模拟试卷（七）-【名师领教】2027年中考数学模拟卷（广东专版）

2027年广东省初中毕业生水平考试模拟试卷（七）（数学） （本卷满分120分，共23小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 座位号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数（个） 185 188 188 186 方差 18.5 15.4 12.6 32.2 根据10次测试成绩，从这四名同学中选择一人参加比赛，应选（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2．为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（　　） A. 9.2 B. 9.4 C. 9.5 D. 9.6 3．为庆祝“中俄教育年”正式启动，某校8个班级分别制作了若干张宣传图片，图片数的条形统计图如图所示．这8个班级宣传图片数的中位数与平均数分别是（　　） A. 7，7 B. 7， C. ，7 D. ， 4．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（　　） A. 130 B. 158 C. 160 D. 192 5．为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　） A. 53 B. 55 C. 58 D. 64 6．在第个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班得分为：，，，，，，则这组数据的众数为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7．小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 8．如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（　　） A. 5 B. 1 C. 3 D. 2 9．如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（　　） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 10．神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）若分式的值为0，则的值是________． 12．（3分）若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 13．（3分）如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 14．（3分）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________． 15．（3分）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． （1）求关于的函数表达式． （2）如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ （3）学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 17．（7分）如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，． （1）求的长； （2）求证：； （3）求的值． 18．（7分）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 20．（9分）如图，已知矩形． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 21．（9分）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点． （1）若，，，则四边形的面积为___________； （2）若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值； （3）若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． （1）求的值及点的坐标． （2）点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年广东省初中毕业生水平考试模拟试卷（七）（数学） （本卷满分120分，共23小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 座位号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数（个） 185 188 188 186 方差 18.5 15.4 12.6 32.2 根据10次测试成绩，从这四名同学中选择一人参加比赛，应选（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义解题，平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表成绩波动越小，发挥越稳定，先选出平均成绩更高的同学，再从中选出方差最小的即可 【详解】解：∵乙和丙的平均数最大，为，大于甲的和丁的， 因此只需从乙和丙中选择， 又∵乙的方差为，丙的方差为，， ∴丙满足成绩好且发挥稳定的要求 2．为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（　　） A. 9.2 B. 9.4 C. 9.5 D. 9.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，中位数是一组数据从小到大排列后居于中间的一个数或中间两个数的平均数，根据中位数的定义解题即可． 【详解】解：甲班演唱后七位评委给出的分数为：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6， ∴中位数为：9.4， 故选B． 3．为庆祝“中俄教育年”正式启动，某校8个班级分别制作了若干张宣传图片，图片数的条形统计图如图所示．这8个班级宣传图片数的中位数与平均数分别是（　　） A. 7，7 B. 7， C. ，7 D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据条形统计图的数据分析，按照中位数和平均数的定义求解即可． 【详解】解：由8个班级分别制作了若干张宣传图片， ∴中位数为第4、5个班级的图片数， 从小到大排列后：第4、5个班级的图片数为， ∴中位数为：； 平均数为：． 4．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（　　） A. 130 B. 158 C. 160 D. 192 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．据此求解即可． 【详解】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158， ∴中位数是158， 故选：B． 5．为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　） A. 53 B. 55 C. 58 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的定义，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55， 把这6个数从小到大排序：50，51，55，55，61，64， ∴这组数据的中位数是：， 故选：B． 6．在第个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班得分为：，，，，，，则这组数据的众数为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求众数．根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据解答即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为：，，，，，． 统计各数值出现的次数：出现1次，出现1次，出现3次，出现1次． 其中9出现的次数最多， 因此这组数据的众数为， 故选：C． 7．小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义（位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数）解答即可． 本题考查数据统计量的变化情况，需逐一分析平均数、方差、众数和中位数在去掉极端值后的变化． 【详解】解：原数据去掉最高分10和最低分（其中一个）后，剩余数据为． 原平均数总和为 ，平均数为． 去掉后总和为 ，平均数为 ，则平均数变化，故A选项不符合题意． 方差与每个数据与平均数的差值有关．因平均数改变，所有数据的离差平方和必然变化，方差随之改变，故B选项不符合题意． 原众数为（出现2次）．去掉一个后，剩余数据中所有数均出现1次，众数消失或变为无众数，故众数变化，故C选项不符合题意． 原数据中位数为第4个数即．去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个数的中位数为第3个数（仍为），故中位数不变． 故选： D． 8．如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（　　） A. 5 B. 1 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【详解】解：设， 由题意得：． ∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 故选：C 9．如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（　　） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 10．神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可． 【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：， ∴， ∵x、y均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案． 故选B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）若分式的值为0，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案． 【详解】∵分式的值为0， ∴x−1＝0，2x≠0 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键． 12．（3分）若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 13．（3分）如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得，又结合，，得出是等边三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的长． 【详解】解：连接，， ，， 垂直平分， ， 菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键． 14．（3分）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 15．（3分）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． （1）求关于的函数表达式． （2）如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ （3）学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 【答案】（1） （2）学生步行的平均速度至少为 （3）②③ 【解析】 【分析】（1）由题意知，是的反比例函数，设，代入，即可求解； （2）将代入，求得，结合题意，即可求解； （3）根据函数图象分析即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， ∴ ∴ 【小问2详解】 把代入，得 ∴学生步行的平均速度至少为 【小问3详解】 解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为，故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确； ③学生从学校到补给点所走路程为，故③正确． 17．（7分）如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，． （1）求的长； （2）求证：； （3）求的值． 【答案】（1）4 （2） 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）2 【解析】 【分析】（1）直接由勾股定理求解即可； （2）证明，得到，再由代入求证即可； （3）先证明点为的中点，然后求出，，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（7分）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）作图见解析，性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小 （3）（或或或或） 【解析】 【分析】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的关键． （1）利用矩形性质和勾股定理得出，，分两部分：①当时；②当时，分别列出；过点作于点，利用等面积法求出，即可表示出的面积为，同理可得的面积为，再结合矩形的面积为与，即可列出； （2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质； （3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可 【小问1详解】 解：∵为矩形的对角线AC的中点，，， ∴，， ∴， 当时，，如图， ∴； 当时，，如图， ∴； ∴； 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴的面积为， 同理可得的面积为， 又∵矩形的面积为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作图如下： 性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明是平行四边形，然后根据矩形的定义得到结论即可； （2）利用勾股定理得到长，然后利用矩形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 选择①， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 选择②， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴矩形的面积为． 20．（9分）如图，已知矩形． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的画法及性质，三角形全等的判定与性质，菱形的判定． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）由直线是线段的垂直平分线．得到，，，，根据矩形的性质可证，可得，即可得到，即可求证． 【小问1详解】 解：如图1所示，直线为所求； 【小问2详解】 证明：如图2，设与的交点为O， 由（1）可知，直线是线段的垂直平分线． ∴，，，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 21．（9分）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点． （1）若，，，则四边形的面积为___________； （2）若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值； （3）若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2），最大为 （3）是， 【解析】 【分析】（1）分割法得到四边形的面积，即可得出结果； （2）三角形的中位线定理，证明，进而推出，进而得到当四边形的面积最大时，最大，过点作，过点作，则：，进而得到四边形的最大面积，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （3）根据平移规则，求出抛物线的解析式，设，根据三角形的中线平分面积，得到为的中点，进而得到点坐标，设，把的坐标代入，求出，根据直线过点，将解析式写为，得到，令，求出值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴四边形的面积 ； 【小问2详解】 ∵在中，分别是的中点， ∴是的中位数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形的面积最大时，的面积最大， 过点作，过点作，则：， ∵四边形的面积 ∴四边形的面积最大， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，最大为； 【小问3详解】 直线是过定点： 由（2）知：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴为的中点， ∵过点的直线与直线交于点， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴直线：， 即：， ， ∴当，即：时，， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移以及二次函数的综合应用，熟练掌握相关定理和性质，二次函数的图象和性质，以及平移规则，是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． （1）求的值及点的坐标． （2）点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标； （2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可； 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． ∴， ∴, ∴， ∴反比例函数为：； ∴， 解得：，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，, ∴， ∴，， 如图，当时，最短； ∴； 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键. 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）， （2）10 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【小问1详解】 解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $