模拟试卷（六）-【名师领教】2027年中考数学模拟卷（广东专版）

2027年广东省初中毕业生水平考试模拟试卷（六）（数学） （本卷满分120分，共23小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 座位号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位：）如下： 170　　175　　169　　171　　172　　170　　173 这组数据的中位数是（　　） A. 175 B. 172 C. 171 D. 170 2．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.9 9.5 8.2 8.5 0.09 0.65 0.16 2.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3．在“体重管理年”的活动中，某校对学生的体重进行监测，下面是其中的一组数据（单位：）：47，49，56，52，56．这组数据的众数和平均数分别是（　　） A. 52，52 B. 56，52 C. 56，50 D. 52，56 4．某校九年级在“学雷锋月”黑板报评比活动中，7个班的得分分别是8，9，7，9，10，8，9，则这组数据的众数为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5．已知一组数据：1，2，9，5，2，3，6．该组数据的中位数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．一组数据，若去掉数据11，下列会发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 7．某校开展了爱国主义演讲比赛，五位评委为某参赛选手打出的分数（单位：分）如下：9，7，9，8，9，这组数据的中位数为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8．已知一次函数图象经过点，则（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 9．下列命题为真命题的是（　　） ①若，则 ；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5的整数，能被5整除； ④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等． A. ①②⑤ B. ③④ C. ④⑤ D. ①③ 10．国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）分解因式：=_______________． 12．（3分）若关于的方程无实根，则的取值范围是______． 13．（3分）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 14．（3分）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为________；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是________． 15．（3分）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． （1）求证：； （2）求的度数． 17．（7分）如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求证：是矩形． 18．（7分）如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）如图，在中， 于点，点， ，分别是边 、、的中点． （1）求证：； （2）判断四边形 的形状，并说明理由． 20．（9分）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过点作的垂线，垂足为，交直径于点，交过点的直线于点，连接并延长，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 21．（9分）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线最高点的坐标； （3）斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． （1）求，的值； （2）将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 23．（14分）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）． （1）求抛物线的函数解析式． （2）过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． （3）若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年广东省初中毕业生水平考试模拟试卷（六）（数学） （本卷满分120分，共23小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 座位号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位：）如下： 170　　175　　169　　171　　172　　170　　173 这组数据的中位数是（　　） A. 175 B. 172 C. 171 D. 170 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为169、170、170、171、172、173、175， 所以这组数据的中位数为171． 故选：C． 2．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.9 9.5 8.2 8.5 0.09 0.65 0.16 2.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲， 从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲， 故选：A． 3．在“体重管理年”的活动中，某校对学生的体重进行监测，下面是其中的一组数据（单位：）：47，49，56，52，56．这组数据的众数和平均数分别是（　　） A. 52，52 B. 56，52 C. 56，50 D. 52，56 【答案】B 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，平均数等于所有数据的和除以数据的个数，据此求解即可． 【详解】解：∵在这组数据中，56出现了2次，其余数都只出现1次， ∴这组数据的众数为； 这组数据的平均数为． 4．某校九年级在“学雷锋月”黑板报评比活动中，7个班的得分分别是8，9，7，9，10，8，9，则这组数据的众数为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 【详解】解：统计本题中各数据出现次数：7出现1次，8出现2次，9出现3次，10出现1次， 其中，9出现的次数最多，因此这组数据的众数为9． 5．已知一组数据：1，2，9，5，2，3，6．该组数据的中位数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】将原数据按从小到大排序，得，，，，，，， 该组数据共有个，为奇数个， 中位数为排序后第个数据， 第个数据为， 该组数据的中位数是． 6．一组数据，若去掉数据11，下列会发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数据的分析，平均数，中位数，众数，极差定义．根据题意分别求解原数据与新数据的平均数，中位数，众数，极差即可得到本题答案． 【详解】解：∵一组数据， ∴平均数为：，中位数为， 众数为，极差为：， 去掉数据11为， ∴平均数为：，中位数为， 众数为，极差为：， ∴中位数发生变化， 故选：B． 7．某校开展了爱国主义演讲比赛，五位评委为某参赛选手打出的分数（单位：分）如下：9，7，9，8，9，这组数据的中位数为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路是先将数据按从小到大顺序排列，再根据数据个数为奇数，取中间位置的数得到中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为． ∵这组数据共有 个， 是奇数，中位数为排序后最中间的数，即第个数， ∴这组数据的中位数为． 8．已知一次函数图象经过点，则（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 9．下列命题为真命题的是（　　） ①若，则 ；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5的整数，能被5整除； ④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等． A. ①②⑤ B. ③④ C. ④⑤ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【详解】解：逐个判断命题： ①若，则，例如 ，满足但，①是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，同位角不是对顶角，②是假命题； ③末尾数字是5的整数可表示为 ，其中为整数，该数是5的倍数，能被5整除，③是真命题； ④初中平面几何中，四边相等的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，④是真命题； ⑤三个角分别对应相等的两个三角形仅相似，不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相等但不全等，⑤是假命题； 综上真命题为③④． 