模拟试卷（十四）-【名师领教】2027年中考数学模拟卷（广东专版）

2027年广东省初中毕业生水平考试模拟试卷（十四）（数学） （本卷满分120分，共23小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 座位号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（　　） A. 自 B. 立 C. 科 D. 技 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面， ∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”， 故选：C． 2．《九章算术》是我国古代著名数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反意义量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据题意，收入与支出为相反意义的量，若收入记为正，则支出应记为负． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴支出元记作元． 故选：B． 3．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（　　） A. 元 B. 5元 C. 元 D. 10元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示，则支出用负数表示，数值为实际金额． 根据正负数表示相反意义的量即可求解． 【详解】解：若收入10元记作元，则支出5元可记作元， 故选：A． 4．如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（　　） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案. 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正边形的一个外角为， ∴的值为； 故选A 5．近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵原票价为元， ∴优惠后的票价为元． 6．关于x的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7．如图，在中，，，点D在边上（与点B，C不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）．（　　） A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质得出，，证出，由证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ，即，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 8．（3分）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ） A 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，， 在中，， 中，， 在中， 综上所述，共有4对“伪全等三角形”， 故选：D． 9．如图，等腰中， ，垂足为D，点O是线段上一点，点P是延长线上一点，若 ，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，为半径的圆上；② ；③ 是等边三角形；④其中正确结论的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形“三线合一”及垂直平分线性质得出 ，结合已知 可得，从而判断①；利用等边对等角及角度和差关系判断②；通过三角形内角和定理计算的度数判断③；根据相似三角形的判定判断④． 【详解】解：连接 ， ， ， 垂直平分，  ，  ， ，  点、 、 在以点 为圆心，为半径的圆上，故①正确； ， ， ， ，  ，故②正确； 在 中，， 即，  ，  ，  ，  ，  ，  是等边三角形，故③正确； 根据已知条件无法证明， 故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 10．一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作轴，轴，垂足分别为A，B；过点N作轴，轴，垂足分别为C，D．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，下列结论正确的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】设点坐标为，点坐标为，根据点在反比例函数图象上可得的值，根据点在反比例函数图象上方可得与的关系；根据点在一次函数图象上可得的值，根据点在一次函数图象下方可得与的关系． 【详解】设， 点在反比例函数图象上    点在反比例函数图象的上方  ，即 点在一次函数图象上 ，即 ∵矩形 ∴， 点在一次函数图象的下方 ，即 ∵矩形 ∴， ∴   综上所述，，．  二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形． 【答案】(或，答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：； 根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：； 故答案为：(或，答案不唯一）． 12．（3分）写一个比大的整数是__． 【答案】2(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较，估算无理数的大小是解题的关键． 先估算出大小，再找出符合条件的整数即可． 【详解】解：， ， 符合条件的数可以是：2(答案不唯一)． 故答案为：2． 13．（3分）已知一次函数，当时，y的值可以是__________．（写出一个合理的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．取求得的值，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（3分）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有； ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有； ② 第三步：把②代入①，可得； ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得； ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第______步是错误的，它违背了数学的基本法则． 【答案】⑤ 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立． ∴对于等式； 当时，该等式恒成立； 当，两边同时除以，得； ∵， ∴ ∴上述推理过程中，第⑤步是错误的； 故答案为：⑤． 15．（3分）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是______（请填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断． 【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④ 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积万亩，比第一代治沙人治沙面积的倍还多万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 【答案】第一代治沙人的治沙面积为万亩 【解析】 【分析】设第一代治沙人的治沙面积为x万亩，根据题意“三代总治沙面积比第一代的3倍还多5万亩”，列方程求解即可． 【详解】解：设第一代治沙人的治沙面积为x万亩， 根据题意得 ， 解得， 答：第一代治沙人的治沙面积为8万亩． 17．（7分）睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图． 学生类别 学生平均每天睡眠时间（单位：小时） （1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______． （2）请补全条形统计图． （3）被抽取调查的类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】（1）50； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图． （1）根据类人数和人数占比即可求出本次被调查的学生人数；用360度乘以类的人数占比即可求出类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数； （2）根据（1）所求，求出类的人数即可补全统计图； （3）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到所选的2人恰好都是男生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）； ； 故答案为：50；； 【小问2详解】 解：类的人数为（人）， 补全条形统计图，如图， 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中两人恰好是2名男生的结果有2种． ． 18．（7分）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点． （1）求的值； （2）求证：； （3）求证：与互相平分． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证得，再在中，．在中，，可得，再证得结果； （2）过点作，交延长线于点，先证明，可得 ，再证得，再由相似三角形的判定可得结论； （3）如图，连接，由（2），可得，从而得出，从而得出， 得出，再上平行线判定得出，再证得，从而得出四边形是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果． 【小问1详解】 ，且是的直径， ． ， 在中，． ， 在中，． ， ； 【小问2详解】 过点作，交延长线于点． ． ， ， ． ， ， ， ，， ． ， ， ， ． 【小问3详解】 如图，连接． 是的直径， ． ， ． 由（2）知，， ， ， ． ． ， ． 由（2）知，， ． ， ， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，考查化归与转化思想等． 20．（9分）如图，是的直径，是上的一点，连结接，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）点是的中点，连接，交于点，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，又由等腰三角形的性质及已知可得，即得，进而即可求证； （2）连接，由得，即得，，即得到，设，则，由勾股定理得，解得，再证明，得，即得，进而由得，代入计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 21．（9分）如图1，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于． （1）求抛物线的解析式； （2）将原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，连接，，作的平分线交于点． ①求点的坐标； ②如图2，点为直线左侧抛物线上一点，连接并延长交轴于点，连接交抛物线于点，连接，当时，求点的横坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）直接将代入抛物线解析式，然后化成一般式即可； （2）①由题意可得，对称轴为，进而得到， 即，再利用角平分线的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形可得，即可确定点E的坐标；②设，，利用待定系数法分别求得直线的解析式为、直线的解析式为，进而得到；如图：延长到J，使得，连接，易得点H和点J关于对称，即，再解方程组即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于， ∴，解得：， ∴，即． 【小问2详解】 解：①∵抛物线与轴负半轴交于点， ∴，对称轴为， ∵原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点， ∴， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； ②设，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∴． ∴， 如图：延长到J，使得，连接， ∵， ∴，是中线， ∴是的垂直平分线， ∴点H和点J关于对称， ∴， ∴， 解得：或（不合题意舍去）， ∴点的横坐标为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求的值及点的坐标； （2）将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴ 由题意得，轴， ∵ ∴ ∵的中点的坐标为， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，反比例函数解析式为 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得 ∴ ∵ ∴平移的距离为． 23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点D是边中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； （3）如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值． 【答案】（1） （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线：，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的纵坐标为3． ∴， 把代入得，， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴，即， ∵点D在反比例函数图象上， 把代入得，， 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵将直线向上平移6个单位得到直线：， ∵直线与函数图象交于，两点， ∴联立方程组得，， 即， 设、， ∴， ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， 把代入得，， 解得， ∴直线与x、y轴交于点、， ∴，， ∴， ∴， 过点O作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 　 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年广东省初中毕业生水平考试模拟试卷（十四）（数学） （本卷满分120分，共23小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 座位号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（　　） A. 自 B. 立 C. 科 D. 技 2．《九章算术》是我国古代著名数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（　　） A. 元 B. 5元 C. 元 D. 10元 4．如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（　　） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 5．近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 6．关于x的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7．如图，在中，，，点D在边上（与点B，C不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）．（　　） A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④ 8．（3分）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ） A 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 9．如图，等腰中， ，垂足为D，点O是线段上一点，点P是延长线上一点，若 ，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，为半径的圆上；② ；③ 是等边三角形；④其中正确结论的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10．一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作轴，轴，垂足分别为A，B；过点N作轴，轴，垂足分别为C，D．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，下列结论正确的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形． 12．（3分）写一个比大的整数是__． 13．（3分）已知一次函数，当时，y的值可以是__________．（写出一个合理的值即可） 14．（3分）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有； ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有； ② 第三步：把②代入①，可得； ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得； ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第______步是错误的，它违背了数学的基本法则． 15．（3分）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是______（请填写序号）． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积万亩，比第一代治沙人治沙面积的倍还多万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 17．（7分）睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图． 学生类别 学生平均每天睡眠时间（单位：小时） （1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______． （2）请补全条形统计图． （3）被抽取调查的类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 18．（7分）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点． （1）求的值； （2）求证：； （3）求证：与互相平分． 20．（9分）如图，是的直径，是上的一点，连结接，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）点是的中点，连接，交于点，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的值． 21．（9分）如图1，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于． （1）求抛物线的解析式； （2）将原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，连接，，作的平分线交于点． ①求点的坐标； ②如图2，点为直线左侧抛物线上一点，连接并延长交轴于点，连接交抛物线于点，连接，当时，求点的横坐标． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求的值及点的坐标； （2）将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点D是边中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； （3）如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值． 　 学科网（北京）股份有限公司 $