动点轨迹问题强化数学思维| |解答题|5/77|立体几何体积与线面角、数列递推、椭圆综合、导数应用、概率统计|第15题立体几何考查空间观念，第19题概率统计构建模型，贴合高考命题趋势|

高三数学限时训练6参考答案 1. D　集合的包含关系+集合的运算+一元二次不等式 【解析】 由题可得A={x|x<-2或x>-1},B={x|0≤x≤4},则B⊆A. 2. C　求指定项的系数+二项展开式各项的系数和 【解析】 令x=0,得15=a0,所以a0=1;令x=1,得35=a0+a1+a2+a3+a4+a5,所以a1+a2+a3+a4+a5=35-1=242. 3. B　向量数量积+向量夹角的计算 【解析】 由题知a+b=-c,则(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=3,所以a·b=,所以cos<a,b>==,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=. 4. A　正态分布 【解析】 因为X~N(172,σ2),P(168<X<176)=0.75,所以P(172<X<176)=0.375,则P(X≥176)=0.5-0.375=0.125,所以样本中身高不低于176 cm的约有0.125×1 200=150(人). 5. C　三角恒等变换 【解析】 令t=+α,t∈,得α=t-,则6tan t+4cos=5cos,即6tan t+4sin t= 5sin 2t=10sin tcos t,可得5cos2t-2cos t-3=0,整理得(5cos t+3)(cos t-1)=0,又cos t<0,所以cos t=-,则sin 2α=sin=-cos 2t=1-2cos2t=. 6. B　双曲线的渐近线+双曲线的离心率 【解析】 由题意得OM⊥AM,tan∠AOM=,即=.又=b,所以=a.由勾股定理得+=,即a2+b2=a2,化简得b2=3a2,所以e===2. 7. B　直线的截距式方程+圆的方程+圆的切线方程 【解析】 设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以解得所以△ABC的外接圆方程为x2+y2+3y-4=0,即x2+=.易知外接圆在点A处的切线方程为y=1,又直线BC:+=1,令y=1,得x=,即P.同理,外接圆在点C(0,-4)处的切线方程为y=-4,又直线AB:+y=1,令y=-4,得x=10,即R(10,-4),则△ABC的Lemoine线的方程为=,即2x+3y-8=0. 8. D　利用an与Sn的关系求通项 【解析】 方法一:(优解)当n=1时,=;当n≥2时,=-=,=,即a5a6=99,所以a6(2a6+7)=99,解得a6=(舍去负值),a5=18,a4a5=63,所以a4=.同理,由a3a4=35,得a3=10;由a2a3=15,得a2=;由a1a2=3,得a1=2. 方法二:(求通项)因为++…+=(n∈N*)①,所以=,++…+=(n∈N*,n≥2)②,①-②得=(n≥2,n∈N*).经检验,当n=1时,=也成立,所以anan+1=4n2-1(n∈N*).所以a5a6=99,又a5-2a6=7,联立解得由anan+1=4n2-1(n∈N*),得an+1an+2=4(n+1)2-1,所以=,所以=,=,所以=9,故a1=2. 【解题突破】如果此题中给的条件不是a5和a6的关系式,而是项数很大的两项的关系式,就需要利用累乘法,先求出a2,然后再用累加法求得=4k+1,=. 9. AC　复数的相等+复数的模+复数的乘法+共轭复数 【解析】 对于A,z1=z2,则=,所以=,故A正确;对于B,令z1=i,z2=1,满足条件+=-1+1=0,但z1≠z2,且均不为0,故B错误;对于C,因为z1z2=z1z3,所以z1(z2-z3)=0,所以z1=0或z2-z3=0,即z1=0或z2=z3,故C正确;对于D,令z1=1+i,z2=1-i,则==2,但z1z2=(1+i)(1-i)=2≠0,故D错误. 10. BD　函数的周期性+判断或证明函数的对称性+基本不等式+函数不等式能成立(有解)问题 【解析】 对于A,f(π+x)==≠f(x),所以π不是f(x)的周期,故A错误;对于B,f(2π-x)===-f(x),所以f(x)的图象关于(π,0)对称,故B正确;对于C,f(-π)=0>-π,所以f(x)>x有解,故C错误;对于D,f(x)==,若sin x≤0,则f(x)≤0,若sin x>0,则f(x)=≤=,当且仅当2sin x=,即sin x=时取等号,故D正确. 11. ACD　锥体的体积+多面体与球体内切的外接问题+线面角的向量求法+点到平面距离的向量求法 【解析】 方法一:(通法)对于A,当λ=0时,点F与点A1重合,又AC1⊥平面A1BD,故A正确;对于B,因为直线A1B1与BE相交,所以直线A1B1与平面BDE相交,所以A1B1上的点到平面BDE的距离不相等,故三棱锥F-BDE的体积不是定值,故B错误;对于C,当点F位于点A1时,AC1⊥平面BDF,则AC与平面BDF所成的角即为∠AC1C,sin∠AC1C=.当点F位于点B1时,AC⊥平面BDF,此时AC与平面BDF所成的角即为,设锐角θ的正弦值为,则AC与平面BDF所成角的范围为,而<,所以∈,故点F在A1B1上移动,存在某个位置,使得AC与平面BDF所成的角为,故C正确;对于D,建立如图(1)所示的空间直角坐标系,则=,=(2,2,0),设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,得n=.又正方体外接球球心为正方体中心,设为O(1,1,1),则点O到平面BDF的距离d===,又正方体外接球的半径为其体对角线长的一半,即R=,所以平面BDF截此正方体的外接球所得截面圆的半径r=,即截面圆的面积S=πr2=π(R2-d2)=π=,故D正确. 　　 图(1) 图(2) (第11题) 方法二:(空间向量法)建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),A(2,0,0),C1(0,2,2),所以=(2,2,0),=(2,0,2),=(-2,2,2),从而·=-4+4=0,·=-4+4=0,所以AC1⊥DB,AC1⊥DA1.又DB∩DA1=D,DB,DA1⊂平面BDA1,所以AC1⊥平面BDA1,当λ=0时,点F与点A1重合,平面BDF为平面BDA1,因为AC1⊥平面BDA1,所以AC1⊥平面BDF,故A正确.因为A1B1与平面BDE不平行,所以F到平面BDE的距离不为定值,所以三棱锥F-BDE的体积不为定值,故B错误.设平面BDA1的法向量为n1=(x1,y1,z1),则令x1=1,得n1=(1,-1,-1).又=(-2,2,0),所以AC与平面BDA1所成角的正弦值为===,又=(-2,-2,0),=(0,0,2),所以·=4-4=0,·=0,所以AC⊥BD,AC⊥BB1,又BD∩BB1=B,BD,BB1⊂平面DBB1,所以AC⊥平面DBB1.当点F与A1重合时,AC与平面BDF所成角的正弦值为<,此时AC与平面BDF所成的角小于,当点F与点B1重合时,AC与平面BDF所成的角为>,所以存在λ∈,使得AC与平面BDF所成的角为,故C正确.对于D,同方法一. 12. 3　三角形面积公式+余弦定理解三角形 【解析】 在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,可得36=2ac-2accos=3ac,解得ac=6,所以S△ABC=acsin B=×6×=3. 13. -　正弦函数的周期性与对称性 【解析】 由T==π(ω>0),得ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),又f(x)=sin(2x+φ)的图象关于点中心对称,所以+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,又<,所以k=1,φ=-. 14. 　平面向量的线性运算+基本不等式 【解析】 方法一:(通法)设P(x,y),则=(-2-x,-y),=,由|PA|=2|PB|,得=2,整理得x2+y2=1.又=(x+2,y),=,=(2,1),代入=λ+μ,可得则x+y+2=λ+3μ=(λ+2μ),所以λ+2μ=(x+y+2).由1=x2+y2≥,得x+y≤,当且仅当x=y=时等号成立,所以λ+2μ=(x+y+2)≤(+2)=. 方法二:(参数方程)设P(x,y),由|PA|=2|PB|,可得x2+y2=1.由=λ+μ,可得所以从而λ+2μ=++,因为P(x,y)在x2+y2=1上,令x=cos θ,y=sin θ,所以λ+2μ=(sin θ+cos θ)+=sin+≤. 15. 三棱锥体积+利用空间向量法求线面角正弦值 【解答】(1) 如图(1),取AD的中点O,连接PO.因为△PAD是正三角形,所以PO⊥AD. (1分) 因为平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,且PO=.又因为M是PC的中点,所以M到平面ABCD的距离为,S△ABC=×2×2×sin=. (4分) 所以三棱锥M-ABC的体积为××=. (5分) (2) 连接BO,BD,因为∠BAD=,AB=AD=2,所以△ABD为等边三角形,所以BO⊥AD. (6分) 以O为原点,OA,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则P(0,0,),A(1,0,0),B(0,,0),C(-2,,0),所以M,=,=(0,,-),=(-2,0,0). (8分) 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 则即取z=1,则y=1,所以n=(0,1,1). (11分) 设AM与平面PBC所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===.所以AM与平面PBC所成角的正弦值为. (13分) 　　 图(1) 图(2) (第15题) 16. 等差数列的定义+等差数列的通项公式+裂项相消法求和 【思路导引】(1) 利用Sn-Sn-1即可求出an,注意下标的取值;(2) 根据(1)中的内容,采用累积法求通项,再利用裂项求和法可以求得结果. 【解答】(1) 设等差数列的公差为d,则=+3d,即S1+3d=5①.因为S2=a1+a2=S1+4,所以由=+d,得S1+2d=4②.由①②解得S1=2,d=1, (3分) 所以=n+1,即Sn=n(n+1),当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,当n=1时,a1=S1=2,上式也成立,所以an=2n(n∈N*),因为当n≥2时,an-an-1=2,所以数列{an}是等差数列. (6分) (2) 由(1)可知===, (8分) 当n≥2时,bn=··…··b1=××…××6=,因为b1=6满足上式,所以bn=(n∈N*). (10分) 则Tn=12=12×=12-,因为当∈N*时,n=1,2,3,5,11,所以M={6,8,9,10,11}. (15分) 17. 椭圆的标准方程+直线与椭圆的位置关系+定值问题 【解答】 (1) 因为2b=2,所以b=. (1分) 又椭圆经过点,所以+=1,解得a2=4,故椭圆C的方程为+=1. (5分) (2) 由题意可设l:x=ty+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),由可得(3t2+4)y2+6ty-9=0,且Δ=144(t2+1)>0, 所以y1+y2=-,y1y2=-. (7分) 又因为A(-2,0),所以直线PA的方程为y=(x+2). 令x=4,则y=,故M, (9分) 同理N.所以k1==,k2=, (12分) 所以k1k2====-1,为定值. (15分) 18. 利用导数求函数的单调区间(不含参)+求已知函数的极值+利用导数证明不等式 【解答】 (1) 方法一:f'(x)=-sin x+sin x+xcos x=xcos x, (2分) 因为x∈(-π,π),令f'(x)=0,解得x=-或x=0或x=.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示: x - 0 f'(x) + 0 - 0 + 0 - f(x) ↗ ↘ 1 ↗ ↘ (4分) 所以f(x)的单调递增区间为,,单调递减区间为,.当x=0时,f(x)取得极小值f(0)=1. (6分) 方法二:f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=cos(-x)+(-x)sin(-x)=cos x+xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数. (1分) 由于f(x)的图象连续不断,下面只需考虑x∈[0,π).因为f'(x)=-sin x+sin x+xcos x=xcos x,当x∈[0,π)时,令f'(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示: x 0 f'(x) 0 + 0 - f(x) 1 ↗ ↘ (4分) 结合偶函数性质得f(x)的单调递增区间为,,单调递减区间为,.当x=0时,f(x)取得极小值f(0)=1. (6分) (2) 令g(x)=ex+e-x-2f(x)=ex+e-x-2cos x-2xsin x,x∈[0,π).显然g(0)=0,g'(x)=ex-e-x-2xcos x. (8分) 方法一:(一阶导后直接放缩)因为x∈[0,π),所以cos x≤1,所以2xcos x≤2x,从而g'(x)=ex-e-x-2xcos x≥-2x,当且仅当x=0时取等号. (10分) 令h(x)=ex-e-x-2x,显然h(0)=0,h'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,当且仅当x=0时取等号,所以h(x)在[0,π)上单调递增,所以h(x)≥h(0)=0, (13分) 从而g'(x)≥h(x)≥0,所以g(x)在[0,π)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,故ex+e-x≥2f(x). (17分) 方法二:(二阶导后放缩)令φ(x)=g'(x)=ex-e-x-2xcos x,则φ'(x)=ex+e-x-2cos x+2xsin x≥2-2cos x+2xsin x(当且仅当x=0时取等号)=2(1-cos x+xsin x). (13分) 因为x∈[0,π),所以sin x≥0,cos x≤1,所以1-cos x+xsin x≥0,所以φ'(x)≥0(当且仅当x=0时取等号),所以φ(x)在[0,π)上单调递增,所以φ(x)≥φ(0)=0,从而g'(x)≥0,所以g(x)在[0,π)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,故ex+e-x≥2f(x). (17分) 19. 独立重复试验的概率+条件概率公式+全概率公式及互斥事件的加法公式+新定义 【思路导引】(1) ①根据题意直接写出所有可能取值;②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得. (2) 利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可. 【解答】 (1) ①该二维离散型随机变量(ξ,η)的所有可能取值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0). (4分) ②依题意得0≤m+n≤3,P(ξ=m,η=n)=P(ξ=m|η=n)P(η=n),显然P(η=n)=, 则P(ξ=m|η=n)==, 所以P(ξ=m,η=n)=·==. (9分) (2)由定义及全概率公式知P(ξ=ai)=P{(ξ=ai)∩[(η=b1)∪(η=b2)∪…∪(η=bj)∪…]} =P{[(ξ=ai)∩(η=b1)]∪[(ξ=ai)∩(η=b2)]∪…∪[(ξ=ai)∩(η=bj)]∪…} =P[(ξ=ai)∩(η=b1)]+P[(ξ=ai)∩(η=b2)]+…+P[(ξ=ai)∩(η=bj)]+…=P[(ξ=ai)∩(η=bj)]=P(ξ=ai,η=bj)=pij.(17分) 【解题突破】利用全概率公式求随机事件B的概率问题,把事件B分拆成两个互斥事件AB与B的和,再利用条件概率公式计算是解决问题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学限时训练6 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合A={x|x2+3x+2>0},B={x|0≤x≤4},则 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. A∩B=⌀ B. A∪B=R C. A⊆B D. B⊆A 2. 设(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a1+a2+…+a5= (　　) A. -2 B. -1 C. 242 D. 243 3. 已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,|c|=,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 4. 青少年的身高一直是家长和社会关注的重点,它不仅关乎个体成长,也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况,从本市全体高三学生中随机抽查了1 200人,经统计后发现样本的身高(单位:cm)近似服从正态分布N(172,σ2),且身高在168 cm到176 cm之间的人数占样本量的75%,则样本中身高不低于176 cm的约有 (　　) A. 150人 B. 300人 C. 600人 D. 900人 5. 若α∈,6tan+4cos=5cos 2α,则sin 2α= (　　) A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy中,已知A为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点,以OA为直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M,若|AM|=b,则C的离心率为 (　　) A. B. 2 C. 2 D. 4 7. 莱莫恩(Lemoine)定理指出:过△ABC的三个顶点A,B,C作它的外接圆的切线,分别和BC,CA,AB所在直线交于点P,Q,R,则P,Q,R三点在同一条直线上,这条直线被称为三角形的Lemoine线.在平面直角坐标系xOy中,若三角形的三个顶点坐标分别为(0,1),(2,0),(0,-4),则该三角形的Lemoine线的方程为 (　　) A. 2x-3y-2=0 B. 2x+3y-8=0 C. 3x+2y-22=0 D. 2x-3y-32=0 8. 已知正项数列{an}满足++…+=(n∈N*),若a5-2a6=7,则a1= (　　) A. B . 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z1,z2,z3,则下列说法正确的有 (　　) A. 若z1=z2,则|z1|=|z2| B. 若+=0,则z1=z2=0 C. 若z1z2=z1z3,则z1=0或z2=z3 D. 若|z1-z2|=|z1+z2|,则z1z2=0 10. 已知函数f(x)=,则 (　　) A. f(x)的最小正周期为π B. f(x)的图象关于点(π,0)对称 C. 不等式f(x)>x无解 D. f(x)的最大值为 11. 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AA1的中点,点F满足=λ(0≤λ≤1),则 (　　) A. 当λ=0时,AC1⊥平面BDF B. 任意λ∈[0,1],三棱锥F-BDE的体积是定值 C. 存在λ∈[0,1],使得AC与平面BDF所成的角为 D. 当λ=时,平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为 (第11题) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在△ABC中,其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b=6,a2+c2=2ac,则△ABC的面积为　　　　.  13. 若函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,其图象关于点中心对称,则φ=　　　　.  14. 设点A(-2,0),B,C(0,1),若动点P满足|PA|=2|PB|,且=λ+μ,则λ+2μ的最大值为　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,M是侧棱PC的中点,侧面PAD为正三角形,侧面PAD⊥底面ABCD. (1) 求三棱锥M-ABC的体积; (2) 求AM与平面PBC所成角的正弦值. (第15题) 16. (15分)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=4,S4=20,且为等差数列. (1) 求证:数列{an}为等差数列; (2) 若数列{bn}满足b1=6,且=,设Tn为数列{bn}的前n项和,集合M={Tn|Tn∈N*},求M(用列举法表示). 17. (15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,左顶点为A,短轴长为2,且经过点. (1) 求椭圆C的方程; (2) 过点F的直线l(不与x轴重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线AP,AQ与直线x=4的交点分别为M,N,记直线MF,NF的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值. 18. (17分)已知函数f(x)=cos x+xsin x,x∈(-π,π). (1) 求f(x)的单调区间和极小值; (2) 证明:当x∈[0,π)时,2f(x)≤ex+e-x. 19. (17分)若ξ,η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量,则称(ξ,η)是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量.设(ξ,η)的一切可能取值为(ai,bj),i,j=1,2,…,记pij表示(ai,bj)在Ω中出现的概率,其中pij=P(ξ=ai,η=bj)=P[(ξ=ai)∩(η=bj)]. (1) 将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,记1号盒子中的小球个数为ξ,2号盒子中的小球个数为η,则(ξ,η)是一个二维随机变量. ①写出该二维离散型随机变量(ξ,η)的所有可能取值; ②若(m,n)是①中的值,求P(ξ=m,η=n)(结果用m,n表示); (2) P(ξ=ai)称为二维离散型随机变量(ξ,η)关于ξ的边缘分布律或边际分布律,求证:P(ξ=ai)=pij. 1 学科网（北京）股份有限公司 $