甘肃省甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年高二上学期月考（2）模拟数学试卷

2025-2026学年高二上学期月考(2)模拟卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意禀项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版2019选择性必修第一册第1~3章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.在等差数列{a}中，已知4。=21，则a+4。+4,等于() A.15 B.33 c.51 D.63 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质即可求解 【详解】因为数列{a}是等差数列，所以a4+a,+a,=3=3×21=63 故选：D 2.设数列{a}的前n项和为Sn,若S2=3,a1=Sn+1,则S6=() A.-63 B.-31 C.31 D.63 【答案】D 【分析】本题首先根据a+1=Sn+1可判断出数列{a}是公比为2的等比数列，然后根据S2=3计算得出a=1, 最后根据等比数列前项和公式即可得出结果， 【详解】因为a1=Sn+1,所以a.=S1+1，所以a+1-a=Sa-Sa-1=a., amh=2,其中n22, 而4，=4+1，结合S,=3可得4=1,4，=2，此时2=2，故数列{a}是公比为2的等比数列， 所以s.=a-4）1-2 1-q1-2 =63故选：D 3.已知直线1的一个方向向量为(V3,1),则1的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】A 【分析】根据方向向量与斜率，斜率与倾斜角的关系求直线倾斜角大小 【详解】若直线l的倾斜角为a且0°≤a<l80°，由题设k=tan a= 1V3 V53 ,则1的倾斜角为30°故选：A 4.点P在圆x2+y2=25上运动，它与点2(4,0)所连线段中点为M,则点M轨迹方程为() A.(x-2)2+y2=25 B.(+2-y-空 C.(x-2}+y=2 D.(+2)2+y=2 【答案】A 【分析】设M(a,b),应用中点坐标公式写出P点坐标，代入已知圆的方程即可得轨迹 【详解】设M(a,b),又P与点2(4,0)所连线段中点为M,则P(2a-4,2b), 因为点P在圆x2+y2=25上运动，则(2a-4)2+(2b)2=25, 所以(a-2)+6=25,放点M轨迹方程为x-2+广-25 4 故选：A 4 5.直线x-y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则△ABP面积的最大值 是() A.2√5 B.3√5 C.6 D.4 【答案】C 【分析】先求得AB的长，再求得圆心到直线距离，再求得点P到直线x-y+2=0的距离的范围，故可 得△ABP面积的取值范围，结合选项可得答案. 【详解】直线x-y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点， A(-2,0),B(0,2),则AB=2√2， ·点P在圆(x-2)2+y2=2上， 圆心为(20)，则圆心到直线距离d 2-0+2=22, √2 故点P到直线x-y+2=0的距离d的范围为√2,3√2， 则SA=)Ald,=V2d,∈[2,6].所以aMBP面积的最大值是6 故选：C 6.己知方程x =1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是() +46-m A.（-4,1 B.(6,8) C.(4,8) D.(-4,0)U(0,1) 【答案】A 【分析】根据焦点在y轴上的椭圆的标准方程列式求解即可 【详解】因为方程子+广1表示的曲线是焦点在y轴抽上的椭圆， +46-m m+4>0 所以6-m>0,解得-4<m<1,所以实数m的取值范围是(-4,1) 6-m>m+4 故选：A. 7.已知双由线c:二芳-a0o:0)的左、石售点分别为，马，过点区且垂直于：箱的白线与C 交于点以与C交于点从，设丽=M,若子≤2≤高，则C的离心率的取值范围为() A.「2,2 B.「5,2 c.[3,5] D.[2,+o) 【答案】B 【分析】先确定M的坐标，由M,F的坐标结合FN=M求得N的坐标，根据N在双曲线上，得出元和 离心率的关系，进而得解 【详解】 M F 由题可得R(-c,0),耳，(c,0),根据对称性设点M在第一象限，可得Mc,。 a x+c=A(c-x) 2-1 x=. 解得 +29 36,即 1-1.1b2 1+元1+元a y= 1+a 的点v在双线e上所以（产各1， 所e-（(e-小-1，解得e没-计2 1-21 1-22 因为片后所以号1-2号期45 所以3≤e2≤4，又e>1.所以√3≤e≤2 故选：B 8.记抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与x轴交于点T,过T作直线1与E分别交于A,B两点， 且AB=27A,若△ABr的面积为16V5 则p=() 3 A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【分析】不防设点4.8(，)人≥06≥0，由西-2，可得+号-35+号 根据抛物线上点 的坐标结合面积公式即可求得P的值， 【详解】易知点号0（号0 由对称性，不妨设点A(5,乃)，B(x2,),5>0,x,>0, B 因为AB=2T,所以B=3TA, 则%+号-3到+号)即=+p 则2px2=3×2px+2p2,即y好=3y+2p2, 又男=兰得-5p, 由S 16V5 pm-hl,得ss=p-n=85,解得p=4. 3 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 1 9.已知S为数列a,}的前”项和，4=2若数列a+S,}既是等差数列，又是等比数列，则下列说法正 确的有() Ina A.{an}是等差数列 B. 是等比数列 C.{Sn}为递增数列 D.数列{n(n-1)a}的最大项是第3项 【答案】BC 【分析】先由数列{a,+S}既是等差数列，又是等比数列可得a,+Sn=1,进而由Sn与an的关系可求a,与Sn; Ina, 由{a,}与n 的通项公式可判断A与B选项；结合指数函数的单调性可判断C选项；令 c,=n(n-1)a, -,假设数列c,}的第kk≥2女cN)项最大，且利用C,之C",解不等式可求最大 2n C 2C-1, 项，即判断D选项， 【详解】令b,=a+S,b=4+S= 计分1，设等装数列私的公差为日。 又因为b}是等比数列，所以b=bb,即(1+d)=1×(1+2d),解得d-0, 于是bn=a,+S4=1 当n≥2时，bn-b1=a.+Sn-(a-1+Sn-1)=0,得an+Sn-Sn-1-an-1=0, 即a-1,又因为47，所以数列a,}是以为首项，：为公比的等比数列， 所以4= 显然a符合，于是a(81-a1 对于A:an 是等比数列，故A错误 1 对于B:因为hna In nn Ina 2n 1， 所以 是各项均为n二的常数列， n n 12 2 于是 血a:是公比为1的等比数列，故B正确： 对于C:由指数函数的单调性可知，数列S=1 1 为递增数列，故C正确： 2 对于D:c=n0-1)a,= n(n-1) ， 假设数列{Cn}的第k(k≥2，k∈N)项最大， 2 k(k-1)、k(k+1) 则9≥c 2 2*H 即 ,解得3≤k≤4，因为k∈N, Cr 2C1, k(k-1)、(飞-1)k-2) 、2 20-1 所以k=3或k=4,即数列{n(n-1)4,}的第3项和第4项相等且最大，故D错误 故选：BC 10.下列说法错误的是（) A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”的充要条件 B.直线x+2y-4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是9W5 10 C.点A(2)到直线1x-y+2=0的距离为 D.经过点P(3,4),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有2条 【答案】ACD 【分析】利用直线垂直的充要条件求出α的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用平行 线间的距离公式可判断B选项：利用点到直线的距离公式可判断C选项；对直线是否过原点进行分类讨论， 结合直线的截距式方程可判断D选项 【详解】对于A选项，若直线ax-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直， 则a2+a=0,解得a=-1或a=0, 所以“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”的充分不必要条件，A错： 对于B选项，直线x+2y-4=0的方程可化为2x+4y-8=0, 所以直线x+2y-4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离为 8-19W5 22+4=10,B对： 2-1+232 对于C选项，点A(2,1)到直线lx-y+2=0的距离为 12+(-1)2 2，C错： 对于D选项，要求经过点P(3,4),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的方程，分以下三种情况讨 论 若植线过原点，设直线的方程为少-加，将点P的坐标代入直线方程可得3张=4，解得太-手 4 此时直线的方程为y=。x: 3 若直线不过原点且在两坐标轴上的截距相等，设直线的方程为X+亗=1(a≠0)，即x+y=a, aa 将点P的坐标代入直线方程可得a=3+4=7,此时直线的方程为x+y-7=0; 若直线不过原点且在两坐标轴上的截距相反，设直线的方程为-二=1(b≠0)，即x-y=b, bb 将点P的坐标代入直线方程可得b=3-4=-1,此时直线的方程为x-y+1=0. 综上所述，经过点P(3,4),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有3条，D错. 故选：ACD 1.已知5(20)是双曲线C:卡-16>0)的右焦点，P为右支上一点，则() A.双曲线C的虚轴长为2√5 B.OP到≥PF(O为坐标原点) C.双曲线C的渐近线方程为y= 3 D.M为圆E:(x+2)+y2=1上一点，PM-PF的最小值为1 【答案】ABD 、b 【分析A利用a,b,c之间的关系求出b:B根据右顶点A(1,O)是OF的中点可判断：C渐近线方程为y=±x: a D将PM转化为P-1,再结合双曲线的定义即可 【详解】由题意知a=1,c=2,则b=√5，虚轴长为2b=25,A项正确： 易知右顶点A(1,O)是OF的中点，当点P在右支上运动时，有OP≥PF,B项正确： 双曲线C的渐近线方程为y=士V3x,C项错误： 易知E(-2,0)为双曲线的左焦点，则P-PF=2, 则PM-PF≥PE-1-PF=1,D项正确. 故选：ABD M 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等比数列{a}的前n项和为Sn,a,a,=3a,且一3，S4,9a成等差数列，则数列{a}的通项 a= 【答案】3” 【分析】根据条件求a和q,从而可得数列{a}的通项公式. 【详解】设等比数列{a}的公比为9， 由aa=3a,得4q'=3aq,解得q=3, 又-3，，9%成等差数列，得-3+94=28，即-3+94g=2a0-g2 1-q -3+9×32.4 24-3,解得a=3,所以a.=ag1=3故答案为：3. 1-3 13.若直线：3x+4y=0与l2:6x+y+5=0平行，则1与l2的距离为 【答案105 【分析】根据两直线平行求出参数α的值，再计算两平行线间的距离， 【详解】因为直线：3x+4y=0与l:6x+y+5=0平行， 所以3a=4×6,解得a=8,所以l2:6x+8y+5=0,又1：6x+8y=0,所以l与l,的距离d= 0-5-1 V62+822 故答案为：号 14.圆C:x2+y2-x+5=0,P(x,)为圆C上任意一点，则的最大值为 【答案】 29 分析】设三k,则直线少三，与圆有公共点，联立方程消元后，利用判别式即可得解 【详解】设女=k,则y。=。, 联立 +g-6+5=0'消元得(1+2)8-6，+5=0，由△=36-201+)上0.解得-25≤k≤25 =k。 所以之的最大值为5故答案列：2 5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)己知等差数列{0}满足4=7,4+10=2a,. (1)求数列{a}的通项公式： ②设九=”1，试判断并说明6-么的符号： a ③)请问是否存在正整数k,使得44为数列a}中的项？若存在，请求出k的值：若不存在，请说明理由. a+1 【答案】(1)a.=3n+1 (2)b1-bn的符号为正. (3)不存在，理由见解析 【分析】(1)根据等差数列的通项公式列出方程组求出首项、公差得解： (2)利用做差比较法可判断符号： (3)假设存在，根据条件列出方程，解出满足条件的k不为正整数即可得出结论， 【详解】(1)设等差数列{a,}的公差为d, a+d=7, a=4, 由题意可得 4+8d+10=2(4+5d0,解得d-3. 则a.=4+3(n-1)=3n+1, 故数列{an}的通项公式为a.=3+1. (2)由(1)知，b,=-1=4n-1 4(n+1)-14n+3 a3+i:故6n3++i3n+4 因此oub十子折n+36n+-1Bn+4上 7 0 3n+1)βn+4) 1+1)+4了 所以b1-bn的符号为正 (3)由题知44a.3欧+Bt+7).[B+4)3[6k+436+0-9304 .9 a 3k+4 3欢+4 3k+4 歌+4 若0红为数列中的项，则必定有34为3的整数倍，即3北+4=1或3或9 a- 解程=1或号或号 又k为正整数，故不存在正整数k,使得a丛为数列{a}中的项 a+1 16.(15分)已知数列{a}的前n项和为Sn,且满足Sn=2a,-2(n∈N) (1)求{a}的通项公式： (2)若等差数列{b}满足：b=4-1,b4=a2,求数列bn}的通项公式及数列{ab}的前项和T. 【答案】(1)an=2 (2)b.=n,Tn=(n-1)2m+1+2 S1,n=1 【分析】(1)根据a,=〈 .-S1≥2求出a}为首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式： (2)先求出b}的公差，求出b}通项公式，再利用错位相减法求和得到答案 【详解】(1)Sn=2an-2(n∈N)①， 当n=1时，a1=2a1-2,解得4=2， 当n≥2时，Sn-1=2an-1-2②， 式子①-②得a.=2a-2an-1,即an=2a-1 故{a}为首项为2，公比为2的等比数列， 所以4，=2×2-1=2」 (2)由(1)知，b=4-1=1,b,=4=4, 设{b}的公差为d,则3d=b,-b=4-1=3,解得d=1, 所以b.=1+n-1=n」 所以ab.=n2” 故T=2+2×22+3×2++n2”, 所以2T,=22+2×23+3×24++n.2+1, 两式相减得-父=2+2+2++2-n:212-2 -n-2+1(1-2*1-2, 1-2 所以T=(n-1)2+1+2. 17.(15分)己知三角形ABC的顶点坐标是A(2,0),B(4,2),C(-2,3),M为AB的中点. (1)求中线CM的方程： (2)求经过点B且与直线AC平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积. 【答案】(1)2x+5y-11=0 号 【分析】(1)根据条件，求得M(3,1),再由直线方程的两点式，即可求解； (2)根据条件，求出直线过点B且与直线AC平行的直线方程，进而求出其与坐标轴的交点坐标，即可求 解。 【详解】(1)因为A(2,0),B(4,2),所以M(3,1), 所caM的方程是品引 即2x+5y-11=0 (2)因为直线AC的斜率kc3-0=-3 -2-24 所以经过点B且与直线4C平行的直线方程为y-2=-3（x-4, 4 2025-2026学年高二上学期月考（2）模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版2019选择性必修第一册第1~3章 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】因为数列是等差数列，所以. 故选：D. 2．设数列的前n项和为，若，则＝（   ） A．－63 B．－31 C．31 D．63 【答案】D 【分析】本题首先根据可判断出数列是公比为的等比数列，然后根据计算得出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果． 【详解】因为，所以，所以，，其中, 而，结合可得，此时，故数列是公比为的等比数列， 所以.故选：D 3．已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方向向量与斜率，斜率与倾斜角的关系求直线倾斜角大小. 【详解】若直线的倾斜角为且，由题设，则的倾斜角为30°.故选：A 4．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，应用中点坐标公式写出点坐标，代入已知圆的方程即可得轨迹. 【详解】设，又与点所连线段中点为，则， 因为点在圆上运动，则， 所以，故点轨迹方程为.故选：A 5．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】C 【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案． 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，，则， 点在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离， 故点到直线的距离的范围为， 则．所以面积的最大值是 故选：C． 6．已知方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点在y轴上的椭圆的标准方程列式求解即可. 【详解】因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆， 所以，解得，所以实数m的取值范围是. 故选：A. 7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的坐标，由的坐标结合求得的坐标，根据在双曲线上，得出和离心率的关系，进而得解. 【详解】 由题可得，，根据对称性设点M在第一象限，可得， 设，由，得，所以， 解得，即， 因为点N在双曲线C上，所以， 所以，解得. 因为，所以，则， 所以，又.所以. 故选：B 8．记抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过作直线与分别交于两点，且，若的面积为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】不妨设点，由，可得，根据抛物线上点的坐标结合面积公式即可求得的值. 【详解】易知点，由对称性，不妨设点，      因为，所以， 则，即， 则，即， 又，得， 由，得，解得． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为数列的前项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则下列说法正确的有（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．为递增数列 D．数列的最大项是第3项 【答案】BC 【分析】先由数列既是等差数列，又是等比数列可得，进而由与的关系可求与；由与的通项公式可判断A与B选项；结合指数函数的单调性可判断C选项；令，假设数列的第项最大，且利用，解不等式可求最大项，即判断D选项. 【详解】令，，设等差数列的公差为， 又因为是等比数列，所以，即，解得， 于是. 当时，，得， 即，又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，显然也符合，于是，. 对于A：是等比数列，故A错误 对于B：因为，所以是各项均为的常数列， 于是是公比为1的等比数列，故B正确； 对于C：由指数函数的单调性可知，数列为递增数列，故C正确； 对于D：，假设数列的第项最大， 则，即，解得，因为， 所以或，即数列的第3项和第4项相等且最大，故D错误. 故选：BC 10．下列说法错误的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．直线与直线之间的距离是 C．点到直线的距离为 D．经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有条 【答案】ACD 【分析】利用直线垂直的充要条件求出的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；利用点到直线的距离公式可判断C选项；对直线是否过原点进行分类讨论，结合直线的截距式方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直， 则，解得或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错； 对于B选项，直线的方程可化为， 所以直线与直线之间的距离为，B对； 对于C选项，点到直线的距离为，C错； 对于D选项，要求经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的方程，分以下三种情况讨论： 若直线过原点，设直线的方程为，将点的坐标代入直线方程可得，解得， 此时直线的方程为； 若直线不过原点且在两坐标轴上的截距相等，设直线的方程为，即， 将点的坐标代入直线方程可得，此时直线的方程为； 若直线不过原点且在两坐标轴上的截距相反，设直线的方程为，即， 将点的坐标代入直线方程可得，此时直线的方程为. 综上所述，经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有条，D错. 故选：ACD. 11．已知是双曲线的右焦点，为右支上一点，则（    ） A．双曲线的虚轴长为 B．（为坐标原点） C．双曲线的渐近线方程为 D．为圆上一点，的最小值为1 【答案】ABD 【分析】A利用之间的关系求出；B根据右顶点是的中点可判断；C渐近线方程为；D将转化为，再结合双曲线的定义即可. 【详解】由题意知，，则，虚轴长为，A项正确； 易知右顶点是的中点，当点在右支上运动时，有，B项正确； 双曲线的渐近线方程为，C项错误； 易知为双曲线的左焦点，则， 则，D项正确． 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等比数列的前n项和为，，且－3，，成等差数列，则数列的通项 ． 【答案】 【分析】根据条件求和，从而可得数列的通项公式. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，解得， 又－3，，成等差数列，得，即， ，解得，所以.故答案为：. 13．若直线与平行，则与的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再计算两平行线间的距离. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，所以，又，所以与的距离. 故答案为： 14．圆C：，为圆C上任意一点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设，则直线与圆有公共点，联立方程消元后，利用判别式即可得解. 【详解】设，则， 联立，消元得，由，解得， 所以的最大值为.故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号； (3)请问是否存在正整数，使得为数列中的项？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)的符号为正. (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求出首项、公差得解； （2）利用做差比较法可判断符号； （3）假设存在，根据条件列出方程，解出满足条件的不为正整数即可得出结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得 解得 则， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，，故， 因此， 所以的符号为正. （3）由题知. 若为数列中的项，则必定有为的整数倍，即或3或9， 解得或或. 又为正整数，故不存在正整数，使得为数列中的项. 16．（15分）已知数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)若等差数列满足：，，求数列的通项公式及数列的前n项和. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据求出为首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式； （2）先求出的公差，求出通项公式，再利用错位相减法求和得到答案. 【详解】（1）①， 当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （2）由（1）知，，， 设的公差为，则，解得， 所以. 所以 故， 所以， 两式相减得， 所以. 17．（15分）已知三角形ABC的顶点坐标是，为的中点． (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，求得，再由直线方程的两点式，即可求解； （2）根据条件，求出直线过点且与直线平行的直线方程，进而求出其与坐标轴的交点坐标，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以的方程是， 即. （2）因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为， 即， 设其与轴交点为，与轴交点为，令，得，令，得， 所以，所以， 故经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形面积为． 18．（17分）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆心为C的圆的标准方程； (2)若线段的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）用待定系数法求标准方程； （2）用直接法求轨迹方程. 【详解】（1）由题可设圆心的坐标为，则有，整理求得， 故圆心为，， 则圆的方程为； （2）设线段中点，， 由题意知，， ∵点P在圆上运动， ∴， ∴的轨迹方程为. 19．（17分）已知为椭圆：（）上一点，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程. (2)已知，若过点的直线交椭圆于另一点，且. ①若点在第一象限，求直线的斜率； ②求直线的方程. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意先求出，由离心率以及求出即可求解； （2）①设直线PA的倾斜角为，则，由，利用诱导公式即可求，进而求解； ②由题意直线l的斜率存在，设为t，则直线l的方程为，与椭圆方程联立消元，解得点的坐标，由结合同角三角函数平方关系得，由数量积的定义和坐标运算建立方程，求解方程即可. 【详解】（1）因为点在椭圆C：上，所以，解得. 因为椭圆C的离心率为，即，解得. 所以椭圆C的标准方程为. （2）①如图，设直线的倾斜角为，则. 因为， 所以，所以直线的斜率为. ②由题意得直线l的斜率存在，且不为0，设为t. 又直线l过点，则直线l的方程为. 由消去y，整理得，解得，. 因为，所以，则，则点. 因为，所以， 结合，，解得. 因为，，所以，， 所以. 又因为， 所以，且. 整理得解得， 所以直线l的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期月考（2）模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版2019选择性必修第一册第1~3章 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 2．设数列的前n项和为，若，则＝（   ） A．－63 B．－31 C．31 D．63 3．已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（    ） A． B． C．6 D．4 6．已知方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．记抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过作直线与分别交于两点，且，若的面积为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为数列的前项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则下列说法正确的有（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．为递增数列 D．数列的最大项是第3项 10．下列说法错误的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．直线与直线之间的距离是 C．点到直线的距离为 D．经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有条 11．已知是双曲线的右焦点，为右支上一点，则（    ） A．双曲线的虚轴长为 B．（为坐标原点） C．双曲线的渐近线方程为 D．为圆上一点，的最小值为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等比数列的前n项和为，，且－3，，成等差数列，则数列的通项 ． 13．若直线与平行，则与的距离为 . 14．圆C：，为圆C上任意一点，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号； (3)请问是否存在正整数，使得为数列中的项？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 16．（15分）已知数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)若等差数列满足：，，求数列的通项公式及数列的前n项和. 17．（15分）已知三角形ABC的顶点坐标是，为的中点． (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 18．（17分）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆心为C的圆的标准方程； (2)若线段的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求的中点M的轨迹方程． 19．（17分）已知为椭圆：（）上一点，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程. (2)已知，若过点的直线交椭圆于另一点，且. ①若点在第一象限，求直线的斜率； ②求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二上学期月考(2)模拟卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意禀项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版2019选择性必修第一册第1~3章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.在等差数列{a}中，已知4。=21，则a+4。+4,等于() A.15 B.33 C.51 D.63 2.设数列{a}的前n项和为Sn,若S2=3,a1=Sn+1,则S。=() A.-63 B.-31 C.31 D.63 3.已知直线1的一个方向向量为(5,1)，则1的倾斜角为() A.30° B.60 C.120° D.150° 4.点P在圆x2+y2=25上运动，它与点Q(4,0)所连线段中点为M,则点M轨迹方程为() A.(c-2+y=4 25 B.+2+y-空 C.(-2+y= 2 D.(+2y+=25 5.直线x-y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则△ABP面积的最大值 是() A.2√2 B.32 C.6 D.4 6.已知方程 -=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是() m+46- A.（-4,1) B.(6,8) C.(4,8) D.(-4,0)U(0,1) :己知双曲线C:1(a>0.b>0)的左、石焦点分别为R，飞，过点名且垂直于x轴的直线与0 交于点M,M奶与c交于点N,设不=MM,若}≤1≤3，则C的离心率的取值范围为(） 4 10 A.「V2,2] B.「V5,2] c.[3,5] D.[2,+0) 8.记抛物线E:y2=2px(D>0)的焦点为F,其准线与x轴交于点T,过T作直线1与E分别交于A,B两点， 且AB=2A,若△A8r的面积为16N5,则p=() 3 A.2 B.4 C.6 D.8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 已知S为数列@}的前项和，4三，若数列4，+S}既是等差数列，又是等比数列，则下列说法 确的有() A.{a}是等差数列 B. 是等比数列 n C.{S}为递增数列 D.数列{n(n-1)a}的最大项是第3项 10.下列说法错误的是() A.“a=-1”是“直线2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”的充要条件 B.直线x+2-4=0与直线2x+4+1=0之间的距离是9W5 10 C.点4(2)到直线x-中2-0的距离为 D.经过点P(3,4),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有2条 11.己知F(2,0)是双曲线Cx21仍>0)的石焦点，P为右支上一点，则() A.双曲线C的虚轴长为25 B.OP≥PF(O为坐标原点) C.双曲线C的渐近线方程为y= 3 D.M为圆E:(x+2)+y2=1上一点，PM-PF的最小值为1 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等比数列{a}的前n项和为S,a,4,=3a,且-3，S4,9a,成等差数列，则数列{a}的通项a,=一· 13.若直线/：3x+4y=0与l2:6x+y+5=0平行，则与12的距离为 14.圆C:x+y2-x+5=0,P(:,%)为圆C上任意一点，则的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知等差数列{a}满足4=7,4+10=2a. (1)求数列{a}的通项公式： (②)设6=-1 试判断并说明b-bn的符号： a ③)请问是否存在正整数k,使得4，为数列a}中的项？若存在，请求出k的值：若不存在，请说明理由. 16.(15分)已知数列{a}的前n项和为S。,且满足Sn=2a,-2(n∈N) (1)求{a}的通项公式： (2)若等差数列{b}满足：b=4-1,b,=a2,求数列bn}的通项公式及数列{ab}的前n项和T. 17.(15分)已知三角形ABC的顶点坐标是A(2,0),B(4,2),C(-2,3),M为AB的中点. (I)求中线CM的方程： (2)求经过点B且与直线AC平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积. 18.(17分)己知圆心为C的圆经过点A(1,0)和B(-1,-2),且圆心C在直线1：x-y+1=0上， (1)求圆心为C的圆的标准方程： (2)若线段PQ的端点Q的坐标是(4,3)，端点P在圆C上运动，求PQ的中点M的轨迹方程. 19.17分》已加B0-)为椭国c:若若-1a>60)上一点，品圆c的离车为 2 (1)求椭圆C的标准方程 1） (2)已知P0, 3 若过点B的直线1交椭圆C于另一点A,且tan∠APB=-2√2. ①若点A在第一象限，求直线AP的斜率； ②求直线1的方程