模拟试卷（四）-【名师领教】2027年中考数学模拟卷（广东专版）

2027年广东省初中毕业生水平考试模拟试卷（四）（数学） （本卷满分120分，共23小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 座位号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．眉山市彭山区的江口沉银遗址历经六期围堰考古，累计出水文物万余件．将76000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值大于 的数的形式为，要求满足 ， 为整数． 【详解】解：． 2．在中，、分别是、的中点．若，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：根据题意，如图所示， ∵D、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 3．一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（　　） A. 34，34 B. 35，35 C. 34，35 D. 35，34 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数与中位数的定义，根据平均数与中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：， 这组数据从小大到大排序为：31，32，35，35，37， ∵一共有5个数据， ∴中位数为第3位数，即35， 故选：C． 4．数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（　　） A. 95分， B. 96分， C. 95分，10 D. 96分，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折线图，求平均数和方差，根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可． 【详解】解：平均数为：（分）； 方差：； 故选D． 5．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（　　） A. 2倍 B. 5倍 C. 8倍 D. 10倍 【答案】D 【解析】 【详解】 解：由题意得． 6．随着我国新能源产业的高速发展，新能源汽车进入了千家万户．雷叔叔早晨先在充电站给汽车充电，然后驾车前往相距的工厂．汽车显示的可用里程数（单位：）与时间（单位：h）之间的关系如图所示．他到达工厂的时间是（　　） A. 上午 B. 上午 C. 上午 D. 上午 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象信息，先求出汽车的行驶速度，再求出行驶所需时间，最后求出总时长，即可求解． 【详解】解：由图象可知，当时充电结束，此时可用里程为，随后开始行驶，当时，， 汽车行驶速度为（）， 工厂相距， 行驶所需时间为（h）， 到达工厂时经过的总时间为（h）， 出发时间为早晨， 到达时间为上午． 7．小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从，，，，，这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（　　） A. 小庆选出四个数字的方差等于 B. 小铁选出四个数字的方差等于 C. 小娜选出四个数字的平均数等于 D. 小萌选出四个数字的极差等于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差，平均数，极差的定义，掌握相关的知识是解题的关键．根据方差，平均数，极差的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、假设选出的数据没有，则选出的数据为，，，时，方差最大，此时，方差为；当数据为，，，时，，，故该选项符合题意； B、当该同学选出的四个数字为，，，时，，，故该选项不符合题意； C、当该同学选出的四个数字为，，，时，，故该选项不符合题意； D、当选出的数据为，，，或，，，时，极差也是，故该选项不符合题意； 故选：A． 8．在第25届米兰冬奥会上，我国冰雪健儿取得了骄人的成绩．为了弘扬中华体育精神，某中学开展“冰雪运动进校园”活动．学校计划用300元购买笔记本和钢笔两种奖品，笔记本20元/个，钢笔15元/个．所有资金恰好用完，则购买方案有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】根据总资金列出方程，再结合x，y为正整数的条件，找出所有符合要求的购买方案. 【详解】解：设购买笔记本个，钢笔个，均为正整数， 由题意得 两边同除以化简得 整理得 ∵是正整数，与互质， ∴必须是的倍数， 又∵， ∴，解得， 结合可得，的取值为，共种不同取值， 故有种购买方案. 9．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，取值范围是或， 故选：C． 10．已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： （1）体育场离该同学家2.5千米； （2）该同学在体育场锻炼了15分钟； （3）该同学跑步前平均速度是步行平均速度的2倍； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75； 其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确的读懂图像给出的信息是解题的关键．利用图象信息解决问题即可． 【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确； 该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确； 该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误； 若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形周长是______． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理分别求出、、、，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：四边形各边中点分别是、、、， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长为：， 故答案为：42． 12．（3分）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据方程的根的情况，判断抛物线与轴的交点个数，对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果． 【详解】解：设，， 则两个函数都经过点，对称轴分别为和， ∵一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，， ∴，为抛物线与轴的交点的横坐标，，为抛物线与轴的交点的横坐标， ∵， ∴抛物线与抛物线的对称轴均在轴的左侧， ∴，， ∴，， ∴两条抛物线的开口向上， ∵， ∴抛物线的开口大于抛物线的开口， ∴， ∵两条抛物线与轴都有两个交点， ∴，， ∴，， 综上：． 13．（3分）因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（3分）已知是方程的解，则______． 13 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 经验 能力 态度 公司将学历、经验、能力和态度得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则______将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙） 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入，得， ∴， ∴， 故答案为：2 15．（3分）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2）设，垂足为M，若，求长． 【答案】（1）见详解 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，在利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即． 【小问2详解】 由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ， ∴ 即的长为． 17．（7分）如图，在中，是的直径，弦交于点E，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理可得出，，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）利用勾股定理可求出，，利用等面积法求出，可求出，然后利用（1）中求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E到、的距离相等， 设E到的距离为，C到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 18．（7分）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，为的直径，过点B作的垂线，垂足为E，交于点D，连接，． （1）求证：； （2）连接交于点F，若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，， ，C，D是上的点， ， ，是的两条切线， ，，， 点P在的平分线上， 平分， ， ，为的直径， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据切线性质可知点P在的平分线上，根据垂径定理可知，再根据圆周角，圆心角的关系即可得证； （2）先由垂径定理求出的半径，再解直角三角形，可得，根据相似三角形的性质可求，由即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：，为的直径， ，， 在中，，， ． 设的半径为r，则，， 在中，由， 得， 解得． 在中，，， ， ， ， ， ， 即， ， ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）如图，是以为直径的外一点，为上的一点，是的切线，，为的中点，连接交于． （1）求证：是的切线； （2）若，． ①求的长； ②求的值． 【答案】（1）证明：为的切线， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ∴， ∴． 是的半径， 为的切线． （2）；② 【解析】 【分析】（1）由为的切线，得到．根据平行线的性质得到，结合，得到，从而证明，因此，即可得证结论； （2）①连接，通过解直角三角形得到，因此，由是的直径得到，在中解直角三角形即可求解； ②方法一：取的中点，连接，则，根据得到，根据三角形中位线的性质得到，．证明，得出，进而可求出，从而在中，根据正切的定义即可求解； 方法二：过点作，交的延长线于点．证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，进而求出．再证明，求出，即可求出，从而在中，根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ∵在中，，， ∴， ． ∵， ∴ 是的直径， ∴，． ∴． ②方法一：取的中点，连接，则． ， ∴． ∵点分别为的中点， 是的中位线， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴在中，． 方法二：过点作，交的延长线于点． ． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ， ∴． ∴在中，． 20．（9分）如图，在中，，，点为上一点，过点作交于点．设的长度为，点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2）函数图象见解析，随x增大而增大，随x增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定： （1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时的取值范围． 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后代入，求出b、c的值即可； （2）由对顶角的性质性质知，若存在和相似，则有和两种情况，然后分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可； （3）设点，，，，则，，根据菱形的性质得出，可求出，过点作于，可得，利用等角的余弦值相等得出，求出，根据菱形的性质得出，解方程求出m的值即可． 【小问1详解】 解：令，则，则；令，则 ∴， 把，代入，得： 解得： ∴这条抛物线所对应的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：存在点，使得和相似． 设点，则，， ∴，，，， ∵和相似， ∴或 ①如图1，当时， ∴ ∴点纵坐标为6 ∴，解得：或 ∴ ②如图2，当时， 过B作于H ∴ ∴ ∴ ∴，解得：（舍去）或 ∴ 综上所述，点的坐标为或． 【小问3详解】 如图3，∵四边形为菱形 ∴，， 设点，，， ∴， ∴，即 ∵ ∴，即或 ∵， ∴， ∴ 过点作于 ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（不合题意，舍去）或 故 答：点的横坐标为 【点睛】本题是常见的中考数学压轴题型，综合性比较强，涉及到知识点较多；主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，菱形的性质；解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类讨论． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分） 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解； （2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解； （3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围． 【详解】（1）设，则， ∵轴， ∴D点的纵坐标为， ∴将代入中得：得， ∴， ∴， ∴， ∴将代入中得出， ∴函数的图象必经过点C； （2）∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴， ∴， ∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴； （3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形，， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，长为半径作，， ∴， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H， ∵, ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴当与的边有交点时，k的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 23．（14分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； （3）设抛物线在、两点之间部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； （4）连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，将点代入即可求解． （2）通过抛物线对称轴公式确定对称轴，利用对称点横坐标中点在对称轴上求 m 值，再根据点关于点对称的中点公式求对称点坐标． （3）根据抛物线顶点及开口方向，确定区间与顶点位置关系，分情况讨论最高点坐标，利用纵坐标差建立方程求解． （4）先利用中点公式计算求出各点的坐标，再通过点与点之间的坐标关系，根据几何条件建立方程进而通过解方程求． 【小问1详解】 将点代入中得： 解得：， ∴． 【小问2详解】 根据抛物线对称轴公式可知： 抛物线的对称轴为， ∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、， ∴、中点在对称轴上， ∴， ， 解得：， ∵点是该抛物线上的点， 将代入抛物线解析式得， ， 即 设是A关于的对称点，则： 解得，， ∴点坐标为． 【小问3详解】 ∵抛物线顶点为，开口向上，，， 当时，包含，最低点为。 当时，，最高点为A，纵坐标差为：， 解得：； 当时，，最高点为B，纵坐标差为： ， 解得：． 综上，m的值为或． 【小问4详解】 ∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知： ∴，，，， ∴，，，， 当、运动到平行四边形内部时（即、、共线），如图： 过点作，如图： 此时，满足， 由一次函数的性质可的大小决定了直线的倾斜方向和函数的增减性， 所以当两条一次函数的直线平行时的大小相同， ∴ ∴ 解得 当、、共线时，如图，同理： ∴， ∴， ∴， 解得． 综上，． 【点睛】本题主要考虑二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的最值、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年广东省初中毕业生水平考试模拟试卷（四）（数学） （本卷满分120分，共23小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 座位号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．眉山市彭山区的江口沉银遗址历经六期围堰考古，累计出水文物万余件．将76000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2．在中，、分别是、的中点．若，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3．一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（　　） A. 34，34 B. 35，35 C. 34，35 D. 35，34 4．数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（　　） A. 95分， B. 96分， C. 95分，10 D. 96分，10 5．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（　　） A. 2倍 B. 5倍 C. 8倍 D. 10倍 6．随着我国新能源产业的高速发展，新能源汽车进入了千家万户．雷叔叔早晨先在充电站给汽车充电，然后驾车前往相距的工厂．汽车显示的可用里程数（单位：）与时间（单位：h）之间的关系如图所示．他到达工厂的时间是（　　） A. 上午 B. 上午 C. 上午 D. 上午 7．小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从，，，，，这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（　　） A. 小庆选出四个数字的方差等于 B. 小铁选出四个数字的方差等于 C. 小娜选出四个数字的平均数等于 D. 小萌选出四个数字的极差等于 8．在第25届米兰冬奥会上，我国冰雪健儿取得了骄人的成绩．为了弘扬中华体育精神，某中学开展“冰雪运动进校园”活动．学校计划用300元购买笔记本和钢笔两种奖品，笔记本20元/个，钢笔15元/个．所有资金恰好用完，则购买方案有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 9．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10．已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： （1）体育场离该同学家2.5千米； （2）该同学在体育场锻炼了15分钟； （3）该同学跑步前平均速度是步行平均速度的2倍； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75； 其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形周长是______． 12．（3分）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 13．（3分）因式分解：______． 14．（3分）已知是方程的解，则______． 13 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 经验 能力 态度 公司将学历、经验、能力和态度得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则______将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙） 15．（3分）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2）设，垂足为M，若，求长． 17．（7分）如图，在中，是的直径，弦交于点E，． （1）求证：； （2）若，求的长． 18．（7分）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，为的直径，过点B作的垂线，垂足为E，交于点D，连接，． （1）求证：； （2）连接交于点F，若，，求的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）如图，是以为直径的外一点，为上的一点，是的切线，，为的中点，连接交于． （1）求证：是的切线； （2）若，． ①求的长； ②求的值． 20．（9分）如图，在中，，，点为上一点，过点作交于点．设的长度为，点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分） 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 23．（14分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； （3）设抛物线在、两点之间部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； （4）连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 学科网（北京）股份有限公司 $