10．国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买支笔记本，个碳素笔，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数． 【详解】解：设购买支笔记本，个碳素笔， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或或， 共有4种不同的购买方案． 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）分解因式：=_______________． 【答案】a（a﹣b）． 【解析】 【详解】解：=a（a﹣b）． 故答案为a（a﹣b）． 【点睛】本题考查因式分解-提公因式法． 12．（3分）若关于的方程无实根，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当时，原方程无实数根， 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况； 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 13．（3分）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 14．（3分）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为________；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是________． 【答案】 ①. 3456 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到，再由可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出，进而得到，根据是整数，得到是整数，即是整数，则是13的倍数，求出，再按照a从大到小的范围讨论求解即可． 【详解】解：∵是一个“友谊数”， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴这个数为； ∵是一个“友谊数”， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵是整数， ∴是整数，即是整数， ∴是13的倍数， ∵都是不为0的正整数，且， ∴， ∴当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时可以满足是13的倍数，即此时，则此时， ∵要使M最大，则一定要满足a最大， ∴满足题意的M的最大值即为； 故答案为：3456；． 15．（3分）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， 【小问2详解】 连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 17．（7分）如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求证：是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判断，三角形中位线定理等知识，解题的关键是： （1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）利用平行四边形的性质得出，，结合点G是的中点，可得出，同理，则可得出，，然后利用矩形判定即可得证． 【小问1详解】 证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵G是中点， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是矩形． 18．（7分）如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定． （1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可； （2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：直线l如图所示， ； 【小问2详解】 证明：补全图形，如图， 由（1）作图知，E为的中点， ∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∵，即：， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）如图，在中， 于点，点， ，分别是边 、、的中点． （1）求证：； （2）判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴． 在中，点E是的中点， ∴． 同理． ∵， ∴； （2）解：四边形 是平行四边形，理由如下： ∵点E，F，G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形 是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得，结合，根据 ，即可证明； （2）根据三角形中位线的性质可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20．（9分）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过点作的垂线，垂足为，交直径于点，交过点的直线于点，连接并延长，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）连接， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∵，垂足为E， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，垂足为P， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，证明是等腰三角形，推出，即可证明是的切线； （2）证明，得到，设的半径为，证明，利用相似三角形的性质列式计算求得，再证明，据此计算即可求解． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：∵是的直径，，垂足为P， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 21．（9分）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线最高点的坐标； （3）斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 【答案】（1） （2） （3）这棵树的高为2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵点是抛物线上的一点， 把点代入中，得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴抛物线最高点对坐标； 【小问3详解】 解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D， ∵，， ∴， ∴， 又∵点B是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴点C的横坐标为1， 将代入中，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， 答：这棵树的高为2． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． （1）求，的值； （2）将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用反比例函数的解析式求出a的值得到点C的坐标，将点C的坐标代入一次函数的解析式中，求出b的值； （2）先求出点A、B的坐标，过点D作轴于点E，证明，由此求出点D的坐标，由平移知，可求出直线的解析式，再求出直线与反比例函数的图象交点即为点E的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得； 【小问2详解】 由（1）知， 令得；令得， ∴， ∴， 过点D作轴于点E， 由旋转得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，平移后， ∴设直线解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 23．（14分）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）． （1）求抛物线的函数解析式． （2）过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． （3）若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，P点坐标为，或，或 【解析】 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为， 【小问3详解】 解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， ∴P坐标为，或； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或． 【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $