模拟试卷（十二）-【名师领教】2027年中考数学模拟卷（广东专版）

2027年广东省初中毕业生水平考试模拟试卷（十二）（数学） （本卷满分120分，共23小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 座位号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2．如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 3．如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（　　） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 4．如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（　　） A. （千米） B. （千米） C. （千米） D. （千米） 5．若，其中，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（　　） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 7．下列各选项中的两项是同类项的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8．如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（　　） A. 6 B. 6 C. 3 D. 4 9．如图1，在四边形中，ABCD，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点停止运动时点也随之停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，，关于的函数图象如图2所示，则的长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10．5月18日是国际博物馆日．某博物馆推出甲、乙两种文创纪念品，甲种文创纪念品每个3元，乙种文创纪念品每个5元．某游客欲将60元钱全部用于购买甲、乙两种文创纪念品（两种都要买），不同的购买方案有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）某班甲、乙、丙3名同学参加实心球测试，每人投掷实心球5次成绩的平均数（单位：米）及方差如下表： 项目 甲 乙 丙 9.56 10.25 10.25 0.15 0.36 0.15 根据表中信息，选择1名成绩好且发挥稳定的同学参加运动会掷实心球比赛，应选择参赛的同学是________． 12．（3分）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 13．（3分）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 14．（3分）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为______度． 15．（3分）抛物线（、、为常数，）经过，两点．下列五个结论：①抛物线不经过第三象限；②将抛物线向左平移个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，则满足条件的整数的值只有一个；⑤对于函数，若，则当时，随的增大而增大．其中正确的是_________（填写序号）． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高标准农田改造建设，调查统计了其中四台不同型号的挖掘机（分别为型，型，型，型）一个月内改造建设高标准农田的面积（亩），并绘制成如图不完整的统计图表： 改造农田面积统计表 型号 亩数 16 20 12 利用图中的信息，解决下列问题： （1）①______； ②扇形统计图中的度数为______． （2）若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了960亩高标准农田，估计其中型挖掘机改造建设了多少亩？ （3）若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台挖掘机参加其它任务，请用画树状图或列表的方法求出恰好同时抽到，两种型号挖掘机的概率． 17．（7分）如图，在正方形中，点是边的中点，连接，． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，求的周长． 18．（7分）2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间（单位：h），张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）_______．扇形统计图中_______．并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数； （3）若育华中学八年级共有学生1200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有多少人？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分． （1）求A地考生的数学平均分； （2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明． 20．（9分）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： （1）； （2）． 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． （4）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求正比例函数的解析式； （2）点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 23．（14分）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． （1）若，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； （3）当，且时，分析并确定整数a的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年广东省初中毕业生水平考试模拟试卷（十二）（数学） （本卷满分120分，共23小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 座位号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用正负数表示具有相反意义的量，需根据题意确定相反意义的量及其符号表示即可． 【详解】解：若盈利元记作元，则亏损应用负数表示， 亏损元应记作元， 故选：B． 2．如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 根据菱形的性质可得， ，根据含角的直角三角形的性质即可求得的长，从而得到结果． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（　　） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 4．如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（　　） A. （千米） B. （千米） C. （千米） D. （千米） 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 5．若，其中，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先对等式左边用平方差公式因式分解，对比右边的因式形式，结合得到和的值，即可计算出的结果． 【详解】解： 又∵，且， ∴ ，， ∴ ． 6．如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（　　） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和问题，设原多边形的边数为，根据内角和可解得，按图示的剪法剪去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多1，即可解答，熟知多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：设原多边形的边数为， 则可得， 解得， 按图示的剪法剪去一个内角后， 新多边形的边数比原多边形的边数多1，为， 故选：A． 7．下列各选项中的两项是同类项的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，单独的两个数字也叫做同类项，据此逐一判断即可． 【详解】A、与都是常数，是同类项，故此选项符合题意； B、 是常数，不含字母，含字母，不是同类项，故此选项不符合题意； C、不是单项式，与不是同类项，故此选项不符合题意； D、中的指数为 ，的指数为 ，中的指数为 ，的指数为 ，相同字母指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． 8．如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（　　） A. 6 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，设的中点为G，过点D在上方作，使.过点H作于点K，连接，则，根据正方形性质，得，得，和，，根据 ，得点B、E、A、D在上，得，得，根据，得，得，得点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为． 【详解】解：以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 设的中点为G，过点D作，使，过点H作于点K，连接，则， ∵正方形边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B、E、A、D在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F是在以点H为圆心，为半径的圆上运动， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点F在上时， 取得最小值， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 9．如图1，在四边形中，ABCD，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点停止运动时点也随之停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，，关于的函数图象如图2所示，则的长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】过作于，可证得四边形为矩形，，根据相似三角形的性质得到比例式，再表示出关于的式子，代入到中，得到关系式，再结合函数图象求出，，的长，结合沿运动时候的函数图像求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：过作于，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 当在上运动时， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题设，则， ∴， ∴， 由函数图象可知，当 时，​， ∴，即， 当到达点后，在上运动时，恒等于高，此时， 由函数图象可知，当时， ∴，即， ∴， 把代入中得， 解得； ∴在中，， 当点开始沿运动，此时， ∴， 代入时，得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 10．5月18日是国际博物馆日．某博物馆推出甲、乙两种文创纪念品，甲种文创纪念品每个3元，乙种文创纪念品每个5元．某游客欲将60元钱全部用于购买甲、乙两种文创纪念品（两种都要买），不同的购买方案有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出方程，再结合正整数和两种都买的条件，找出所有符合要求的购买方案. 【详解】解：设购买甲种文创个，乙种文创个，均为正整数， 根据题意得 ， 整理得， ∵是正整数， ∴为整数， ∵与互质， ∴必须是的倍数， ∵两种纪念品都要买， ∴，， ∴ ， 解得， ∴符合题意的整数的值为，共3种， 故有3种不同的购买方案. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）某班甲、乙、丙3名同学参加实心球测试，每人投掷实心球5次成绩的平均数（单位：米）及方差如下表： 项目 甲 乙 丙 9.56 10.25 10.25 0.15 0.36 0.15 根据表中信息，选择1名成绩好且发挥稳定的同学参加运动会掷实心球比赛，应选择参赛的同学是________． 【答案】 丙 【解析】 【分析】要选择成绩好且发挥稳定的同学参赛，需结合平均数和方差的意义判断，平均数越大平均成绩越好，方差越小波动越小发挥越稳定，先比较平均数，再比较方差得到结果． 【详解】解：由表格数据可得：，，， 因此乙和丙的平均成绩优于甲 又，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定， 因此丙的发挥比乙更稳定 综上，丙的成绩好且发挥稳定． 12．（3分）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解． 【详解】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为， ， 两种小麦长势更整齐的是甲， 故答案为：甲． 13．（3分）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 【答案】 10 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则． 【详解】解：∵垂直且平分线段， ∴， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点，， ∴， ∴． 14．（3分）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的尺规作法是解题的关键．根据，，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得，由尺规作图过程可知为的角平分线，由此可得． 【详解】解： ，， ， 根据尺规作图过程，可知为的角平分线， ， 故， 故答案为：． 15．（3分）抛物线（、、为常数，）经过，两点．下列五个结论：①抛物线不经过第三象限；②将抛物线向左平移个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，则满足条件的整数的值只有一个；⑤对于函数，若，则当时，随的增大而增大．其中正确的是_________（填写序号）． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】先代入已知点得到系数关系，，再逐一判断每个结论的正误．对于①，容易判断当时，，因此抛物线不经过第三象限；对于②，解方程可得抛物线与轴的交点为和，故存在两种平移方案；对于③，由与即可判断；对于④，结合②的结论可得是不等于1的正整数，因此；对于⑤，代入可得，当时，，且随的增大而减小，结合反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴代入坐标得，，整理得， ∴ 对于①：当时， ∵， ∴，， ∴， ∴抛物线不经过第三象限，故①正确； 对于②：将代入，得， ， 因式分解，得， 解得或， ∴抛物线与轴的交点为和， ∴向左平移个单位后，交点变为和， ∵平移后过原点， ∴或，因此不一定等于，故②错误； 对于③：∵， ∴，故③正确； 对于④：由②可得，方程的根为和， ∵方程有两个不相等的整数根，且为正整数， ∴为不等于的正整数，即为的正因数，且， ∴，故④正确； 对于⑤：∵， ∴， ∴， 设， ∴与成二次函数关系， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵当时，， ∴， ∵， ∴与成反比例函数关系， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵随的增大而减小， ∴随的增大而增大，故⑤正确； 综上，正确的结论为①③④⑤． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高标准农田改造建设，调查统计了其中四台不同型号的挖掘机（分别为型，型，型，型）一个月内改造建设高标准农田的面积（亩），并绘制成如图不完整的统计图表： 改造农田面积统计表 型号 亩数 16 20 12 利用图中的信息，解决下列问题： （1）①______； ②扇形统计图中的度数为______． （2）若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了960亩高标准农田，估计其中型挖掘机改造建设了多少亩？ （3）若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台挖掘机参加其它任务，请用画树状图或列表的方法求出恰好同时抽到，两种型号挖掘机的概率． 【答案】（1）①32，② （2）240亩 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，求扇形统计图圆心角度数，用样本估计总体，画树状图求概率．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）利用型建设高标准农田的面积除以其所占比得到总数，再利用总数减去型，型，型的面积，即可得到型的建设面积， 利用乘以型建设面积所占比，即可解题； （2）利用总数乘以型所占比，即可解题； （3）根据题意画出树状图得到总的情况数，再得到抽到，两种型号挖掘机的情况数，利用由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：①（亩）， ； ②扇形统计图中的度数为； 故答案为：32，； 【小问2详解】 解：根据题意得：（亩）， 答：估计其中型挖掘机改造建设了240亩； 【小问3详解】 解：画树状图得： 共有12种等可能的结果，同时抽到，两种型号挖掘机的有2中情况， 同时抽到，两种型号挖掘机的概率为：． 17．（7分）如图，在正方形中，点是边的中点，连接，． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，求的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴ ∵点是边的中点， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质结合即可证明； （2）先对运用勾股定理求解，然后由全等三角形的性质即可得到的长度，即可求解的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形 ∴ ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的周长． 18．（7分）2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间（单位：h），张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）_______．扇形统计图中_______．并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数； （3）若育华中学八年级共有学生1200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有多少人？ 【答案】（1）200，30，图见解析 （2）参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数为 （3）估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有240人 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用的人数除以所占的比例，求出的中，再用的人数除以总数，求出的值，求出的人数，补全条形图即可； （2）用360度乘以的人数所占的比例，进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴； 的人数为：，补全条形图如图： 【小问2详解】 ； 答：参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 （人）； 答：估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有240人． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分． （1）求A地考生的数学平均分； （2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明． 【答案】（1）86； （2）不能，举例见解析． 【解析】 【分析】本小题考查加权平均数等基础知识， （1）根据平均数的概念求解即可； （2）根据平均数的意义求解即可． 【小问1详解】 由题意，得A地考生的数学平均分为． 【小问2详解】 不能． 举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为 ． 因为， 所以不能判断B地考生数学平均分一定比地考生数学平均分高． 20．（9分）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质： （1） 结合矩形的性质，根据“边角边”证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得，结合，可得． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， 又， ， ． 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． （4）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）面积比保持不变为，理由见详解 （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展空间想象能力，分情况研究动点问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出的值，最后分两种情况求出点的坐标即可； （4）根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，面积比保持不变为，理由如下： 根据题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； 【小问3详解】 解：如图所示，经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为，纵坐标为， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，， 则， 即 解得， ①当时，即为如图所示， 此时， 点在第四象限，故； ②如图所示， 当时，此时点在第一象限，点在第三象限， 此时， 故； 综上，或； 【小问4详解】 解：①当经过顶点时，过点作轴，交轴于点， 由得，， ∴， 即， 解得（舍去），或， ∴当点向左运动时，满足题意， ∴； ②如图所示，当点在抛物线上时，过点作，交轴于点， 同理，，相似比仍为， 此时，，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当点向下一直移动，直至到轴时，都符合题意， 当时，解得， ∴当时，符合题意； ③图所示，当点在抛物线上时，点在第二象限，点在第四象限， 思路同②，此时，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当点向右一直移动，直至到轴时，都符合题意， ∴当时，符合题意； 综上，当或或时，符合题意． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求正比例函数的解析式； （2）点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 23．（14分）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． （1）若，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； （3）当，且时，分析并确定整数a的个数． 【答案】（1） （2）2或1 （3）整数a有4个 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程． 根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可； 结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离； 结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数． 【小问1详解】 解：有题意知 ， 当时，y取得最小值8； 【小问2详解】 解：∵点在双曲线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴，化解得，解得或， 则点或， ∴点P到y轴的距离为2或1； 【小问3详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，化简得， ∴， 则整数a有4个． 　 学科网（北京）股份有限公司 $