模拟试卷（二）-【名师领教】2027年中考数学模拟卷（广东专版）

2027年广东省初中毕业生水平考试模拟试卷（二）（数学） （本卷满分120分，共23小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 座位号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天的销售量（单位：套）分别为：，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 136，136 B. 138，136 C. 136，129 D. 136，138 2．某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（　　） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 3．体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 8，9 B. 9，9 C. 9，8 D. 11，9 4．6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（　　） A. 5，4 B. 6，5 C. 6，7 D. 7，7 5．德阳市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路长度分别为28公里、30公里、30公里、26公里、32公里．若后续又新增一条线路，使得新增后这6条线路长度的中位数变为29公里，众数保持不变，那么新增线路长度可能是（　　） A. 25公里 B. 28公里 C. 29公里 D. 30公里 6．为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（　　） A. 1.5，1.5 B. 1.4，1.5 C. 1.48，1.5 D. 1，2 7．如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（　　） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 8．在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（　　） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 9．在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 10．为了推进“阳光体育”，学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班统计全班50名学生投中的次数，并记录如下： 投中次数（个） 0 1 2 3 4 5 人数（人） 1 ● 10 17 ● 6 表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 12．（3分）一元二次方程 的根是___________． 13．（3分）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 14．（3分）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 15．（3分）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求半圆O的半径及的长． 17．（7分）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 18．（7分）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求和的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元 (1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？ 20．（9分）社会运转和日常生活离不开物流行业的发展，阅读以下统计图并回答问题． 2011~2022年中国社会物流总费用及占GDP比重统计图 (1)下列结论中，所有正确结论的序号是 ． ①2011~2022年社会物流总费用占 GDP 比重总体呈先下降后稳定的趋势： ②2011~2016年社会物流总费用的波动比2017~2022年社会物流总费用的波动大； ③2012~2022 年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是 2021年， (2)请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国GDP 相关的结论． 21．（9分）综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1） 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2） 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3） 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）P是直线上一个动点，的面积为21，求点P坐标； （3）点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． （1）求点A、的坐标和反比例函数的表达式； （2）点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年广东省初中毕业生水平考试模拟试卷（二）（数学） （本卷满分120分，共23小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 座位号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天的销售量（单位：套）分别为：，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 136，136 B. 138，136 C. 136，129 D. 136，138 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可． 【详解】解：数据中136出现2次，其他数各出现1次，故众数为136． 将数据从小到大排序：129，136，136，140，154，180． 数据个数为6（偶数），中位数为第3、4个数的平均值，即． 综上，众数136，中位数138， 故选D． 2．某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（　　） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数；众数是出现次数最多的数，据此即可求解． 【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88，92，94，95，95，95，96， 中位数为第4个数，即95； 数据中出现次数最多的数是95（出现3次），故众数为95； ∴这组数据的中位数、众数分别是95，95． 故选：B． 3．体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 8，9 B. 9，9 C. 9，8 D. 11，9 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵数据，，，，中出现次数最多， ∴众数为． ∵将数据从小到大排列后，第个数据为， ∴中位数为． 4．6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（　　） A. 5，4 B. 6，5 C. 6，7 D. 7，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】中位数：， 众数：7 故选：C． 5．德阳市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路长度分别为28公里、30公里、30公里、26公里、32公里．若后续又新增一条线路，使得新增后这6条线路长度的中位数变为29公里，众数保持不变，那么新增线路长度可能是（　　） A. 25公里 B. 28公里 C. 29公里 D. 30公里 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位数，众数．逐项分析，新增线路后，求出中位数与众数，根据题意判定即可． 【详解】解：A、若新增线路长度是25公里，则数据排序为25、26、28、30、30、32．第3、4个数为28和30，平均值为29，即中位数为29．而众数仍为30（出现2次），符合题意． B、若新增线路长度是28公里，数据排序为26、28、28、30、30、32．第3、4个数为28和30，平均值为29，即中位数为29，但众数变为28和30（各2次），与原众数30不一致，不符合题意． C、若新增线路长度是29公里，数据排序为26、28、29、30、30、32．第3、4个数为29和30，平均值为29.5，即中位数为29.5，不符合题意． D、若新增线路长度是30公里，数据排序为26、28、30、30、30、32．第3、4个数均为30，平均值为30，即中位数为30，不符合题意． 故选：A 6．为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（　　） A. 1.5，1.5 B. 1.4，1.5 C. 1.48，1.5 D. 1，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义求解即可 【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，1.4，1.5，1.5，2， 则中位数是1.5， 1.5出现次数最多，故众数是1.5． 故选：A． 7．如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（　　） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 8．在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（　　） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得；当与相交时，圆心距需满足条件，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵，D为中点， ∴，； ∵锐角三角形中，， ∴外接圆心O在上， 连接，由勾股定理得：； 设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：， 即，解得：； 在此范围的半径只有选项B； 故选：B． 9．在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解众数的含义是解题的关键． 根据题意，结合众数的意义，即可求解． 【详解】解：“最畅销”涉及的统计量是众数， 故选：D． 10．为了推进“阳光体育”，学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班统计全班50名学生投中的次数，并记录如下： 投中次数（个） 0 1 2 3 4 5 人数（人） 1 ● 10 17 ● 6 表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，解题的关键是理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征．先求被遮住投篮成绩的人数，然后根据众数的定义求出众数，而中位数，平均数和方差与所有的数据有关，据此可得答案． 【详解】解：∵一共有50名同学， ∴被遮住投篮成绩的人数为名， ∵众数是一组数据中出现次数最多的数据， ∴这50名学生的投篮成绩的众数为3，出现17次，大于16，与被遮盖的数据无关， ∵中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数， ∴把这50名学生的成绩从小到大排列，第25名和第26名的投篮成绩不能确定，与被遮盖的数据有关，而平均数和方差都与被遮住的数据有关， 故选C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得 ，， 方程的一个根是，  ， 因此方程的另一个根为2． 12．（3分）一元二次方程 的根是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； 根据题意，先移项，然后利用直接开平方法即可求解． 【详解】解： ，， 故答案为：，． 13．（3分）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 【答案】A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元 【解析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为〔公式:r01〕元，，再利用“采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元”，列方程，解方程即可． 【解析】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为〔公式:r02〕元， 【解析】根据题意，得〔公式:r03〕． 【解析】解这个方程，得〔公式:r04〕． 【解析】经检验，〔公式:r05〕是所列方程的根． 【解析】〔公式:r06〕（元）． 【解析】所以，A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元． 【解析】本题考查的是分式方程的应用，设出恰当的未知数，确定相等关系是解题的关键． 14．（3分）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 综上，或， 故答案为：3或． 15．（3分）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求半圆O的半径及的长． 【答案】（1）见解析 （2）半圆O的半径为2， 【解析】 【分析】（1）连接，切线得到，等边对等角得到，圆周角定理得到，同角的余角得到，等量代换得到，即可得证； （2）连接，设半圆O的半径为，解直角三角形，求出半径的长，进行求出的长，平行得到，解直角三角形，求出，的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等于底边比，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接，则：， ∴， ∵过点C作半圆O切线，交的延长线于点D， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 设半圆O的半径为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：半圆O的半径为2； ∴， 连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴到距离相等，都等于的长， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 17．（7分）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 18．（7分）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2），． 【解析】 【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论； （2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得． 【小问1详解】 证明：延长交于点F，连接， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的角平分线， ∵， ∴，且平分线段， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， 设， ∴， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元 (1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？ 【答案】(1)A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元； (2)至少购进A种礼品盒15盒． 【解析】（1）设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，根据题意列方程组即可得到结论； 【解析】（2）设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒〔公式:r01〕盒，根据题意列不等式即可得到结论． 【解析】（1）解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元， 【解析】根据题意得：〔公式:r02〕， 【解析】解得：〔公式:r03〕， 【解析】答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元； 【解析】（2）解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒〔公式:r04〕盒， 【解析】根据题意得：〔公式:r05〕， 【解析】解得：〔公式:r06〕， 【解析】∵x为整数， 【解析】∴x的最小整数解为15， 【解析】∴至少购进A种礼品盒15盒． 【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键． 20．（9分）社会运转和日常生活离不开物流行业的发展，阅读以下统计图并回答问题． 2011~2022年中国社会物流总费用及占GDP比重统计图 (1)下列结论中，所有正确结论的序号是 ． ①2011~2022年社会物流总费用占 GDP 比重总体呈先下降后稳定的趋势： ②2011~2016年社会物流总费用的波动比2017~2022年社会物流总费用的波动大； ③2012~2022 年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是 2021年， (2)请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国GDP 相关的结论． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【解析】本题主要考查了折线统计图和条形统计图．熟练掌握拆线统计图和条形 统计图中数据的变化趋势，是解决问题的关键． 【解析】（1）根据折线统计图中数据变化趋势判断①；由条形统计图中每个时间段的极差判断②；比较条形统计图中几个增加较大的年份的增加数据，判断③； 【解析】（2）根据2012年到2017年、2017年到2022年，两个时间段社会物流总费用变化占GDP比重的变化，说明我国GDP总量变化情况． 【解析】（1）由拆线统计图看出比重总体呈先下降后稳定的趋势， 【解析】故①正确； 【解析】∵2011 ~2016 年社会物流总费用的波动范围为：〔公式:r01〕， 【解析】2017 ~2022年社会物流总费用的波动范围为：〔公式:r02〕， 【解析】∴2011 ~2016 年社会物流总费用的波动比2017 ~2022年社会物流总费用的波动小， 【解析】故②错误； 【解析】2012~2022年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度较大的几个年份： 【解析】2012年：〔公式:r03〕， 【解析】2017年：〔公式:r04〕， 【解析】2019年：〔公式:r05〕， 【解析】2021年：〔公式:r06〕， 【解析】2022年：〔公式:r07〕， 【解析】∵〔公式:r08〕， 【解析】∴其中增加的幅度最大的一年是 2021年， 【解析】故③正确． 【解析】故答案为： ①③． 【解析】（2）根据统计图可得， 【解析】①从2012年到2017年社会物流总费用平稳增长，占GDP的比重却逐年递减；说明我国GDP总量在逐年增长； 【解析】②从2017年到2022年社会物流总费用逐年增加，占GDP的比重却趋于稳定，变化不大。说明我国GDP总量在逐年增长． 21．（9分）综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1） 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2） 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3） 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 【答案】（1）画图见解析，90 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； 【小问2详解】 证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）P是直线上一个动点，的面积为21，求点P坐标； （3）点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标． 【答案】（1）， （2）点P坐标为或； （3）Q点坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出，再代入，得出，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答． （2）先得出直线与直线的交点的坐标，根据求不规则面积运用割补法列式化简得，解出，即可作答． （3）要进行分类讨论，当点在点的右边时和点在点的左边时，根据求不规则面积运用割补法列式，其中运用公式法解方程，注意计算问题，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意把代入，得出 解得 把代入中，得出 ∴ 则把和分别代入 得出 解得 ∴； 【小问2详解】 解：记直线与直线的交点为 ∵ ∴当时，则 ∴ ∵P是直线上的一个动点， ∴设点， ∵的面积为21， ∴ 即 ∴ 解得或 ∴点P坐标为或； 【小问3详解】 解：由（1）得出 ∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上， ∴设点Q的坐标为 如图：点在点的右边时 ∵的面积为21，和 ∴ 整理得 解得（负值已舍去） 经检验是原方程的解， ∴Q点坐标为 如图：点在点的左边时 ∵的面积为21，和 ∴ 整理得 解得，符合题意，，不符合题意， 则，故 综上：Q点坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，割补法求面积，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． （1）求点A、的坐标和反比例函数的表达式； （2）点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求． （2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵，点的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $